Аксиоматический метод в математике кратко

Обновлено: 04.07.2024

В математике А. м. зародился в работах древнегреческих геометров. Блестящим, остававшимся единственным вплоть до 19 в. образцом применения А. м. была геометрич. система, известная под назв. "Начал" Евклида (ок. 300 до н. э.). Хотя в то время не вставал еще вопрос об описании логич. средств, применяемых для извлечения содержательных следствий из аксиом, в системе Евклида уже достаточно четко проведена идея получения всего основного содержания геометрич. теории чисто дедуктивным путем из нек-рого, относительно небольшого, числа утверждений - аксиом, истинность к-рых представлялась наглядно очевидной.

Открытие в нач. 19 в. неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским и Я. Больяй (J. Bolyai) явилось толчком к дальнейшему развитию А. м. Они установили, что, заменив привычный и, казалось бы, единственно "объективно истинный" V постулат Евклида о параллельных его отрицанием, можно развивать чисто логич. путем геометрич. теорию, столь же стройную и богатую содержанием, как и геометрия Евклида. Этот факт заставил математиков 19 в. обратить специальное внимание на дедуктивный способ построения математич. теорий, что повлекло за собой возникновение новой проблематики, связанной с самим понятием А. м., и формальной (аксиоматической) математич. теории. По мере того как накапливался опыт аксиоматич. изложения математич. теорий - здесь надо отметить прежде всего завершение логически безупречного (в отличие от "Начал" Евклида) построения элементарной геометрии [М. Паш (М. Pasch), Дж. Пеано (G. Реаnо), Д. Гильберт (D. Hilbert)] и первые попытки аксиоматизации арифметики (Дж. Пеано),- уточнялось понятие формальной аксиоматич. системы (см. ниже); возникала специ-фич. проблематика, на основе к-рой выросла так наз. доказательств теория как основной раздел современной математич. логики.

Понимание необходимости обоснования математики и конкретные задачи в этой области зародились в более или менее отчетливой форме уже в 19 в. При этом, с одной стороны, уточнение основных понятий и сведение более сложных понятий к простейшим на точной и логически все более строгой основе проводились гл. обр. в области анализа [ О. Коши (A. Cauchy), теоретико-функциональные концепции Б. Больцано (В. Bolzano) и К. Вейерштрасса (К. Weierstrass), континуум Г. Кантора (G. Cantor) и Р. Дедекинда (R. Dedekind)]; с другой стороны, открытие неевклидовых геометрий стимулировало развитие А. м., возникновение новых идей и постановку проблем более общего метаматематич. характера, прежде всего проблем, связанных с понятием произвольной аксиоматич. теории, таких, как проблемы непротиворечивости, полноты и независимости той или иной системы аксиом. Первые результаты в этой области принес метод интерпретаций, к-рый грубо может быть описан следующим образом. Пусть каждому исходному понятию и отношению данной аксиоматич. теории Т поставлен в соответствие нек-рый конкретный математич. объект. Совокупность таких объектов наз. полем интерпретации. Всякому утверждению теории Т естественным образом ставится теперь в соответствие нек-рое высказывание об элементах поля интерпретации, к-рое может быть истинным или ложным. Тогда говорят, что утверждение теории Т, соответственно, истинно или ложно в данной интерпретации. Поле интерпретации и его свойства сами обычно являются объектом рассмотрения к.-л., вообще говоря другой, математич. теории T 1 , к-рая, в частности, тоже может быть аксиоматической. Метод интерпретаций следующим образом позволяет устанавливать факт относительной непротиворечивости, т. е. доказывать суждения типа: "если теория Т 1 непротиворечива, то непротиворечива и теория Т". Пусть теория Т проинтерпретирована в теории Т 1 таким образом, что все аксиомы теории Т интерпретируются истинными суждениями теории Т 1 . Тогда всякая теорема теории Т, т. е. всякое утверждение А, логически выведенное из аксиом в Т, интерпретируется в Т 1 нек-рым утверждением , выводимым в Т 1 из интерпретаций аксиом А i , и, следовательно, истинным. Последнее утверждение опирается на еще одно неявно делаемое нами допущение известного подобия логич. средств теорий Т и T 1 , но практически это условие обычно выполняется. (На заре применения метода интерпретаций об этом допущении специально даже не задумывались: оно представлялось само собой разумеющимся; на самом деле в случае первых опытов доказательства теорем об относительной непротиворечивости логич. средства теорий Т и T 1 просто совпадали - это была классич. логика предикатов.) Пусть теперь теория Т противоречива, т. е. нек-рое утверждение Аэтой теории выводимо в ней вместе со своим отрицанием. Тогда из вышесказанного следует, что утверждения и будут одновременно истинными утверждениями теории Т 1 т. е., что теория T 1 противоречива. Этим методом была, напр., доказана [Ф. Клейн (F. Klein), А. Пуанкаре (Н. Poincare)] непротиворечивость неевклидовой геометрии Лобачевского в предположении, что непротиворечива геометрия Евклида; а вопрос о непротиворечивости гильбертовой аксиоматизации евклидовой геометрии был сведен (Д. Гильберт) к проблеме непротиворечивости арифметики. Метод интерпретаций позволяет также решать вопрос о независимости систем аксиом: для доказательства того, что аксиома Атеории Т не зависит от остальных аксиом этой теории, т. е. не выводима из них, и, следовательно, существенно необходима для получения всего объема данной теории, достаточно построить такую интерпретацию теории Т, в к-рой аксиома Абыла бы ложна, а все остальные аксиомы этой теории истинны. Иной формой этого способа доказательства независимости Аявляется установление непротиворечивости теории, к-рая получается, если в данной теории Таксиому Азаменить ее отрицанием. Упомянутое выше сведение проблемы непротиворечивости геометрии Лобачевского к проблеме непротиворечивости евклидовой геометрии, а этой последней - к вопросу о непротиворечивости арифметики имеет своим следствием утверждение, что постулат Евклида не выводим из остальных аксиом геометрии, если только непротиворечива арифметика натуральных чисел. Слабая сторона метода интерпретаций состоит в том, что в вопросах непротиворечивости и независимости систем аксиом он дает возможность получать результаты, носящие неизбежно лишь относительный характер. Но важным достижением этого метода стал тот факт, что с его помощью была выявлена на достаточно точной основе особая роль арифметики как такой математич. теории, к вопросу о непротиворечивости к-рой сводится аналогичный вопрос для целого ряда других теорий.

Дальнейшее развитие - а в известном смысле это была вершина - А. м. получил в работах Д. Гильберта и его школы в виде так наз. метода формализма в основаниях математики. В рамках этого направления была выработана следующая стадия уточнения понятия ак-сиоматич. теории, а именно понятие формальной системы. В результате этого уточнения оказалось возможным представлять сами математич. теории как точные математич. объекты и строить общую теорию, или метатеорию, таких теорий. При этом соблазнительной представлялась перспектива (и Д. Гильберт был в свое время ею увлечен) решить на этом пути все главные вопросы обоснования математики. Основным понятием этого направления является понятие формальной системы. Всякая формальная система строится как точно очерченный класс выражений - формул, в к-ром нек-рым точным образом выделяется подкласс формул, наз. теоремами данной формальной системы. При этом формулы формальной системы непосредственно не несут в себе никакого содержательного смысла, и их можно строить из произвольных, вообще говоря, значков или элементарных символов, руководствуясь только соображениями технического удобства. На самом деле способ построения формул и понятие теоремы той или иной формальной системы выбираются с таким расчетом, чтобы весь этот формальный аппарат можно было применять для выражения, возможно более адекватного и полного, той или иной конкретной математической (и не математической) теории, точнее, как ее фактич. содержания, так и ее дедуктивной структуры. Общая схема построения (задания) произвольной формальной системы Sтакова.

I. Язык системы S:

а) алфавит- перечень элементарных символов системы;

б) правила образования (синтаксис) - правила, по к-рым из элементарных символов строятся формулы системы S;при этом последовательность элементарных символов считается формулой тогда и только тогда, когда она может быть построена с помощью правил образования.

II. Аксиомы системы S. Выделяется нек-рое множество формул (обычно конечное или перечислимое), к-рые наз. аксиомами системы S.

III. Правила вывода системы S. Фиксируется (обычно конечная) совокупность предикатов на множестве всех формул системы S. Пусть - к.-л. из этих предикатов если для данных формул утверждение истинно, то говорят, что формула непосредственно следует из формул по правилу

Заданием I, II, III исчерпывается задание формальной системы Sкак точного математич. объекта, поскольку понятие теоремы или выводимой формулы системы Sобразуется для всех формальных систем следующим единообразным способом (при этом степень точности определяется уровнем точности задания алфавита, правил образования и правил вывода, т. е. предикатов (.Выводом системы Sназ. всякая конечная последовательность формул системы S, в к-рой каждая формула либо является аксиомой системы S, либо непосредственно следует из к.-л. предшествующих ей в этой последовательности формул по одному из правил вывода системы S. Формула системы Sназ. теоремой этой системы, если существует вывод системы S, заканчивающийся этой формулой.

Всякую конкретную математич. теорию Т можно перевести на язык подходящей формальной системы Sтаким образом, что каждое осмысленное (ложное или истинное) предложение теории Т выражается нек-рой формулой системы S.

Естественно было надеяться, что этот метод формализации позволит строить все положительное содержание математич. теорий на такой точной и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а такие принципиальные вопросы, как проблема непротиворечивости математич. теорий, решать в форме доказательств соответствующих утверждений о формализующих эти теории формальных системах. Поскольку формальные системы описанного выше типа сами оказываются точными, или, как говорили в школе Гильберта, финитными, математич. объектами, можно было ожидать, что удастся получить финитные доказательства утверждений о непротиворечивости, т. е. доказательства, к-рые в определенном смысле были бы эффективными, не зависящими от тех мощных средств, вроде абстракции актуальной бесконечности, к-рые в классических математич. теориях как раз и являются причиной трудностей в их обосновании. Таким образом, требование финитности средств, применяемых для получения результатов о формальных системах, в частности теорем о их непротиворечивости, было вполне закономерной особенностью формалистич. программы Гильберта. Однако результаты К. Гёделя (К. Godel) начала 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд, связывавшихся с этой программой. Гёдель показал:

1) Всякая естественная, непротиворечивая формализация Sарифметики или любой другой математич. теории, содержащей арифметику (напр., теории множеств), неполна и неисполнима в том смысле, что: а) в Sимеются (содержательно истинные) неразрешимые формулы, т. е. такие формулы А, что ни А, ни отрицание Ане выводимы в S (неполнота формализованной арифметики), б) каким бы конечным множеством дополнительных аксиом (напр., неразрешимыми в Sформулами) ни расширить систему S, в новой, усиленной таким образом, формальной системе неизбежно появятся свои неразрешимые формулы (непополнимость; см. [5], а также Гёделя теорема о неполноте).

2) Если формализованная арифметика в действительности непротиворечива, то хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, однако доказательство этого утверждения, проведенное средствами, формализуемыми в ней самой, невозможно.

Это означает, что уже для арифметики принципиально невозможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул какой бы то ни было формальной системы, и что нет никакой надежды получить когда-либо финитное доказательство непротиворечивости арифметики, т. к., по-видимому, всякое разумное уточнение понятия финитного доказательства оказывается формализуемым в формальной арифметике.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .

Аксиоматический метод является способом построения научных теорий, которые уже установлены. В основе лежат аргументы, факты, утверждения, не требующие доказательств или опровержения. По сути, это вариант знания представлен в виде дедуктивной структуры, в которую изначально входит логическое обоснование содержания из основоположений – аксиом.

Этот метод не может быть открытием, а является только классифицирующим понятием. Он больше подойдет для преподавания. В основе присутствуют исходные положения, а остальные сведения вытекают как логическое следствие. Где находится аксиоматический метод построения теории? Он лежит в структуре большинства современных и устоявшихся наук.

Становление и развитие понятия аксиоматического метода, определение слова

Прежде всего, это понятие возникло в Древней Греции благодаря Евклиду. Он стал основоположником аксиоматического метода в геометрии. Сегодня он распространен во всех науках, но более всего в математике. Этот способ формируется на основе устоявшихся утверждений, а последующие теории выводятся путем логического построения.

Это объясняется следующим образом: существуют слова и понятия, которые определяются другими понятиями. В результате исследователи пришли к выводу, что существуют элементарные выводы, обоснованные и являющиеся постоянными – основными, то есть аксиомами. К примеру, доказывая теорему, обычно опираются на факты, которые уже устоявшиеся и не требуют опровержения.

Однако до этого их требовалось обосновать. В процессе получается, что неаргументированное утверждение принимается за аксиому. Опираясь на набор постоянных понятий, доказывают другие теоремы. Они составляют основу планиметрии и являются логическим строением геометрии. Устоявшиеся аксиомы в этой науке определяются как объекты любой природы. Они, в свою очередь, обладают свойствами, которые указаны в постоянных понятиях.

Дальнейшие исследования аксиом

Способ рассматривался как идеальный вплоть до девятнадцатого столетия. Логические средства поиска основных понятий еще в те времена не изучались, но в системе Евклида можно наблюдать структуру получения содержательных последствий из аксиоматического метода. Исследования ученого показали идею о том, как получить полную систему геометрических знаний на основе чисто дедуктивного пути. Им предлагалось сравнительно небольшое количество утвержденных аксиом, которые истинны наглядно.

Заслуги древнегреческих умов

Евклид доказал множество понятий, причем некоторые из них были обоснованы. Однако большинство приписывает эти заслуги Пифагору, Демокриту и Гиппократу. Последний составил полный курс геометрии. Правда, позже в Александрии вышел сборник "Начало", автором которого являлся Евклид. Затем, он был переименован в "Элементарную геометрию". Спустя некоторое время его начали критиковать на основе некоторых причин:

все величины строились только с помощью линейки и циркуля;
геометрия и арифметика были разъединены и доказывались с учетом обоснованных чисел и понятий;
аксиомы, некоторые из них, в частности, пятый постулат, предлагали вычеркнуть из общего списка.

В результате в XIX веке возникает неевклидовая геометрия, в которой отсутствует объективно истинный постулат. Это действие дало толчок для дальнейшего развития геометрической системы. Таким образом, к дедуктивным способам построения пришли математические исследователи.

Развитие математического знания на основе аксиом

Когда начала развиваться новая система геометрии, изменился и аксиоматический метод. В математике стали чаще обращаться к чисто дедуктивному построению теории. В результате в современной числовой логике возникла целая система доказательств, которая является главным разделом всей науки. В математической структуре стали понимать необходимость обоснования.

Так, уже к концу столетия сформировались четкие задачи и построение сложных понятий, которые из сложной теоремы сводились к простейшему логическому утверждению. Таким образом, неевклидовая геометрия стимулировала прочную основу для дальнейшего существования аксиоматического метода, а также для решения проблем общего характера математических конструкций:

непротиворечивости;
полноты;
независимости.

В процессе появился и успешно получил развитие способ интерпретации. Этот метод описывается так: для каждого выходного понятия в теории поставлен математический объект, совокупность которых называется полем. Высказывание об указанных элементах может быть ложным или истинным. В результате утверждения получают названия в зависимости от выводов.

Особенности теории интерпретации

Как правило, поле и свойства также подвергаются рассмотрению в математической системе, и она, в свою очередь, может стать аксиоматической. Интерпретация доказывает утверждения, в которых имеется относительная непротиворечивость. Дополнительным вариантом выступает ряд фактов, при которых теория становится противоречивой.

По сути, условие в ряде случаев выполняется. В результате получается, что, если в высказываниях одного из утверждений присутствуют два ложных или истинных понятия, то оно считается отрицательным или положительным. Таким методом была доказана непротиворечивость геометрии Евклида. При интерпретационном методе можно решить вопрос о независимости систем аксиом. Если нужно опровергнуть какую-либо теорию, то достаточно доказать, что одно из понятий не выводится из другого и ошибочно.

Однако наряду с успешными утверждениями, способ имеет и слабые стороны. Непротиворечивость и независимость систем аксиом решаются как вопросы, которые получают результаты, носящие относительный характер. Единственное важное достижение интерпретации – обнаружение роли арифметики как структуры, в которой вопрос о непротиворечивости сводится к ряду иных наук.

Современное развитие аксиоматической математики

Аксиоматический метод стал развиваться в работе Гилберта. В его школе было уточнено само понятие теории и формальной системы. В результате возникла общая система, а математические объекты стали точными. Кроме того, появилась возможность решить вопросы обоснования. Таким образом, формальная система строится точным классом, в котором находятся подсистемы формул и теорем.

Чтобы построить эту структуру, нужно только руководствоваться техническими удобствами, потому что они не имеют никакой смысловой нагрузки. Они могут быть вписаны знаками, символами. То есть, по сути, сама система строится таким образом, чтобы формальную теорию можно было применять адекватно и в полной мере.

В результате выливается конкретная математическая цель или задача в теорию на основе фактического содержания или дедуктивного умозаключения. Язык числовой науки переводят на формальную систему, в процессе любое конкретное и осмысленное выражение определяется формулой.

Метод формализации

При естественном положении вещей подобный способ сможет решать такие глобальные вопросы, как непротиворечивость, а также строить положительную суть математических теорий по выведенным формулам. Причем в основном все это будет решать формальная система на основе доказанных утверждений. Математические теории постоянно осложнялись обоснованиями, и Гилберт предложил исследовать эту структуру при помощи финитных методов. Но это программа провалилась. Результаты Геделя уже в двадцатом столетии привели к следующим выводам:

естественная непротиворечивость невозможна за счет того, что формализованная арифметика или другая подобная наука из этой системы будет неполной;
появились неразрешимые формулы;
утверждения недоказуемы.

Истинные суждения и разумное финитное доведение считаются формализуемыми. С учетом этого аксиоматический метод имеет определенные и четкие границы и возможности в рамках этой теории.

Результаты развития аксиом в трудах математиков

Несмотря на то что некоторые суждения были опровергнуты и не получили должного развития, способ постоянных понятий играет значительную роль в формировании основ математики. Кроме этого, интерпретация и аксиоматический метод в науке выявили фундаментальные результаты непротиворечивости, независимости утверждений выбора и гипотез во множественной теории.

В решении вопроса непротиворечивости главное применить не только устоявшиеся понятия. Их нужно также дополнить идеями, концепциями и средствами финитного доведения. В данном случае рассматриваются различные взгляды, способы, теории, которые должны учитывать логический смысл и обоснование.

Непротиворечивость формальной системы указывает на подобное доведение арифметики, которая опирается на индукцию, счет, трансфинитное число. В научной области аксиоматизация является важнейшим инструментом, имеющим неопровержимые концепции и утверждения, берущиеся за основу.

Сущность исходных утверждений и их роль в теориях

Оценка аксиоматического метода указывает на то, что в его сущности лежит некая структура. Эту систему строят с выявления основополагающей концепции и фундаментальных утверждений, которые являются неопределяемыми. То же происходит и с теоремами, считающимися исходными и принимающимися без доказательств. В естественных науках за подобные утверждения выступают правила, допущения, законы.

Затем происходит процесс фиксации установленных баз для рассуждений. Как правило, сразу указывается, что из одного положения выводится другое, а в процессе выходят остальные, которые, в сущности, совпадают с дедуктивным методом.

Особенности системы в современности

В составе аксиоматической системы находятся:

логические выводы;
термины и определения;
частично неправильные утверждения и понятия.

В современной науке этот метод утратил абстрактность. В Евклидовой геометрической аксиоматизации в основе лежали интуитивные и истинные положения. И интерпретировалась теория единственным, естественным способом. Сегодня аксиома – это положение, которое само по себе очевидно, а соглашение, причем любое, может выступать как начальное, не требующее обоснования понятие. В результате исходные значения могут быть далекими от наглядности. Этот метод требует творческого подхода, знания взаимосвязей и исходной теории.

Основные принципы выведения заключений

Дедуктивно аксиоматический метод – это научное познание, строящееся по определенной схеме, в основе которой лежат правильно осознанные гипотезы, выводящие утверждения об эмпирических фактах. Подобное умозаключение строится на основе логических структур, путем жесткого выведения. Аксиомы – изначально неопровержимые утверждения, не требующие доказательств.

При дедукции к исходным понятиям применяются определенные требования: непротиворечивости, полноты, независимости. Как показывает практика, первое условие основано на формально-логическом знании. То есть в теории не должны присутствовать значения истинности и ложности, ибо она уже не будет иметь значения и ценности.

Если такое условие не соблюдается, то она считается несовместной и в ней теряется какой-либо смысл, ибо теряется смысловая нагрузка между истиной и ложью. Дедуктивно аксиоматический метод является способом построения и обоснования научного знания.

Практическое применение метода

Аксиоматический метод построения научного знания имеет практическое применение. По сути, этот способ влияет и оказывает глобальное значение на математику, хотя это знание уже достигло своей вершины. Примеры аксиоматического метода следующие:

аффинные плоскости имеют три утверждения и определение;
теория эквивалентности обладает тремя доказательствами;
бинарные отношения подразделяются на систему определений, понятий и дополнительных упражнений.

Если нужно сформулировать исходное значение, то необходимо знать природу множеств и элементов. В сущности, аксиоматический метод лег в основу различных областей науки.

6 фактов о проблеме математических доказательств, программе Гильберта и смысле в математике

Над материалом работали

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова РАН, профессор факультета математика ВШЭ

В чем заключается аксиоматический метод? Как развивалось понятие аксиомы? Кем был разработан аксиоматический метод? Какое место он занимает в математике? И какой критике подвергается этот метод? Математик Лев Беклемишев о неевклидовой геометрии, системе аксиом Гильберта и смысле в математике.

Аксиоматический метод — это такой способ построения математической теории, при котором в основу кладутся некоторые положения, принимаемые без доказательства (аксиомы), а все остальные выводятся из них чисто логическим путем. При радикальном применении этого подхода математика сводится к чистой логике, из нее изгоняются такие вещи, как интуиция, наглядные геометрические представления, индуктивные рассуждения и так далее. Исчезает то, что составляет суть математического творчества. Зачем же тогда был придуман этот метод? Для ответа на этот вопрос нам нужно обратиться к самым истокам математики.

Лишь в XIX веке было осознано, что, быть может, это утверждение на самом деле недоказуемо и существует какая-то другая, совсем отличная от нашей геометрия, в которой эта аксиома неверна. Что сделал Лобачевский? Он поступил так, как поступают часто математики, пытаясь доказать какое-то утверждение. Излюбленный прием — доказательство от противного: предположим, что данное утверждение неверно. Что же отсюда следует? Для доказательства теоремы математики пытаются вывести из сделанного предположения противоречие. Но в данном случае Лобачевский получал все новые математические, геометрические следствия из сделанного предположения, но они выстраивались в очень красивую, внутренне согласованную систему, которая тем не менее отличалась от привычной нам евклидовой. Перед его глазами разворачивался новый, непохожий на привычный нам мир неевклидовой геометрии. Это и привело Лобачевского к осознанию того, что такая геометрия возможна. При этом аксиома о параллельных в геометрии Лобачевского явно противоречила нашей обыденной геометрической интуиции: она не только не была интуитивно очевидной, но была с точки зрения этой интуиции ложной.

Однако одно дело представить себе, что такое в принципе возможно, а другое — доказать строго математически, что такая система аксиом для геометрии непротиворечива. Это было достигнуто еще на несколько десятилетий позже в трудах других математиков — Бельтрами, Клейна и Пуанкаре, которые предложили модели аксиом неевклидовой геометрии в рамках обычной евклидовой геометрии. Они фактически установили, что противоречивость геометрии Лобачевского влекла бы противоречивость привычной нам евклидовой геометрии. Верно и обратное, то есть с точки зрения логики обе системы оказываются совершенно равноправными.

Именно Гильберт построил первую последовательную и полную систему аксиом для элементарной геометрии, это произошло в самом конце XIX века. Таким образом, аксиоматический метод был фактически создан для того, чтобы доказать невозможность доказательства некоторых, в данном случае геометрических, утверждений.

Отдельно стоит сказать о преподавании математики. Нет ничего хуже, чем строить обучение школьников на выполнении механических действий (алгоритмов) или же на построении формальных логических выводов. Так можно загубить в человеке любое творческое начало. Соответственно, при обучении математике не стоит подходить с позиции строгого аксиоматического метода в смысле Гильберта — не для того он был создан.

Лев Беклемишев — доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник Математического института им. В.А. Стеклова РАН, профессор факультета математика ВШЭ.

Аксиоматический метод – важнейший способ структурирования, а также увеличения научных знаний среди различных областей – формировался в течение более чем двух тысячелетий научной эволюции. Фундаментальный вклад в математику вносит именно аксиоматическая методика.

Многие учёные считают математическую науку достигшей идеала только в то время, когда она пользуется аксиоматическим методом. Другими словами, когда она принимает характер аксиоматической теории.

История аксиоматического метода

Платон — один из величайших мыслителей древности

Становление сегодняшнего толкования сущности аксиоматической теории осуществлялось в течение двух десятков веков формирования науки.

Знаменитый мыслитель античных времен Платон (427-347 гг. до н.э.) был одним из первых, поставивших себе целью устроить всё научное знание с помощью дедукции.

Труды и сочинения, связанные с геометрией, стали появляться задолго до Платона, к таким относятся учебники Гиппократа Хиосского, Демокрита.

Однако только он предложил ставить во главу угла каждой науки ключевые понятия, с опорой на которые будут делаться новые открытия.

К сожалению, эта структура в его трудах прослеживается весьма неотчетливо и нечетко, черты ее лишь угадываются в его сочинении, созданном, к слову, на мистическом фундаменте.

Наследники Платона

Ещё один древний ученый — Аристотель

Учеником Платона, который смог перешагнуть эти суеверия, стал великий Аристотель.

Тот снял покров с намерений своего учителя – требований к рационализации любой науки, собрал в себе практически каждую отрасль науки.

Как считается, Аристотель и стал родоначальником научного метода, а также некоторых наук.

Согласно его трудам, наука есть ничто иное как множество положений, принадлежащих к той или иной сфере знания. К этим положениям относятся и те, которые являются столь очевидными, что в доказательстве их нет никакой необходимости – аксиомы.

Свыше двух тысяч лет труд Евклида был, по сути, непревзойденным учебником для геометров всего мира. Данное сочинение было самой первой научной книгой за всю историю.

Там геометрия полностью представлялась как аксиоматическая теория, построенная на принципах, сформулированных Аристотелем и Платоном.

Пятый постулат Евклида

Сильнее всего изучавших систему Евклида интересовал пятый постулат:

Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Сложность этой формулировки по сравнению с остальными постулатами наводило ученых на мысль о доказательстве этого утверждения и таким образом исключения его из перечня постулатов.

Подобные разработки безуспешно проводились Посидонием (I в. д.н.э.), Санкери и Ламбертом (оба — XVIII).

То была самая настоящая Евклидова эра в геометрической истории, эпоха его последователей и преемников, время, когда вся геометрическая наука строилась по наивно-аксиоматическому принципу.

После столетий безуспешных попыток доказательства пятой аксиомы Евклида эта эпоха подошла к концу, оставив после себя уникальное достижение – открытие иного понимания самой геометрии в целом, аксиоматического метода ее изучения в частности.

Понимание значимости этой теории пришло не сразу – Лобачевский не только доказал независимость пятого постулата, но и вывел из этого факта, что вместе с геометрией Евклидовой существует и отличная от нее, для которой постулат этот ошибочен!

Помимо всего прочего, неевклидова геометрия доказала неправоту ученых, считавших Евклидову геометрию единственным возможным учением о пространстве.

Работы Д. Гильберта

Приблизительно в начале второй половины XIX века математическое общество в большинстве своём признало заслуги Лобачевского и приступило к последующему развитию его идей.

В своем труде автор описал полную аксиоматическую теорию геометрии Евклида, то есть несколько положений, на основании которых могли доказываться другие. Далее автор доказывает нелогичность и раскрывает множественные противоречия данной системы.

После выхода книги все вопросы про логическое обоснование аксиоматической теории были полностью закрыты. Помимо этого, до конца поняты столпы, характеризующие структуру такого подхода к пониманию геометрической науки и структура аксиоматики в целом.

Приняты основы построения аксиоматических теорий и выявлены вопросы, требующие ответа при ее построении – те, что связаны с неоднозначностью, согласованностью данной теории и правильности ее аксиоматической системы.

Разные аксиоматические системы, построенные на отличающихся базисных понятиях, были обычным делом и до книги Гильберта, и после (до самого начала 20-го века). Так завершился следующий шаг эволюции аксиоматики и построения геометрии за счёт нее.

Итоги эволюции аксиоматики

Логика связала между собой все области математики

Он обозначает некое множество схожих предметов любой природы (точки, вектора, фигуры и др.), взаимоотношения которых соблюдаются для какой-то аксиоматической системы.

Данная точка зрения позволила множеству идей геометров проникать в бесчисленное количество сфер многих наук, будучи оплодотворёнными методом аксиоматики.

В то же время эта наука развивалась и превращалась в гораздо более единую науку, размытие границ между разделами происходило всё отчетливее.

Самым настоящим цементом, скреплявшим воедино все основания математических областей, стала логика математики. За счёт нее исследовался путь доказательства, путь выведения теоремы с помощью аксиомы. Таким образом метод развивался далее и в некотором смысле покорил вершину.

Пример аксиоматического метода

Все математические теории формировались примерно одинаково

В наши дни построение аксиоматики для любой сферы математической науки выглядит следующим образом — в первую очередь идет перечисление понятий без определения.

Затем перечисляются аксиомы, для которых установлены какие-либо связи между базовыми терминами, далее следует выведение следующих понятий.

А вслед за этим, на основании начальных утверждений из аксиом будут доказаны следующие – теоремы.

Любая известная математикам теория проходила формирование по одному из 2 путей:

Путь, основанный на обнаружении сильного соответствия главных свойств отличных друг от друга теорий. Для их становления возникла идея выделения схожих черт, на основании которых и будет построена теория. Возник великолепный шанс смешивания разных методов, вольной интерпретации понятий и аксиом и открыло широкий простор использования данных теорий. Этого пути придерживались теория групп, теория колец, теория полей и др..

Базис определяется, исходя из опыта, следовательно, все утверждения, хоть и выводятся абсолютно логическим путем, всё же тесно переплетены с реальностью и часто применяются в жизни.

Примеры Аксиоматических теорий

Рассмотрим концепции, развитые обоими вариантами:

Теория конгруэнтности расстояний. Есть R множество расстояний и ≅ отношение, называемое коэффициентом конгруэнтности, таким образом, что выражение c ≅ k обозначает следующее: расстояние c конгруэнтно расстоянию k. Как аксиомы приняты эти положения:

E1. Для любого c из R c ≅ c.
E2. Для любых элементов c, k, t из R, если c ≅ t и k ≅ t, то c ≅ k
Теорема: Для произвольных компонентов c и t из R, если k ≅ t, то t ≅ k
Док-во: В соответствии с аксиомой E2, заменив t на c, получим, что если t ≅ t и k ≅ t, то t ≅ k. Поскольку член конъюнкции t ≅ t истинен (E1), то из конъюнкции его исключим и получим, что t ≅ k.

Ниже приведено доказательство теоремы, выведенной из вышеперечисленных аксиом.

Док-во: Рассматриваем совокупность T = . Воспользуемся последней из аксиом (K4):

1 ∈ T, ведь 1’≠ 1 по аксиоме K1;
Пускай, c ∈ T, иными словами. с’ ≠ с. В таком случае, согласно третей из аксиом, (c’) ‘ ≠ c’. Откуда с’ ∈ T

Четвертая аксиома соблюдена, поэтому T=R (K4), что в свою очередь означает, что (∀ с) (с’ ≠ с). Теорема доказана.

Выстраивание теории о множествах Кантора, с опорой на ряд аксиоматических систем. В сумме рассматриваются 2 системы.

(K1) c ∩ t = t ∩ c.
(K2) c ∪ t = t ∪ c.
(K3) c ∩ (t ∪ e) = (c ∩ t) ∪ (c ∩ e).
(K4) c ∪ (t ∩ e) = (c ∪ t) ∩ (c ∪ e).
(K5) c ∩ 1 = c.
(K6) c ∪ 0 = c.
(K7) c ∩ c’ = 0.
(K8) c ∪ c’ = 1.

(L1) c ∩ t = t ∩ c.
(L2) (c ∩ t) ∩ e = c ∩ (t ∩ e).
(L3) c ∩ t’ = e ∩ ez’ ⇒ c ∩ t = c.
(L4) c ∩ t = c ⇒ c ∩ t’ = e ∩ e’.

Заключение

Становление науки двадцатого столетия указало на то, что математику выделяет среди прочих областей знания как раз использование аксиоматического метода очень широко. Он в большой доле определяет высокую эффективность математики при познании мира и преобразующего воздействия на него.

В этом видео вы узнаете об аксиоматическом методе в контексте решения задач:

Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.

Читайте также: