Дифференциальные уравнения первого порядка задача коши кратко

Обновлено: 30.06.2024

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = f (x) и ее производные различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка в общем виде записывается так:

F (x,y,y',y'', . y (n) ) = 0.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = φ (x),

обращающая это уравнение в тождество.

Решение F (x,y) = 0, заданное в неявном виде, называется интегралом дифференциального уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения n - го порядка называется функция

зависящая от х и n произвольных независимых постоянных С₁,С₂. ,С_n, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

называется общим интегралом.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, которое получается из общего, если придать определенные значения произвольным постоянным, т.е. решение вида:

где С 0 ₁,С 0 ₂. ,С 0 _n - фиксированные числа.

Частным интегралом называется интеграл, полученный из общего путем

фиксирования произвольных постоянных:

где С 0 ₁,С 0 ₂. ,С 0 _n - фиксированные числа.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Краткая теория

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:

F (x,у,у') = 0. (12.1)

Если это уравнение разрешимо относительно у', то

у' = f(х,у) или dу = f(x,y)dx. (12.2)

Это уравнение можно записать так:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. (12.3)

Общим решением уравнения (12.1) называется функция

y = φ(x,C) (12.4)

от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

Ф (x,y,C ) = 0, (12.5)

называется общим интегралом.

Геометрически общее решение (и общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от одного параметра С.

Частным решением уравнения (12.1) называется решение, полученное из общего решения (12.4) при фиксированном значении С:

y = φ(x,C 0 ) (12.6)

где C 0 - фиксированное число.

Частным интегралом уравнения (1) называется интеграл, полученный из общего интеграла (5) при фиксированном значении С:

Ф (x,y,C 0 ) = 0. (12.7)

Задача Коши. Найти решение у = f (х) дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее заданным начальным условиям: у = y ₀ при х = х ₀.

Другими словами: найти интегральную кривую уравнения (1), проходящую через данную точку М₀ (х₀,y₀).

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Краткая теория

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Х(x)Y(y)dx + X₁(x)Y₁(y)dy = 0, (12.8)

где X(x) , X₁(x) - функции только от х; Y(y), Y₁(y) – функции только от у.

Уравнение (12.8) делением на произведение Y(y) X₁(x) приводится к уравнению с разделенными переменными:

(12.9)

Общий интеграл уравнения (12.9)

(12.10)

Замечание. При делении на произведение Y(y) X₁(x) можно потерять те решения уравнения (12.8), которое обращают это произведение в нуль.

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция x = a, где а есть корень уравнения X₁(x) = 0 , т.е. X₁(a) = 0 , является решением уравнения (12.8). Функция y = b, где b корень уравнения Y₁(y) = 0 , т.е. Y₁ (b) = 0, также является решением уравнения (12.8). Решения x = a и x = b, если они имеются, геометрически представляют собой прямые линии, соответственно параллельные оси Oy и оси Ox.

1.Проинтегрировать дифференциальное уравнение

(1+x 2 ) dy - 2xy dx = 0.

Найти частное решение, удовлетворяющее условию: y = 1 при x = 0 .

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (коэффициент при dy - функция только от х , при dx – произведение функций, одна из которых зависит только от х , другая - только от у). Разделив обе части уравнения на произведение у (1+x 2 ), получим уравнение с разделенными переменными

Интегрируя это уравнение, находим

ln |y| - ln (1+x 2 ) = ln |C| или

откуда получаем общее решение: у = C (1+x 2 ).

Чтобы найти искомое частное решение, достаточно определить значение С по начальным условиям: 1 = C (1+0), C = 1.

Следовательно, частное решение имеет вид

Замечание.При делении на y(1 + x 2 ) предполагалось, что y(1+x 2 ) ≠ 0, т.е. y ≠ 0, 1+x 2 ≠ 0. Но у = 0 - решение уравнения, в чем можно непосредственно убедиться. Это решение получается из общего при С = 0.

2.Найти общий интеграл дифференциального уравнения

(xy 2 + x)dx + (y - x 2 y)dy = 0.

Вынося соответствующие множители за скобки, данное уравнение можно

записать так: x(y 2 +1)dx + y(1 - x 2 )dy = 0,

откуда видно, что это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части последнего уравнения на произведение (y 2 + 1)(1 - x 2 ) ≠ 0 , получим

Интегрируя это уравнение, находим

- ln |1- x 2 | + ln |1 + y 2 | = ln |C| или

откуда получаем общий интеграл: 1 + y 2 = C(1 - x 2 ).

Проинтегрировать дифференциальные уравнения, найти указанные частные решения и построить их:

12.1. при .

12.2. при .

12.3. при .

12.4. при .

12.5. при .

12.6. при .

Проинтегрировать дифференциальные уравнения с разделяющими переменными:

12.7. 12.8. .12.9. .

12.10. .12.11. . 12.12. .

Глава 12. Дифференциальные уравнения

12.1. Основные понятия

Краткая теория

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка в общем виде записывается так:

F (x,y,y',y'', . y (n) ) = 0.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = φ (x),

обращающая это уравнение в тождество.

Решение F (x,y) = 0, заданное в неявном виде, называется интегралом дифференциального уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения n - го порядка называется функция

зависящая от х и n произвольных независимых постоянных С₁,С₂. ,С_n, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

называется общим интегралом.

где С 0 ₁,С 0 ₂. ,С 0 _n - фиксированные числа.

Частным интегралом называется интеграл, полученный из общего путем

фиксирования произвольных постоянных:

где С 0 ₁,С 0 ₂. ,С 0 _n - фиксированные числа.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Краткая теория

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:

F (x,у,у') = 0. (12.1)

Если это уравнение разрешимо относительно у', то

у' = f(х,у) или dу = f(x,y)dx. (12.2)

Это уравнение можно записать так:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. (12.3)

Общим решением уравнения (12.1) называется функция

y = φ(x,C) (12.4)

от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

Ф (x,y,C ) = 0, (12.5)

называется общим интегралом.

y = φ(x,C 0 ) (12.6)

где C 0 - фиксированное число.

Ф (x,y,C 0 ) = 0. (12.7)

Другими словами: найти интегральную кривую уравнения (1), проходящую через данную точку М₀ (х₀,y₀).

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Краткая теория

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Х(x)Y(y)dx + X₁(x)Y₁(y)dy = 0, (12.8)

где X(x) , X₁(x) - функции только от х; Y(y), Y₁(y) – функции только от у.

Уравнение (12.8) делением на произведение Y(y) X₁(x) приводится к уравнению с разделенными переменными:

(12.9)

Общий интеграл уравнения (12.9)

(12.10)

1.Проинтегрировать дифференциальное уравнение

(1+x 2 ) dy - 2xy dx = 0.

Найти частное решение, удовлетворяющее условию: y = 1 при x = 0 .

Интегрируя это уравнение, находим

ln |y| - ln (1+x 2 ) = ln |C| или

откуда получаем общее решение: у = C (1+x 2 ).

Чтобы найти искомое частное решение, достаточно определить значение С по начальным условиям: 1 = C (1+0), C = 1.

Следовательно, частное решение имеет вид

2.Найти общий интеграл дифференциального уравнения

(xy 2 + x)dx + (y - x 2 y)dy = 0.

Вынося соответствующие множители за скобки, данное уравнение можно

записать так: x(y 2 +1)dx + y(1 - x 2 )dy = 0,

Интегрируя это уравнение, находим

- ln |1- x 2 | + ln |1 + y 2 | = ln |C| или

откуда получаем общий интеграл: 1 + y 2 = C(1 - x 2 ).

Проинтегрировать дифференциальные уравнения, найти указанные частные решения и построить их:

12.1. при .

12.2. при .

12.3. при .

12.4. при .

12.5. при .

12.6. при .

Проинтегрировать дифференциальные уравнения с разделяющими переменными:

12.7. 12.8. .12.9. .

12.10. .12.11. . 12.12. .

Принцип и понятие

Под задачей Коши для дифференциального уравнения понимают выражение вида: y' = f (x, y) с начальным условием, соответствующим равенству: y (x0) = y0. По сути, это обозначает, что необходимо найти такое решение уравнения, которое проходит через заданную точку игрек и икс нулевое. Решением задачи называется функция, заданная на указанном интервале в окрестности точки икс нулевое, то есть: x Є (x0 — q, x0 + q).

Для проведения анализа функции должны выполняться следующие критерии:

y (x0) = y0;
y' = f (x, y (x));
V x Є (x0 — q, x0 + q).

Следует отметить, что решение Коши включает в себя и сам интервал икс нулевое плюс минус кью, фактически q-окрестность. Это обозначает, что одна и та же функция, задаваемая одной формулой, но рассматриваемая на разных интервалах, представляет два разных нахождения задачи Коши. Отсюда возникает вопрос, при каких же ответах существует решение Коши, а также когда оно будет единственным.

Существует теорема, гарантирующая единственность какого-то решения задачи. На самом деле возможность аналитического подхода Коши требует лишь главного условия, при котором функция f будет непрерывной в какой-то окрестности точки x0, y0. Но для доказательства единственности этого недостаточно. Для нормального случая необходимо следующее:

Функция f (x, y) непрерывна в некоторой окрестности точки (x0, y0).
Существует такая константа C, что для любых точек икс и игрек выполняется неравенство: |f (x, y) — f (x2, y2)| ⩽ C |y1 — y2|.

По игреку функция должна иметь обыкновенный рост, то есть не убыстряющийся (локальный подъём не превышать линейный). Если эти два условия выполняются, то решение Коши существует и оно будет единственным. Это значит, что тогда у точки икс нулевое найдётся такая окрестность, в которой существует решение и к тому же оно будет единственным.

А это обозначает, что любая другая функция в этой окрестности, удовлетворяющая уравнениям начальных условий, совпадает с той, существование которой утверждается. При этом на практике проверка условия на самом деле вещь не очень сложная, особенно если функция f (y) имеет в окрестности ограниченную производную.

Алгоритм нахождения

Пусть имеется функция у' = 2 * √ |y| и условие что y (0) = 0. Необходимо её исследовать. Тут можно заметить, что в этом случае функция зависит только от игрека и условию не удовлетворяет. В окрестностях точки с координатами (0, 0) она не удовлетворяет условию, так как любая окрестность захватывает ноль, а у корня квадратного по игреку будет бесконечная производная.

Это приводит не к единственности получения результатов. Так, у уравнения есть два решения: y1 тождественный нулю; y2 равняется x2. Согласно условию, игрек стоит по модулю, точнее, можно сказать, что для отрицательных значений икс будет меньше ноля, а положительных — больше.

Главный же вопрос заключается в продолжаемости анализа. Доказывается возможность простым построением решения с использованием специальных условий. В итоге должна быть найдена окрестность в точке x0. То есть берётся уравнение и точка с начальными координатами, затем выясняется, что в окрестности выполнены условия теоремы и строится решение.

Затем исследуется другая точка и изучается структура её окрестности. Например, обнаруживается, что условия существования единственности выполняются. Согласно теореме, тогда можно будет строить решение, где в качестве начальной точки будет взята любая координата. Другими словами, получается более широкое решение. Поэтому возникает вопрос, насколько можно приблизить точность ответа. Практические примеры показывают, что иногда можно двигаться до бесконечности, а в некоторых случаях сделать не более трёх шагов.

Если есть два уравнения y' = f (x, y); y (x0) = y0 имеющие два решения: y1 (x), x Є I1 (эX), y2 (x), x єI2 (єX0). Тогда можно утверждать, что игрек два будет продолжением решения y1 (x) если в I2 входит I1, а y2 (x) равняется y1 (x) для любого икс из интервала I1. Следует учесть, что в этом определении в качестве областей функции всегда рассматривается интервал.

В изучении исследуются и матричные функциональные системы, состоящие из нескольких переменных A (z 1, z 2, …, zn). При этом z являются вещественными, а элементы матрицы могут быть как вещественными, так и комплексными. Исходя из этого даётся определение того, что функция, описываемая матрицей, непрерывна тогда, когда все элементы непрерывны в точке или на некотором множестве.

При определении используют численные и векторные функции от аргумента: y = (x), где y — это столбец от набора игреков, а икс со штрихом — от набора иксов. Таким образом, обобщённым решением будет такое действие, которое не будет иметь нетривиального продолжения, то есть вторые интервалы содержать первые.

Примеры задач

На практических занятиях по высшей математике студентам предлагается для понимания курса выполнить ряд практических заданий. Существует типовой набор задач, научившись решать которые учащийся досконально разберётся в теме. Вот некоторые из них.

Первый пример. Имеется уравнение y' = (2y / x lnx) + 1/x, для которого установлено начальное условие y (e) = 0. Необходимо найти решение, проходящее через точку e. Перед тем как приступить непосредственно к решению, необходимо отметить, что функция f (x, y) определённа всюду, за исключением прямых x = 0 и x = 1. Отсюда следует, что краевое решение не может быть вычислено на интервале от нуля до единицы.

В этом примере должен содержаться интервал, имеющий координату точки e по иксу. Он не может включать значения меньше единицы, так как необходимо, чтобы выполнялось заданное условием уравнение, которое в точке x = 1 теряет смысл, ведь в ней функция неопределённа. Установив это, можно переходить к анализу уравнения.

Заданное равенство является линейным — неоднородным уравнением первого порядка. Для решения нужно сначала рассмотреть левое соотношение: y' = 2y / x * lnx. Добавив константу, уравнение можно переписать как y = c * e. Теперь необходимо взять интеграл исходя из первообразной формулы: ∫ 2 dx / (x *lnx).

После того как будет найдена постоянная, через общий интегральный метод с учётом условия определения функции, уравнение в окрестности точки e будет иметь решение вида: y = ln2x — lnx. Из полученного выражения можно сделать вывод, что функция будет определена для всех положительных иксов, но рассматривать её необходимо от единицы до плюс бесконечности. Это и будет максимальное непродолжаемое решение задачи: xЄ (1, + ∞).

Второй пример. Пусть имеется функция y' = y / (1+x 2 ) с начальным условием: y = y (0). В задании нужно будет рассмотреть дифференциальную кривую уравнения, проходящего через точку y0. Нужно заметить, что функция f (x, y) в любой ограниченной области двумерной плоскости удовлетворяет условию регулярности для теоремы существования единственности. В задаче спрашивается, каким должен быть y0, если предел максимального решения при иксе, стремящемся к плюс бесконечности, равняется единице.

Учитывая, что в этой постановке заложено, чтобы решение было определённо до плюс бесконечности и то, что уравнение является однородно линейным, по общей формуле особое решение будет иметь вид: y = c * e arctgx . Игрек нулевое не может равняться нулю, ведь в ином случае решением уравнения будет тождественный ноль и заданное условие выполняться не будет. В итоге получится, что y = y0 * e arctgx . Это решение и является подходящей функцией для любого интервала.

Операционный метод

Решение задачи Коши (примеров) целесообразно выполнять экономичным методом интегрирования линейных выражений, содержащих постоянные коэффициенты. Суть способа сводится к решению алгебраических равенств или неравенств. Алгоритм исследования заключается в следующих действиях:

Функции Y (p) и F (p) обозначают как изображения для y (x) и f (x).
Используя главные преобразования Лапласа, обрабатывая изображения, получают (pn (Yp) — p n -1 y 0 — …- yn -1) + a 1 (p n -1 y (p) — p n -2 y 0 — … — yn -2) + … + anY (p) = F (p) или, A (p)Y (p)+B (p) = F (p), причём A (p) и B (p) являются многочленами.
Найденное решение y (p) = (F (p) — B (p)) / A (p) и будет искомым y (x) для искомого y (p).

Например, пусть необходимо решить уравнение вида: x'' + 4x = sin (2t), при x (0) = 1, x'(0) = -2. Классическим методом находить ответ довольно трудоёмко, поэтому имеет смысл для заданного уравнения использовать операционное исчисление. Для начала следует ввести замену Lx = x. Затем к обеим частям равенства применить преобразование Лапласа: Lx '' + L 4 x = L * sin (2 t). Отсюда: Lx = x, Lx '' = p 2 x — px (0) — x'(0). Функция Лапласа используется для преобразования вещественной переменной в выражение с комплексной переменной и наоборот. Это и позволяет использовать её при решениях дифференциальных уравнений и систем.

На следующем этапе нужно подставить исходные данные в равенство: Lx'' = p 2 x — p + 2. Далее, следует выполнить преобразование и выразить неизвестную функцию. В итоге должно получиться выражение: X = (p 3 — 2 p 2 — 4 p — 6) / (p 2 + 4) 2 . Теперь можно найти оригинал изображений: x = L-1 <(p3 — 2p2 + 4p — 6) / (p2+4)2)>= cos (2t) — sin (2t) + (sin (2t) — 2tcos (2t))/8.

Использование онлайн-калькулятора

Часто решение задач по рассматриваемой теме связано с большими трудозатратами. Это касается времени и повышенного внимания. На практике не всегда получается правильно применить алгоритм и избежать ошибок. Поэтому имеет смысл для сложных заданий использовать онлайн-калькулятор. Решения на задачу Коши с его помощью доступны любому заинтересованному, имеющему доступ к интернету и устройство, поддерживающее работу веб-обозревателя.

В интернете существует довольно большое количество различных математических онлайн-решителей. В своём большинстве они бесплатны и ориентированы на работу даже с людьми, совершенно не разбирающимися в тематике. Поэтому они привлекательны не только как инструмент, предоставляющий быстрый и правильный ответ на поставленную задачу, но и как обучающие программы.

Всё дело в том, что на страницах сервисов, предлагающих такого рода услуги, содержится вся необходимая теоретическая информация. Кроме этого, они предлагают к рассмотрению типовые примеры с подробным объяснением решения. Из онлайн-калькуляторов, предоставляющих бесплатный доступ к своим услугам в русском сегменте интернета, можно отметить следующие:

Math.semestr.
Allcalc.
Kontrolnaya-rabota.
Matematikam.
Primat.

Для правильной записи уравнения существуют подсказки, так что разобраться, как работает сайт, сможет пользователь даже со слабой компьютерной подготовкой. Кроме этого, некоторые сервисы предлагают не просто ответ, а и пошаговое решение, к которому даётся комментарий. Решив несколько заданий, учащийся сможет разобраться в алгоритме и вычислять уравнения уже самостоятельно.

Следует отметить, что предложенные сервисы могут находить ответ для любой сложности математической задачи, например, вычисляя устойчивость математических моделей. Они также востребованы в инженерии и научных исследованиях, связанных с анализом функций. Для таких расчётов важны точность и время, что вполне могут обеспечить математические онлайн-сервисы.

Читайте также: