Достоинства двоичной системы счисления кратко

Обновлено: 04.07.2024

I. Понятие двоичной системы счисления…………………………………………………………………..

1.1. История двоичной системы счисления

1.2. Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

1.3. Перевод десятичного числа в двоичное

II. Почему удобна двоичная система? ………………………………………………

2.1. Достоинства двоичной системы

2.2. Недостатки двоичной системы

Кто стоит у истоков двоичной системы счисления, как давно и где ее начали применять, почему двоичная система счисления сохранилась до наших дней.

Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым мы обычно пользуемся, алфавитом служат десять цифр – от 0 до 9. Это десятичная система счисления.

Системой счисления мы будем называть способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами.

Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Десять пальцев рук – вот аппарат для счета, которым человек пользуется с доисторических времен. Древнее написание десятичных цифр:

Понятие двоичной системы счисления.

Двоичная система счисления - позиционная система счисления с основанием два. (Позиционная система счисления (позиционная нумерация) — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

История двоичной системы счисления.

Мысль о двоичной системе принадлежит Лейбницу, который полагал, что при трудных исследованиях в теории чисел она может иметь большие преимущества перед десятичной системой. Кроме того, при всяких арифметических операциях действия над числами, написанными в бинарной системе, облегчаются в высшей степени. Иезуит Буве (Bouvet), миссионер в Китае, которому Лейбниц писал о своём изобретении, сообщил ему, что в Китае существует загадочная надпись, которую можно вполне объяснить бинарной системой. Надпись эта, которую приписывают императору Фо-ги, жившему в 25 веке до н. э., основателю Китайской империи, покровителю наук и искусств, не могла быть объяснена китайскими учёными, которые считали её не имеющей смысла. Она состоит из ряда длинных и коротких чёрточек. Если принять, что длинная черта означает 1, а короткая 0, то вся надпись оказывается просто рядом натуральных чисел, написанных по двоичной системе. Вот эта надпись:

Двоичная система счисления оказалась удобной для использования в ЭВМ. Использование двоичной системы оказалось наиболее эффективным в электронных схемах: цифры 0 и 1 удобно кодировать уровнями напряжения, соответствующим напряжению на шинах питания, „0“ и „+V“; использование большего количества уровней привело бы к усложнению схем. Хотя были прецеденты создания и троичных ЭВМ.

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Попробуем считать в двоичной системе:

1 – это один (и это предел разряда)

11 – это три (и это снова предел)

100 – это четыре

1.3. Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную:

1. 10001001 = 1*2^ + 0*2^ + 0*2^ + 0*2^ + 0*2^ + 0*2^ + 0* 2^ + 0*2^ = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

2. 1011_ = 1*2^3 + 0*2*2+1*2^1+1*2^0 =1*8 + 1*2+1=11_

3. 10101010_ = 1*2^ + 0*2^ + 1*2^ + 0*2^ + 1*2^ + 0*2^ + 1*2^ + 0*2^ = 128 + 32 +8 + 2 = 170_

4. 101101_ = 1*2^ + 0*2^ + 1*2^ + 1*2^ + 0*2^ + 1*2^ = 63_

5. 100,101_ = 1*2^ +0*2^ + 0*2^ + 1*2^ + 0*2^ + 1*2^ = 4 + 2 = 6Элементы оглавления не найдены._

6. 111101_ = 1*2^ + 1*2^ + 1*2^ + 1*2^ + 0*2^ + 1*2^ = 32 +16 + 13 = 61_

7. 1001_ = 1*2^ + 0*2^ + 0*2^ + 1*2^ = 9

8. 10011,1_ = 1*2^ + 0*2^ + 0*2^ + 1*2^ + 1*2^ + 1*2^ = 19,5

9. 11101,11_ = 1*2^ + 1*2^ + 1*2^ + 0*2^ +1*2^ + 1*2^ = 57,5

10. 100111 = 1*2^ + 0*2^ + 0*2^ +1*2^ + 1*2^ + 1*2^ = 39

1.4. Перевод десятичного числа в двоичное:

Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:

77 / 2 = 38 (1 остаток)

38 / 2 = 19 (0 остаток)

19 / 2 = 9 (1 остаток)

9 / 2 = 4 (1 остаток)

4 / 2 = 2 (0 остаток)

2 / 2 = 1 (0 остаток)

1 / 2 = 0 (1 остаток)

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:

1. 1001101_ = 1*2^ + 0*2^ + 0*2^ + 1*2^ + 1*2^ + 0*2^ + 1*2^ = 64 + 8 + 5 = 77_

2. 49_ = \dfrac < 49 > < 2 >= 110001_

3. 15_ = \dfrac < 49 > < 2 >= 1111_

4. 31_ = \dfrac < 31 > < 2 >= 11111_

5. 0,45_ = \dfrac < 0,45 > < 2 >= 0,11100_

6. 95_ = \dfrac < 95 > = 1011111_

7. 102_ = \dfrac < 2 >= 1100110_

8. 58_ = \dfrac < 58 > < 2 >= 110100_

9. 4956_ = \dfrac < 4956 > < 2 >= 101101011100_

10. 125_ = \dfrac < 125 > < 2 >= 10111101_

2. Почему удобна двоичная система?

Стоит отметить, что двоичная система издавна была предметом пристального внимания ученых. Официальное рождение двоичной системы счисления связано с именем Г.В.Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами. Во время работы ЭВМ постоянно происходит преобразование чисел из десятичной системы счисления в двоичную, и наоборот. Да и человеку, имеющему дело с ЭВМ, часто приходится прибегать к преобразованиям чисел.

Главное достоинство двоичной системы – простота алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления. Таблица умножения в ней совсем не требуется ничего запоминать, ведь любое число, умноженное на ноль, равно нулю, а умноженное на единицу равно самому себе. И при этом никаких переносов в следующие разряды, а они есть даже в троичной системе счисления.

Если отвлечься от технических деталей, то именно с помощью этих операций и выполняются все операции в компьютере, так как удалось создать надежно работающие технические устройства, которые могут со 100 процентной надежностью сохранять и распознавать не более двух различных состояний (цифр):

- электромагнитные реле (замкнуто/разомкнуто), широко использовались в конструкциях первых ЭВМ;

- участок поверхности магнитного носителя информации (намагничен/ размагничен);

- участок поверхности лазерного диска (отражает/не отражает);

- триггер, может устойчиво находиться в одном из двух состояний, широко используется в оперативной памяти компьютера.

Утверждение двоичной арифметики в качестве общепринятой при конструкции ЭВМ с программным управлением состоялось под влиянием работы Дж. фон Неймана о проекте первой ЭВМ с хранимой в памяти программой. Работа написана в 1946 году.

2.1. Достоинства двоичной системы счисления:

1. Достоинства двоичной системы счисления заключаются в простоте реализации процессов хранения, передачи и обработки информации на компьютере.

2. Для ее реализации нужны элементы с двумя возможными состояниями, а не с десятью.

3. Представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво.

4. Возможность применения алгебры логики для выполнения логических преобразований.

5. Двоичная арифметика проще десятичной.

2.2. Недостатки двоичной системы счисления:

1. Итак, код числа, записанного в двоичной системе счисления представляет собой последовательность из 0 и 1. Большие числа занимают достаточно большое число разрядов.

2. Быстрый рост числа разрядов - самый существенный недостаток двоичной системы счисления.

3.1. Заключение:

Двоичная система счисления наиболее проста и удобна для автоматизации.

Наличие в системе всего лишь двух символов упрощает их преобразование в электрические сигналы.

Из любой системы счисления можно перейти к двоичному коду.

Почти все ЭВМ используют либо непосредственно двоичную систему счисления, либо двоичное кодирование какой-либо другой системы счисления.

Но двоичная система имеет и недостатки:

- ею пользуются только для ЭВМ для внутренней и внешней работы;

- быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Библиографический список

1. Нестеренко А.В. ЭВМ и профессия программиста. М.: Просвещение, 1990.

2. Решетников В.Н., Сотников А.Н. Информатика – что это? М.: Радио и связь, 1989.

Достоинства двоичной системы счисления заключаются в простоте реализации процессов хранения, передачи и обработки информации на компьютере.

1. Для ее реализации нужны элементы с двумя возможными состояниями, а не с десятью.

2. Представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво.

3. Возможность применения алгебры логики для выполнения логических преобразований.

4. Двоичная арифметика проще десятичной.

Недостатки двоичной системы счисления

Итак, код числа, записанного в двоичной системе счисления представляет собой последовательность из 0 и 1. Большие числа занимают достаточно большое число разрядов.
Быстрый рост числа разрядов - самый существенный недостаток двоичной системы счисления.

Задания

1. Составьте таблицу соответствия десятичной и двоичной систем счисления для начала ряда чисел от 0 до 15 . Запишите ее в тетрадь.

Проверьте правильность заполненной таблицы.

2. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную:

1) 513 2) 600 3) 602 4) 1000 5) 2304 6) 5001 7) 7000

Ответы:

1) 1000000001 2) 1001011000 3) 1001011010 4) 1111101000
5) 100100000000 6) 1001110001001 7) 1101101011000

3. Некогда был пруд, в центре которого рос один лист водяной лилии. Каждый день число таких листьев удваивалось, и на десятый день поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколько дней понадобилось, чтобы заполнить листьями половину пруда? Сосчитайте, сколько листьев выросло к десятому дню.

4. Переведите следующие числа из двоичной системы счисления в десятичную:

1) 1000 2) 0001 3) 0110

4) 0011 5) 0101 6) 0111

7) 0100 8) 1001 9) 0010

Система счисления(СС) - это система записи чисел с помощью определенного набора цифр.CС называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, которое определяется ее местом в числе. Десятичная СС является позиционной: 999.Римская СС является непозиционной. Значение цифры Х в числе ХХІ остается неизменным при вариации ее положения в числе.Количество различных цифр, употребляемых в позиционной СС, называется основанием СС.

Развернутая форма числа - это запись, которая представляют собой сумму произведений цифр числа на значение позиций.

Развернутая форма записи чисел произвольной системы счисления имеет вид

, где

X - число;
a - основа системыисчисления;
i - индекс;
m - количество разрядов числа дробной части;
n - количество разрядов числа целой части.

Например: 327.46 n=3, m=2, q=10

Если основание используемой СС больше десяти, то для цифр вводят условное обозначение со скобкой вверху или буквенное обозначение.

Например: если 10=А, а 11=В, то число 7А.5В₁₂ можно расписать так:

7А.5В₁₂ = В·12 -2 + 5 ·2 -1 +А ·12 0 + 7 ·12 1 .

В шестнадцатеричной СС основа - это цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 с соответствующими обозначениями 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Примеры чисел: 17D.ECH, F12AH.

ДвоичнаяСС- это система, в которой для записи чисел используются две цифры 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число 2.

Двоичный код числа - запись этого числа в двоичной системе счисления. Например,

В ВТ применяют позиционные СС с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. Для обозначения используемой СС число снабжают верхним или нижним индексом, в котором записывают основание СС. Другой способ – использование латинских букв после записи числа:

D – десятичная СС
В – двоичная СС
О – восьмеричная СС
Н – 16-ричная СС.

Несмотря на то, что 10-тичная СС имеет широкое распространение, цифровые ЭВМ строятся на двоичных элементах, т.к. реализовать элементы с 10 четко различимыми состояниями сложно. Историческое развитие ВТ сложилось таким образом, что ЭВМ строятся на базе двоичных цифровых устройств: триггеров, регистров, счетчиков, логических элементов и т.д.

Задача перевода из одной СС в другую часто встречается при программировании, особенно, на языке Ассемблера. Например, при определении адреса ячейки памяти. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Паскаль, Бейсик, Си, HTML требуют задания параметров в 16-ричной СС. Для непосредственного редактирования данных, записанных на жесткий диск, также необходимо умение работать с 16-ричными числами. Отыскать неисправность в ЭВМ невозможно без представлений о двоичной СС.

Простота выполнения различных операций и процессов обработки, хранения и передачи данных при помощи компьютера.

Главное преимущество двоичной системы это её простота и удобство.

Недостатки двоичной системы счисления:

Слишком длинные числа с однообразными знаками в которых человеку будет слишком трудно разобраться.

Долгий перевод из 10-ой системы счисления в 2-ую систему счисления и обратно.

Написать правильный и достоверный ответ;
Отвечать подробно и ясно, чтобы ответ принес наибольшую пользу;
Писать грамотно, поскольку ответы без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок лучше воспринимаются.

Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.

1. Преимущества
В технике известно большое количество несложных устройств, имеющих два устойчивых состояния, назовем их условно 0 и 1, что очень хорошо укладывается в рамки двоичной системы счисления. Устройства с двумя устойчивыми состояниями надежны и в максимально возможной степени защищены от помех, ведь надо только отличать одно состояние от другого. "Есть ток - нет тока", "кран открыт - кран закрыт", "намагниченность есть - нет", "свет есть - нет" и т. п. Поэтому на базе таких элементов можно легко создавать устройства вычислительной техники и автоматики. Кроме того, на базе по сути двоичной логики "И - ИЛИ - НЕ" строятся логические цепи.

2. Недостатки
Человек привык пользоваться десятичной системой счисления. Десятичная запись короче двоичной в раза, т. е. в среднем десятичному числу из 10 цифр соответствует двоичное 33-разрядное число. Такая запись громоздка и в ней неудобно производить операции. Этот недостаток немного компенсируется тем, что в двоичной системе правила арифметики очень просты, а таблицы сложения и умножения содержат всего по четыре элемента.

Преимуществ нет и быть не может в двойной системе. Если бы не компьютеры так об этой системе и не слышали.

Преимущество в том что в двоичном коде хранится информация в компьютерах, а недостаток в ее громоздкости.

Здравствуйте, в этой статье мы поговорим про такую важную тему, как двоичная система исчисления, называемую также бинарным кодом. Всем, кто хочет идти работать в ай-ти сферу должны обязательно разобраться в этом разделе, а для всех остальных будет полезно ознакомиться для общего развития, с представленной ниже информацией.

Я попытаюсь дать все необходимые понятия, и попытаюсь подробно разжевать их, чтобы у вас не осталось никаких вопросов. Попробую дополнить всё примерами, а самые сложные моменты попытаюсь объяснить на пальцах. После прочтения вы узнаете о представлении чисел в двоичном коде, некоторые особенности и полезные свойства этой системы счисления, отрасли, где она применяется и краткую теорию её становления в информатике.

Экскурс в прошлое

Минимально необходимый теоретический базис

Для того чтобы полностью разобраться с двоичным исчислением нужно разобрать, или повторить основные определения. Это будет фундаментом для того, чтобы вы смогли понять то, что дальше написано. К ним относятся такие понятия как:

Цифры – знаки с помощью которых мы записываем числа (0-9);
Алфавит – набор знаков, которые мы используем для отображения числового значения. В арабском алфавите, который используется во всем мире, знаки состоят из цифр от 0 до 9.
Разряд — место (позиция) цифры, которое она занимает. Далее я наглядно покажу, что он из себя представляет.
Основание – количество символов, которое используется, чтобы представить информацию в нужной системе счисления. Например, в шестнадцатеричном исчислении используются – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F, 16 символов.
Позиционные система счисления – системы, где значение цифры зависит от её разряда (места в числе). Например, в 1000 единица обозначает “тысячу” а в 10 “десяток”. Количество, которое обозначает знак “1” меняется.

Понимая все то, что написано выше, можно перейти к сути вопроса. Итак:

Двоичная система счисления – позиционная система с основанием 2. Для отображения чисел применяется два знака – 0 и 1.

В математике обозначается с помощью нижнего индекса, где указано основание. Выглядит это вот так . Натуральные числа представляются по следующей формуле:

Немного про то, что значат буквы в формуле:

а – цифры (нуль или единица)
n – номер последней позиции в числе. Отсчет начинаем от 0 и считаем справа налево
k – индекс позиции

Практика

Без практики объяснить, как этим пользоваться – трудно. Поэтому рассмотрим пару примеров. Однако для начала вам необходимо скачать таблицу, где значения бинарного кода представляются в десятичной форме. Я взял первую попавшуюся таблицу с интернета. Выглядеть она будет примерно так:

Задача 1: Представить 7 в двоичном коде, а потом расписать его с помощью формулы выше.

Для того чтобы это сделать надо:

Как видно из примера здесь нет ничего сложного. Давайте разберем что-нибудь посложнее, да и найдем таблицу посерьезнее. Я взял вот такую:

Задача 2: отобразить 13 в двоичной системе счисления.

Все шаги останутся точно такими же, однако я покажу другой способ для выполнения первого пункта. Принцип тот же, но он кажется мне более удобным.

Получаем что

Смотрим что в таблице:

Далее я приведу несколько свойств, которые вы сможете применить при работе с двоичной системой.

Полезные свойства

Добавляя справа нулик, вы увеличиваете числовое значение в два раза. Выглядит это как-то так:

Области применения

Заключение

На этом всё, вот вы и познакомились с двоичной системой исчисления. Здесь мы рассмотрели общие положения и научились пользоваться таблицей для проверки результатов. Также вы знаете отрасли применения. Прочитав другие материалы нашего сайта, вы сможете научиться выполнять арифметические операции, и переводить счисление с основанием два в другие нумерации. Например шестнадцатеричную и восьмеричную (основание шестнадцать и восемь). При возникновении вопросов оставляйте их в комментариях.

Читайте также: