Алгебра 7 класс кратко правила и формулы

Обновлено: 02.07.2024

Формулы сокращенного умножения
1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a+b)2=a2+2ab+b2

2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a-b)2=a2-2ab+b2

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.
(a+b)(a-b)=a2-b2

4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.
(a+b)(a-b)=a2-b2

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.
(a+b)(a-b)=a2-b2

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.
(a+b)(a-b)=a2-b2

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a+b)2=a2+2ab+b2

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.
(a+b)(a-b)=a2-b2

4.Куб суммы двух выражений равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

5.Куб разности двух выражений равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
6. Произведение суммы двух выражений на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3

7. Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

Все копируют друг у друга. Или с сайта одного. ) А формула сокращения разности:
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
Сложения:
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

P.S. Сегодня проходили)))

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.
(a+b)(a-b)=a2-b2

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.
(a+b)(a-b)=a2-b2

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

Справочник предлагает информацию, которая необходима для решения задач по алгебре в 7 классе. Материал пособия соответствует учебной программе и изложен в виде уроков. Издание содержит теоретические основы по темам алгебраических выражений. В справочнике приведены примеры их использования на практике.

Сборник удобно использовать при выполнении домашних заданий. Заходя на сайт, можно пользоваться им во время школьных занятий в режиме онлайн. Указатель поможет ориентироваться в разделах. Простая структура страницы позволяет быстро находить справочное описание.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

ЗАЧЁТ 7 КЛАСС

Алгебраические выражения

Выражение с переменными

- это выражение, состоящее из чисел.

- это выражение, состоящее из чисел и переменных (букв)

Уравнение вида где  переменная,  некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Математическая модель – составленное по данному условию уравнение.

Алгоритм – последовательность действий.

Выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях, входящих в них переменных, называют тождественно равными.

Равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных, называют тождеством.

Степень числа а с показателем 1 называют само это число.

При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное число. При возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательного числа.

Одночлен – произведение чисел, переменных и их степеней.

Коэффициент одночлена – числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.

Подобные одночлены – одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть.

Многочлены – выражения, состоящие из суммы нескольких одночленов.

Многочлен стандартного вида – многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида.

Степень многочлена стандартного вида – наибольшая степень из степени одночлена, из которых составлен многочлен.

Нуль – многочлен – число нуль, также многочлены, тождественно равные нулю.

Тождественно равные выражения – выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Разложение многочлена на множители: представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов.

Формулы сокращенного умножения

Полный квадрат – трехчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена.

P =4 a , где а – независимая переменная(может принимать любые значения), Р – зависимая(изменятся в зависимости от а)

Функция – правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной.

Функциональная зависимость – зависимость одной переменной от другой.

Аргумент - независимая переменная.

Область определения – все значения, которые принимает аргумент.

Значение функции – значение зависимой переменной.

Заданная функция – функция, где указаны её область определения и правило, с помощью которого можно по каждому значению независимой переменной найти значение зависимой переменной.

Область значений функций – все значения, которые принимает зависимая переменная.

Способы задание функции: 1. Описательный, 2. С помощью формул, 3. Табличный.

Все точки координатной плоскости, которые можно отметить, действуя таким способом, образуют график функции.

График функции f – геометрическая фигура, состоящая из всех тех, и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции f .

Линейная функция – функция, которую можно задать формулой Её график – прямая.

Линейная функция, которая задается формулой называют прямой пропорциональностью.

Случай, когда значение функции будет оставаться неизменным при любых значениях аргумента.

Равенство, содержащее две переменные называется уравнением с двумя переменными.

Пару значений, обращающую уравнение в верное равенство называют решением уравнения с двумя переменными.

Решить уравнение с двумя переменными – значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

График уравнения с двумя переменными – геометрическая фигура, состоящая из всех тех, и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решением данного уравнения.

Линейное уравнение с двумя переменными называют уравнение вида

Случай, когда графиком уравнения является прямая.

Решить систему уравнений – значит найти все её решения или показать, что оно не имеет решений.

Суть графического метода: 1) построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему, 2) найти координаты всех точек пересечения графиков, 3) полученные пары чисел будут искомыми рениями.

Суть метода подстановки: 1) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую, 2) подставить в другое уравнение системы, вместо этой переменной, 3) решить уравнение с одной переменной, 4) подставить найденное значение переменной в выражение, получено на первом шаге, 5) вычислить значение другой переменной.

Знакомство с сокращенным умножением начинается впервые в седьмом классе. Тема непростая: нужно выучить наизусть много формул. Но зато вы сможете быстрее решать задачки без ошибок. Проверим?

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.

Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.
Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Обучение на курсах по математике — дорога к хорошим оценкам в школе и высокому баллу на экзамене.

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a 2 - b 2 = (a - b) * (a + b).

Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a - b) * (a + b) = a 2 - b 2 .

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a 2 - b 2 ≠ (a - b) 2 .

Докажем, что a 2 - b 2 = (a - b) * (a + b).

a 2 - b 2 = a 2 - b 2 + ab - ab

(a 2 - a * b) + (a * b - b 2 ) = a *(a - b) + b *(a - b)

Вынесем за скобки (a - b). a * (a - b) + b * (a - b) = (a - b) * (a + b)
Результат доказательства: a 2 - b 2 = (a - b) * (a + b)
Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a - b) * (a + b) = a 2 - b 2 , нужно раскрыть скобки: (a - b) * (a + b) = a * a + a * b - b * a - b * b = a 2 - b 2 .

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Бином Ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

a n − b n = (a − b) * (a n-1 + a n-2 * b + a n-3 * b 2 + … + a * b n-2 + b n-1 ).

Для четных показателей можно записать так:

a 2*m − b 2*m = (a 2 − b 2 ) *(a 2*m−2 + a 2*m−4 * b 2 + a 2*m−6 * b 4 + … + b 2*m−2 ).

Для нечетных показателей:

a 2*m+1 − b 2*·m+1 = (a − b) * (a 2*m + a 2*m−1 * b + a 2*m−2 * b 2 + … + b 2*m ).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Что сделать: вычислить квадрат произведения (55 + 10) 2 .

Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10) 2 = 55 2 + 2 * 55 * 10 + 10 2 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с 3 – 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с 3 – 8 = (4 * с) 3 – 2 3 = (4 * с – 2)((4 * с) 2 + 4 * с * 2 + 2 2 ) = (4 * с – 2)(16 * с 2 + 8 * с + 4).

Задание 3

Что сделать: раскрыть скобки (7 * y - x) * (7 * y + x).

Как решаем:

Произведем умножение: (7 * y - x) * (7 * y + x) = 7 * y * 7 * y + 7 * y * x - x * 7 * y - x * x = 49 * y 2 + 7 * y * x - 7 * y * x - x 2 = 49 * y 2 - x 2 .
Используем формулу сокращенного умножения: (7 * y - x) * (7 * y + x) = (7 * y) 2 - x 2 = 49 * y 2 - x 2 .

Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей :)

Читайте также: