Подобие в пространстве доклад

Обновлено: 18.05.2024

После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.

Подписи к слайдам:

Скажи мне — и я забуду, покажи мне — и я запомню, дай мне сделать — и я пойму.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
ПОВОРОТ

При движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок.
Сохраняются расстояния между точками.
Сохраняются углы между лучами.

Что такое подобие и где оно встречается?

Все матрешки имеют одинаковое лицо,

костюмы и пропорции. Значит они являются

ПОДОБНЫМИ ФИГУРАМИ. Что такое подобные фигуры? Простым языком

Это те фигуры, которые

имеют разные массы, размеры, но

Где встречается подобие? Посмотрите вокруг.

Мы живем в мире подобия. В самом Человеке заложен Принцип Подобия, каждый его орган или часть тела подобна всему телу. Даже все люди похожи. У каждого из нас одинаковый набор органов. У каждого два уха, два глаза и тп.

Мы живем на планете Земля, наша планета подобна другим планетам. Она такая же круглая как и все планеты во вселенной.

Вот некоторые подобия которые встречаем мы в жизни:

Посмотрите на рисунке 4 вида мячей. Они все имеют разные размеры и массы, но одинаковую форму - круга.

В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными.

А для чего нам нужно подобие?

Для решения задач. А вы знали, что при помощи зеркала можно найти высоту рядом находящегося предмета. Как измерить высоты дерева с которым мы стоим рядом?

Отойдя на некоторое расстояние от дерева, зеркало следует положить на землю так, чтобы оно приняло горизонтальное положение. Затем нужно постепенно отходить назад до тех пор, пока в зеркале удастся увидеть отражение вершины дерева.
Высота дерева будет во столько раз больше роста человека (до высоты глаз), во сколько расстояние от зеркала до дерева больше расстояние от зеркала до места стояния человека .

Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз.

Две фигуры F и F' называются подобными, если одна из них переводится в другую подобием.

число k называется коэффициентом подобия.

Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка лежит между точками — соответствующие их образы при некотором подобии, то также лежит между точками.

Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.

Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.

При подобии угол сохраняет величину.

Подобие с коэффициентом , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом.

Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения и некоторой гомотетии с положительным коэффициентом.

Подобие называется собственным (несобственным), если движение является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.

Два треугольника являются подобными, если их соответственные углы равны, или стороны пропорциональны.

Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).

Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Зафиксируем точку O и положительное число k. Каждой точке Х плоскости, отличной от O сопоставим точку Х' на луче OХ так, что OХ' = k  OХ. Точке O сопоставим ее саму.

Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х' , построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра O.

Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т. е. для любых двух точек X и У фигуры F и точек X', У фигуры F', в которые они переходят , X'Y' = k * XY . Определение: Преобразование подобия в пространстве Фигура называется подобной фигуре F , если существует подобие пространства, отображающая фигуру F на фигуру Определение:

Основные свойства подобных фигур Свойство транзитивности. Если фигура F1 подобна фигуре F2 и фигура F2 подобна фигуре F3 , то фигура F1 подобна фигуре F3. Свойство симметричности. Если фигура F1 подобна фигуре F2 , то и фигура F2 подобна фигуре F1 Свойство рефлективности. Фигура подобна сама себе при коэффициенте подобия, равном 1 ( при k=1)

Замечательным является тот факт, что все фигуры одного и того же класса обладают одними и теми же свойствами с точностью до подобия (имеют одинаковую форму, но отличаются размерами: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов – кубу коэффициента подобия) Три свойства отношения подобия фигур позволяют разбить множество всех фигур пространства на подмножества – попарно непересекающиеся классы подобных между собой фигур: каждый класс представляет собой множество всех подобных друг другу фигур пространства. При этом любая фигура пространства принадлежит одному и только одному из этих классов. Множество кубов Пример: Множество правильных тетраэдров

Гомотетия — один из видов преобразований подобия. Определение. Гомотетией пространства с центром О и коэффициентом называется преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку М ’ , что = k Гомотетию с центром О и коэффициентом k обозначают При k=1 гомотетия является тождественным преобразованием, а при k=-1 – центральной симметрией с центром а центре гомотетии

Примеры гомотетии с центром в точке О

Формулы гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом k Свойства гомотетии 1) При гомотетии величина плоского и двухгранного угла сохраняется 2) При гомотетии с коэффициентом k расстояние между точками изменяется в 3) Отношение площадей гомотетических фигур равно квадрату коэффициента гомотетии. 4) Отношение объемов гомотетических фигур равно модулю куба коэффициента гомотетии 5) Гомотетия с положительным коэффициентом не меняет ориентации пространства, а с отрицательным коэффициентом – меняет.

6 свойство (с доказательством) Преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1). Действительно, пусть О — центр гомотетии и α — любая плоскость, не проходящая через О . Возьмем любую прямую АВ в плоскости α . Преобразование гомотетии переводит точку А в точку А' на луче OA , а точку В в точку В ’ на луче OB, причем — коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников АОВ и А'ОВ ’ . Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов ОАВ и ОА'В' , а значит, параллельность прямых АВ и А'В'. Возьмем теперь другую прямую АС в плоскости . Она при гомотетии перейдет в параллельную прямую А'С'. При рассматриваемой гомотетии плоскость перейдет в плоскость ' проходящую через прямые А'В', А'С . Так как А'В‘ ll АВ и А ’ С ’ ll АС , то по признаку параллельности плоскостей плоскости и параллельны, что и требовалось доказать. Дано α O – центр гомотетии Доказать α II α ’ Доказательство

I . Преобразование - смещение каждой точки данной фигуры каким-нибудь образом, и получение новой фигуры.

II . Виды преобразования в пространстве : подобие, гомотетия, движение.

Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X’, Y’ фигуры F’, в которые он переходят, X’Y’ = k * XY.

Свойства подобия: 1. Подобие переводит прямые в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки.

2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми

3. Подобие переводит плоскости в плоскости.

Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.

Гомотетия – простейшее преобразование относительно центра O с коэффициентом гомотетии k. Это преобразование, которое переводит произвольную точку X’ луча OX, такую, что OX’ = k*OX.

Свойство гомотетии: 1. Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k =1).

Доказательство. Действительно, пусть O – центр гомотетии и a - любая плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости a. Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A’ на луче OA, а точку B в точку B’ на луче OB, причем OA’/OA = k, OB’/OB = k, где k – коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A’OB’. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA’B’, а значит, параллельность прямых AB и A’B’. Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости a. Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A’C’. При рассматриваемой гомотетии плоскость aперейдет в плоскость a’, проходящую через прямые A’B’, A’C’. Так как A’B’||AB и A’C’||AC, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости a и a’ параллельны, что и требовалось доказать.

Движением - преобразование одной фигуры в другую если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = XY

Свойства движения: 1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой, переходят в точки A₁ ,B₁ ,C₁ . То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B₁ лежит между точками A₁ и C_1.

Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A₁ ,B₁ ,C₁ лежат на одной прямой.

Если точка A₁ ,B₁ ,C₁ не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому A₁ C₁ 2 =(x₂ -x₁ ) 2 +(y₂ -y₁ ) 2

Отсюда видно, что AB=A'B'. А значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение. Теорема доказана.

Симметрия относительно плоскости

Пусть a - произвольная фиксированная плоскость. Из точки X фигуры опускаем перпендикуляр XA на плоскость a и на его продолжении за точку Aоткладываем отрезок AX', равный XA. Точка X' называется симметричной точке X относительно плоскости a, а преобразование, которое переводит X в симметричную ей точку X', называется преобразованием симметрии относительно плоскости a.

Если точка X лежит в плоскости a, то считается, что точка X переходит в себя. Если преобразование симметрии относительно плоскости a переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости a, а плоскость a называется плоскостью симметрии этой фигуры.

Поворот плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении.
Это значит, что если при поворот около точки O точка переходит в точку X', то лучи OX и OX' образуют один и тот же угол, какова бы ни была точка X. Этот угол называется углом поворота . Преобразование фигур при повороте плоскости также называется поворотом .

Параллельный перенос в пространстве

Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (x; y; z) фигуры переходит в точку (x+a; y+b; z+c), где числа a,b,c одни и те же для всех точек (x; y; z). Параллельный переносов пространстве задается формулами

выражающими координаты x', y', z' точки, в которую переходит точка (x; y; z) при параллельном переносе. Так же, как и на плоскости, доказываются следующие свойства параллельного переноса:

1. Параллельные перенос есть движение.

2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

3. При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).

4. Каковы бы ни были точки A и A', существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A'.

Новым для параллельного переноса в пространстве является следующее свойство:

5. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную её плоскость.

Действительно, пусть a - произвольная плоскость, проведем в этой плоскости две пересекающиеся прямые a и b. При параллельном переносе прямые a и b переходят либо в себя, либо в параллельные прямые a' и b'. Плоскость a переходит в некоторую плоскость a', проходящую через прямые a' и b'. Если плоскость a' не совпадает с a, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, она параллельна a, что и требовалось доказать.

Преобразованием подобия называется преобразование фигуры G в фигуру G', у которой расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. Т.е. ОA' = k OA. Это означает, что для любых двух точек геометрической фигуры выполняется равенство A'B' = k AB. (Рис.1) Число k называется коэффициентом подобия.

Если взять произвольную точку, например точку О. И отложить отрезок OB' = k OB, то такое преобразование фигуры G в фигуру G' называется гомотетией. А число k называется коэффициентом гомотетии. Таким образом, гомотетия есть преобразование подобия.

Свойства преобразования подобия

Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки и при этом углы между прямыми сохраняются.

Рис.1 Преобразование подобия и его свойства.

2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам

Две фигуры называются подобными, если преобразованием подобия они переходят друг в друга. (Рис.2)

Если две фигуры подобны третьей, то они подобны друг другу.

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур, соответсвующие стороны пропорциональны и соответствующие углы равны.

Рис.2 Подобие фигур.

Подобие треугольников по двум углам

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (Рис.3)

Докажем это утверждение. Пусть даны два треугольника ABC и A'B'C'.

Преобразованием подобия преобразуем треугольник A'B'C' в треугольник A"B"C" с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. Полученный треугольник A"B"C" равен треугольнику ABC по стороне и прилегающим к ней углам. Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A'B'C' и A"B"C" подобны. А т.к. треугольники ABC и A"B"C" равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A'B'C'.

Рис.3 Подобие треугольников по двум углам.

3.Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Докажем это утверждение. (Доказательство аналогично доказательству подобия по двум углам) Пусть даны два треугольника ABC и A'B'C'.

Преобразованием подобия преобразуем треугольник A'B'C' в треугольник A"B"C" с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. Полученный треугольник A"B"C" равен треугольнику ABC по двум сторонам и углу между ними со сторонами kA'B'=A"B" и kA'C'=A"C". Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A'B'C' и A"B"C" подобны. А т.к. треугольники ABC и A"B"C" равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A'B'C', т.е. kA'B'=AB, kB'C'=BC и kA'C'=AC.

Рис.3 Подобие треугольников.

4.Подобие треугольников по трем сторонам

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. (Доказательство аналогично доказательству подобия по двум углам) Пусть даны два треугольника ABC и A'B'C'.

Преобразованием подобия преобразуем треугольник A'B'C' в треугольник A"B"C" с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. В результате получим треугольник A"B"C", который равен треугольнику ABC по трем сторонам kA'B'=A"B", kВ'C'=В"C" и kA'C'=A"C". Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A'B'C' и A"B"C" подобны. И т.к. треугольники ABC и A"B"C" равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A'B'C'.

Рис.4 Подобие треугольников по трем сторонам.

5.Подобие прямоугольных треугольников

Если два прямоугольных треугольника имеют по одному равному острому углу, то такие треугольники подобны.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC. Проведем высоту CD. Треугольники ABC и ADC подобны, т.к. угол А у них общий. Так же как и треугольники ADC и BDC. Следовательно:

Т.е. катет прямоугольного треугольника равен средней геометрической гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. А высота в прямоугольном треугольнике равна средней геометрической между проекциями катетов на гипотенузу.

Отсюда можно сделать вывод, что в любом треугольнике биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. (Свойство биссектрисы треугольника).

Рис.5 Подобие прямоугольных треугольников.

Докажем это утверждение. Пусть дан треугольник ABC. (Рис.6) BE - биссектриса. Треугольники ABE и BCD подобны. Углы В у них равны. Треугольники ADE и DCF также подобны. Углы D у них равны, как вертикальные. Отсюда можно записать следующие соотношения для двух пар треугольников.

Т.е. отрезки AD и DC пропорциональны сторонам AB и BC.

Рис.6 Подобие прямоугольных треугольников.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

2000 руб / 120 мин - подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин - индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин - студенты.

6.Пример 1

Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность.

Доказательство:

Пусть даны две окружности F и F' с радиусами R₁ и R₂ . Подберем коэффициент k так, чтобы kR₁ = R₂. Необходимо доказать, что окружности подобны.

Зададим на плоскости систему координат с осями Оx и Oy таким образом, чтобы центр первой окружности F совпал с началом координат. Параллельным переносом переместим вторую окружность F' так, чтобы ее центр также совпал с началом координат. На окружности F возьмем две произвольные точки А и В. И проведем между ними хорду. Также проведем к этим точкам радиусы ОА и ОВ, которые продлим до окружности F', т.е. ОA' и OB'. Оси Оx и Оy повернем так, чтобы ось Oy пересекала хорду под прямым углом (Рис.7). Тогда k OA = OA'.

Теперь рассмотрим треугольник ОАС.

Рис.7 Задача. Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность.

Таким образом, мы пришли к выводу, что A'B' = k AB. А это означает, что расстояние между любыми двумя точками окружности F' в k раз больше, чем расстояние между подобными точками в окружности F, т.е фигуру F' можно получить преобразованием подобия или гомотетией относительно точки О. А это значит, что окружности F и F' подобны.

Пример 2

У треугольников АВС и А₁В₁С₁ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁. AB = 6, AC = 9, A₁B₁ = 10, B₁C₁ = 10. Найдите остальные стороны треугольников.

Решение:

Пусть даны два треугольника АВС и А₁В₁С₁ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ (Рис.8). Данные треугольники подобны по двум углам: ∠A = ∠A₁ и ∠В = ∠B₁. Отсюда следует, что все стороны второго треугольника отличаются от сторон первого треугольника в k число раз, т.е. коэффициент подобия. Найдем число k:

k = AB / А₁В₁ = 6 / 10 = 3 / 5

Отсюда следует, что

ВС = k * В₁С₁ = (3 / 5) * 10 = 6 см

А₁С₁ = АС / k = 9 / (3 / 5) = 15 см

Рис.8 Задача. У треугольников АВС и А₁В₁С₁.

Пример 3

В трапеции ABCD основание АD = 32 см, а основание ВС = 8 см. Угол между диагональю АС и стороной СD равен углу ∠АВС, т.е. ∠АВС = ∠АСD. Найдите диагональ АС.

Решение:

В трапеции два основания лежат на параллельных прямых (Рис.9). Отсюда следует, что угол ∠CAD = ∠BCA, как внутренние накрест лежащие углы. Следовательно, треугольники АВС и АСD подобны по двум углам: ∠AВС = ∠АCD по условию задачи, ∠CAD = ∠BCA, как внутренние накрест лежащие углы.

Тогда можно составить следующие соотношение:

k = АС / ВС = AD / AC . Следовательно,

AC 2 = 8 * 32 = 256

Отсюда, АС = 16 см.

Рис.9 Задача. В трапеции ABCD основание АD = 32 см.

Пример 4

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD, BE, CF. Найдите углы треугольника DEF, если в треугольнике АВС ∠А = α, ∠В = β, ∠С = γ.

Решение:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFC и ABE. Они подобны по одному острому углу, так как угол при вершине А у них общий. Следовательно, угол ∠FCE = ∠ABE. Обозначим его как ϕ₃. Аналогичным образом обозначим:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFO и DOC. Они подобны по одному острому углу: углы при вершине О равны как вертикальные (Рис.10). Отсюда следует, что треугольники FOD и AOC также подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Так как OD / OF = OC / AO

Следовательно, OD / OС = OF / AO

Отсюда следует равенство углов:

Треугольники BFO и EOC подобны. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а углы при вершинах F и E прямые. Отсюда следует подобие треугольников FOE и BOC. Следовательно,

Рис.10 Задача. В остроугольном треугольнике АВС.

Так как ϕ₁ + ϕ₂ + ϕ₃ = 90° (из прямоугольного треугольника BFC), то в треугольнике FDE угол при вершине F равен:

Аналогичным образом выводится, что:

Пример 5

В треугольник ABC вписан ромб ADEF, таким образом, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. АВ = 12 см, АС = 4 см. Найдите сторону ромба.

Решение:

Так как у ромба противоположные стороны параллельны, то треугольники АВС и DBE подобны по двум углам: ∠А = ∠D, ∠C = ∠E как соответственные (Рис.11).

Подобие фигур — это две геометрические фигуры или два геометрических тела называются подобными, если одно представляет собой уменьшенную модель другого.

Содержание:

Понятие подобия фигур

В окружающем мире часто встречаются предметы, одинаковые по форме, но различные по размерам: мыльный пузырь и футбольный мяч, небольшая модель ледокола и сам корабль, карты, фотоснимки различных размеров одного и того же здания. В геометрии такие фигуры называют подобными.

Существуют фигуры, которые всегда подобны друг другу, например, круги, квадраты, кубы.

Для обозначения подобия фигур употребляется знак . На рисунке 2.434 изображены подобные фигуры . Запись читается: фигура подобна фигуре

Для подобных фигур вводится понятие — коэффициент подобия, он обозначается k; k всегда больше нуля. Коэффициент подобия показывает, в каком отношении находятся соответствующие расстояния между точками фигур. На рисунке 2.434 коэффициент подобия можно определить, найдя отношения сторон квадратиков изображенной сетки.

Подобие фигур широко используется при разработке планов построек зданий или при изображении на картах городов или других участков земной поверхности. Всякий план или карта является подобным изображением реального объекта или участка земной поверхности, т. е. фигурой, подобной реальному объекту. При этом план или карта может изображать реальный объект в разном масштабе.

Определение. Масштаб — это коэффициент подобия соответствующих фигур.

Подобие треугольников

На рисунке 2.435 изображены два чертежных прямоугольных треугольника с острыми углами в 60° и 30°. Стороны второго треугольника по сравнению с первым уменьшены в два раза: У этих треугольников углы попарно равны. Стороны, лежащие против разных углов, пропорциональны: Такие треугольники называют подобными. Стороны, лежащие против равных углов, называют сходственными.

Определение. Подобными называют треугольники, у которых углы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Подобие треугольников записывается так: Отношение сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия. В случае, изображенном на рисунке 2.435, коэффициентом подобия треугольников будет число 2. Если же взять отношения , коэффициент подобия будет равен .

Подобные треугольники могут быть произвольно расположены как на плоскости, так и в пространстве.

Если фигуры равны, то они подобны с коэффициентом подобия, равным 1. Если фигуры подобны, то они не обязательно равны.

Теорема 1. (Лемма о подобии треугольников). Прямая, пересекающая две стороны треугольника и проведенная параллельно третьей стороне, отсекает треугольник, подобный данному.

Для выявления подобия треугольников существуют признаки подобия треугольников.

Теорема 2. (Первый признак — по двум равным углам.) Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Следствия из этой теоремы.

1. Равносторонние треугольники подобны.

2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.

3. Два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по равному острому углу.

4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.

Теорема 3. (Второй признак — по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними.) Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

Теорема 4. (Третий признак — по пропорциональности трех сторон.) Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Теорема 5. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Подобие многоугольников

Определение. Если стороны одного многоугольника пропорциональны сторонам другого многоугольника и соответственные углы этих многоугольников равны, то такие многоугольники подобны.

На рисунке 2.436 изображены два подобных пятиугольника , у них а также k - коэффициент подобия.

Для многоугольников с числом сторон больше трех признак подобия, аналогичный третьему признаку подобия треугольников, будет неверен. Например, квадрат и ромб, отличный от квадрата, не будут подобны, хотя их стороны пропорциональны (рис. 2.437). Недостаточно для подобия двух прямоугольников и равенства их соответствующих углов. Например, квадрат не подобен четырехугольнику, не все стороны которого равны (рис. 2.438).

Теорема 6. Отношение периметров подобных многоугольников равно отношению их сходственных сторон (коэффициенту подобия).

Теорема 7. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета "Математика":

Читайте также: