Алгебраический способ решения задач в начальной школе
Обновлено: 05.07.2024
Тема: Составление алгоритма алгебраического способа решения задач.
Исследование алгебраического способа решения задач и составление алгоритма.
Формирование действия моделирования.
Развитие компонентов УД.
1. Карточки:
арифметический способ решения;
алгебраический способ решения;
задача.
2. Фломастеры, мелки, чистые листы, магниты, компьютеры.
3. Учебные принадлежности.
Чему учимся на уроке математики?
Что уже знаем хорошо?
Чему надо учиться?
Тему урока сформулируем позже.
Откроем тетради, оформим начало работы.
1.Вспомним некоторые умения, которые помогут в дальнейшем.
Составить по схеме уравнения и записать их.
| Х | 5 | |
| 5 | 20 | 72 |
Все остальные учащиеся выполняют любое из этих заданий:
Запиши уравнения и реши их.
1.Число 40 увеличили на произведение числа 6 и неизвестного и получили 76.
2.Составьте уравнение и решите задачи.
В классе 28 учеников. Сколько мальчиков в классе, если девочек 13?
В трех вазах 27 гвоздик. В первой вазе на 3 гвоздики меньше, чем во второй вазе, и на 6 гвоздик больше, чем в третьей. Сколько гвоздик в третьей вазе?
1.187 * (33467 : 49 – 362)
Что мы должны знать об уравнении?
Для чего нужны уравнения?
2.Построение моделей к уравнениям выполняем неплохо.
Вспомним, как они решаются.
Нам поможет компьютер.
Сели за компьютер. Задания выполняем в уме.
Подумай, а потом выполняй.
Какие инструменты нам необходимы:
в конце посмотреть результаты, сравнить с прошлым.
(Даются 11 заданий: сложные уравнения на : и х в пределах 100)
Кто закончил на черновике, составляет уравнения с числами а, 8, 32, 4.
3. Нам необходимо еще вспомнить одно умение.
(арифметический способ решения задач на листочках.)
Задача. В трех одинаковых ящиках 21 кг апельсинов. Сколько апельсинов в 8 таких же ящиках?
Работаем в паре.
Модель, решение. (Можно записать выражением, можно по действиям.)
Чем пользовались?
Составление алгоритма алгебраического способа решения задач.
Постановка учебной задачи.
Скажите, а можно было решить эту задачу другим способом?
Что нужно иметь для решения алгебраическим способом?
А он есть у нас?
А может ли его составить?
Да, мы с вами уже решали задачи таким способом.
Скажите, а есть ли подсказка к составлению алгоритма?
Составляем алгоритм, записываем на листочках. Работаем в группах.
Определите, кто будет записывать, кто рассказывать.
Кто закончит, прикрепляем алгоритм на доску.
Вместе будем выбирать пункты алгоритма.
Идет самостоятельная работа по составлению алгоритма.
Выделение известных и неизвестных величин.
Установление связи между условием и вопросом.
Выражение через это неизвестное других величин.
Решение задачи способом уравнения.
Вернемся к нашей задаче, решим ее уравнением.
Х кг – в 8 ящиках
(21 : 3) кг – масса одного ящика из 3
(Х : 8) кг – масса одного ящика из 8
Уравнение: 21 : 3 = Х : 8
Упрощаем: Х : 8 = 7
Ответ: 56 кг в 8 ящиках.
Какая тема урока сегодня?
(Составление алгоритма алгебраического способа решения задач).
Учительница по труду попросила, чтобы ученики составили чертеж выкройки прямоугольной повязки для дежурства. Она сказала: “Периметр повязки – 22 см, а длина на 3 см больше, чем ширина”.
Будем строить на компьютере. (не можем)
Почему не можем? (необходимо найти ширину и длину).
Чего не хватает в данном тексте? (должен быть вопрос).
Задача: Периметр прямоугольника равен 22 см, длина на 3 см больше, чем ширина. Чему равна ширина и длина прямоугольника?
Работаем в паре. Каким способом решаем?
Строим на компьютере.
Работаем в паре.
Обучение решению задач.
( из опыта работы учителя начальных классов по программе и учебникам Н.Б.Истоминой )
Задачи (в широком смысле этого слова) играют огромную роль в жизни человека. Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди и обстоятельства жизни, направляют всю его деятельность, всю жизнь.
Мышление человека главным образом состоит из постановки и решения задач. Перефразируя Декарта, можно сказать: жить – значит ставить и решать задачи.
Особую большую роль играют задачи в обучении младших школьников математике. Решение задач выступает и как цель, и как средство.
В гимназии № 1 г. Нерюнгри в начальной школе в одном из классов обучение математике ведется по программе и учебникам Н.Б. Истоминой, которые реализуют задачи развивающего обучения, так как целенаправленно и непрерывно формируют приемы умственной деятельности: анализ, синтез, сравнение, классификацию, аналогию, обобщение в процессе усвоения математического содержания.
Активное включение приемов умственной деятельности в процессе усвоения математических знаний, умений и вычислительных навыков позволяет рассматривать:
- способы организации учебной деятельности гимназистов,
- способы познавательной деятельности школьников,
- способы включения в познавательную деятельность различных типов памяти,
- вопросы преемственности со средним звеном,
вопросы повышения качества знаний учащихся.
Выбор программы Н. Б Истоминой нами обоснован. Автор этого курса не стремится наполнить его новыми понятиями, а в основном ориентируется на объем стабильной программы и возрастные особенности младших школьников. Тем не менее, направленность курса на формирование приемов умственной деятельности потребовала усиление содержательной линии курса, которая связана с формированием у младших школьников системы понятий и общих способов действий. Это усиление нашло отражение в тематическом построении курса, что особенно связывает эту программу с программами развивающего обучения.
В формировании навыка решения задач арифметическим путем способствуют уроки, проводимые в компьютерном классе. При проведении таких уроков нами активно используется программа “Семейный наставник” и “Презентации”.
Особой популярностью в нашем классе пользуются задания по диагностике, тренировочные упражнения в решении задач, контроль и работа над ошибками. Компьютер используется на уроке в 3 классе в течение 10 – 15 минут 1 – 2 раза в неделю на различных этапах урока. Уроки с компьютерной поддержкой позволяют решать на уроке следующие задачи: повышение интереса к предмету, осуществление дифференцированного подхода, увеличение возможности проведения тренировочных и коррекционных заданий, увеличение объема проверяемого материала, облегчение процесс контроля и оценки знаний.
Программа Н. Б. Истоминой знакомит и учит решать задачи алгебраическим способом, то есть способом составления уравнения. В компьютерной программе для начальной школы "Семейный наставник" существует подборка задач для решения их алгебраическим способом. В них пошагово отрабатываются все этапы алгоритма этого способа: введение неизвестного, выражение через это неизвестное величин, о которых говорится в задаче, составление уравнения, решение его, осмысление результата и формулировка ответа.
Эта программа нами используется постоянно, так как помогает в мониторинге качества знаний учащихся по математике. Дополнительно на каждого ученика нами заводится диагностическая карта по решению задач, в которой фиксируется успешность ученика в умении решать задачи, недочеты на каждом этапе решения, как в алгебраическом, так и в арифметическом способе решения задач.
Приложение №1-2.
К сожалению, ни одна компьютерная программа не предлагает заданий на графическое моделирование текстовых задач, т.к. компьютерные программы ориентированы в большей степени на традиционную программу. Моделирование (в обучении - по Истоминой) как психологическая проблема имеет два аспекта: как содержание, как способ познания и как одно из основных учебных действий, которое является составным компонентом учебной деятельности. Сегодня мы говорим о моделировании как о средстве представления текста задачи и как о средстве поиска решения задачи. На графическое моделирование текстовых задач на уроке выделяется достаточно много времени (для этого не надо жалеть времени). Третьеклассники составляют свою программу для компьютера по моделированию.
Предлагаемый урок – исследование алгебраического способа решения задач в 3 класс, составление алгоритма этого способа. Дети должны на уроке для себя открыть этот способ и составить его алгоритм Формы работы: коллективные, парные, групповые и индивидуальные. Урок проводится в компьютерном классе с использованием программы “Семейный наставник”. Дети с самого начала урока разделены на группы по привязанности друг к другу. На партах находятся необходимые учебные принадлежности, фломастеры и четвертая часть листа ватмана для записи алгоритма алгебраического способа решения, памятка с арифметическим способом решения задачи.
Выработанная нами система работы с задачей, проведение уроков с компьютерной поддержкой дают положительные результаты: стабильно высокое качество знаний по математике в 96%, “5” у 40%учащихся, минимум ошибок при решении задач, первые и призовые места в гимназических, городских и республиканских олимпиадах (3 место по математике во второй дистанционной республиканской олимпиаде для учащихся начальной школы).
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Алгебраический метод решения текстовых задач для нахождения арифметического способа их решения
Решение текстовых задач младшими шк ольниками можно рассматривать как средство и как метод обучения, в ходе использования которых происходит усвоение содержания начального курса математики: математических понятий, смысла арифметических действий и их свойств, формирование вычислительных навыков и практических умений.
Учитель, руководящий процессом решения задач школьниками, должен прежде всего сам иметь решать задачи, а также владеть необходимыми знаниями и умениями учить этому других.
Умение решать задачи - основа математической подготовки учителя к обучению младших школьников решению текстовых задач.
Среди распространенных методов решения текстовых задач (алгебраический, арифметический и геометрический) наибольшее применение в начальных классах для большинства задач находит арифметический метод, включающий в себя различные способы их решения. Однако для учителя во многих случаях данный метод решения задач является более сложным, чем алгебраический. Связано это, в первую очередь, с тем , что из курса математики средней школы
практически исключен курс арифметики, который предусматривал формирование у школьников умения решать задачи арифметическим методом. Во-вторых, в вузовском курсе математики ему так же не уделяется должного внимания.
Вместе с тем необходимость в решении задач арифметическим методом диктуется запасом математических знаний младшего школьника, который не позволяет им решать большинство задач, применяя элементы алгебры.
Учитель способен, как правило, любую задачу решить алгебраически, однако далеко не каждый может решить любую задачу арифметически.
Вместе с тем указанные методы взаимосвязаны, и эту взаимосвязь учитель не только должен подмечать, но и использовать в своей работе. В данной статье на примере решения некоторых задач мы попытаемся показать связь алгебраического и арифметического методов решения задач, чтобы помочь учителю найти арифметический способ решения задачи, решив ее алгебраически.
Предварительно сделаем несколько замечаний:
1. Не всегда (и даже далеко не всегда) текстовая задача, решаемая алгебраическим методом, может быть решена арифметическим. Следует помнить, что решить задачу, применяя арифметический метод, можно в том случае, когда ее алгебраическая модель сводится к линейному уравнению или системе линейных уравнении.
Пример 1. Задача сводится к уравнению
вида ах + b = с.
Задача. В 8 часов утра из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч. В 11 часов из пункта В ему навстречу вышел другой поезд со скоростью 70 км/ч. В какое время поезда встретятся, если расстояние между пунктами 440 км?
Алгебраический метод приводит к уравнению: (60 + 70) х + 60 • 3 = 440 или 130х+18= 440, где х часов - время движения второго поезда до встречи. Тогда: 130 х = 440- 180= 130
х= 260, х =2 (ч).
В дальнейшем этапы решения каждой задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения задачи арифметическим методом будем параллельно записывать в таблице, которая позволит наглядно проследить, как алгебраические преобразования в «ходе решения уравнений, являющихся моделью текстовой задачи, открывают арифметический способ решения. Так, в данном случае будем иметь следующую таблицу (см. таблицу 1).
Пусть х часов - время движения второго поезда до встречи. По условию задачи получаем уравнение:
Найдем время движения первого поезда до начала движения второго поезда: 11-8=3(ч). Найдем расстояние, пройденное первым поездом за 3 часа: 60*3=180(км)
Найдем расстояние, которое осталось пройти поездам до встречи: 440-180=260(км).
Найдем время движения второго поезда: 260:130=2(ч).
Используя данные таблицы 1, получаем арифметическое решение.
= 3 (ч)- был в пути первый поезд до начала движения второго;
3 = 180 (км) - прошел первый поезд за 3 часа;
3) 440 - 180 = 260 (км) - расстояние, пройденное поездами при одновременном движении;
70 = 130 (км/ч) - скорость сближения поездов;
130 = 2 (ч) - время движения второго поезда;
6)11 + 2 = 13 (ч) - в такое время поезда встретятся.
Ответ: в 13 часов.
Пример 2. Задача сводится к уравнению вида: а 1 х +в 1 =а х+в
Задача. Школьники купили 4 книги, после чего у них осталось 40 рублей. Если бы они купили 7 таких же книг, то у них осталось бы 16 рублей. Сколько стоит одна книга?
Алгебраический метод приводит к уравнению: 4х + 40 = 7х + 16, где х - стоимость одной книги. В ходе решения данного уравнения мы проделываем следующие выкладки: 7 х - 4 х =40-16 —> Зх=24 —> х= 8, которые вместе с рассуждениями, использовавшимися при составлении уравнения, приводят к арифметическому способу решения задачи. Найдем: на сколько больше книг купили: 7-4=3 (кн.); на сколько меньше денег останется, т.е. на сколько больше денег израсходовали: 40 - 16 = 24 (р); сколько стоит одна книга: 24 : 3 = 8 (р). Проделанные рассуждения сведем в таблицу 2.
Этапы решения задачи
Этапы решения задачи арифметическим методом
Пусть х - стоимость одной книги. По условию задачи
получаем уравнение: 4х+40=7х+16.
7х-4х=40-16 (7-4)х=24 3х=24
Стоимость четырех книг и еще 40р. равна стоимости 7 книг и еще 70р.
Найдем, на сколько больше книг купили бы: 7-4=3(кн). Найдем, на сколько больше заплатили бы денег: 40-16=24(р.).
Используя данные таблицы 2, получаем арифметическое решение:
1) 7-4=3 (кн.) - на столько книг купили бы больше;
- 16 = 24 (р.) - на столько рублей заплатили бы больше;
3)24 : 3 = 8 (р.) - стоит одна книга.
Пример 3. Задача сводится к уравнению вида: ах + b x + сх = d
Задача. Турист проехал 2 200 км, причем на теплоходе проехал вдвое больше, чем на автомобиле, а на поезде в 4 раза больше, чем на теплоходе. Сколько километров проехал турист отдельно на теплоходе, автомобиле и на поезде?
Используя данные таблицы 3, получаем арифметическое решение.
Примем расстояние, которое турист проехал на автомобиле, за одну часть:
1 • 2 = 2 (ч.) – приходится на расстояние, которое преодолел турист на теплоходе;
2) 2 • 4 = 8 (ч.) – приходится на расстояние, которое преодолел турист на поезде;
3) 1+2+8=11(ч) - приходится на весь путь
Пусть х километров –расстояние, которое турист проехал на теплоходе.
По условию задачи получаем уравнение: х+2х+2*4х=2200.
Примем расстояние, которое турист проехал на автомобиле (самое меньшее), за 1 часть. Тогда расстояние, которое он проехал на теплоходе, будет соответствовать двум частям, а на поезде – 2 – 4 частям. Значит, весь путь туриста (2200 км) соответствует 1+2+8=11 (ч.).
Найдем, сколько частей составляет весь путь туриста: 1+2+8=11 (ч.).
Найдем, сколько километров приходится на одну часть: 2200:11=200 (км).
200: 11= 200 (км) - расстояние, которое преодолел турист на автомобиле;
2 = 400 (км) - расстояние, которое преодолел турист на теплоходе;
6)200 -8=1 600 (км) - расстояние, которое преодолел турист на поезде.
Ответ: 200 км, 400 км, 1 600 км.
Пример 4. Задача сводится к уравнению вида (х + а) в = сх + d .
Задача. По окончании спектакля 174 зрителя из театра разошлись пешком, а остальные поехали на трамваях в 18 вагонах, причем в каждый вагон садилось на 5 человек больше, чем было в нем мест. Если бы зрители, уезжавшие из театра на трамвае, садились в него по числу мест, то понадобилось бы еще 3 вагона, причем в последнем осталось бы 6 свободных мест. Сколько всего зрителей было в театре?
Пусть в каждом трамвае было х мест. Тогда по условию задачи имеем уравнение: (х+5)*18=х*(18+3)-6.
Преобразуем уравнение: 21х – 18х = 90+6 или 3х = 96.
В каждый вагон входило на 5 человек больше, чем было в нем мест. В 18 вагонах – на 5 * 18 = 90 человек больше. В 3 дополнительных вагона вошло 90 человек и осталось еще 6 свободных мест. Следовательно, в трех вагонах 90 + 6 = 96 мест.
Найдем количество мест в одном вагоне:
Используя данные таблицы 4, получаем арифметическое решение:
1)5•18 = 90 (чел.) - на столько человек больше, чем мест было в 18 вагонах;
90 + 6 = 96 (м.) - в трех вагонах;
96 : 3 = 32 (м.) - в одном вагоне;
32 + 5 = 37 (чел.) - было в каждом из 18 вагонов;
37 • 18 = 666 (чел.) - уехало на трамваях;
666 + 174 = 840 (чел.) - было в театре.
Ответ: 840 зрителей.
Пример 5. Задача сводится к системе уравнений вида: х+ у = а, х –у = b .
Задача. Пояс с пряжкой стоит 12 рублей, причем пояс дороже пряжки на 6 рублей.
Сколько стоит пояс, сколько стоит пряжка?
Алгебраический метод приводит к системе уравнений:
х-у=6 где х: рублей - цена пояса, у рублей - цена пряжки.
Сложив уравнения системы, мы сразу будем иметь уравнение 2х = 18.
Откуда находим стоимость пояса х = 9 (р.). Этот способ решения системы позволяет получить следующий арифметический ход рассуждений. Предположим, что пряжка стоит столько же, сколько и пояс. Тогда пряжка с поясом (или 2 пояса) будут стоить 12+6= 18 (р.) (так как на самом деле пряжка на 6 рублей стоит дешевле). Следовательно, один пояс стоит 18:2=9 (р.).
Если мы вычтем почленно из первого уравнения второе, то получим уравнение 2 у =6, откуда у = 3 (р.). В этом случае, решая задачу арифметическим методом, рассуждать следует так. Предположим, что пояс стоит столько же, сколько и пряжка. Тогда пряжка и пояс (или две пряжки) будут стоить 12-6=6 (р.) (так как на самом деле пояс на 6 рублей стоит дороже).
Следовательно, одна пряжка стоит 6:2=3 (р.)
Пусть х рублей – цена пояса, у рублей – цена пряжки. По условию задачи получаем систему уравнений:
Почленно сложив уравнения системы, получим: 2х = 12 + 6 2х = 18.
Пояс с пряжкой стоят 12р. И пояс дороже пряжки на 6р.
Предположим, что пряжка стоит столько же, сколько и пояс, тогда два пояса стоят 12 + 6 = 18 (р.).
Найдем цену пояса:
Используя данные таблицы 5, получаем арифметическое решение:
12+6= 18 (р.) - стоили бы два пояса, если бы пряжка стоила столько же, сколько и пояс;
2) 18:2=9 (р.) - стоит один пояс;
3) 12-9=3 (р.) - стоит одна пряжка.
О т в е т: 9 рублей, 3 рубля.
Пример 6. Задача сводится к системе уравнений вида:
ах + Ьу = с 1 х+у=с2
Задача. Для похода 46 школьников приготовили четырех- и шестиместные лодки. Сколько было тех и других лодок, если все ребята разместились в десяти лодках и свободных мест не осталось ?
Пусть х – количество четырехместных лодок, у – количество шестиместных лодок. По условию задачи имеем систему уравнений:
Умножаем обе части первого уравнения на 4.
Вычитаем ( почленно ) полученное уравнение из второго. Имеем:
(6 – 4) у = 46 – 40 или 2у = 6.
Всех лодок 10 и в них разместилось 46 школьников.
Предположим, что все лодки были четырехместными. Тогда м них разместилось бы 40 человек.
Найдем, на сколько больше человек вмещает шестиместная лодка, чем четырехместная: 6 – 4 = 2 (чел.). Найдем, скольким школьникам не хватит мест, если все лодки будут четырехместные: 46 – 40 = 6 (чел.).
Найдем количество шестиместных лодок: 6 : 2 = 3 (шт.).
Используя данные таблицы 6, получаем арифметическое решение:
1)4- 10 = 40 (чел.) - разместилось бы, если бы все лодки были четырехместными;
2) 6 - 4 = 2 (чел.) - на столько человек шестиместная лодка вмещает больше, чем четырехместная;
3)46 - 40 — 6 (чел.) - стольким школьникам не хватит места, если
все лодки четырехместные;
4) 6 : 2 = 3 (шт.) - было шестиместных лодок;
5) 10 - 3 = 7 (шт.) - было четырехместных лодок.
Ответ: 3 шестиместные лодки, 7 четырехместных лодок .
Пример 7. Задача сводится к системе уравнений вида: а х+Ь у=с1; а х +Ь у=с2
Задача. 3 ручки и 4 блокнота стоят 26 рублей, а 7 ручек и 6 таких же блокнотов стоят 44рубля. Сколько стоит блокнот?
Пусть х рублей – цена ручки, у рублей – цена блокнота. По условию задачи получаем систему уравнений:
Умножим обе части первого уравнения на 7. Получим:
21 х + 28 у = 182,
21 х + 18 у = 132.
Вычтем (почленно) из первого уравнения второе.
(28 – 18) у = 182 – 132 или 10 у = 50.
3 ручки и 4 блокнота стоят 26 рублей. 7 ручек и 6 блокнотов стоят 44 рубля.
Уравняем количество ручек в двух покупках. Для этого найдем наименьшее кратное чисел 3 и 7 (21). Тогда в результате первой покупки были куплены 21 ручка и 28 блокнотов, а второй – 21 ручка и 18 блокнотов. Найдем стоимость каждой покупки в этом случае:
26 * 7 = 182 (р.), 44 * 3 = 132 (р.).
Найдем, на сколько больше блокнотов было куплено в первый раз:
Найдем, на сколько больше заплатили бы при первой покупке:
Найдем, сколько стоит Блокнот:
Используя данные таблицы 7, получаем арифметическое решение:
1) 26 • 7 = 182 (р.) - стоят 21ручка и 28 блокнотов;
2) 44 • 3 = 132 (р.) - стоят 21ручка и 18 блокнотов;
3) 28 - 18 = 10 (шт.) - на столько блокнотов в первой покупке было бы больше, чем во второй;
4) 182 - 132 = 50 (р.) - стоят 10 блокнотов;
5) 50 : 10=5 (р.) - стоит блокнот.
Мы рассмотрели некоторые виды текстовых задач, встречающиеся в различных учебниках математики для начальных классов. Несмотря на кажущуюся простоту установления связи между алгебраическим и арифметическим методами, этот прием все же требует тщательной отработки со студентами на практических занятиях и кропотливой работы учителя в ходе самоподготовки к уроку.
Решение задач
Подготовка учеников к составлению уравнений не должна ограничиваться только решением простых задач. Изменения должны коснуться и методики решения составных задач.
При таком разборе ученик мысленно охватывает все решение задачи в целом, прежде чем приступить к вычислению.
Такой же подход может быть использован и при рассмотрении составных задач других видов даже в тех случаях, когда запись требует использования скобок. Например, дается задача: В одной корзине 6 кг яблок, а в другой — на 2 кг меньше. Сколько яблок в этих корзинах? Решение ее записывается так: X = 6 + (6 — 2); X = 10.
При обучении решению задач большая работа должна проводиться также по формированию у детей способности к анализу и синтезу, обобщению, абстрагированию и конкретизации.
С этой целью могут быть широко использованы такие приемы, помогающие анализу условий задач, как предметная и схематическая иллюстрация условий, построение схем, отражающих связь между данными и искомым, и др. Все эти приемы используются не только учителем, но и самими детьми. ‘ .
В следующих классах эта работа получила дальнейшее развитие. Так, во II классе, обобщая тот большой фактический материал, который накоплен в течение первого года обучения, дети усвоили в общем виде зависимость между компонентами арифметических действий. На этой основе они решали алгебраическим способом задачи, приводящие к простейшим уравнениям первой степени с одним неизвестным.
В III классе ученики знакомятся с алгебраическим решением составных задач, например, такого вида: Хозяйка купила 3 кг картофеля по 10 руб. за килограмм и 2 кг капусты. За всю покупку она уплатила 62 руб. Сколько стоит 1 кг капусты? Составленное по условиям задачи уравнение решается на основе знаний зависимости между компонентами арифметических действий. Ученики рассуждают так: «За 3 кг картофеля хозяйка уплатила 3 раза по 10 руб., за 2 кг капусты — 2 раза по Х руб., а вся капуста стоила 62 руб. Значит, 10 х 3 + Х х 2 = 62. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно от суммы отнять известное слагаемое: Х х 2 = 62 — 30; Х х 2 = 32. Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель: Х = 32 : 2; Х = 16; 1 кг капусты стоит 16 руб.
Так же решаются и другие задачи, сводящиеся к составлению и решению уравнений первой степени с одним неизвестным.
Использование в ряде школ намеченной системы постепенной подготовки детей к решению задач способом составления уравнений показало, что знакомство детей с алгебраическим способом решения задач в начальных классах вполне реально и в перспективе может стать необходимым элементом программы.
Текстовые задачи, на мой взгляд, трудный материал. Однако в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи. Данная тема интересна, потому что она позволяет находить новые неординарные подходы к решению задач, ведь многие текстовые задачи очень трудно решить аналитическим путем. Научившись решать задачи различными способами, я смогу применять их не только на уроках, но и олимпиадах.
Математическая задача – это связанный лаконический рассказ , в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии. Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. Требования задачи – это указание того, что нужно найти .
В современной математике существуют различные способы решения текстовых задач:
Арифметический метод. Решить задачу арифметическим способом значит найти ответ, на требование задачи, выполняя арифметические действия над числами.
Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим способом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или системы уравнений (или неравенств).
Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом - значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.
Схематический. Решить задачу схематическимспособом - это значит найти ответ на требование задачи, как правило, с помощью схем.
Графический. Решить задачу графическим способом - значит решить задачу с помощью графиков в прямоугольной системе координат.
Традиционными способами решения задач являются арифметический и алгебраический, остальные менее известны, поэтому отнесём их к нетрадиционным.
Решение текстовых задач арифметическим способом
В арифметическом способе решить задачу- это значит выполнитьарифметические действия над числовыми данными из условия задачи, составив числовое выражение, а конечный результат вычислений – ответ на вопрос задачи.
Задача 1. Три друга Саша, Коля и Витя собирали в лесу грибы. Коля собрал грибов в 2 раза меньше, чем Саша, а Витя на 6 грибов больше, чем Коля. Сколько грибов собрали три друга вместе, если Саша собрал 22 гриба?
Решение данной задачи не вызывает трудность, если грамотно составить краткую запись:
Коля -?грибов, в 2 раза меньше, чем Саша;
Витя-?грибов, на 6 грибов больше, чем Коля;
Всего: Саша+ Коля+ Витя-? грибов.
В начальной школе нас учили решать эту задачу по действиям, отвечая последовательно на каждый вопрос задачи, а затем на главный вопрос.
22+11+17=50 (гр.) вместе.
Эту же задачу можно решить, записав числовое выражение:
Задача 2. Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?
1) 82 32 + 78 = 192 (чел.) - удвоенное число учеников, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;
2) 192:2 = 96 (чел.) - поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;
3) 96 – 32 = 64 (чел.) - поют в хоре;
4) 96 – 78 = 18 (чел.) - занимаются танцами;
5) 96 – 82 = 14 (чел.) - занимаются художественной гимнастикой.
1) 82 – 32 = 50 (чел.) - настолько больше учеников поют в хоре, чем
занимаются художественной гимнастикой;
2) 50 + 78 = 128 (чел.) - удвоенное число учеников, поющих в хоре;
3) 128 : 2 = 64 (чел.) - поют в хоре;
4) 78 – 64 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой;
5) 82 – 64 = 18 (чел.) - занимаются танцами.
Ответ: 64 ученика поют в хоре, 14 учеников занимаются художественной гимнастикой, 18 учеников занимаются танцами.
Решение текстовых задач алгебраическим способом
При решении задачи алгебраическим способом необходимо выполнить несколько этапов:
3) Составление и решение уравнения или системы уравнений или неравенств (цель этапа – составить уравнение или неравенство, опираясь на условие задачи, и найти его решение). Необходимо учитывать область допустимых значений переменных (ОДЗ), чтобы составить уравнение нужно увязать известные и неизвестные данные задачи в формулы. Например, s=vt.
5) Запись ответа в соответствии с вопросом задачи.
Решим алгебраическим способом задачу 2, которую решали выше арифметическим способом.
Задача 2. Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?
Пусть х учеников занимались танцами, тогда 82-х учеников пели в хоре и 32-х учеников занимались художественной гимнастикой. Составим уравнение по последнему предложение нашей задачи -поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников,значит
(82-х)+(32-х)=78, 2х=36, х=18 учеников занимались танцами, 82-18=64 ученика пели в хоре, 32-18=14 учеников занимались художественной гимнастикой.
Задача 3. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справится с заданием за два дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?
Пусть х деталей в день - первоначальная производительность рабочего. Тогда (х + 10)деталей в день - новая производительность, Зх деталей – число деталей, которое он должен сделать. По условию получаем уравнение Зх = 2(х + 10), решив которое найдем х = 20. Первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.
Ответ: 20 деталей в день; 60 деталей.
Алгебраический способ решения задач является самым распространенными наиболее общим в школьном курсе изучения математики.
Решение текстовых задач геометрическим способом
Задача 4. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20% . На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня.
Данную задачу можно решить алгебраическим способом, например, применив дважды, основное свойство пропорции, а можно, применив формулу изменения величины в процентах. Тогда если а – первоначальное количество продукции, а х - % увеличения, то а•(1-0,20)•(1+0,01х)=а. Решив уравнение, найдём х=25%.
Но геометрический способ, на мой взгляд, наиболее наглядно позволяет увидеть решение.
Решение: Представим первоначальный выпуск продукции в виде отрезка АВ Разделим его на 5 равных частей и отметим точку С на расстоянии 1/5 от В. Мы получим отрезок АС, равный 4/5 АВ. Из чертежа видно, что требуется найти какую часть составляет ВС от АС. Решение очевидно. Так как ¼ АС=ВС, тогда требуется увеличить выпуск продукции на ¼ АС, т. е. на 25%.
Ответ: на 25%.
Задача 7. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км и против течения 25 км. На путь по течению реки она затратила столько же времени как на путь против течения. Какова скорость течения реки?
Алгебраический метод приводит к уравнению: 35/(15-x)= 25/(15+x),где x – скорость течения реки. Решив уравнение, находим x=2,5км/ч.
Рассмотрим геометрический метод. Прямоугольники изображаем вместе, чтобы они составляли один большой прямоугольник. Высоты составляющих прямоугольников равны, так как лодка двигалась одинаковое время по течению и против течения реки. Пусть сторона АВ прямоугольника ABCD изображает скорость лодки по течению реки, ВЕ– скорость лодки против течения (BE ˂АВ), а отрезок EF изображает время движения лодки против течения реки, AD будет изображать время движения лодки по течению реки. Если обозначить через x скорость течения реки, а через t– время движения лодки по течению реки, то AB=15+х и EF=AD=t.
Площадь прямоугольника АВСD (S1) будет соответствовать пути пройденному лодкой по течению реки: S1=AB•AD=35.
Читайте также: