Точки лагранжа доклад по астрономии

Обновлено: 05.07.2024

Каждое массивное тело в космосе, будь то планета или звезда, словно бы лежит на дне гравитационного колодца, и Земля - не исключение. Именно поэтому чем больше массивное тело, тем труднее его покинуть, а из небезызвестных чёрных дыр вообще ничто не может выбраться, даже свет. Нужно затратить огромное количество энергии, чтобы преодолеть тягу гравитации. Однако есть и особые места в Солнечной системе, где силы притяжения уравновешивают друг друга. Как это выглядит?

Вокруг массивных объектов деформируется пространство-время. Представьте себе хорошо тянущееся большое полотно, на которое положили несколько яблок в разных местах. Под яблоками материя искривится, и если рядом с лункой в ткани, где лежит яблоко, положить, например, мячик для настольного тенниса, то он скатится вниз к яблоку. Примерно такая же картина происходит и во Вселенной. Но если этот мячик положить подальше от лунок, где лежат яблоки, то мячик никуда не покатится и останется на месте.

Места, где области в системе двух космических тел с большой массой, в которых третье тело с небольшой массой, может быть неподвижным на протяжении долгого периода времени относительно этих тел, называются точками Лагранжа.

Точки Лагранжа были впервые открыты в 1772 году математиком Жозе Луи Лагранжем. Он рассчитал, что гравитационное поле Земли должно нейтрализовать гравитационное притяжение Солнца в пяти областях пространства — фактически, единственных областях, где объект и правда может стать невесомым. Это отличные места, где можно остановиться и изучать космическое пространство! То есть, Лагранж описал 2 решения задачи для 3 тел, но справедливо будет кое-что заметить, что Лагранж - не первый, кто задумался об этих "волшебных" точках. Он лишь продолжил исследования математика и механика Леонарда Эйлера, и хотя все 5 точек названы в честь Лагранжа, первые три вычислил именно Эйлер. Лагранж лишь после этого обнаружил ещё 2. Теперь разберёмся более детально, как это работает.

При гравитационном взаимодействии двух массивных объектов (например, Земли и Солнца, или Земли и Луны), есть 5 точек, где гравитационные силы идеально уравновешены. В этих точках можно разместить лёгкий искусственный спутник, телескоп или космическую станцию, и удерживать его там будет совершенно несложно и безопасно.

Самая известная точка - Лагранжа - L1 - это точка равновесия между силами притяжения двух объектов . Например, необходимый нам объект, допустим, спутник, можно поместить чуть выше поверхности Луны. Земля будет тянуть его к себе, но гравитация Луны нейтрализует его. Спутнику понадобится крайне малое количество топлива для сохранения позиции. L1 есть между Землёй и Луной, и ещё одна - между Землёй и Солнцем, и ещё одна - между Солнцем и Юпитером. Они есть повсюду, главное - всё правильно рассчитать.

Точка L2 находится на одной линии с небесными телами за телом с меньшей массой. Например: Солнце -> Земля -> L2. Чем дальше планета или любой другой объект будет находится от Солнца, тем медленнее будет скорость вращения по своей орбите. Если посмотреть на то, как вращаются объекты вокруг Солнца, то будет казаться, что Венера отстаёт от Меркурия, Земля - от Венеры, Марс - от Земли и т.д. Объект в точке L2 тоже будет словно бы отставать от Земли, а она, в свою очередь, тянуть его за собой, поэтому он никуда не упадёт - это словно бежать вперёд с воздушным змеем в руке.

Точка L3 расположена в противоположной стороне от точки L2. Силы Солнца и Земли настолько уравнивают друг друга, что их хватает даже на противоположную сторону. L3 всегда будет находиться точно за Солнцем.

В точках L1, L2, L3 нужно поддерживать равновесие, пусть это и не особо затратно в плане топлива - это необходимо, чтобы наш спутник не "скатился" в гравитационные колодцы, то есть, как говорится, "шаг вправо - шаг влево" и всё, так что время от времени орбиту спутника придётся корректировать. Гравитационное поле меняется в зависимости от движения небесных тел в нём - точно так же, как, например, яблоки из примера в начале статьи катались бы по натянутому материалу. Будь где мячик, он рано или поздно опустится в ямку. С L4 и L5 таких оказий не случается. Но у них другой минус.

L4 и L5 труднодоступны для наблюдения с Земли. Они расположены близко к Солнцу, так что в ночное время область L5 находится над горизонтом и быстро опускается, а L4 затмевается рассветными лучами, зато с этих двух аванпостов можно наблюдать за активностью Солнца.

Когда Жозеф Луи Лагранж работал над задачей двух массивных тел (ограниченной задачей трёх тел), он обнаружил, что в такой системе существует 5 точек, обладающих следующим свойством: если в них расположены тела пренебрежимо малой массы (относительно массивных тел), то эти тела будет неподвижны относительно тех двух массивных тел. Важный момент: массивные тела должны вращаться вокруг общего центра масс, если же они каким-то образом будут просто покоиться, то вся эта теория тут неприменима

Расположение точек Все точки Лагранжа лежат в плоскости орбит массивных тел и обозначаются заглавной латинской буквой L с числовым индексом от 1 до 5. Первые три точки расположены на линии, проходящей через оба массивных тела. Эти точки Лагранжа называются коллинеарными и обозначаются L1, L2 и L3. Точки L4 и L5 называются треугольными или троянскими.

L1 находится между двумя телами системы, ближе к менее массивному телу, L2 — снаружи, за менее массивным телом и L3 — за более массивным. Расстояния от центра масс системы до этих точек в первом приближении по α рассчитываются с помощью следующих формул: L1 находится между двумя телами системы, ближе к менее массивному телу, L2 — снаружи, за менее массивным телом и L3 — за более массивным. Расстояния от центра масс системы до этих точек в первом приближении по α рассчитываются с помощью следующих формул:

Точка L2 в системе Солнце — Земля является идеальным местом для строительства орбитальных космических обсерваторий и телескопов. Поскольку объект в точке L2 способен длительное время сохранять свою ориентацию относительно Солнца и Земли, производить его экранирование и калибровку становится гораздо проще. Однако эта точка расположена немного дальше земной тени (в области полутени), так что солнечная радиация блокируется не полностью. Точка L2 в системе Солнце — Земля является идеальным местом для строительства орбитальных космических обсерваторий и телескопов. Поскольку объект в точке L2 способен длительное время сохранять свою ориентацию относительно Солнца и Земли, производить его экранирование и калибровку становится гораздо проще. Однако эта точка расположена немного дальше земной тени (в области полутени), так что солнечная радиация блокируется не полностью. Однако на самом деле из-за гравитационного влияния других планет точка L3 в системе Солнце — Земля является крайне неустойчивой. Так, во время гелиоцентрических соединений Земли и Венеры по разные стороны Солнца, которые случаются каждые 20 месяцев, Венера находится всего в 0,3 а. е. от точки L3 и таким образом оказывает очень серьёзное влияние на её расположение относительно земной орбиты.

Точки L4 и L5 Точки L4 и L5 Наличие этих точек и их высокая стабильность обусловливается тем, что, поскольку расстояния до двух тел в этих точках одинаковы, то силы притяжения со стороны двух массивных тел соотносятся в той же пропорции, что их массы, и таким образом результирующая сила направлена на центр масс системы; кроме того, геометрия треугольника сил подтверждает, что результирующее ускорение связано с расстоянием до центра масс той же пропорцией, что и для двух массивных тел. Так как центр масс является одновременно и центром вращения системы, результирующая сила точно соответствует той, которая нужна для удержания тела в точке Лагранжа в орбитальном равновесии с остальной системой.

Практическое применение Исследователи в области космонавтики давно уже обратили внимание на точки Лагранжа. Например, в точке L1 системы Земля — Солнце удобно разместить космическую солнечную обсерваторию — она никогда не будет попадать в тень Земли, а значит, наблюдения могут вестись непрерывно. Точка L2подходит для космического телескопа — здесь Земля почти полностью заслоняет солнечный свет, да и сама не мешает наблюдениям, поскольку обращена к L2 неосвещенной стороной. Точка L1 системы Земля — Луна удобна для размещения ретрансляционной станции в период освоения Луны. Она будет находиться в зоне прямой видимости для большей части обращённого к Земле полушария Луны, а для связи с ней понадобятся передатчики в десятки раз менее мощные, чем для связи с Землёй. В настоящее время несколько космических аппаратов, в первую очередь, астрофизических обсерваторий, размещены или планируются к размещению в различных точках Лагранжа Солнечной системы

Точки Лагранжа возникли как одно из частных решений фундаментальной проблемы небесной механики — задачи трех тел. Суть ее заключается в том, чтобы определить относительное движение трех астрономических объектов, которые взаимодействуют согласно закону тяготения Ньютона — притягиваются силами гравитации. Общего аналитического решения этой задачи не существует, однако в XVIII веке математики Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж сумели вывести устойчивые ответы для отдельных случаев — когда тела вращаются по круговым орбитам и масса двух из них значительно превышает массу третьего — и найти пять положений, в которых тела с пренебрежимо малой массой оставались неподвижными относительно двух массивных тел.

Эйлер нашел первые три точки — коллинеарные: они находятся рядом с телами, расположенными на одной прямой. Другие две вывел Лагранж — в его решении в любой момент времени тела образовывали вместе равносторонние треугольники.

Почти все выведенные Лагранжем и Эйлером положения используются сегодня в рамках системы Земля — Солнце.

В системе Солнце — Земля L1 располагается на расстоянии 1,6 млн километров от планеты и обеспечивает непрерывный вид на светило, не перекрываемый ни Луной, ни Землей. Именно там размещается Солнечная и гелиосферная обсерватория (SOHO).

Корона — внешние слои атмосферы Солнца или другой звезды. Солнечную корону можно увидеть невооруженным глазом во время затмения.

Рядом с L1, в 2,5 млн километров от Земли, работают другие аппараты: Advanced Composition Explorer (ACE), запущенный НАСА для изучения энергетических частиц солнечного ветра, межпланетной и межзвездной среды и галактической материи; WIND — проект Глобальной геокосмической программы, исследующий взаимодействие солнечного ветра с магнитным полем Земли; и Deep Space Climate Observatory (DSCOVR), разработанный НАСА совместно с Национальным управлением океанических и атмосферных исследований для наблюдения за состоянием атмосферы Земли и выбросами веществ из солнечной короны*.

Запуск DSCOVR был знаковым для компании SpaceX: впервые с помощью их ракеты Falcon9 спутник отправился за пределы земной орбиты.

Поскольку L3 в системе Солнце — Земля все время остается скрытой за Солнцем, астрономы не видят большого смысла отправлять туда технику. Хотя в 2007 году НАСА все же запустило в L3 два спутника STEREO на поиски Противоземли. У этой гипотетической планеты, впервые появившейся на бумагах пифагорейцев, постепенно появлялись все новые имена: ее называли Антиземлей, Антихтоном, Глорией и Вулканом. Считалось, что она находится на том же удалении от Солнца, что и наша планета, и движется синхронно с ней. Земной двойник появлялся и на древнеегипетских гробницах: в центре изображений находилось светило, связывающее прямыми линиями две одинаковые сферы по разные стороны от него.

Таинственный объект не давал астрономам покоя столетиями: начиная с XVII века его наблюдал директор Парижской обсерватории Джованни Кассини, приняв Глорию за спутник Венеры (хотя позже выяснилось, что у нее вообще нет лун); в том же месте, что и Кассини, неизвестное серповидное тело видели в XVIII веке с интервалом в года астрономы Джеймс Шорт, Иоганн Майер и Жак Монтень. Однако после этого загадочная планета исчезла, и никому не удавалось ее обнаружить. Но ее существование объяснило бы несостыковки в движении Венеры и Марса, которые то отстают от своего графика, то опережает его, и появилась новая гипотеза: Глория имеет такую траекторию, что увидеть ее с Земли можно лишь раз в ограниченный отрезок времени — например, в тысячелетие. Впрочем, зонды, запущенные НАСА, не нашли в районе точки L3 никакого земного антипода, и мнения ученых разделились: одни утверждали, что его никогда там и не было, другие же сочли, что он просто сошел со своей орбиты.

Космические воины

L4 и L5 находятся посередине двух массивных тел, и силы их притяжения соотносятся в тех же пропорциях, что и массы. Поэтому они по-настоящему стабильны, и попавшие в них объекты могут остаться там навсегда.

L4 и L5 системы Солнце — Земля находятся на расстоянии 150 млн километров от нашей планеты. Там не находится никаких рукотворных сооружений, зато они изобилуют важными для ученых астрономическими находками и их активно изучают в окраинах всех планет.

Несмотря на то что основной дом для астероидов этого типа — Юпитер, троянцев находят также рядом с Марсом, Нептуном и Ураном. В земной точке L4 есть всего один такой объект — 2010 ТК7, 300-метровая скала, которую обнаружил инфракрасный космический телескоп НАСА Wide-Field Infrared Survey Explorer (WISE).

На поиски астероидов в троянской системе Земли возлагают большие надежды: поскольку добраться туда значительно проще, чем до Луны, именно с них может начаться промышленное освоение космоса.

С их поверхности можно осуществлять более экономичный старт, и их можно использовать для добычи железа, никеля и титана. Впрочем, 2010 ТК7 едва ли сможет обогатить человечество: его орбита наклонена, из-за чего троянец колеблется в вертикальной плоскости настолько сильно, что полет к нему потребует вдвое большего количества топлива, чем к любому другому околоземному астероиду.

В троянской системе Сатурна астероидов нет, зато наблюдаются спутники. Они обращаются не вокруг Солнца, а вокруг планеты — вернее, вокруг одной из многочисленных ее лун. Наиболее крупная — Тефия — имеет два троянских спутника, Телесто и Калипсо, следующая по величине — Диона — сопровождается Еленой и Полидевком. Тефия и Диона в несколько сотен раз тяжелее сателлитов и значительно легче самой планеты, и именно это делает их систему столь стабильной.

Республика Лагранжия для колонистов

привычную для человеческого организма. Физик решил обеспечить станцию атмосферой, состоящей на 40% из кислорода и на 60% — из азота, с давлением, равным половине земного. Такое соотношение помогло бы сохранить воздух и ослабить нагрузку на стены, а внешние щиты из реголита уберегли бы членов экипажа от губительного действия космического излучения. Корабль снабжен промышленным блоком, где можно производить различные материалы, и кольцами, которые также крутятся с разными скоростями, обеспечивая условия для ведения внутри судна сельского хозяйства.

Несмотря на то что О’Нилл и его последователи доказали миру, что создать в космосе пригодные для жизни человека условия действительно возможно, проект так и не осуществили. И дело не только в его высокой стоимости: хоть строительство станции и оценили в $100 млрд (по курсу 1970-х годов), на ней предусмотрена система зеркал, которая будет передавать на Землю солнечную энергию, что позволит окупить сооружение меньше чем за 10 лет. Астрофизик предусмотрел много деталей, но так и не смог решить проблему экологии: вывод на орбиту большого количества грузов будет оставаться крайне нежелательным до тех пор, пока не будет изобретен космический лифт.

Земля по ту сторону Солнца

Области Лагранжа — настоящий дар для писателей, создающих научно-фантастические произведения. Помещая в точки либрации космические станции или обсерватории, они придают своим работам реалистичность. Это стержень, на который можно нанизывать элементы психологической драмы, криминального триллера или приключенческого романа.

Ступенька к космосу

На задворках Солнечной системы

Литература

James Carlson, Arthur Jaffe, Andrew Wiles. The Millennium Prize Problems. American Mathematical Society, 2006.

Joseph-Louis Lagrange. Essai sur le probleme des trois corps // Ouvres. Gauthier-Villars, Paris. 1772. Vol. 6, pp. 272–292.

Leonhard Euler. Considerationes de motu corporum coelestium //Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1764. Vol. 10, pp. 544–558.

C.M. Linton. From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

John North. Cosmos: An Illustrated History of Astronomy and Cosmology. Chicago: University of Chicago Press, 2008.

Neil deGrasse Tyson. The Five Points of Lagrange // Natural History Magazine. 2002. April.

Stuart Clark. Do Gravity Holes harbor planetary assassins? / New Scientist. 2009. Feb. 18.

Воробьев И. Троянцы // Квант. — М., 1976. — № 5. — С. 11—16.

Martin Connors, Paul Wiegert, Christian Veillet. Earth’s Trojan asteroid // Nature. 475 (7357): 481–483. (27 July 2011).

F. Marzari, C. Murray, C. Lagerkvist and H. Scholl. Origin and evolution of Trojan asteroids // Asteroids III, eds. W.F. Bottke Jr. et al, University of Arizona Press, Tucson, Arizona, 725-738.

Gerald K. O’Neill. The Colonization of Space // Physics Today. September 1974.

Gerard K. O’Neill. The High Frontier. William Morrow and Co., NY, 1977; Anchor Books (Doubleday) 1982.

O’Neill, Gerard K. The High Frontier: Human Colonies in Space. — New York: William Morrow & Company, 1977.

T.A. Heppenheimer. Colonies in Space. National Space Society, 2007.

David Brandt-Erichsen. Brief History of the L5 Society // Ad Astra, the magazine of the National Space Society, Nov.-Dec., 1994.

Lyall F., Larsen P.B. Space law: a treatise. Ashgate Publishing, Ltd., 2009.

Adam Hadhazy. How We Could Actually Build a Space Colony // Popular Mechanics, Oct 2, 2014.

Burch, G. B. (1954). The Counter-Earth. Osiris, 11, 267–294.

Эдгар Уоллес. Планетоид 127 // Экзотический детектив. Том 5. Последняя граница. Планетоид 127 (сборник). Пермь: Янус, 1996.

Ben Barzman. Out of This World. London: Collins, 1960.

Владимир Набоков. Ада, или Радости Страсти: Семейная хроника //Набоков В. Собр. соч. американского периода: в 5 т. СПб.: Симпозиум, 2000. Т. 4.

Jeff Rovin. A Pictorial History of Science Fiction Films. New Jersey: Secaucus, 1975.

Leonard Maltin. Leonard Maltin’s Movie Guide 2015: The Modern Era. New York: Plume, 2014.

Fred Scharmen. Ground into Sky — The Topology of Interstellar // The Avery Review No. 6, 2015.

Артур Кларк. Свидание с Рамой. Фонтаны Рая. Лунная пыль (сборник). М.: ЭКСМО, 2014.

Роберт Хайнлайн. Фрайди. Киев: Альтерпресс, 1993.

Mak Raynolds. Lagrange Five. New York: Bantam Books, 1979.

John E. Stith. Memory Bank. New York: Ace, 1986.

Ed Naha. Paradise Plot. New York: Bantam Books, 1980.

Ben Bova. Colony. New York: Pocket, 1978.

Harry Harrison. Starworld. New York: Bantam, 1981.

Larry Niven. Protector. New York: Del Ray, 1973.

Larry Niven, Jerry Pournell. A Mote in the God’s Eye. New York: Simon & Schuster, 1974.

Точки Лагранжа – это области в системе двух космических тел с большой массой, в которых третье тело с небольшой массой, может быть неподвижным на протяжении долгого периода времени относительно этих тел.

Общие сведения

В астрономической науке точки Лагранжа называют еще точками либрации (либрация от лат. librātiō – раскачивание) или L-точками. Впервые они были обнаружены в 1772 году известным французским математиком Жозефом Луи Лагранжем.

Точки Лагранжа наиболее часто упоминаются при решении ограниченной задачи трех тел. В этой задаче три тела имеют круговые орбиты, но масса одного из них меньше массы любого из двух других объектов. Два крупных тела в этой системе обращаются вокруг общего центра масс, имея постоянную угловую скорость. В области вокруг этих тел находится пять точек, в которых тело, масса которого меньше массы любого из двух крупных объектов, может оставаться неподвижным. Это происходит за счет того, что силы гравитации, которые действуют на это тело, компенсируются центробежными силами. Эти пять точек и называются точками Лагранжа.

Расположение ближайших точек Лагранжа и примеры точек

Диаграмма, показывающая положения точек Лагранжа

В независимости от типа массивных небесных тел, точки Лагранжа всегда будут иметь одинаковое местоположение в пространстве между ними. Первая точка Лагранжа находится между двумя массивными объектами, ближе к тому, который имеет меньшую массу. Вторая точка Лагранжа находится за менее массивным телом. Третья точка Лагранжа находится на значительном расстоянии за телом, обладающим большей массой. Точное место расположения этих трех точек рассчитывается при помощи специальных математических формул индивидуально для каждой космической двойной системы, учитывая ее физические характеристики.

Если говорить о ближайших к нам точкам Лагранжа, то первая точка Лагранжа в системе Солнце-Земля будет находиться на расстоянии полтора миллиона километров от нашей планеты. В этой точке притяжение Солнца будет на два процента сильнее, чем на орбите нашей планеты, в то время как уменьшение необходимой центростремительной силы будет в два раза меньше. Оба этих эффекта в данной точке будут уравновешены гравитационным притяжением Земли.

Первая точка Лагранжа в системе Земля-Солнце является удобным наблюдательным пунктом за главной звездой нашей планетарной системы – Солнцем. Именно здесь ученые-астрономы стремятся разместить космические обсерватории для наблюдения за этой звездой. Так, к примеру, в 1978 году вблизи этой точки расположился космический аппарат ISEE-3, предназначенный для наблюдения за Солнцем. В последующие годы в район этой точки были запущены космические аппараты SOHO, DSCOVR, WIND и ACE.

Вторая и третья точки Лагранжа

Гайя, телескоп, расположившийся во второй точке Лагранжа

Четвертая и пятая точки Лагранжа

Троянские астероиды Юпитера в представлении художника

Четвертая и пятая точки Лагранжа называются треугольными. Если в системе, состоящей из двух массивных космических объектов, вращающихся вокруг общего центра масс, на основе линии, соединяющей эти объекты, мысленно начертить два равносторонних треугольника, вершины которого будут соответствовать положению двух массивных тел, то четвертая и пятая точки Лагранжа будут находиться в месте третьих вершин данных треугольников. То есть, они будут находиться в плоскости орбиты второго массивного объекта в 60 градусах сзади и впереди него.

Материалы по теме

В данный момент четвертая и пятая точки Лагранжа в двойной системе Солнце-Земля никак не используются. В 2010 году в четвертой точке Лагранжа этой системы ученые обнаружили достаточно крупный астероид. В пятой точке Лагранжа на данном этапе никаких крупных космических объектов не наблюдается, однако последние данные говорят нам о том, что там находится большое скопление межпланетной пыли.

Точки Лагранжа, точки либрации ( librātiō — раскачивание) или L-точки — точки в системе из двух массивных тел, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой, не испытывающее воздействие никаких других сил, кроме гравитационных, со стороны двух первых тел, может оставаться неподвижным относительно этих тел.

Более точно точки Лагранжа представляют собой частный случай при решении так называемой ограниченной задачи трёх тел — когда орбиты всех тел являются круговыми и масса одного из них намного меньше массы любого из двух других. В этом случае можно считать, что два массивных тела обращаются вокруг их общего центра масс с постоянной угловой скоростью. В пространстве вокруг них существуют пять точек, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой может оставаться неподвижным во вращающейся системе отсчёта, связанной с массивными телами. В этих точках гравитационные силы, действующие на малое тело, уравновешиваются центробежной силой.

Точки Лагранжа получили своё название в честь математика Жозефа Луи Лагранжа, который первым в 1772 году привёл решение математической задачи, из которого следовало существование этих особых точек.

Расположение точек Лагранжа

Схема пяти лагранжевых точек в системе двух тел, когда одно тело намного массивнее другого (Солнце и Земля). В такой системе точки L3, L4, L5 показаны на самой орбите, хотя фактически они будут находиться немного за ней

Все точки Лагранжа лежат в плоскости орбит массивных тел и обозначаются заглавной латинской буквой L с числовым индексом от 1 до 5. Первые три точки расположены на линии, проходящей через оба массивных тела. Эти точки Лагранжа называются коллинеарными и обозначаются L₁, L₂ и L₃. Точки L₄ и L₅ называются треугольными или троянскими.

L₁ находится между двумя телами системы, ближе к менее массивному телу, L₂ — снаружи, за менее массивным телом и L₃ — за более массивным. Расстояния от центра масс системы до этих точек в первом приближении по α рассчитываются с помощью следующих формул:

R — расстояние между телами, M₁ — масса более массивного тела, M₂ — масса второго тела.

Точка L₁ лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M₁ и M₂ (M₁ > M₂), и находится между ними, вблизи второго тела. Её наличие обусловлено тем, что гравитация тела M₂ частично компенсирует гравитацию тела M₁. При этом чем больше M₂, тем дальше от него будет располагаться эта точка.

Пример: Объекты, которые движутся вокруг Солнца ближе, чем Земля, как правило, имеют меньшие орбитальные периоды, чем у Земли, если они не входят в зону влияния земного притяжения. Если объект находится непосредственно между Землёй и Солнцем, то действие земной силы тяжести отчасти компенсирует влияние гравитации Солнца, за счёт этого происходит увеличение орбитального периода объекта. Причём чем ближе к Земле находится объект, тем сильнее этот эффект. И наконец, на определённом приближении к планете — в точке L₁ — действие земной силы тяжести уравновешивает влияние солнечной гравитации настолько, что период обращения объекта вокруг Солнца становится равным периоду обращения Земли. Для нашей планеты расстояние до точки L₁ составляет около 1,5 млн км. Притяжение Солнца здесь (118 мкм/с²) на 2 % сильнее, чем на орбите Земли (116 мкм/с²), тогда как снижение требуемой центростремительной силы вдвое меньше (59 мкм/с²). Сумма этих двух эффектов уравновешивается притяжением Земли, которое составляет здесь также 177 мкм/с². Использование

В системе Солнце—Земля точка L₁ может быть идеальным местом для размещения космической обсерватории для наблюдения Солнца, которое в этом месте никогда не перекрывается ни Землёй, ни Луной. Первым космическим аппаратом, работавшим вблизи этой точки, был запущенный в августе 1978 года аппарат ISEE-3 . Аппарат вышел на периодическую гало-орбиту вокруг этой точки 20 ноября 1978 года и был сведён с этой орбиты 10 июня 1982 года (для исполнения новых задач). На такой же орбите с мая 1996 года работает аппарат SOHO. Аппараты ACE, WIND и DSCOVR находятся на квази-периодических орбитах Лиссажу́ близ этой же точки, соответственно, с 12 декабря 1997, 16 ноября 2001 и 8 июня 2015 года.

Точка L2 в системе Солнце — Земля, располагающаяся далеко за пределами орбиты Луны

Точка L₂ лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M₁ и M₂ (M₁ > M₂), и находится за телом с меньшей массой. Точки L₁ и L₂ располагаются на одной линии и в пределе M₁ ≫ M₂ симметричны относительно M₂. В точке L₂гравитационные силы, действующие на тело, компенсируют действие центробежных сил во вращающейся системе отсчёта.

Пример: у объектов, расположенных за орбитой Земли, орбитальный период почти всегда больше, чем у Земли. Но дополнительное влияние на объект силы тяжести Земли, помимо действия солнечной гравитации, приводит к увеличению скорости вращения и уменьшению времени оборота вокруг Солнца, в результате в точке L₂орбитальный период объекта становится равным орбитальному периоду Земли.

Если M₂ много меньше по массе, чем M₁, то точки L₁ и L₂ находятся на примерно одинаковом расстоянии r от тела M₂, равном радиусу сферы Хилла :

где R — расстояние между компонентами системы.

Это расстояние можно описать как радиус круговой орбиты вокруг M₂, для которой период обращения в отсутствие M₁ в раз меньше, чем период обращения M₂ вокруг M₁.

Примеры

В системе Солнце — Земля: 1 500 000 км от Земли
Земля — Луна: 61 500 км от Луны

Три из пяти точек Лагранжа расположены на одной оси, соединяющей два тела

Точка L₃ лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M₁ и M₂ (M₁ > M₂), и находится за телом с большей массой. Так же, как для точки L₂, в этой точке гравитационные силы компенсируют действие центробежных сил.

Пример: Точка L₃ в системе Солнце — Земля находится за Солнцем, на противоположной стороне земной орбиты. Однако, несмотря на свою небольшую гравитацию (по сравнению с гравитацией Солнца), Земля всё же оказывает на него небольшое влияние, поэтому точка L₃ находится не на самой орбите Земли, а чуть дальше от Солнца, чем Земля, так как вращение происходит не вокруг Солнца, а вокруг барицентра). В результате в этой точке L₃ достигается такое сочетание гравитации Солнца и Земли, что объекты, находящиеся в этой точке, движутся с таким же орбитальным периодом, как и наша планета.

Орбитальные космические аппараты и спутники, расположенные вблизи точки L₃, могут постоянно следить за различными формами активности на поверхности Солнца, в частности, о появлении новых пятен или вспышек, и оперативно передавать информацию на Землю (например, в рамках системы раннего предупреждения о космической погоде NOAA Space Weather Prediction Center ). Кроме того, информация с таких спутников может быть использована для обеспечения безопасности дальних пилотируемых полётов, например к Марсу или астероидам. В 2010 году были изучены несколько вариантов запуска подобного спутника .

L₄ и L₅

Гравитационное ускорение в точке L4

Если на основе линии, соединяющей оба тела системы, построить два равносторонних треугольника, две вершины которых соответствуют центрам тел M₁ и M₂, то точки L₄ и L₅ будут соответствовать положению третьих вершин этих треугольников, расположенных в плоскости орбиты второго тела в 60 градусах впереди и позади него.

Наличие этих точек и их высокая стабильность обусловливается тем, что, поскольку расстояния до двух тел в этих точках одинаковы, то силы притяжения со стороны двух массивных тел соотносятся в той же пропорции, что их массы, и таким образом результирующая сила направлена на центр масс системы; кроме того, геометрия треугольника сил подтверждает, что результирующее ускорение связано с расстоянием до центра масс той же пропорцией, что и для двух массивных тел. Так как центр масс является одновременно и центром вращения системы, результирующая сила точно соответствует той, которая нужна для удержания тела в точке Лагранжа в орбитальном равновесии с остальной системой. (На самом деле, масса третьего тела и не должна быть пренебрежимо малой). Данная треугольная конфигурация была обнаружена Лагранжем во время работы над задачей трёх тел. Точки L₄ и L₅ называют треугольными (в отличие от коллинеарных).

Расстояния от центра масс системы до этих точек в координатной системе с центром координат в центре масс системы рассчитываются по следующим формулам:

, R — расстояние между телами, M₁ — масса более массивного тела, M₂ — масса второго тела.

Примеры

Равновесие в точках Лагранжа

Тела, помещённые в коллинеарных точках Лагранжа, находятся в неустойчивом равновесии. Например, если объект в точке L₁ слегка смещается вдоль прямой, соединяющей два массивных тела, сила, притягивающая его к тому телу, к которому оно приближается, увеличивается, а сила притяжения со стороны другого тела, наоборот, уменьшается. В результате объект будет всё больше удаляться от положения равновесия.

Такая особенность поведения тел в окрестностях точки L₁ играет важную роль в тесных двойных звёздных системах. Полости Роша компонент таких систем соприкасаются в точке L₁, поэтому, когда одна из звёзд-компаньонов в процессе эволюции заполняет свою полость Роша, вещество перетекает с одной звезды на другую именно через окрестности точки Лагранжа L₁.

Несмотря на это, существуют стабильные замкнутые орбиты (во вращающейся системе координат) вокруг коллинеарных точек либрации, по крайней мере, в случае задачи трёх тел. Если на движение влияют и другие тела (как это происходит в Солнечной системе), вместо замкнутых орбит объект будет двигаться по квазипериодическим орбитам, имеющим форму фигур Лиссажу. Несмотря на неустойчивость такой орбиты, космический аппарат может оставаться на ней в течение длительного времени, затрачивая относительно небольшое количество топлива.

В отличие от коллинеарных точек либрации, в троянских точках обеспечивается устойчивое равновесие, если M₁/M₂ > 24,96 . При смещении объекта возникают силы Кориолиса, которые искривляют траекторию, и объект движется по устойчивой орбите вокруг точки либрации.

Практическое применение

Полости Роша для двойной звёздной системы (обозначены жёлтым)

Исследователи в области космонавтики давно уже обратили внимание на точки Лагранжа. Например, в точке L₁ системы Земля — Солнце удобно разместить космическую солнечную обсерваторию — она никогда не будет попадать в тень Земли, а значит, наблюдения могут вестись непрерывно. Точка L₂ подходит для космического телескопа — здесь Земля почти полностью заслоняет солнечный свет, да и сама не мешает наблюдениям, поскольку обращена к L₂ неосвещенной стороной. Точка L₁ системы Земля — Луна удобна для размещения ретрансляционной станции в период освоения Луны. Она будет находиться в зоне прямой видимости для большей части обращённого к Земле полушария Луны, а для связи с ней понадобятся передатчики в десятки раз менее мощные, чем для связи с Землёй.

В настоящее время несколько космических аппаратов, в первую очередь, астрофизических обсерваторий, размещены или планируются к размещению в различных точках Лагранжа Солнечной системы:

Читайте также: