Чтобы построить график линейной функции нужно ответ кратко

Обновлено: 07.07.2024

Графиком функции называется множество точек плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента $x$, а ординаты – соответствующим значениям функции $y$.

Как мы уже выяснили, график линейной функции представляет из себя прямую линию.

Построение графиков

Для его построения нет необходимости находить координаты более двух точек. То есть, чтобы построить график линейной функции, достаточно подставить в заданную формулу всего два значения $x$

Подставить в функцию 2 любых значения $x$ и получить соответствующие значения $y$.
Мы получили координаты 2 точек. Отметим их на координатной плоскости.
Проведём через эти 2 точки прямую линию.

Построим график функции $y=2x+1$

Для удобства состоим таблицу значений $x$ и $y$.

Переменная	Значение 1	Значение 2
$x$
$y$

Какие $x$ взять? Удобно брать небольшие числа, например $0$ и $1$

Переменная	Значение 1	Значение 2
$x$	$\color0$	$\color1$
$y$

Теперь нужно посчитать $y$. Подставляем по очереди 2 значения $x$ в нашу функцию:

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое линейная функция.

Начнем с небольшой проверки:

Приступим к покорению линий и графиков!

График линейной функции — коротко о главном

График линейной функции – прямая линия. Прямую можно провести через две точки.

Чтобы построить график линейной функции вида y=kx+b, нужно:

вычислить координаты любых двух точек (взять любые два значения аргумента x и вычислить соответствующие два значения y,
для каждой пары ( x;y ) найти точку в системе координат, и провести прямую через эти две точки.

Рассмотрим пример для функции $ y=2x+1$:

Проще всего найти функцию, если аргумент: $ x=0:y\left( 0 \right)=2\cdot 0+1=1$.

Итак, первая точка имеет координаты $ \left( 0;1 \right)$.

Теперь возьмем любое другое число в качестве $ x$, например, $ x=1:y\left( 1 \right)=2\cdot 1+1=3$.

Вторая точка имеет координаты $ \left( 1;3 \right)$.

Угловой коэффициент $ \displaystyle k$ – это тангенс угла наклона прямой.

Для его нахождения выберем две точки $ \displaystyle A$ и $ \displaystyle B$ на графике и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой $ \displaystyle AB$

$ \displaystyle k=tg\alpha =\frac=\frac=2$

Построение графика линейной функции

Итак, ты уже умеешь обращаться с линейной функцией, анализировать ее график и строить его по точкам. Кстати, сколько нужно точек, чтобы построить график линейной функции?

Скажу сразу, эта тема настолько простая, что много нового ты здесь не выучишь. Но ты научишься не теряться во всяких нестандартных ситуациях.

Итак, дамы и господа, линейная функция:

Построение графика линейной функции: ты берешь два каких-либо икса, (например, $ \displaystyle 0$ и $ \displaystyle 1$), подставляешь их в формулу, находишь соответствующие игреки.

Затем отмечаешь эти две точки на координатной плоскости, прикладываешь линейку, и график готов. Просто и быстро, и ничего выдумывать не надо.

Но бывает, что функция задана по-другому, например, неявно. Сейчас разберем, как быстро справляться с такими ситуациями.

Пример неявно заданной линейной функции

Постройте график уравнения $ \displaystyle 2y+3x=6$.

Ну а что тут сложного? Чтобы произвести построение графика линейной функции выражаем y и строим по точкам.

Это да, но можно сделать проще и интересней!

Выясним, в какой точке эта прямая будет пересекать ось $ \displaystyle Ox$.

Что характерно для этой точке? Правильно, $ \displaystyle y=0$. Так и пишем:

$ \displaystyle 2\cdot 0+3x=6\text< >\Rightarrow \text< >x=2$

А теперь проделаем то же самое с другой осью: в какой точке график пересекает ось $ \displaystyle Oy$?

$ \displaystyle x=0\text< >\Rightarrow \text< >2y+3\cdot 0=6\text< >\Rightarrow \text< >y=3$

Бум! Вот и они – две точки графика. Осталось только приложить линейку:

Согласись, это было быстро и просто!

А теперь сам:

Ладно, а как еще можно задать функцию?

Ну, например словесно:

Прямая проходит через точку $ \displaystyle A\left( 2;3 \right)$, а ее угловой коэффициент равен $ \displaystyle 0,75$.

Ну что же, вспоминаем: что такое угловой коэффициент?

Что такое угловой коэффициент

Это, с одной стороны, коэффициент при $ \displaystyle x$, а с другой – это тангенс угла между прямой и осью $ \displaystyle Ox$.

Вот это мы и используем когда делаем построение графика линейной функции: ставим точку $ \displaystyle A$, и рисуем прямоугольный треугольник так, что один его катет параллелен оси $ \displaystyle Ox$, а другой – перпендикулярен.

При этом второй катет должен быть ровно в $ \displaystyle 0,75$ раз больше первого.

Очень удобно в этом случае, чтобы первый катет был равен $ \displaystyle 4$, тогда второй будет равен $ \displaystyle 3$:

4 примера построения графика линейных функций

Пример №1

Прямая, уравнение которой имеет вид $ y=-2x+b$ ($ b$ неизвестно), проходит через точку $ M\left( 1;2 \right)$. Постройте ее.

Должно получиться вот так:

Пример №2

Произведи построение графика линейной функции и найди уравнение прямой, проходящей через точку $ A\left( 3;1 \right)$ и параллельной прямой $ y=-1,5x+1$.

Строить график прямой $ y=-1,5x+1$ нельзя.

О, это что-то новенькое. Про параллельность прямых мы еще не учили.

Но как обычно, все просто. Нарисуем несколько параллельных прямых на координатной плоскости:

Что у них общего? Вообще, какие параметры важны для графиков? Конечно же, коэффициенты $ k$ и $ b$.

И сразу становится ясно: раз $ k$ отвечает за наклон, а наклон у них одинаковый (это же параллельные прямые, а ось $ Ox$ – секущая), значит, у них одинаковый коэффициент $ k$!

Вернемся к задаче. Напомню условие:

Итак, угловой коэффициент нашей прямой $ y=-1,5x+1$ равен угловому коэффициенту прямой , то есть $ -1,5$. Теперь задача становится точь в точь как мы решали до этого:

Построение графика линейной функции: ты берешь два каких-либо икса, , подставляешь их в формулу, находишь соответствующие игреки.

Постройте график уравнения 2y+3x=6 \displaystyle 2y+3x=6 2y+3x=6 .

Ну а что тут сложного? Чтобы произвести построение графика линейной функции выражаем y и строим по точкам. Это да, но можно сделать проще и интересней.

Выясним, в какой точке эта прямая будет пересекать ось Ox \displaystyle Ox Ox . Что характерно для этой точке? Правильно, y=0 \displaystyle y=0 y=0 . Так и пишем:

2⋅0+3x=6 ⇒ x=2 \displaystyle 2\cdot 0+3x=6\text< >\Rightarrow \text< >x=2 2⋅0+3x=6 ⇒ x=2

А теперь проделаем то же самое с другой осью: в какой точке график пересекает ось Oy \displaystyle Oy Oy ?

x=0 ⇒ 2y+3⋅0=6 ⇒ y=3 \displaystyle x=0\text< >\Rightarrow \text< >2y+3\cdot 0=6\text< >\Rightarrow \text< >y=3 x=0 ⇒ 2y+3⋅0=6 ⇒ y=3

Важно!

Запомните!

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Важно!

Отметим полученные точки на системе координат.

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Запомните!

Запишем полученные результаты в таблицу.

Как проверить, проходит ли график через точку

Рассмотрим другое задание.

Запомните!

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.

Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.

Как найти точки пересечения графика с осями

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Запомните!

Важно!

Читайте также: