Аксиоматическое построение системы натуральных чисел кратко

Аксиомы Пеано:

Аксиома 1. В множестве Nсуществует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента аиз Nсуществует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента аиз N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4. Всякое подмножество Ммножества Nсовпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что асодержится в М, следует, что и а'содержится в М.

Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1,2,3,4. Натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4).

Определение 2. Если натуральное число bнепосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b .

Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа.

Теорема 2. Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет единственное предшествующее число b , такое, что b' = а.

Сложение натуральных чисел

Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу а прибавить 1, то получим число а', непосредственно следующее за а, т.е. а + 1 = а' и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу а натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2 + 3 = 5, то сумма 2 + 4 = 6, которое непосредственно следует за числом 5. Происходит так потому, что в сумме 2 + 4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. Таким образом, 2 + 4 =2+3' =(2+3)'. В общем виде имеем, .

Эти факты положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории.

Определение 3. Сложениемнатуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

Число а + bназывается суммой чисел а и b , а сами числа аиb- слагаемыми.

Как уже было сказано, натуральные числа получаются при счете предметов и при измерении величин. Но если при измерении появляются числа, отличные от натуральных, то счет приводит только к числам натуральным. Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных, которая начинается с единицы и которая позволяет

осуществлять переход от одного числительного к другому и столько раз, сколько это необходимо. Иначе говоря, нужен отрезок натурального ряда. Поэтому, решая задачу обоснования системы натуральных чисел, в первую очередь надо было ответить на вопрос о том, что же представляет собой число как элемент натурального ряда. Ответ на него был дан в работах двух математиков - немца Грассмана и итальянца Пеано. Они предложили аксиоматику, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности.

59. Об аксиоматическом способе построения теории

При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:

- некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;

- каждому понятию теории, которое не содержится в списке основ­ных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью ос­новных и предшествующих данному понятий;

- формулируются аксиомы - предложения, которые в данной тео­рии принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;

- каждое предложение теории, которое не содержится в списке ак­сиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рас­сматриваемой.

Если построение теории осуществляется аксиоматическим мето­дом, т.е. по названным выше правилам, то говорят, что теория по­строена дедуктивно.

При аксиоматическом построении теории по существу все утверж­дения выводятся путем доказательства из аксиом. Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования. Прежде всего, она долж­на быть непротиворечивой и независимой.

Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения.

Если система аксиом не обладает этим свойством, она не может быть пригодной для обоснования научной теории.

Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других акси­ом этой системы.

При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равно­сильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Но если выбор акси­ом условен, то сама наука или отдельная теория не зависят от каких-либо условий, - они являются отражением реального мира.

Аксиоматическое построение системы натуральных чисел осуществ­ляется по сформулированным правилам. Изучая этот материал, мы должны увидеть, как из основных понятий и аксиом можно вывести всю арифметику натуральных чисел. Конечно, его изложение в нашем курсе будет не всегда строгим - некоторые доказательства мы опускаем в силу их большой сложности, но каждый такой случай будем оговаривать.

Рассмотрим аксиоматический подход введения натуральных чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Системой натуральных чисел называется алгебра , состоящая из некоторого множества N, выделенных в N элементов 0 и 1, бинарных операций (называемых сложением и умножением соответственно), удовлетворяющих следующим условиям (аксиомам):

I. Для любого из

II. Для любых из N, если , то

III. Для любого из

IV. Для любых тип

V. Для любого из

VI. Для любых из т.

VII. Если А — подмножество множества N такое, что для любого , если , то , тогда

Приведенную систему аксиом называют системой аксиом Пеана, так как она представляет собой несущественное изменение аксиоматики, предложенной итальянским математиком Пеано.

Условие I означает, что элемент 0 нельзя представить в виде суммы какого-нибудь элемента из N и элемента 1. Условие II означает, что элемент 1 является регулярным слева относительно сложения. Условие III означает, что 0 есть правый нейтральный элемент относительно сложения. Условие IV есть слабая форма ассоциативности сложения.

Условие VI есть слабая форма дистрибутивности умножения относительно сложения. Условие VII называется аксиомой математической индукции. Из этой аксиомы вытекает, что любое подмножество множества N, содержащее О,

1 и замкнутое относительно сложения, совпадает с множеством N. Таким образом, из аксиомы математической индукции следует, что единственной подалгеброй алгебры является сама алгебра

Элементы множества N называются натуральными числами. Элементы 0 и 1 называются соответственно нулем и единицей системы

Для записи чисел используется обычная десятичная символика:

Возникает вопрос: существует ли хотя бы одна система натуральных чисел, т. е. алгебра типа (2, 2, 0, 0), удовлетворяющая аксиомам I—VII? Следующий пример дает положительный ответ на поставленный вопрос.

Рассмотрим множество N в однобуквенном алфавите . Раньше уже были определены операции над словами алфавита . Пустое слово 0 и слово играют роль нуля и единицы соответственно в алгебре:

Эта алгебра удовлетворяет системе аксиом I—VII. В самом деле, для любого из N слово не является пустым; следовательно, значит выполнено условие I. Поскольку для любых m, N из графического равенства слов следует графическое равенство слов то выполнено и условие II. Композиция любого слова из N и пустого слова 0 есть слово т. е. выполнено условие III. Из свойства ассоциативности композиции слов следует выполнение условия IV. Выполнение условия V непосредственно следует из определения операции умножения слов. Из графического равенства слов

следует равенство , т. е. условие VI также выполняется. Наконец, интуитивно ясно, что в алгебре выполняется аксиома индукции: если множество A a N такое, что (а) для каждого , если , то и , тогда

В самом деле, обозначим через предикат ; запишем цепочку верных в силу для любого импликаций:

Так как истинно, то из первой импликации следует истинность ; из истинности и второй импликации следует истинность и т. д. Через шагов мы получим истинность для любого из

Правила аксиоматического построения математических теорий. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Аксиомы Пеано, метод математической индукции. Умножение целых неотрицательных чисел в количественной теории, таблица и законы умножения.

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Введение

При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:

- некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;

- каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий;

- формулируются аксиомы - предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;

- каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, т.е. по названным выше правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно.

При аксиоматическом построении теории по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования. Прежде всего, она должна быть непротиворечивой и независимой.

Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения.

Если система аксиом не обладает этим свойством, она не может быть пригодной для обоснования научной теории.

Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы. аксиома аксиоматический математический число умножение

При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равносильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Но если выбор аксиом условен, то сама наука или отдельная теория не зависят от каких-либо условий, - они являются отражением реального мира.

Аксиоматическое построение системы натуральных чисел осуществляется по сформулированным правилам. Изучая этот материал, мы должны увидеть, как из основных понятий и аксиом можно вывести всю арифметику натуральных чисел. Конечно, его изложение в нашем курсе будет не всегда строгим - некоторые доказательства мы опускаем в силу их большой сложности, но каждый такой случай будем оговаривать.

Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа

Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а'.

Аксиома 1.В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей, и обозначать символом 1.

Аксиома 2.Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.

Аксиома 3.Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4.Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а' содержится в М.

Сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано.

Каждое число этого ряда имеет свое обозначение и название, которое мы будем считать известными.

Вообще моделью системы аксиом Пеано может быть любое счетное множество, например:

один, два, три, четыре.

Определение. Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b.

Теорема 1.Единица не имеет предшествующего натурального числа.

Истинность данного утверждения вытекает сразу из аксиомы 1.

Теорема 2.Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет предшествующее число b , такое, что b ' = а.

Доказательство. Обозначим через М множество натуральных чисел, состоящее из числа 1 и из всех чисел, имеющих предшествующее. Если число а содержится в М, то и число а' также есть в М, поскольку предшествующим для а' является число а. Это значит, что множество М содержит 1, и из того, что число а принадлежит множеству М, следует, что и число а' принадлежит М. Тогда по аксиоме 4 множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел. Значит, все натуральные числа, кроме 1, имеют предшествующее число.

Отметим, что в силу аксиомы 3 числа, отличные от 1, имеют единственное предшествующее число.

Аксиомы Пеано. Метод математической индукции

1.во мн. N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. 2. Для каждого элемента а из мн.N существует единственный элемент а',непосредственно следующий за а. 3.для каждого элемента а из мн.N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

4.если подмн.М мн.N содержит число 1 и из того, что элемент а €М, следует, что и элемент а?€М, то мн.М совпадает с мн.N. Мн.N, удовлетворяющее аксиомам 1-4, называют мн.нат.чисел, а элементы мн.N называют нат.числами.4 аксиому называют аксиомой индукции. Метод матем.индукции- это метод док-ва, основанный на принципе матем.индукции и применяемый для утверждений вида Р(п). Принцип: если утверждение Р(п) с переменной п истинно для п=1 и из того, что оно истинно для произвольного числа п=k, следует, что оно истинно и для следующего за ним числа п= k+1, то утверждение Р(п) истинно для любого натурального числа п. Док-во м.матем.нндукции состоит из трёх частей: 1.проверяют истинность утверждения Р(п) при п, равном 1, то есть проверяют Р(1). 2.предполагают истинность утверждения Р(п) при п, равном k, то есть предполагают истинность Р(k). 3.на основании предположения доказывают истинность утверждения при п= k+1, то есть доказывают истинность импликации Р(k)=>Р(k+1). Вывод: утверждение Р(п) истинно для любого натурального п.

П:док-ть, что для любого натурального числа п верно равенство 1+2+3+…+(2п-1) =п 2 . Док-во: при п=1 равенство имеет вид 1=1 2 . Оно верное. Предположим, что при п= k верно следующее равенство: 1+2+3+ …+ (2 k-1) = k 2 . На основании предположения докажем, что при п= k+1 будет верным равенство: 1+2+3+ ..+(2 k-1)+ (2(k+1)-1) =( k+1) 2 . Преобразуем левую часть равенства и покажем, что она совпадает с правой частью. В самом деле, по предположению сумма 1+2+3+ …+ (2 k-1) равна k 2 , тогда левая часть равенства будет иметь вид: k 2 +2(k+1)-1 = k 2 + 2 k+1= (k+1) 2. Видим, что левая и правая части равенства совпадают. Таким образом, из предположения о верности данного равенства при п= k доказана верность его при п= k+1. Следовательно, на основании принципа матем.индукции данное равенство верно при любом натуральном п.

Аксиоматическое определение умножения натуральных чисел. Закон умножения. Таблица умножения

Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определённая на мн.N нат.чисел, ставящая в соответствие каждой паре (а,b) число а *b, удовлетворяющее свойствам (аксиомам): 1. (?a є N)a•1 = a; 2. (? а,b є N) а•b' = а•b + а. Число a•b называется произведением чисел а и b, а сами числа аиb- множителями.Теорема 1. Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно. Пользуясь определение операции умножения, составим таблицу умножения однозначных нат.чисел. а)1Ч1=1; 2Ч1=2; 3Ч1=3; 4Ч1=4 и т.д. (на основании св-ва 1); б)1Ч2=1Ч1'=1Ч1+1= 1+1=2; 2Ч2=2Ч1'= 2Ч1+1= 2+1=3; 3Ч2=3Ч1'= 3Ч1+1= 3+1=4 и т.д.(на основании св-ва 2).Теорема 2. (?a,b,с є N)(а+b)•с = а•с + b•c. Доказательство. Пусть натуральные числа а и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых верно равенство (а + b)с = а•с + b•c. Покажем, что для с=1 верно равенство (а + b)•1 = а•1 + b•1 Действительно, (a + b)•1 =a+b=a•1 + b•1. Пусть дистрибутивный закон выполняется для произвольно выбранного числа с, т.е. равенство (а+b)•с = а•с + b•c истинно. На основании предположения докажем справедливость равенства: (а + b)•с' = а•с' + b•c' для числа с'. Рассмотрим левую часть равенства и покажем, что она равна правой: (а + b)•с' = (а + b)•c + (а + b)=(а•с+b•с)+ (а+b)= (а•с+а)+(b•с+b)= а•с'+b•c'. Данное равенство (а + b)•с = а•с + b•c истинно для любого нат.числа с, а так как числа а и b выбирались произвольно, то это равенство справедливо и для любых а и b. Анологично доказывается левый дистрибутивный закон умножения: (?а,b,с є N)а •(b+с)= а•b+а•с.Теорема 3. (? а,b,с є N)( а•b) •с= a•(b •с).-ассоциативна. Теорема 4. (?a,b є N) a•b = b•a.- коммуникативна. Операция умножения удовлетворяет двум законам: ab = bа (коммутативный закон умножения), а(bс) = (аb)с (ассоциативный закон умножения). Имеется также закон, связывающий сложение и умножение: а(b + с) = ab + ас (дистрибутивный закон).

Умножение целых неотрицательных чисел в количественной теории. Законы умножения

Библиографический список

1. Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. М.:Учпедгиз, 1938

Читайте также:

  
• Основные неисправности силовых трансформаторов кратко
  
• Формирование читательской культуры в начальной школе
  
• Средства формы и методы воспитания здорового образа жизни у детей младшего школьного возраста
  
• Содержание работы сотрудников доу
  
• Три элемента формы государства кратко