Решение практических задач в профессиональной деятельности с помощью производной доклад

Обновлено: 14.05.2024

Производной функции в данной точке называется
предел отношения приращения функции в этой
точке к приращению аргумента, когда приращение
аргумента стремится к нулю.
f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x) lim
x 0
x

5. О Т В Е Т Ы

6. Решение практических задач с помощью производной

7. Скажи мне, и я забуду. Покажи мне, и я запомню. Дай мне действовать самому, И я научусь Конфуций

Тангенс угла наклона
касательной к графику
некоторой функции равен
значению производной в
абсциссе точки касания
Уравнение
касательной к
графику
некоторой
функции в точке с
абсциссой а имеет
вид:
Y=f(a)+f’(a)(x-a)
f ‘(x)

Применяется при вычислении
угла наклона орудия, при
определении калибра орудия,
при расчете траектории полета
снаряда.
1. Снаряд движется по
траектории, заданной
формулой у=4х³-3х+5.
Каков будет угол
наклона в точке с
абсциссой х0=0,5
f ‘(x)

f ‘(x)
Применяется при расчете скорости и ускорения
машины, величины тормозного пути, при
выявлении нарушений при движении
автомобиля.

Машина движется по автостраде
так, что расстояние от начальной
точки изменяется по закону S=5t-0,5t²
(м), где t – время движения в секундах.
Найдите скорость тела через 2
секунды после начала движения.

Из города выезжают 2 автомобиля и
некоторое время движутся по законам
s1(t) = -t²+6t и s2(t)=4t. Какое
расстояние будет между ними, когда их
скорость станет одинаковой?

Рокер движется по прямой дороге г.
Набережные Челны так, что
расстояние S до него от поста ГАИ
изменяется по закону S=4+3t-0,5t² (м),
где t – время движения в секундах.
Рассчитайте тормозной путь его
мотоцикла.

14. Примеры физических величин и их производных

Плотность-производная массы по
объёму
Сила-производная работы по
перемещению
Мощность-производная работы по
времени
Скорость-производная координаты по
времени

Ускорение-производная скорости по
времени
Давление-производная силы по
площади
ЭДС индукции-производная магнитного
потока по времени
Сила тока-производная заряда по
времени

16. Задача№1

Скорость школьного автобуса
массой 5 т возрастает
по
закону υ = 0,1t3 + 0,2t.
Определить равнодействующую
всех сил, действующих на него
в момент времени 2 с.
Решение
F ma m
F m(0,1t 3 0,2t ) m(0,3t 2 0,2)
F 5000(0,3 4 0,2) 7000( Н ) 7кН

17. Задача№2

Уравнение колебаний тела на
пружине имеет вид x = 5cos 2t.
В какой ближайший момент
времени скорость тела будет
максимальной?

1. Пусть Q (t) количество теплоты, которое
необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 00С
до температуры t0 (по Цельсию), известно, что в
диапазоне 00

В процессе изучения производной в школьном курсе математики рассматриваются некоторые её приложения в физике, а также ряд текстовых задач на нахождение наибольшего или наименьшего значений. Однако сфера производной применения этим не ограничивается. Например, существует масса реальных экономических задач, для решения которых необходимо использовать методы дифференциального исчисления.

Метод нахождения экстремальных значений функции имеет важнейшее, ключевое значение для решения большого класса задач из разных разделов курса физики, математики, экономики и других наук. Специфика этих задач включает получение на основе некоторых физических и математических закономерностей функциональной зависимости и нахождение экстремального значения. В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач.

Цель: исследовать применение производной в различных областях науки и техники.

Задачи: 1)рассмотреть применение производной в практической деятельности;2) подбор физических и экономических задачи на экстремум; 3) показать применение производной к выяснению истинности неравенств.

Методы исследования: анализ и решение, сравнение результатов с реальной действительностью.

Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда надо отыскать наилучший способ решения какой-либо задачи, и математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений. Важным условием повышения эффективности производства и улучшения качества продукции является широкое внедрение математических методов в технику. Среди задач математики большую роль отводят задачам на экстремумы, т.е. задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значения, наилучшего, наиболее выгодного, наиболее экономного. С такими задачами приходиться иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы получилось как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать прибор на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты стараются спланировать прикрепление заводов к источникам сырья так, чтобы транспортные расходы оказывались минимальными.

ГЛАВА I. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ПРАКТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

§1. Геодезия

Если расстояние между точками B и C достаточно велико, то к найденному (с помощью угломерных инструментов) значению повышения точки B над точкой C прибавляют так называемую поправку на кривизну Земли: , где R – радиус Земли, l – длина горизонтальной проекции отрезка BC.

Докажем указанную выше формулу для поправки . Рассмотрим рис. 1, на котором штрихами изображена поверхность океана, точка O – центр Земли. Пусть точка C лежит на поверхности океана, а точка B принадлежит горизонтальной плоскости, проходящей через точку C. Так как в таком случае угол между лучом CB и горизонтальным направлением (оно определяется с помощью отвеса) равен нулю, то из точки C нам покажется, что точки B и C имеют одинаковую высоту. Согласившись с этим, мы допустим погрешность .

§2. Транспорт

В практике проектирования сети автомобильных дорог часто возникает необходимость устройства узла разветвления. Местоположение узла и взаимное расположение проходящих через него дорог определяется комплексом экономических и географических условий, но первый, предварительный этап решение этой задачи учитывает лишь затраты рабочего времени на перевозки, причём в качестве вспомогательной решается вначале следующая задача.

Каким должен быть угол примыкания (рис. 2) дороги (CE) к автомагистрали (AB), чтобы затраты времени на перевозки по маршруту AEC были наименьшими, если скорость движения автомобилей по магистрали планируется равной, а по объездной дороге – ()? Проведем через точку C перпендикуляр к прямой AB и обозначим длину отрезка CD через h, а длину отрезка AD через l. Тогда получим: , . Отсюда находим время движения автомобиля по маршруту AEC: . Так как точка A зафиксирована условно, определяя лишь направление движение по магистрали, то может изменяться в промежутке . Задача свелась к отысканию наименьшего значения в промежутке значения функции на указанном промежутке.

Найдём производную . Так как , то производная на рассматриваемом промежутке обращается в нуль лишь в одной точке , причём при и при . Это означает, что на промежутке функция t убывает, а на промежутке возрастает. Следовательно, рассматриваемая функция t при достигает наименьшего значения.

§3. Мелиорация

Площадь поперечного сечения канала называют его живым сечением, а длину границы такого сечения называют смоченным периметром канала. С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено, что из всех каналов с заданным живым сечением наибольшей пропускной способностью и одновременно наименьшей фильтрацией отличаются каналы с наименьшим смоченным периметром. Про такие каналы говорят, что они имеют гидравлически наивыгоднейший профиль.

В мелиоративной практике часто сооружаются каналы или лотки с поперечным сечением в форме прямоугольника, треугольника, трапеции и сегмента круга. Поэтому представляет интерес расчет гидравлически наивыгоднейшого профиля для каналов такой формы.

При каком отношении глубины к ширине канал прямоугольного сечения имеет гидравлически наивыгоднейший профиль? Пусть x – ширина канала, – его живое сечение. Тогда глубина канала , а его смоченный периметр (рис. 3): .

Требуется найти наименьшее значение функции на промежутке . Найдем производную: . Так как , при и при , то функция в точке достигает наименьшего значения.

Итак, ширина канала в рассматриваемом случае должна быть , глубина , а искомое отношение равно 0,5.

Сечение канала – равнобедренная трапеция (рис. 4) с углом откоса таким, что . При каком отношении ширины дна канала к его глубине он имеет гидравлически наивыгоднейший профиль? Пусть ширина дна канала b, а его глубина h. Тогда , , (1), . Из (1) получаем, что , а значит (0 2, то .

Решение. Рассмотрим функцию . Найдем ее производную: .

Отсюда видно, что при x > 2 имеем , т.е. .

Итак, проверяемое утверждение справедливо.

Пример 3. Известно, что если числа и заключены между 0 и и , то . Верно ли неравенство ?

Решение. Рассмотрим вспомогательную функцию . Имеем при . Следовательно, на возрастает, и поэтому при , т.е. проверяемое неравенство верно.

Пример 4. Пусть p и q – положительные числа, . Тогда, очевидно, , . Можно ли гарантировать, что неравенство верно а) при ; б) при ?

Решение. а) Рассмотрим функцию . Имеем: . Отсюда видно, что при функция возрастает. В частности, она возрастает на интервале . Поэтому при проверяемое неравенство справедливо.

б) На интервале , т.е. убывает. Поэтому при любых p и q, для которых , проверяемое неравенство неверно, а верно неравенство противоположного смысла .

§2. От числовых неравенств – к функциональным

Пример 5. Что больше: или ; или ; или ; или ; или ?

Решение. Все эти задачи сводятся к такой вспомогательной функциональной задаче.

Если , то при каких условиях верно неравенство (1), а при каких условиях верно неравенство ? Неравенство (1) равносильно таким неравенствам: , .

Рассмотрим вспомогательную функцию (2) и выясним, в каком промежутке она будет возрастать. Имеем . Понятно, что при и при . Поэтому функция (2) возрастает на и убывает на . Иными словами, если , то , ; если же , то , . Значит, , но , , , .

§3. Неравенства с несколькими переменными

Пример 6. Выяснить, что больше при : или . Решение. Нам предстоит сравнить с числом 1 дробь . Рассмотрим на вспомогательную функцию . Выясним, будет ли она монотонна на отрезке . Для этого найдем ее производную. После упрощений получим: при . В силу теоремы 1 функция возрастает на отрезке . Поэтому при , т.е. , при .

Пример 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных a, b, c неравенство (3).

Решение. Пусть . Рассмотрим функцию . При имеем . Отсюда видно, что убывает на . Поэтому при имеем , т.е. мы получили неравенство (4). Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию . При имеем: . Следовательно, убывает на , т.е. при , значит, (5). Из (4) и (5) следует (3).

Примечание. Обратим внимание на то, что из (3) следует: при любом выборе положительных чисел x, y, z . Для доказательства достаточно заметить, что можно считать и что можно подобрать числа a, b, c так, чтобы , , ; затем привлекаем (3).

Для выяснения истинности неравенства иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:

Теорема 2. Пусть функция непрерывна на и пусть имеется такая точка c из , что на и на . Тогда при любом x из справедливо неравенство , причем равенство имеет место лишь при .

Пример 8. Проверьте, справедливо ли для всех действительных x следующее неравенство: .

Решение. Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого найдем производную . Отсюда видно, что на и на . Следовательно, в силу теоремы 2 , т.е. справедливо проверяемое неравенство, причем равенство имеет место лишь .

Пример 9. Пусть a, b, p, q – положительные числа и (6). Проверить справедливость неравенства .

Решение. Данное неравенство равносильно такому , т.е. (7).

Рассмотрим на вспомогательную функцию и выясним, где она возрастает, а где убывает. . В силу (6) имеем , и поэтому . Отсюда имеем, что при и при . Поэтому функция на убывает, а на возрастает. Следовательно, на функция принимает свое наименьшее значение при . Поэтому , причем равенство возможно лишь при , т.е. .

Учитывая (6), нетрудно посчитать, что , следовательно, справедливо неравенство (7), а значит, и проверяемое неравенство.

§4. Доказательство неравенств Гюйгенса

Для нахождения приближенных значений числа геометры со времен Архимеда до середины XVII века пользовались неравенствами (8), где C – длина окружности, и - периметры правильных n-угольников, соответственно вписанного в эту окружность и описанного около нее.

Пусть R – радиус окружности. Тогда , , ; неравенства (10) принимают вид (если положить ради краткости ): . Или после упрощений: (11). Мы докажем, что неравенства (11) верны для всех чисел из (а не только для чисел вида ). После элементарных преобразований видим, что нам предстоит доказать следующие два неравенства (при ): (12), (13).

Доказательство неравенства (12). Рассмотрим на функцию (14). Найдем на : . Следовательно, убывает на , так что при имеем , т.е. (15).

Доказательство неравенства (13). Рассмотрим на функцию . Если покажем, что на возрастает, то получим, в частности, при , т.е. (13) будет доказано.

Вычислим и выясним, будет ли на . . После элементарных упрощений находим (см. (14)) , где определяется формулой (14). Так как при (см. (15)), то при , т.е. возрастает на . Поэтому при . Но это означает, что неравенство (13) справедливо.

Заключение

Математика служит основой естественных и технических наук, без нее ныне не мыслима ни одна современная технология. Кроме того, математика активно внедряется в экономику. Приступая к данному исследованию, мы ставили перед собой задачу: применение производной на нахождение экстремальных значений функции в различных областях практической деятельности. Для этого:

были выбраны задачи из сборников задач по физике и подготовке к единому государственному экзамену, в которых требовалось найти наименьшее или наибольшее значение;

выполнено решение подобранных задач;

выполнена классификация задач по разделам физики, математики и экономики.

Применение производной довольно широко и его сложно полностью охватить в работе такого типа, однако, мы попытались раскрыть основные, базовые моменты. В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач. Можно сказать, что задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значения, имеют большое практическое применение. В данной работе показано решение таких задач.

Литература

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 классы, М., Просвещение, 2003.

Москалев А.Н., Никулова Г.А. Готовимся к единому государственному экзамену. Физика. М., Дрофа, 2007.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Департамент агропромышленного комплекса, торговли и продовольствия ЯНАО

Автор – составитель: Диулина В.П.

Салехард, 2017 г.

Автор – составитель: Диулина В.П., преподаватель математики

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………………….18

ПРиМОЖЕНИЯ………………………………………………………………. 19ВВЕДЕНИЕ

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного экономиста.

Использование математических методов формирует так называемый математический стиль мышления, т.е. абстрактный, логический, идеально строгий и – самое главное – нацеленный на поиск закономерностей. Профессионал, грамотно и аккуратно применяющий математические методы, способен принести пользу в любой сфере деятельности, в том числе и экономике.

Математика является фундаментальной общеобразовательной дисциплиной со сложившимся устойчивым содержанием и общими требованиями к подготовке обучающихся.

Профильная составляющая отражается в требованиях к подготовке обучающихся в части:

– общей системы знаний: содержательные примеры использования математических идей и методов в профессиональной деятельности;

– умений: различие в уровне требований к сложности применяемых алгоритмов;

– практического использования приобретенных знаний и умений: индивидуального учебного опыта в построении математических моделей, используемых в экономических расчетах.

В данной методической разработке показано практическое применение производной на примере решения задач в области физики, химии и экономики. Материал данного занятия способствует развитию логического мышления, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности экономиста, для продолжения образования и самообразования. Овладение математическими знаниями и умениями, применяемыми при решении задач по экономической теории, способствует успешному усвоению дисциплин профессионального цикла и становлению будущего специалиста. Данное занятие направлено на воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры.

Дидактическая цель данного занятия – формирование у студентов умений применять математические методы в освоении естественно-научных дисциплин, а также практических умений, необходимых при изучении дисциплин профессионального цикла.

В методическую разработку входят:

– педагогическая структура учебного занятия;

– методическая структура учебного занятия;

Структура учебного занятия:

– организация начала занятия;

– основная часть: актуализация опорных знаний обучающихся, мотивация учебной деятельности, изучение нового материала (применение производной при решении физически, химических и экономических задач), контроль усвоенных знаний и освоенных умений, подведение итогов занятия;

– информация о домашнем задании;

Для реализации целей обучения использовались объяснительно-иллюстративные технологии, проблемное обучение.

В результате проведения данного занятия у обучающихся формируются не только умения вычисления производной, но и профессионально важные умения по применению производной и практический опыт применения математических знаний в будущей профессиональной деятельности.

Применяемая методика: индивидуальное выполнение студентами задания по практическому решению задачи на изготовление бака и вычислению объема.

Применяемая методика: решение задач

Рефлексия. (5 мин)
Подведение итогов урока (3 мин)
Задание на дом (2 мин)

Сценарий занятия

1. Организационный момент

Взаимные приветствия преподавателя и студентов, фиксация отсутствующих, проверка внешнего состояния аудиторного помещения, проверка подготовленности группы к занятию, организация внимания и внутренней готовности.

2. Мотивационная беседа: (2 мин.)

Слайд 1 Решение прикладных задач с применением производной

На предыдущем занятии мы рассмотрели решение заданий на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции с помощью производной, определили алгоритм решения таких заданий. Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда надо отыскать наилучший способ решения какой-либо задачи, и математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений. Важным условием повышения эффективности производства и улучшения качества продукции является широкое внедрение математических методов в технику. Среди задач математики большую роль отводят задачам на экстремумы, т. е. задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значения, наилучшего, наиболее выгодного, наиболее экономного. С такими задачами приходиться иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы получилось как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать прибор на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты стараются спланировать прикрепление заводов к источникам сырья так, чтобы транспортные расходы оказывались минимальными. Можно сказать, что задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значения, имеют большое практическое применение.

Слайд 2 Задачи на оптимизацию

Сегодня на уроке мы и займемся решением таких задач.Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего (т.е. наилучшего) значения величин называются задачами на оптимизацию.Давайте подумаем, какие задачи на оптимизацию вам, как сварщикам, возможно, предстоит решать в работе.

3. Решение задачи на сварку бака наибольшего объема

Слайд 3 Задача на изготовление бака наибольшего объема

Представьте себе, что вам поступил заказ: Из квадратного листа железа необходимо изготовить бак в форме прямоугольного параллелепипеда с наибольшим объемом. Давайте практическим путем определим, какие параметры должен иметь этот бак?

4. Объяснение нового материала

Слайд 4 Принцип математического моделирования

В самых простых задачах на оптимизацию м имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причем надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает наибольшее или наименьшее (наилучшее в данных условиях) значение.

Задачи на оптимизацию решают, используя принцип математического моделирования, который состоит из трех этапов:

Составление математической модели
Работа с составленной моделью
Ответ на вопрос задачи

Используя принцип математического моделирования, решим задачу на изготовление бака наибольшего объема.

1 этап: Составление математической модели:

1) Проанализировав условия задачи, выделим оптимизируемую величину, т.е. величину, наибольшее или наименьшее значение которой необходимо найти. В данном случае это объем бака, обозначим его V

2) Одну из участвующих в задаче величин обозначить за независимую переменную х. Постараться выразить через эту переменную остальные величины. В нашей задаче логично за независимую переменную х принять высоту бака, тогда основание бака – квадрат со стороной (24-2х). Определим реальные границы переменной х. Логично, что высота бака –положительная величина, меньшая 12.

3) Исходя из условия задач, выразим V через х:

V(х)=(24-2x) 2 x, 0 2 +4x 3

Находим производную и стационарные точки

V'(x)=576-192x+12x 2 , 576-192x+12x 2 =0, х₁=12,х₂=4.

Только одна точка х=4 принадлежит интервалу (0;12), причем при 0 0, а при 4 2 )'=

Найти производную функции:

Определение точки минимума

Определение точки максимума

Алгоритм нахождения наибольшего значения функции на отрезке

Алгоритм нахождения наименьшего значения функции на отрезке

Слайд 6. Математический диктант. Ответы

Найти производную функции:

Точка минимума–такая стационарная точка, при переходе через которую производная меняет знак с – на +

Точка максимума – такая стационарная точка, при переходе через которую производная меняет знак с+ на -

1. найти значение функции на концах отрезка

2. найти стационарные точки

3. найти значение функции в стационарных точках

4. из найденных значений выбрать наибольшее

1. найти значение функции на концах отрезка

2. найти стационарные точки

3. найти значение функции в стационарных точках

4. из найденных значений выбрать наименьшее

6. Организация самостоятельной деятельности обучающихся по решению задачи 2

Итак, повторив правила дифференцирования и некоторые понятия диф.исчисления, решим задачу №2, использую этапы математического моделирования.

Слайд 7. Задача 2.

Дан бак без крышки в форме прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат и объем которого равен 108 дм 3 . При каких размерах бака на его изготовление пойдет наименьшее количество материала?

1. Составляем математическую модель

Что является оптимизируемой величиной?

Площадь деталей, из которых сварен бак

Сколько таких деталей?

Одно основание и 4 боковых грани

Что представляет собой дно бака?

х 2 , приняв сторону основания за х

Что представляют собой боковые грани?

4 равных прямоугольника

Сколько неизвестных величин, от которых зависит оптимизируемая величина? можно ли свести к одной?

Сторона основания бака и высота

Выразим высоту hчерез х

V=hx 2 108=hx 2 h=

Выразим площадь через х

Каковы параметры х?

Стационарная точка является точкой экстремума? (точкой максимума или минимума)

Да, х=6 точка минимума

Наименьшее значение функции S(x) достигается в точке минимума?

Да, т.к. на интервале (0;108) функция непрерывна

3. Ответ на вопрос задачи.

В данной задаче какой смысл имеет найденная величина х?

Сторона основания бака

Какие еще параметры имеет бак?

Каково ее значение?

Ответ на вопрос задачи

Наименьшее количество материала на изготовление бака при ширине основания 6 дм и высоте 3 дм

(Устное обсуждение и письменное решение на доске)

8.Закрепление изученного материала

Обучающиеся делятся на 4 группы. Каждая группа получает задачу для решения по образцу, алгоритму. Затем представитель от группы объясняет у доски свое решение

Сварщику поступил заказ выполнить ограждение участка площадью 2400м 2 , разбивего на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина ограждения была наименьшей. Найти размеры участков.

Требуется сварить ящик с крышкой объёмом 576 дм³, стороны основания ящика должны относиться как 1:2. Какой должна быть величина его сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. У сварщика есть 20 метров изгороди. Надо огородить участок так, чтобы площадь его была наибольшая

Требуется изготовить открытыйжестяной короб в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, с наименьшим объемом, если на его изготовление можно потратить жести 300см 2

9. Рефлексия.

Сиквейн - короткое нерифмованное стихотворение из 5 строк. Классический сиквейн составляется следующим образом :

первая строка - одно слово(существительное или местоимение), выражающее тему,
вторая строка - два слова (прилагательное или причастие), описывающие свойства, признаки темы,
третья строка - три слова (глаголы или деепричастия), описывающие действие темы,
четвертая строка - фраза или предложение из четырех слов, выражающее отношение автора к теме,
одно слово(любая часть речи), выражающее суть темы, резюме.

Обучающиеся составляют в группе сиквейн по теме данного занятия

10. Подведение итогов урока

Ребята, наше занятие подходит к концу. Я хочу вас всех поблагодарить, вы все большие молодцы: были активны, благодаря чему мы с вами достигли поставленных целей: получили представление о математическом моделировании как способе решения прикладных задач; учились с помощью производной решать задачи на оптимизацию.

Читайте также: