Схема гибели и размножения доклад

Обновлено: 28.06.2024

Рассмотрим еще одну типичную схему непрерывных марковских цепей - так называемую схему гибели и размножения, часто встречающуюся в разнообразных практических задачах.

Марковский процесс с дискретными состояниями S₀, S₁, . S_n называется процессомгибели и размножения, если все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S₁, S₂, .
S_n_-1) может переходить только в соседние состояния, которые, в свою очередь, переходят обратно, а крайние состояния (S₀ и S_n) переходят только в соседние состояния (рис. 3.7).

Название взято из биологических задач, где состояние популяции S_k означает наличие в ней k единиц особей.

Переход вправо связан с размножением единиц, а влево - с их гибелью.

Рис. 3.7. Граф состояний для процесса гибели и размножения

У l и μ индекс того состояния, из которою стрелка выходит.

С состоянием S_k связана неслучайная величина Х_k: если система S в момент времени t находится в состоянии S_k, то дискретная случайная величина X(t), связанная с функционированием системы, принимает значение k. Таким образом, получаем случайный процесс Х(t), который в случайные, заранее неизвестные моменты времени скачком изменяет свое состояние.

Марковским процессом гибели и размножения с непрерывным временем называется такой случайный процесс, который может принимать только целые неотрицательные значения. Изменения этого процесса могут происходить в любой момент времени, т. е. в любой момент времени он может либо увеличиться на единицу, либо уменьшиться на единицу, либо остаться неизменным.

Пример 1.Рассмотрим эксплуатацию моделей автомобилей одной марки в крупной транспортной фирме (на предприятии). Интенсивность поступления автомобилей на предприятие равна l(t). Каждый поступивший на предприятие автомобиль списывается через случайное время T_c. Срок службы автомобиля t распределен по показательному закону с параметром m. Процесс эксплуатации автомобилей является случайным процессом. A(t) - число автомобилей данной марки, находящихся в эксплуатации в момент t. Найдем одномерный закон распределения случайного процесса P_i(t) = P, если: 1) нет ограничений на число эксплуатируемых машин, 2) на предприятии может эксплуатироваться не более n автомобилей.

1. Случайный процесс эксплуатации автомобилей есть процесс гибели и размножения, размеченный граф которого представлен на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Граф состояний

Система уравнений Колмогорова, соответствующая этому графу, имеет вид

где i = 1, 2, …

Если в начальный момент времени t = 0 на предприятии не было ни одного автомобиля, то решать эту систему уравнений нужно при начальных условиях P₀(0) = 1, P_i(0) = 0 (i = 1, 2, …). Если при t = 0 на предприятии было k автомобилей (k = 1, 2, . ), то начальные условия будут иметь вид

P_k(0) = 1, P_i(0) = 0 (i = 1, 2, …, i ¹ k).

2. Если на предприятии может эксплуатироваться не более nавтомобилей моделей одной марки, то имеет место процесс гибели и размножения с ограниченным числом состояний, размеченный граф которого представлен на рис. 3.9.

Рис. 3.9. Граф состояний

Система уравнений Колмогорова для размеченного графа (рис. 3.9) имеет вид (3.4).

Эту систему надо решать при начальных условиях, рассмотренных выше. Решения систем уравнений (3.4) и (3.5) являются одномерными законами распределения Р_i(t). Отыскание решений систем в общем виде при произвольном виде функции l(t) представляет значительные трудности и не имеет практических приложении.

При постоянных интенсивностях потоков гибели и размножения и конечном числе состояний будет существовать стационарный режим. Система S с конечным числом состояний (n + 1), в которой протекает процесс гибели и размножения с постоянными интенсивностями потоков гибели и размножения, является простейшей эргодической системой. Размеченный граф состояний для такой системы представлен на рис. 3.9.

Предельные (финальные) вероятности состояний для простейшего эргодического процесса гибели и размножения, находящегося в стационарном режиме, определяются по следующим формулам:

Правило. Вероятность k-гo состояния в схеме гибели и размножения равна дроби, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей размножения, стоящих левее S_k, а в знаменателе - произведение всех интенсивностей гибели, стоящих левее S_k, умноженной на вероятность кранного левого состояния системы P₀.

В предыдущем примере для стационарного режима если интенсивность поступления автомобилей постоянная (l(t) = l = const), то финальные вероятности состояний при условии, что нет ограничений на число автомобилей на предприятии, равны

При этом математическое ожидание числа эксплуатируемых автомобилей равно его дисперсии:

M[A(t)] = D[A(t)] = l/m. (3.10)

Если существует ограничение по числу автомобилей на предприятии (не более n), то финальные вероятности можно записать в таком виде:

где ρ = l/m.

где k = 0, 1, 2, . n.

Математическое ожидание числа эксплуатируемых автомобилей в стационарном режиме

Пример 2. В состав поточной лини входит четыре станка. Бригада в составе четырех человек обслуживающего персонала проводит профилактический ремонт каждого из них. Суммарный поток моментов окончания ремонтов для всей бригады - пуассоновский с интенсивностью l(t). После окончания ремонта станок проверяется; с вероятностью Р он оказывается работоспособным (время проверки мало, и им можно пренебречь по сравнению со временем профилактики). Если станок оказывается неработоспособным, то вновь проводится его профилактика (время на которую не зависит от того, проводилась ли она ранее) и т. д. В начальный момент все станки нуждаются в профилактическом ремонте. Требуется:

1. Построить граф состояний для системы S (четыре станка).

2. Написать дифференциальные уравнения для вероятностей состояний.

3. Найти математическое ожидание числа станков M_t, успению прошедших профилактику к моменту t.

Граф состояний показан на рис. 3.10, в котором:

S₀ – все четыре станка нуждаются в профилактическом ремонте;

S₁ – один станок успешно прошел профилактику, а три нуждаются в профилактическом ремонте;

S₂ – два станка успешно прошли профилактику, а два нуждаются в профилактическом ремонте;

S₃ – три станка успешно прошли профилактику, один нуждается в профилактическом ремонте;

S₄ – все четыре станка успешно прошли профилактику.

Рис. 3.10. Граф состояний системы

Каждый профилактический ремонт успешно заканчивается с вероятностью P, что равносильно P-преобразованию потока окончаний ремонтов, после которого он останется пуассоновским, но с интенсивностью Pl(t). В этом примере мы имеем дело с процессом чистого размножения с ограниченным числом состояний.

Уравнения Колмогорова имеют следующий вид:

Начальные условия P₀(0) = 1, P₁(0) = … = P₄(0) = 0. При постоянной интенсивности l(t) = l и вероятности состоянии определяются по следующим формулам:

Математическое ожидание числа дисков, успешно прошедших профилактику к моменту t, равно

Пример 3. Рассмотрим производство автомобилей на заводе. Поток производимых автомобилей - нестационарный пуассоновский с интенсивностью l(t). Найдем одномерный закон распределения случайною процесса X(t) - число выпушенных автомобилей к моменту времени t, если в момент t = 0 начат выпуск автомобилей.

Очевидно, что здесь процесс чистого размножения без ограничения на число состояний, при этом l_i(t) = l(t), так как интенсивность выпуска автомобилей не зависит от того, сколько их уже выпушено. Граф состояний такого процесса показан на рис. 3.11.

Рис. 3.11. Граф состояний

Одномерный закон распределения случайного процесса Х(t) для графа, изображенного на рис. 3.11, определяется следующей системой уравнений Колмогорова:

Так как число выпушенных автомобилей X(t) на любой фиксированный момент t распределено по закону Пуассона с параметром

Рассмотренный в этом примере процесс X(t) называетсянеоднородным процессом Пуассона. Если интенсивность l(t) = l = const, то получим однородный процесс Пуассона. Для такого процесса при P₀(0) = 1, P_i(0) = 0 (i > 0)

Характеристиками процесса Пуассона будут

Задача 1. Имеется прибор, который состоит из четырех узлов; поток отказов – простейший, среднее время безотказной работы каждого узла равно 11 час. Отказавший узел сразу начинает ремонтироваться; среднее время ремонта узла равно 2 час. (поток восстановления простейший). Найти среднюю производительность прибора, если при четырех работающих узлах она равна 100%, при трех 60%, при двух и менее прибор вообще не работает.

Данная тема крайне актуальна ввиду высокой значимости марковских процессов в исследовании экономических, экологических и биологических процессов, кроме того, марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в настоящее время активно используется в различных экономических направлениях, в том числе управлении процессами на предприятии.

Марковские процессы гибели и размножения находят широкое применение в объяснении различных процессов происходящих в биосфере, экосистеме и т.д. Надо отметить, что данный тип марковских процессов получил свое название именно вследствие широкого применения в биологии, в частности моделируя гибель и размножение особей различных популяций.

В данной работе будут использованы процессы гибели и размножения при решении задачи, целью которой является нахождение приблизительного количества пчел в отдельно взятой популяции.

В рамках теоретической части будут написаны алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний. Очевидно, что если две непрерывные цепи Маркова имеют одинаковые графы состояний и различаются только значениями интенсивностей ,

то можно сразу найти предельные вероятности состояний для каждого из графов в отдельности, достаточно составить и решить в буквенном виде уравнения для одного из них, а затем подставить вместо соответствующие значения. Для многих часто встречающихся форм графов линейные уравнения легко решаются в буквенном виде.

Для записи алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний возьмем некую задачу.

Пример. Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать); отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Состояния системы нумеруем по числу неисправных узлов:

S₀ — все три узла исправны;

S₁ — один узел отказал (восстанавливается), два исправны;

S₂ — Два узла восстанавливаются, один исправен;

S₃ — все три узла восстанавливаются.

Схема гибели и размножения очень часто встречается в самых разнообразных практических задачах; поэтому имеет смысл заранее рассмотреть эту схему в общем виде и решить соответствующую систему алгебраических уравнений с тем, чтобы в дальнейшем, встречаясь с конкретными процессами, протекающими по такой схеме, не решать задачу каждый раз заново, а пользоваться уже готовым решением.

Итак, рассмотрим случайный процесс гибели и размножения с графом состояний, представленным на рис. 1.3

Напишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний. Для первого состояния S₁ имеем:

Для второго состояния S₂ суммы членов, соответствующих входящим и выходящим стрелкам, равны:

Но, в силу (1.2), можно сократить справа и слева равные друг другу члены и получим:

и далее, совершенно аналогично,

Одним словом, для схемы гибели и размножения члены, соответствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой:

где k принимает все значения от 2 до n.

Итак, предельные вероятности состояний р_ъ р₂ > . р_п в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям:

и нормировочному условию:

Решим эту систему следующим образом: из первого уравнения (1.4) выразим р₂ :

из второго, с учетом (1.6), получим

из третьего, с учетом (1.7):

Эта формула справедлива для любого k от 2 до п.

Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведение всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) стоящих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние S_k ; в знаменателе — произведение всех интенсивностей , стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния S_k . При k=n в числителе будет стоять произведение интенсивностей , стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе — у всех стрелок, идущих справа налево.

Итак, все вероятности выражены через одну из них: . Подставим эти выражения в нормировочное условие: . Получим:

Остальные вероятности выражаются через

Процессы Маркова, в частности гибели и размножения, используют для описания работы и анализа широкого класса систем с конечным числом состояний, в которых происходят неоднократные переходы из одного состояния в другое под воздействием каких-либо причин. В таких системах они происходят случайным образом, скачкообразно в произвольный момент времени, когда наступают некоторые события (потоки событий). Как правило, они бывают двух типов: одно из них условно называют рождением объекта, а второе — его гибелью.

Естественное размножение пчелиных семей — роение — с точки зрения протекающих в системе в текущий момент времени процессов можно рассматривать как вероятностный процесс, когда семья в определенный момент времени может перейти из рабочего состояния в роевое. В зависимости от различных факторов, как контролируемых технологических, так и слабоконтролируемых биологических и климатических, оно может закончиться роением или возвратом семьи в рабочее состояние. При этом семья может неоднократно переходить то в одно, то в другое состояние. Таким образом, для описания математической модели процесса роения допустимо применять теорию однородных процессов Маркова.

Вероятность перехода пчелиной семьи в роевое состояние в первую очередь будет определяться интенсивностью проходящих в ней процессов, приводящих к роению λ, и противороевых приемов μ, которые зависят от технологий, используемых для снижения ройливости семей. Следовательно, чтобы влиять на обсуждаемые процессы, необходимо изменить интенсивность и направленность потоков λ и μ (рис. 1).

Решим практическую задачу, касающуюся процесса роения у пчел.

Для начала построим граф, похожий на граф на рис 1, с интенсивностями перехода в то или иное состояние.

Где - это рабочее состояние, - роевое состояние, - роение.

Имея интенсивности перехода в то или иное состояние, можем найти предельные вероятности состояний для данного процесса.

Используя формулы, приведенные в теоретической части находим:

Получив предельные вероятности состояний, можем свериться с таблицей с целью нахождения приблизительного числа особей (сот шт. пчел) и количество отобранных рамок с расплодом, получаем, что, скорее всего, было отобрано 5000 пчел и одна рамка с расплодом.

В данной работе была приведена теоретическая справка, а также практическое применение марковским процессам гибели и размножения на примере пчелиной популяции, также была решена практическая задача с использованием марковского процесса гибели и размножения.

Было показано, что марковские процессы имеют прямое отношение ко многим процессам, происходящим в окружающей среде и в экономике. Также марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в свою очередь является незаменимой в экономике, в частности при управлении предприятием и различными процессами, происходящими в нем.

На мой взгляд марковские процессы гибели и размножения безусловно полезны в различных сферах деятельности человека, но у них есть ряд недостатков, в частности система из любого своего состояния непосредственно может перейти только в соседнее с нею состояние. Данный процесс не отличается особой сложностью и сфера его применения немного узко-специализирована, но, тем не менее, данный процесс может использоваться в сложных моделях в качестве одного из компонента новой модели, например при моделировании документооборота в компании, задействовании станков в цеху и так далее.

Существует широкий класс систем, которые меняют свои состояния в случайные моменты времени . Как и в предыдущем случае, в этих системах рассматривается процесс с дискретными состояниями ,S_. S_" />
. Например, переход объекта от исправного состояния к неисправному, соотношение сил сторон в ходе боя и т. п. Оценка эффективности таких систем определяется с помощью вероятностей каждого состояния (t)" />
на любой момент времени , " />
.

Чтобы определить вероятности состояния системы (t)" />
для любого момента времени необходимо воспользоваться математическими моделями марковских процессов с непрерывным временем (непрерывных марковских процессов).

При моделировании состояния систем с непрерывными марковскими процессами мы уже не можем воспользоваться переходными вероятностями " />
, так как вероятность "перескока" системы из одного состояния в другое точно в момент времени равна нулю (как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины).

$\lambda_<ij> Поэтому вместо переходных вероятностей вводятся в рассмотрение плотности вероятностей переходов$
:

$\lambda_<ij> = \lim_(\Delta t)>>,$

где (\Delta t)" />
- вероятность того, что система, находившаяся в момент времени в состоянии " />
за время перейдет в состояние " />
.

С точностью до бесконечно малых второго порядка из приведенной формулы можно представить:

$p_ (\Delta t) \approx \lambda_ \cdot \Delta t$

Непрерывный марковский процесс называется однородным,если плотности вероятностей переходов " />
не зависят от времени (от момента начала промежутка ). В противном случае непрерывный марковский процесс называется неоднородным.

. Эти вероятности находятся интегрированием системы дифференциальных уравнений Колмогорова.

Сформулируем методику моделирования по схеме непрерывных марковских процессов.

Определить состояния системы и плотности вероятностей переходов " />
.
Составить и разметить граф состояний.
Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Число уравнений в системе равно числу состояний. Каждое уравнение формируется следующим образом.
B левой части уравнения записывается производная вероятности -го состоянии (t)>" />
.
В правой части записывается алгебраическая сумма произведений p_(t)" />
и p_(t)" />
. Число произведений столько, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка графа направлена в данное состояние, то соответствующее произведение имеет знак плюс, если из данного состояния - минус.
Определить начальные условия и решить систему дифференциальных уравнений.

Пример 2.2. Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для нахождения вероятностей состояний системы, размеченный граф состояний которой представлен на рис. 2.3.

$\left \< \begin \cfrac = \lambda_p_3(t) - \lambda_p_1(t) - \lambda_p_1(t) \\ \cfrac = \lambda_p_1(t) + \lambda_p_3(t) - \lambda_p_2(t) \\ \cfrac = \lambda_p_1(t) + \lambda_p_2(t) - \lambda_p_3(t) - \lambda_p_3(t) \end$

Поэтому любое из первых трех уравнений можно исключить, как линейно зависимое.

Для решения уравнений Колмогорова необходимо задать начальные условия. Для рассмотренного примера 2.2, можно задать такие начальные условия: (0) = 1" />
, (0) = p_(0) = 0" />
.

Однородный марковский процесс с непрерывным временем можно трактовать как процесс смены состояний под влиянием некоторого потока событий. То есть плотность вероятности перехода можно трактовать как интенсивность потока событий, переводящих систему из -го состояния в -е. Такими потоками событий являются отказы техники, вызовы на телефонной станции, рождение и т. п.

При исследовании сложных объектов всегда интересует: возможен ли в исследуемой системе установившейся (стационарный) режим? То есть, как ведет себя система при ? Существуют ли предельные значения (k), p_(t)" />
? Как правило, именно эти предельные значения интересуют исследователя.

Ответ на данный вопрос дает теорема Маркова.

Если для однородного дискретного марковского процесса с конечным или счетным числом состояний все \succ 0" />
, то предельные значения (k)" />
существуют и их значения не зависят от выбранного начального состояния системы.

существуют и их значения не зависят от выбранного начального состояния.

она не сможет перейти ни в какое другое состояние.

2.3. Схема гибели и размножения

Часто в системах самого различного назначения протекают процессы, которые можно представить в виде модели "гибели и размножения".

Граф состояний такого процесса показан на рис. 2.5.

Особенностью модели является наличие прямой и обратной связей с каждым соседним состоянием для всех средних состояний; первое и последнее (крайние) состояния связаны только с одним "соседом" (с последующим и предыдущим состояниями соответственно).

Название модели - "гибель и размножение" - связано с представлением, что стрелки вправо означают переход к состояниям, связанным с ростом номера состояния ("рождение"), а стрелки влево - с убыванием номера состояний ("гибель").

Очевидно, стационарное состояние в этом процессе существует. Составлять уравнения Колмогорова нет необходимости, так как структура регулярна, необходимые формулы приводятся в справочниках, а также в рекомендованной литературе.

Для приведенных на рис. 2.5 обозначений формулы имеют вид:

$\begin > > = \cfrac>>><<<\mu _<21>>>> + \cfrac<<<\lambda _<12>><\lambda _<23>>>><<<\mu _<21>><\mu _<32>>>> + \cfrac<<<\lambda _<12>><\lambda _<23>><\lambda _<34>>>><<<\mu _<21>><\mu _<32>><\mu _<43>>>> + \ldots + \cfrac<<<\lambda _<12>><\lambda _<23>> \ldots <\lambda _<n - 1,n>>>><<<\mu _<21>><\mu _<32>> \ldots <\mu _<n,n - 1>>>>>>;> \\ = \cfrac<<<\lambda _<12>><\lambda _<23>>>><<<\mu _<21>><\mu _<32>>>>*; \ldots ; = \cfrac<<<\lambda _<12>><\lambda _<23>> \ldots <\lambda _<n - 1,n>>>><<<\mu _<21>><\mu _<32>> \ldots <\mu _<n,n - 1>>>>*.> \end>& <\left( <2.2>\right)> \end$

Пример 2.3. Имеется система из двух одинаковых и работающих параллельно компьютеров.

Требуется определить надежностные характеристики этой системы.

В этой системе возможны три состояния:

- оба компьютера исправны;

- один компьютер исправен, другой ремонтируется;

- оба компьютера неисправны и ремонтируются. Будем полагать, что процессы отказов и восстановлений - однородные марковские, одновременный выход из строя обоих компьютеров, как и одновременное восстановление двух отказавших компьютеров практически невозможно.

, важно, что один.

С учетом сказанного, ситуация моделируется схемой "гибели и размножения" (рис. 2.6).

" />
, " />
- интенсивности потоков отказов;

" />
, " />
- интенсивности потоков восстановлений.

Пусть среднее время безотказной работы каждого компьютера = 10\;сут" />
, а среднее время восстановления одного компьютера _ = 0,1\;сут" />
.

Тогда интенсивность отказов одного компьютера будет равна <\overline> = \cfrac = 0,1\;\cfrac" />
, а интенсивность восстановления одного компьютера - <\overline_> = \cfrac = 10\;\cfrac" />
.

работают оба компьютера, следовательно:

$\lambda_<12> = 2\lambda = 2*0,1 = 0,2\;\cfrac.$

работает один компьютер , значит:

$\lambda_<23> = \lambda = 0,1\;\cfrac.$

восстанавливается один компьютер , тогда:

$\mu_<21> = \mu = 10\;\cfrac.$

восстанавливаются оба компьютера:

$\mu_<32> = 2\mu = 20\;\cfrac.$

Используем зависимости (2.2). Вероятность состояния, когда обе машины исправны:

$<P_1> = \cfrac>>><<<\mu _<21>>>> + \cfrac<<<\lambda _<12>><\lambda _<23>>>><<<\mu _<21>><\mu _<32>>>>>> = \cfrac>> + \cfrac>>>> = \cfrac> = 0,98.$

(работает один компьютер ):

$P_2 = \cfrac<\lambda_<12> ><\mu_<21>>*P_1 = 0,02*0,98 = 0,0196.$

Аналогично вычисляется и " />
. Хотя найти " />
можно и так:

$<P_3> = 1 - \left( + > \right) = 1 - \left( \right) = 1 - 0,9996 = 0,0004.$

Пример 2.4. В полосе объединения работают передатчики противника. Подразделение операторов-связистов армейской контрразведки ведет поиск передатчиков по их радиоизлучениям. Каждый оператор, обнаружив передатчик противника, следит за его частотой, при этом новым поиском не занимается. В процессе слежения частота может быть потеряна, после чего оператор снова осуществляет поиск .

Разработать математическую модель для определения эффективности службы подразделения операторов. Под эффективностью понимается среднее число обнаруженных передатчиков за установленный промежуток времени.

Будем считать, что наши операторы и радисты противника обладают высокой квалификацией, хорошо натренированы. Следовательно, можно принять, что интенсивности обнаружения частот передатчиков противника и потерь слежения - постоянны. Обнаружение частоты и ее потеря зависят только от того, сколько запеленговано передатчиков в настоящий момент и не зависят от того, когда произошло это пеленгование. Следовательно, процесс обнаружения и потерь слежения за частотами можно считать непрерывным однородным марковским процессом.

Исследуемое свойство этой системы пеленгации: загруженность операторов, что, очевидно, совпадает с числом обнаруженных частот.

- количество операторов;

- количество передатчиков противника, полагаем ;

$\overline<m> $
- среднее число операторов, ведущих слежение ;

$\overline<n> $
- среднее число запеленгованных передатчиков;

$\lambda$

- интенсивность пеленгации передатчика противника одним оператором;

$\mu$

- интенсивность потока потерь слежения оператором;

" />
- текущая численность запеленгованных передатчиков .

В системе пеленгации возможны следующие состояния:

" />
- запеленгованных передатчиков нет, поиск ведут операторов, вероятность состояния " />
;

" />
- запеленгован 1 передатчик, поиск ведут операторов, вероятность состояния " />
;

" />
- запеленгованы 2 передатчика, поиск ведут операторов, вероятность состояния " />
;

" />
- запеленгованы " />
передатчиков, вероятность " />
;

" />
- запеленгованы передатчиков, вероятность " />
.

$\overline<n> Цель моделирования -$
- достигается вычислением:

$\overline<n> = \sum_^P_\cdot n.$

Как и в примере 2.3 полагаем, что одновременное обнаружение или потеря двух и более частот практически невозможно. Граф состояний системы показан на рис. 2.7.

Граф соответствует процессу "гибели и размножения", полносвязный, число состояний системы конечно, значит, установившийся режим, и предельные значения вероятностей в системе пеленгации существуют.

Пусть, к примеру, количество операторов , а количество передатчиков противника . В этом случае граф состояний имеет вид (рис. 2.8):

$\lambda = \mu$

Для упрощения вычислений примем . Тогда для этой схемы "гибели и размножения" по зависимостям (2.2) имеем:

$\begin > = \cfrac> <\mu >+ \cfrac<<12\lambda *6\lambda >><<\mu *2\mu >> + \cfrac<<12\lambda *6\lambda *2\lambda >><<\mu *2\mu *3\mu >>>> = \cfrac> = \cfrac> \approx 0,0137;> \\ \approx 0,168; \approx 0,5; \approx 0,33.> \end$

$\overline<n> = \sum\limits_^3 >>> = 0*0,0137 + 1*0,168 + 2*0,5 + 3*0,33 = 2,17.$

Таким образом, в условиях данного примера в среднем будут пеленговаться не менее двух передатчиков противника.

Непрерывный марковский процесс полностью определяется значениями плотностей вероятностей переходов " />
, " />
. Ранее был установлен их физический смысл как интенсивности потоков событий, переводящих систему из одного состояния в другое. Поток событий в однородных непрерывных марковских процессах характеризуется экспоненциальным законом распределения случайных интервалов времени между событиями. Такой поток называют простейшим или стационарным пуассоновским.

Предположим, что марковская цепь с непрерывным временем определяется двумя типами событий, рождением и гибелью. Рождение – это событие, которое приводит к росту популяции (система из состояния переходит в состояние ), гибель – это событие, которое приводит к уменьшению популяции (система из состояния переходит в состояние ). Размеченный граф состояний системы, соответствующий процессу гибели и размножения, показан на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Граф системы, описываемой процессом гибели и размножения.

Опишем события рождение и гибелью более подробно [15]. Предварительно введем обозначения:

, если ,

, , , (3.1)

1. Рождение. Если размер популяции в момент равен , то вероятность того, что на интервале появится одно рождение (т. е. вероятность перехода системы из состояния в состояние ) равна и что появится более одного рождения – . Рождения, появляющиеся на интервале , не зависят от времени появления последнего события.

2. Гибель. Если размер популяции в момент равен , то вероятность того, что на интервале появится одна гибель (т. е. вероятность перехода системы из состояния в состояние ) равна и что появится более одной гибели – . Гибели, появляющиеся на интервале , не зависят от времени появления последнего события.

3. Если размер популяции в момент равен нулю (равен ), то вероятность появления гибели (рождения) в интервале равна нулю.

4. Для любого размера популяции рождения и гибели происходят независимо друг от друга.

Пусть – размер популяции (состояние системы) в момент . Определим

, . (3.2)

и введем события:

Очевидно, что , , . Тогда, в силу постулатов 1-4 и независимости событий , , можем записать:

(3.3)

В переходных вероятностях (3.3) параметры , используются как параметры рождения и гибели для популяции, имеющей размер , при этом не уточняется, как именно эти параметры зависят от размера популяции.

Определение 3.1. Процесс , описываемый соотношениями (3.1) – (3.3), называется обобщенным процессом гибели и размножения.

Общий метод получения одномерного распределения процесса , т. е. вероятностей

, (3.4)

основан на использовании для процесса гибели и размножения уравнений Колмогорова-Чепмена

, . (3.5)

Введем события , . Положим . Тогда для переходов, появляющихся на непересекающихся интервалах времени и и основанных на вероятностях (3.3), уравнения (3.5) с учетом обозначения (3.4) принимают вид:

(3.6)

, .

Перенося в левую часть, деля все выражение (3.6) на и переходя к пределу при , получаем систему дифференциальных уравнений

, . (3.7)

Это и есть система прямых уравнений Колмогорова для процесса гибели и размножения при начальных условиях , .

Решение однородной системы дифференциальных уравнений (3.7) имеет сложную форму и может быть получено следующим образом. Запишем систему (3.7) в матричном виде (матричное уравнение Колмогорова)

, (3.8)

где – вектор начальных условий и

= .

Формально решение задачи Коши (3.8) можно определить как:

. (3.9)

т. е. матрица является резольвентой, или нормированной фундаментальной матрицей этой задачи Коши. Так как – матрица конечного порядка, то ряд (3.9) сходится, и его сумма – это единственное решение системы уравнений (3.7). Поскольку матрица якобиева (трехдиагональная) и для всех , то все характеристические числа матрицы являются вещественными и простыми [7]. Следовательно, можно представить в виде , где – диагональная матрица с различными характеристическими числами на главной диагонали,

(3.10)

где – диагональная матрица. В следующем разделе мы рассмотрим некоторые частные случаи матрицы .

3.2 Примеры

Рассмотрим два примера, в каждом из которых предполагаем, что (в нулевой момент времени система находится в состоянии ). Решение в обоих случаях не зависит от состояния системы в начальный момент времени и представляется вектором вероятностей состояний , .

Пример 3.1. Процесс Юла [15]. Положим , (рождаемость и гибель в популяции возрастают линейно в зависимости от размера популяции). Матрица системы в этом случае имеет вид

Можно показать [1], что для процесса Юла

, (3.11)

, , (3.12)

Вероятности образуют геометрическое распределение с модифицированным начальным членом.

В задаче Юла уместно исследовать вопрос, выродится ли когда-либо популяция? Поведение вероятности дает ключ для ответа на этот вопрос. Обозначим

. (3.13)

Согласно (3.11) находим

(3.14)

что согласуется с интуитивным представлением о том, что если скорость гибели больше скорости рождаемости, то популяция вырождается.

3.3 Предельные вероятности состояний,
.

Так как при , правые части системы уравнений (3.7) стремятся к определенным пределам, то и левые их части должны иметь предел. Этот предел равен нулю, так как в противном случае, если какая-либо производная стремится к числу отличному от нуля, то соответствующая вероятность неограниченно возрастает по абсолютной величине при , что невозможно.

Пусть – предельные вероятности состояний . Тогда (3.7) запишется в виде:

, . (3.15)

Запишем два первых равенства (3.15):

В силу первого равенства второе может быть переписано в виде . Очевидно, это рассуждение может быть продолжено. В результате система (3.15) переписывается в виде:

, (3.16)

Будем решать эту систему следующим образом. Из первого уравнения (3.16) находим . Из второго уравнения с учетом предыдущего получим и т. д. Окончательное решение имеет вид:

, . (3.17)

Структура выражения (3.17) следующая: в числителе стоят интенсивности , характеризующие движение по графу системы слева направо от до ; в знаменателе стоят интенсивности , характеризующие движение справа налево от до .

Подставляя все вероятности (3.17) в условие нормировки , находим :

. (3.18)

Соотношения (3.17), (3.18) дают окончательные выражения для предельных вероятностей в процессе гибели и размножения.

Пусть , , , , , . Согласно (3.18) получаем

Далее согласно (3.17) находим:

, , .

Пример 3.3. Простой процесс гибели и размножения [15]. Положим , . В этом случае согласно (3.17), (3.18) имеем:

, (3.19)

,. (3.20)

В частности, если и , то

, ,. (3.21)

Замечание 3.1. Данный пример описывает одноканальную систему массового обслуживания с ожиданием (, где – длина очереди).

Читайте также:

Схема гибели и размножения доклад

2.3. Схема гибели и размножения

3.2 Примеры

3.3 Предельные вероятности состояний, .

3.3 Предельные вероятности состояний,
.