Частные производные функции нескольких переменных кратко
Обновлено: 05.07.2024
Простое объяснение принципов решения частных производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения частных производных
Вычисление частной производной функции из нескольких переменных осуществляется по тем же правилам, что и функций с одной переменной. Разница лишь той, что другие переменные не участвуют дифференцировании (вычислении производной).
Проще говоря, чтобы найти частную производную функции по переменной ,переменную будем считать константой (производная константы равна нулю), после чего находим производную функции по с помощью таблицы производных элементарных функций – . Готово!
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Примеры решения частных производных
Найти частные производные функции .
Частная производная функции по независимой переменной :
Производная суммы равна сумме производных. Производная от вычисляется по правилам вычислений производных функций одного аргумента, производная от слагаемого вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент считается константой. Производная от слагаемого вычисляется как производная от константы.
Частная производная функции по независимой переменной :
Здесь вычисления также происходят по правилам вычисления производной суммы. Производная от вычисляется как производная от константы (независимым аргументом при этом считается ). Производная от слагаемого вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент считается константой, а – независимым аргументом. Вычисление производной от слагаемого осуществляется по правилам вычисления производных функций с одним аргументом.
Найти частные производные функции .
Найдём частную производную функции по независимой переменной :
Функция является сложной. Производной показательной функции с основанием является сама функция. Производная показателя степени вычисляется в при условии, что является константой и равна . Производная функции равна произведению и . В результате получаем:
Найдём частную производную функции по независимой переменной :
По аналогии с предыдущим случаем производная функции будет равна произведению производных от функции и показателя её степени :
Считая постоянной величиной, находим производную по независимому аргументу :
Найти частные производные функции .
Частная производная функции по независимой переменной будет равна производной от . Производная от слагаемого при этом будет равна нулю как производная от константы.
Частная производная функции по независимой переменной находится аналогичным образом, при этом предполагается, что является константой.
Найти частные производные функции .
Частная производная функции по независимой переменной определяется слагаемым . Производная второго слагаемого – равна нулю, как производная от константы.
В свою очередь, частная производная функции по независимой переменной будет определяться обоими слагаемым:
Таким образом, окончательно получаем:
Найти частные производные функции .
При нахождении производной по независимой переменной , функцию следует рассматривать как степенную. По правилу нахождения производной степенной функции получаем:
Производная по независимой переменной находится по правилу вычисления производной показательной функции, которая, в свою очередь, определяется по правилам нахождения производных сложных функций, т.к. переменная входит в показатель степени виде функции .
Производная показательной функции равна:
Производная показателя степени равна:
В результате получаем:
Найти частные производные функции .
Частная производная по независимой переменной находится как сумма слагаемых:
Частная производная по независимой переменной находится как сумма слагаемых:
Найти частные производные функции .
По правилу нахождения производной квадратного корня получаем, рассматривая как независимый аргумент:
Т.к. функция является сложной, то результат вычисления производной от квадратного корня – следует домножить на производную подкоренного выражения: .
Рассматривая в качестве независимого аргумента, получаем:
По аналогии с предыдущим случаем, результат вычисления производной от квадратного корня – следует домножить на производную подкоренного выражения: .
Найти частные производные функции .
Данная функция является сложной, поэтому процесс нахождения производной данной функции целесообразно производить в несколько этапов.
Производная показательной функции с основанием равна самой себе. Далее необходимо найти производную показателя степени: . В свою очередь аргумент функции арктангенс в данном случае также представляет собой сложную функцию: . Результирующая производная будет равна произведению производных трёх функций: и .
Определение. Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю.
Частная производная по от функции обозначается одним из символов
Таким образом, по определению,
Аналогично частная производная по у от функции определяется как предел отношения частного приращения функции по у к приращению при стремлении к нулю. Частная производная по у обозначается одним из символов
Заметив, что вычисляется при неизменном у, при неизменном мы можем определения частных производных сформулировать так: частной производной по от функции называется производная по вычисленная в предположении, что у — постоянная. Частной производной по у от функции называется производная по у, вычисленная в предположении, что постоянная.
Из этого определения ясно, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, указанными для функций
одной переменной, и только требуется каждый раз помнить, по какой переменной ищется производная.
Пример 1. Дана функция требуется найти частные производные
Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично. Так, если имеем функцию и четырех переменных
На данном уроке мы продолжим знакомство с функцией двух переменных и рассмотрим, пожалуй, самое распространенное тематическое задание – нахождение частных производных первого и второго порядка, а также полного дифференциала функции. Студенты-заочники, как правило, сталкиваются с частными производными на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим наблюдениям, задание на нахождение частных производных практически всегда встречается на экзамене.
Быстренько повторим понятие функции двух переменных, я постараюсь ограничиться самым минимумом. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные , называются независимыми переменными или аргументами.
Пример: – функция двух переменных.
Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы используется буква .
Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас:
Найти частные производные первого и второго порядка функции
Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.
Комментарии к выполненным действиям:
(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.
Далее данный шаг комментироваться не будет, все сделанные замечания справедливы для любого примера по рассматриваемой теме.
(3) Используем табличные производные и .
(1) Используем те же правила дифференцирования , . В первом слагаемом выносим константу за знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку – уже константа.
В чём смысл частных производных?
! Примечание: здесь подразумеваются направления, которые параллельны координатным осям.
Систематизируем элементарные прикладные правила:
1) Когда мы дифференцируем по , то переменная считается константой.
2) Когда же дифференцирование осуществляется по , то константой считается .
3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной (, либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.
Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре.
Со второй производной нет никаких проблем. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной.
Для удобства я перепишу уже найденные частные производные первого порядка:
Сначала найдем смешанные производные:
В практических примерах можно ориентироваться на следующее равенство:
Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка.
Следует отметить, что при нахождении , нужно проявить повышенное внимание, так как никаких чудесных равенств для их проверки не существует.
Вторые производные также находят широкое практическое применение, в частности, они используются в задаче отыскания экстремумов функции двух переменных. Но всему своё время:
Вычислить частные производные первого порядка функции в точке . Найти производные второго порядка.
Набиваем руку на более сложных примерах:
Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .
Решение: Находим частные производные первого порядка:
(1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае и , а, значит, и их произведение считается постоянным числом.
(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.
(1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является .
(2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения .
(3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: .
Теперь находим смешанные производные второго порядка:
, значит, все вычисления выполнены верно.
Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.
Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:
В данном случае:
То есть, в формулу нужно тупо просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов и в этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях:
И по неоднократным просьбам читателей, полный дифференциал второго порядка.
Он выглядит так:
Ничего страшного, если что-то показалось трудным, к производным всегда можно вернуться позже, после того, как поднимите технику дифференцирования:
Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.
Рассмотрим серию примеров со сложными функциями:
Найти частные производные первого порядка функции .
Записать полный дифференциал .
(1) Применяем правило дифференцирования сложной функции . С урока Производная сложной функции следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение (внутренняя функция) у нас не меняется.
(2) Здесь используем свойство корней: , выносим константу за знак производной, а корень представляем в нужном для дифференцирования виде.
Запишем полный дифференциал первого порядка:
Найти частные производные первого порядка функции .
Записать полный дифференциал .
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое
Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации.
Найти частные производные первого порядка функции .
(1) Используем правило дифференцирования суммы
Для тех читателей, которые мужественно добрались почти до конца урока, расскажу старый мехматовский анекдот для разрядки:
Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает:
– А почему это ты от меня никуда не убегаешь?
На что злобная производная с коварной улыбкой отвечает:
Найти частные производные первого порядка функции .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.
Ну вот почти и всё. Напоследок не могу не обрадовать любителей математики еще одним примером. Дело даже не в любителях, у всех разный уровень математической подготовки – встречаются люди (и не так уж редко), которые любят потягаться с заданиями посложнее. Хотя, последний на данном уроке пример не столько сложный, сколько громоздкий с точки зрения вычислений.
Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления где-то рядом.
Что дальше? Дальше знакомимся с родственной темой – частными производными функции трёх переменных. После этого я рекомендую ДОБРОСОВЕСТНО (жить будет легче ;)) отработать технику дифференцирования на уроках Производные сложных функций нескольких переменных, Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? и Частные производные неявно заданной функции. И, наконец, обещанная вкусняшка – Производная по направлению и градиент функции. Стратегия и тактика знакомы – сначала учимся решать, затем вникаем в суть!
Решения и ответы:
Пример 4: Ссылка для просмотра или скачивания ниже.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
Понятие функции одной переменной можно обобщить на случай двух и большего числа аргументов.
Рассмотрим значения и Если задан закон, согласно которому каждой паре ставится в соответствие единственное числовое значение то говорят, что задана функция двух переменных. Обычно такая функция обозначается в виде
Для функций нескольких переменных вводится понятие частной производной первого порядка, то есть производной функции по одной из переменной при условии, что остальные переменные фиксированы, то есть являются константами. Например, для функции двух переменных рассматриваются частные производные по переменной и по переменной Они обозначаются соответственно:
Последние две производные называются смешанными производными.
Если смешанные частные производные являются непрерывными функциями, то они не зависят от порядка дифференцирования, то есть имеет место равенство
![\[ \frac<\partial^2 z></p>
<p> <\partial x \partial y>= \frac<\partial^2 z> <\partial y \partial x>\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b991ba0c527d0d03bea50babf3636b4c_l3.jpg)
Примеры вычисления частных производных
![\[ z(x; y) = \ln \frac<y></p>
<p> \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d1b1d5bb62e697c6aa167bb8bad7702d_l3.jpg)
| Задание | Найти смешанную производную функции |
| Решение | Вначале найдем частную производную первого порядка по любой из переменных, например, по |
Для нахождения смешанной производной продифференцируем теперь полученное выражение по переменной
Читайте также: