Основы численного интегрирования доклад

Обновлено: 08.07.2024

Описание метода нахождения корня (нуля) заданной функции касательных. Исследование особенностей интерполяционного полинома Ньютона. Рассмотрение общих положений численного интегрирования. Характеристика случаев применения метода прямоугольников.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	08.08.2015
Размер файла	979,3 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Метод касательных или метод Ньютона

Интерполяционный полином Ньютона

Численное интегрирование. Общие положения

Современное развитие физики и техники тесно связано с использованием электронных вычислительных машин (ЭВМ). В настоящее время ЭВМ стали обычным оборудованием многих институтов и конструкторских бюро. Это позволило от простейших расчетов и оценок различных конструкций или процессов перейти к новой стадии работы - детальному математическому моделированию (вычислительному эксперименту), которое существенно сокращает потребность в натурных экспериментах, а в ряде случаев может их заменить.

Сложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических и технических проблем, можно разбить на ряд элементарных -таких как вычисление интеграла, решение дифференциального уравнения и т. п. Многие элементарные задачи являются несложными и хорошо изучены. Для этих задач уже разработаны методы численного решения, и нередко имеются стандартные программы решения их на ЭВМ. Есть и достаточно сложные элементарные задачи; методы решения таких задач сейчас интенсивно разрабатываются.

В связи с этим современный специалист с высшим образованием должен обладать не только высоким уровнем подготовки по профилю своей специальности, но и хорошо знать математические методы решения инженерных задач, ориентироваться на использование вычислительной техники, практически освоить принципы работы на ЭВМ.

Метод касательных или метод Ньютона

корень функция касательный ньютон

Метод касательных или метод Ньютона- это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен Исааком Ньютоном (1643-1727). Поиск решения осуществляется путем построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль 1й производной либо градиента в случае многомерного пространства.

Чтобы решить уравнение f(x)=0 методом простой итерации, его необходимо привести к следующей форме:

где ц- сжимающее отображение.

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения X*должно выполняться условие ц`(x)=0. Решение данного уравнения ищут в виде ц(x)=x+б(x) f(x),тогда:

При некоторых условиях эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение, и алгоритм нахождения численного р-я уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления

Геометрический смысл метода Ньютона

Состоит в том, что на каждом шаге мы строим касательную к графику y=f(x) в точке очередного последовательного приближения Xi, а за следующее приближение xi+1 берет точку пересечения этой касательной с осью OX. Тем самым наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом

Рис.1 Метод Ньютона

Затем, что по-другому метод Ньютона мы можем описать так на каждом шаге вместо исходного уравнения f(x)=0 мы решаем приближенное, линеаризованное в точке xi, уравнение

в котором левая часть-это многочлен Тейлера первого порядка для функции f(x) в точке xi., т.е., линейная функция

Решением линеаризованного уравнения служит следующее приближение xi+1, в то время как решаем исходного точного уравнения f(x)=0 служит искомый корень x*.

Решение нелинейных уравнений. Метод касательных (Ньютона).

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить корни уравнения методом касательных с точностью е=0,0001. 3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.

Интерполяционный полином Ньютона

Во многих случаях удобнее пользоваться записью интерполяционного многочлена в другой форме- в форме Ньютона.

Общее понятие. Разности и их свойства.

Где - обобщенные на область действительных чисел бимолекулярные коэффициенты.

Прямая интерполяционная формула Ньютона или первая интерполяционная формула Ньютона, применяется интерполирования

Где , , а выражение вида конечный результат

Обратная интерполяционная формула

Интерполяционные формулы Ньютона-формулы вычислительной математики, применяющие для полиномиальной интерполяции.

Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине так, что =const, т.е. то интерполяционный многочлен можно записать в формуле Ньютона.

Интерполирование функции. Полиномы Ньютона.

1) Найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента с помощью соответствующего интерполяционного полинома Ньютона, если функция задана в равноотстоящих узлах;

2)Оценить погрешность полученного значения.

Численное интегрирование. Общие положения

Очень часто в процессе решения конкретных задач, как в научной, так и в инженерной практике возникает необходимость вычисления определенных интегралов вида:

Подынтегральная функция f (x) может быть задана одним из трех способов:

1)Задается явная формула для f(x), например, f(x)=cos(x)2

2)Функция f (x) явно не задана, но ее значение может быть вычислено при любом x из отрезка a, b . Обычно это значение вычисляется по некоторой подпрограмме.

3)Для некоторого фиксированного конечного набора точек xi из отрезка a, b задается таблица значений xi, f (xi) .

Интегралы от функций первого типа иногда удается вычислить аналитически, либо вручную, либо с помощью машинных символьных систем. Интегралы от функций второго и третьего типа (а также первого, если не используются символьные методы) обычно находят численными методами, т.е. методами, позволяющими найти численное значение определенного интеграла приближенно с любой степенью точности.

Все методы приближенного вычисления определенных интегралов основаны на геометрическом смысле интеграла Ньютона-Лейбница. Он заключается в том, что определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x), осью абсцисс и двумя прямыми x =а и x=b. (аABb), как показано на рисунке 1.

Такие методы называют квадратурными формулами.

Процедура численного интегрирования заключается в том, что отрезок [а, b] разбивается на п частичных отрезков, а затем подынтегральная функция f (x) аппроксимируется некоторой другой функцией Ф(x) , интеграл от которой вычисляется сравнительно просто. Для аппроксимации f (x) может быть использован любой класс простых функций, таких как полиномы, кусочные полиномы, тригонометрические, экспоненциальные или логарифмические функции. Конкретный выбор класса аппроксимирующих функций может зависеть от некоторых определенных свойств подынтегральной функции, но в наиболее распространенном случае, который здесь и рассматривается, в качестве таких функций используются полиномы.

Заменяя подынтегральную функцию на каждом шаге отрезками линий нулевого, первого и второго порядков, получаем соответственно приближенные формулы для вычисления интеграла:

Простейшим полиномом является константа. В формуле прямоугольников функция f (x) аппроксимируется своим значением в точке a (или в точке b), т.е.

Если значение функции f (x) берется в точке а, то формула (1) носит название формулы левых прямоугольников.

Рис.2 Метод средних прямоугольников

Для подсчета интеграла разделим интервал интегрирования a, b на n равных отрезков длины h = (b-a)/n. На каждом из отрезков функция f(x) заменяется прямоугольником с отрезками как основаниями, равными h и вертикальными боковыми сторонами высотой f(xi). При этом точка Xi выбирается, как середина каждого элементарного отрезка. Метод "средних" прямоугольников (метод средних) является более точным, чем методы "левых" и "правых" прямоугольников, когда в качестве точек xi могут выбираться левые или правые границы элементарных отрезков.

С геометрической точки зрения означает, что площадь криволинейной трапеции (aABb), ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и двумя прямыми x=a и x=b, принимается приближенно равной площади ступенчатой фигуры, образованной из n прямоугольников с основаниями h = (b-a)/n и высотами f(xi) где хi = а +i *h, i = 1,2. n..

Для интервала a, b и шага интегрирования h полная формула будет записана в виде:

Где n - число разбиений для интервала [a, b], и точка x0 совпадает с a.

II Метод трапеции

Следующим простейшим полиномом является линейная функция. Если она выбрана, совпадающей с f (х) в концах отрезка a и b, то получаем трапецию.

Площадь этой трапеции (интеграл от линейной функции), используемая в качестве приближения к значению интеграла от f(х), определяется по формуле:

Эта формула известна как формула трапеции.

Рис. Метод трапеции

Для того чтобы найти приближенное значение площади S, разделим отрезок интегрирования [a,b] на n равных частей длины h = (b-a)/n . В точках разбиения х0 =a, x1=a + h. xn=b проводим ординаты у0,у1. уn до пересечения с кривой у = f(х), т.е. уi = f(xi), хi =a + ih, i= 0,1,2. n. Концы ординат соединяем прямолинейными отрезкам, т.е. на каждом отрезке разбиения дугу графика подынтегральной функции у = f(x) заменяем стягивающей ее хордой (линейная интерполяция), и получим трапецию.

Тогда площадь криволинейной трапеции aABb приближенно можно считать равной площади фигуры, ограниченной ломаной линией aACD. Bb . Площадь этой фигуры, которую мы обозначим как S, равна сумме площадей трапеций:

Таким образом, для интервала a, b и шага интегрирования h полная формула приближенного значения интеграла будет записана в виде:

где n - число разбиений для интервала a, b и точка х0 совпадает с a, а точка хn совпадает с b.

III Метод Симпсона

Более высокая точность определения численного значения определенного интеграла получается при аппроксимации функции f(x) квадратичным интерполяционным полиномом, который совпадает с f(x) в крайних точках a и b, а также в средней точке (a+b)/2. Интеграл от этого квадратичного полинома выражается формулой:

Которая называется формулой Симпсона

Рис.3 Метод Симпсона

В методе Симпсона площадь криволинейной трапеции рассчитывается как сумма площадей ряда криволинейных трапеций, у которых криволинейная сторона представляет собой участок параболы. Это можно видеть на рисунке 4.

Каждая парабола может быть проведена только через три граничные точки, принадлежащие двум соседним отрезкам. Поэтому число участков разбиения отрезка [a, b] в отличие от предыдущих методов обязательно должно быть четным. Таким образом, вместо каждых двух элементарных прямолинейных трапеций будем рассматривать одну элементарную трапецию, ограниченную параболической дугой. Исходя из этого, определенный интеграл на случай разбиения интервала a, b на n участков с шагом h приближенно вычисляется по формуле:

-полная формула Симпсона

Таким образом, для реализации метода прямоугольников, трапеции и Симпсона для вычисления определенного интеграла необходимо:

Задать в явном виде определенный интеграл, площадь которого необходимо определить. После этого задаются пределы интегрирования, и шаг интегрирования. Затем проводится расчет по формулам.

Для метода Симпсона число разбиений n должно быть четным, что подлежит проверке при составлении программы.

Задание: Состоит из двух пунктов (a и b).

1)Найти приближенное значение интеграла по формулам левых и правых прямоугольников с точностью .

2)Найти приближенное значение интеграла по формуле средних прямоугольников с точностью .

3)Найти приближенное значение интеграла по формуле трапеции с точностью .

4)Найти приближенное значение интеграла по формуле Симпсона с точностью .

5)Сравнить полученные результаты.

Простейшим из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера. Это один из самых старых и широко известных методов. Метод Эйлера является сравнительно грубым методом решения дифференциальных уравнений, однако идеи, положенные в его основу, являются, по существу, исходными для очень широкого класса численных методов.

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка

где функция определена на некоторой области . Решение ищется на интервале . На этом интервале введем узлы

Приближенное решение в узлах , которое обозначим через определяется по формуле

Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция непрерывна в D и непрерывно дифференцируема по переменной в , то имеет место следующая оценка погрешности

Где -- средний шаг, то есть существует такая, что

Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши.

Задание: Найти приближенные значения решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) на отрезке с шагом при начальном условии используя метод Эйлера

Для тестовых примеров найти относительные погрешности и сравнить полученные результаты. Построить графики точного и численного решений.

Оценить погрешность приближенного решения заданного уравнения в выбранной точке, построить график численного решения.

1. Демидович Б.Н., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1966.- 664 с.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы -М.: Наука, 1975. - 632 с.

3. Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - Т.1. - М.: Наука, 1966. - 464 с.

4. Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - Т.2. - М.: Физматгиз, 1962.- 640 с.

5. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1983.

6. Сборник Задач по методам вычислений: Учебное пособие: Для вузов. / Под ред. П.И. Монастырского. - 2-е изд. перераб. и доп. -М.: Физматлит, 1994. -320 с.

7. Малышев А.Н. Введение в вычислительную линейную алгебру. Новосибирск:Наука Сиб. отделение, 1991.

8. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках бейсик, фортран, паскаль -Томск: 1991.

9. Дьяконов В.П. Справочник по MathCad 6.0 - М: СК Пресс, 1997, 328с.

10. Хемминг Р.В. Численные методы. - М.: Наука, 1968.

Подобные документы

Характеристика методов численного интегрирования, квадратурные формулы, автоматический выбор шага интегрирования. Сравнительный анализ численных методов интегрирования средствами MathCAD, а также с использованием алгоритмических языков программирования.

контрольная работа [50,8 K], добавлен 06.03.2011

Интерполяция с помощью полинома Ньютона исходных данных. Значение интерполяционного полинома в заданной точке. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и поиск погрешности вычисления. Методы треугольников, трапеций и Симпсона.

контрольная работа [225,2 K], добавлен 06.06.2011

Методы численного интегрирования, основанные на том, что интеграл представляется в виде предела суммы площадей. Геометрическое представление метода Гаусса с двумя ординатами. Численные примеры и сравнение методов. Решение систем алгебраических уравнений.

курсовая работа [413,4 K], добавлен 11.06.2014

Выбор точных методов численного интегрирования при наибольшем количестве разбиений. Вычисление интеграла аналитически, методом средних прямоугольников, трапеций, методом Симпсона. Вычисление интеграла методом Гаусса: двухточечная и трехточечная схема.

курсовая работа [366,2 K], добавлен 25.12.2012

Контрольный пример к алгоритму метода хорд. Вычисление и уточнение корня методом хорд и касательных. Нахождение второй производной заданной функции. Уточненное значение корня решаемого уравнения на заданном интервале. Код программы данного примера.

лабораторная работа [276,9 K], добавлен 02.12.2014

В данной работе будут рассмотрены три метода приближённого интегрирования определённого интеграла: метод прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона. Все эти методы будут подробно выведены с оценкой погрешности каждого из них. Для более полного восприятия материала в работу помещён раздел, в котором подробно расписано решение, всеми тремя методами, определённого интеграла. В материале имеются иллюстрации, с помощью которых, можно более глубоко вникнуть в суть рассматриваемой темы.

-формула прямоугольников………………………………. 6

Цель данной курсовой работы – изучение методов приближённого интегрирования. Для некоторых подынтегральных функций интеграл можно вычислить аналитически или найти в справочниках. Однако в общем случае первообразная может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов. Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, "классические" методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией ). Хотя эти методы обычно предпочтительней в случае малых размерностей, они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для их вычисления используются другие методы, однако в этой работе они рассмотрены не будут.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

I.Определение интеграла и его геометрический смысл.

В начале узнаем, что такое определённый интеграл. Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: приращение F(b)-F(a) любой из преобразованных функций F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции f и обозначается .

Причём функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом:

это формула Ньютона-Лейбница.

Если при любой последовательности разбиений отрезка [a;b] таких, что δ=maxΔx_i →0 (n→∞) и при любом выборе точек интегральная сумма σ_k =f(ε_i ) Δx_i стремится к одному и тому же конечному пределу А, то это число А и есть определённый интеграл, т.е.lim_n _→∞ σ_k = lim_δ _→0 f (ε_i ) Δx_i =A(2).

Где Δх_i =x_i -x_i _-1 (i=1,2,…,n) ε=maxΔx_i – начало разбиения произвольная точка из отрезка[x_i _-1 ;x_i ]
сумма всех произведений f(ε_i )Δx_i (i=1,…,n). Простыми словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.

Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция f интегрируема на отрезке [a,b], функция f неотрицательна, но определённый интеграл численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, S=f(x)dx.

II.Приближённые методы вычисления.

Как мы уже отметили, если функция f непрерывна на промежутке, то на этом промежутке существует функция F такая, что F’=f, то есть существует первообразная для функции f, но не всякая элементарная функция f имеет элементарную первообразную F. Объясним понятие элементарной функции.

Функции: степенная, показательная, тригонометрическая, логарифмическая, обратные тригонометрическим называются основными элементарными функциями. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных.

Бывает, что на практике сталкиваются с вычислением интегралов от функций, которые заданы табличными и графическими способами, или интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что не удобно, долго и не рационально. В этих случаях вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница (1) сводит вычисление определённого интеграла от какой-либо функции к нахождению её первообразной. Значит, если первообразная не элементарна, надо вычислить определённый интеграл как-то по другому, поэтому прибегают к различным методам приближённого интегрирования.

В основе приближённых методов интегрирования лежит геометрический смысл определённого интеграла, который рассмотрен выше.

Формул приближённого интегрирования существует много. В данной курсовой работе будет рассмотрено три метода приближённого интегрирования: метод трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона.

Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления:
требуется вычислить определённый интеграл: .

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Разделим отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x₀ ,x_1, x₂ ,…,x_n =bна nравных частей длины Δх, где Δх=(b-a)/n.

Обозначим через y₀ ,y₁ ,y₂ ,…,y_n _-1 ,y_n значение функции f(x) в точках x₀ , x₁ , x₂ …,x_n , то есть, если записать в наглядной формуле:

В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид (на рис. выделена).

Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников с основанием Δх, которое является шириной прямоугольника, и длиной выраженной через y_i : S_пр =a*b=y_i Δx.

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на отрезке [a,b], и равна площади ступенчатых фигур, а значит приближённо выражает интеграл. Вынесем Δx=(b-a)/n из каждой суммы, получим:

Выразив x, получим окончательно:

Это и есть формулы прямоугольников. Их две, так как можно использовать два способа замены подынтегральной функции. Если f(x)- положительная и возрастающая функция, то формула (3) выражает Sфигуры, расположенной под графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (3*)- площадь ступенчатой фигуры, расположенной под графиком функции составленной из выходящих треугольников.

Ошибка, совершаемая при вычислении интегралов по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (то есть чем меньше шаг деления). Для вычисления погрешности этого метода используется формула:P_np =, где Результат полученный по формуле (3) заведомо даёт большую площадь прямоугольника, так же по формуле (3*) даёт заведомо меньшую площадь, для получения среднего результата используется формула средних прямоугольников: (3**)

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тема занятия: Численное интегрирование. Вычисление интегралов по формулам прямоугольников, трапеций, формуле Симпсона.

Цель занятия: Познакомить со способами представления функции в виде прямоугольников и трапеций. Научить вычислять интегралы по формулам прямоугольников, трапеций и формуле Симпсона.

10.1. Предварительные соображения.

Из курса математического анализа известно, что существуют неопределённые интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях – так называемые не берущиеся интегралы. Таким, например, является интеграл . Поэтому, очевидно, в некоторых случаях невозможно вычисление определённого интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница , так как нельзя найти первообразную подынтегральной функции . В то же время существование такого интеграла обусловлено непрерывностью функции на отрезке . В таких случаях прибегают к численным методам интегрирования.

Разумеется, вычислить определённый интеграл можно, непосредственно пользуясь его определением, как предел интегральных сумм:, где - число отрезков разбиения (частичных отрезков), - некоторые точки, произвольно выбранные на каждом из отрезков, - длина одного частичного отрезка. Однако такой способ, во-первых, достаточно громоздок, во вторых, обычно даёт результаты приемлемой точности только при больших значениях .

Чаще всего формулы приближённого вычисления определённого интеграла вытекают из его геометрического смысла. Следовательно, задача о приближённом вычислении определённого интеграла заменяется другой, равносильной ей – задачей о вычислении площади криволинейной трапеции. При этом кривая заменяется другой линией, достаточно близкой к ней. В качестве этой новой линии выбирается такая кривая, для которой площадь криволинейной трапеции подсчитывается просто, то есть для которой можно легко найти первообразную. В зависимости от выбора этой кривой и различаются формулы численного интегрирования.

Предположим сначала для определённости, что для всех . Разобьём отрезок на равных частей точками . Длина каждого отрезка равна . Через точки деления проведём вертикальные прямые, которые пересекут линию в точках .

10.2. Формулы прямоугольников.

Заменим кривую ломаной, расположенной выше её (рисунок). Тогда определённый интеграл будет приблизительно равен площади ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников:

Здесь - значения подынтегральной функции в правых концах отрезков разбиения.

Если же кривую заменить ломаной, расположенной ниже её, то получится формула:

Здесь - значения подынтегральной функции в левых концах отрезков разбиения. Формулы (1) и (2) называют формулами прямоугольников .

Оценка погрешности данного метода приближённого вычисления определённого интеграла находится по формуле:

где - наибольшее значение первой производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

Пример 1. Вычислить по одной (на выбор) из формул прямоугольников интеграл , разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Оценить ошибку вычислений и сравнить полученное значение с точным значением, вычисленным с помощью микрокалькулятора (1,718281).

Решение. Вычислим значения подынтегральной функции в точках деления и соответствующие значения занесём в таблицу:

Воспользуемся формулой (1):

Оценим ошибку вычисления. Имеем: . Подставляя в формулу (3), получаем . Действительно, сравнивая полученное значение с точным значением, получаем . Это весьма значительная ошибка.

Замечание. Во многих случаях формулы (1) и (2) дают приближённые значения определённого интеграла одна – с избытком, а вторая – с недостатком. Поэтому более точное значение можно получить, найдя среднее арифметическое результатов применения обеих формул.

10.3. Формула трапеций .

Соединив отрезками каждые две соседние точки , полученные способом, указанном в конце предыдущего пункта, заменим кривую ломаной . Она сверху ограничивает фигуру, составленную из прямоугольных трапеций, каждая из которых опирается на один из частичных отрезков разбиения. Площадь элементарной криволинейной трапеции с основанием заменим площадью прямоугольной трапеции, ограниченной сверху отрезком . Тогда искомая площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией , будет приближённо равна сумме площадей данных прямоугольных трапеций. Площадь каждой такой трапеции легко подсчитать, используя хорошо известную из школьного курса геометрии формулу: . Сумма таких площадей равна:

После очевидных преобразований получим: . Таким образом, имеем следующую приближённую формулу вычисления определённого интеграла:

Формула (4) носит название формулы трапеций . Ошибку для метода трапеций можно оценить по формуле:

где - наибольшее значение второй производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

Пример 2 . В условиях примера 1 использовать формулу трапеций. Оценить ошибку вычисления; сравнить полученное приближённое значение с точным.

Решение. Воспользуемся таблицей значений, которую мы применяли в предыдущем примере.

Сразу по формуле (4) получаем:

Оценим ошибку вычисления. Имеем . Подставляя в формулу (5), получаем: . Действительно, сравнивая полученное значение с точным, получаем .

Заметим, что данный способ дал нам гораздо более точное приближение, чем используемый в предыдущем примере.

10.4. Формула Симпсона.

Для случаев, когда количество точек разбиения чётно, то есть , удобно использовать так называемую формулу Симпсона (параболических трапеций).

Примем её без вывода:

Напомним, что здесь .

Оценка ошибки при вычислении определённого интеграла методом Симпсона:

где - наибольшее значение производной четвёртого порядка подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

Пример 3. В условиях примеров 1 и 2 найти приближённое значение методом Симпсона. Оценить ошибку; сравнить полученное значение с точным.

Решение. Воспользуемся таблицей значений, которую мы применяли в предыдущих примерах.

Подставим соответствующие значения в формулу (7):

При расчёте по данной формуле получили все 5 верных цифр после запятой. Таким образом, в одинаковых начальных условиях метод Симпсона даёт наибольшую точность приближённых вычислений определённого интеграла.

Найти приближённые значения следующих определённых интегралов. Оценить ошибку вычисления и сравнить с точным значением. Вычисления вести с пятью знаками после запятой.

1) использовать метод прямоугольников; применить обе формулы (1) и (2), найти среднее арифметическое полученных результатов.

Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. В большинстве случаев не удается найти аналитической формулы, т. е. выразить неопределенный интеграл в виде алгебраических и трансцендентных функций. Даже если аналитическая формула находится, то она получается настолько сложной, что вычислять интеграл с ее помощью труднее, чем другими способами. Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

при условии, что A и B конечны и f(x) является непрерывной функцией x во всем интервале A ≤ x ≤ B . Значение интеграла I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x) , осью x и прямыми x = A , x = B . Вычисление I проводится путем разбиения интервала от A до B на множество меньших интервалов, приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок.

Суть методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции f(x) вспомогательной, интеграл от которой легко вычисляется в элементарных функциях. Обычно f(x) заменяется некоторым интерполяционным многочленом, что приводит к квадратурным формулам:

где x_i – узлы интерполяции;

i – произвольный номер узла;

C_i – коэффициенты;

R – остаточный член, или погрешность метода.

Неучет (отбрасывание) R приводит к погрешности усечения. К этим погрешностям в процессе вычислений добавляются погрешности округления. Геометрическая интерпретация численного интегрирования представлена на рис. 5.1. и 5.2.

1. Методы прямоугольников

Самыми простыми методами численного интегрирования являются методы прямоугольников. При этом непосредственно используется замена определенного интеграла интегральной суммой:

В качестве точек z_i могут выбираться левые (z _i= x_i _-₁) или правые (z_i = x_i) границы элементарных отрезков. Обозначая y_i = f(x_i) , получим формулы:

Для частного случая h_i = h = const формулы примут вид

" width="147" height="60" alt=" " />
;

" width="213" height="52" alt=" " />
, h = (B – A) / n.

Если координату выразить через начальную точку и принять, что I ≈ S, то получим формулы, готовые для применения в операторе цикла с переменной:

" width="188" height="60" alt=" " />
– для метода левых прямоугольников;

" width="153" height="60" alt=" " />
– для метода правых прямоугольников;

" width="203" height="52" alt=" " />
– для метода средних прямоугольников.

" width="480" height="308.08510638298" alt=" " style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" />

Рис. 5.1. Графическая интерпретация методов прямоугольников

2. Метод трапеций

В данном методе f(x) заменяется на линейный интерполяционный многочлен, т. е. на элементарном отрезке [x_{i -}₁, x_i] подынтегральная функция представляет собой отрезок прямой линии. Значение I в пределах [x_{i -}₁, x_i], равное площади криволинейной фигуры, заменяется площадью прямоугольной трапеции с высотой h_i и основаниями f(x_{i -}₁), f(x_i):

После сложения этих соотношений получим формулу трапеций

" width="212" height="52" alt=" " />
.

Если шаг интегрирования постоянный (h_i = h = const), то

" width="241" height="60" alt=" " />
.

" width="325" height="52" alt=" " />
.

" width="480" height="308.33333333333" alt=" " />

Рис. 5.2. Графическая интерпретация метода трапеций

3. Процедура вычисления интеграла

Процедура вычисления интеграла при заданном числе разбиений и границами интегрирования должна иметь входные параметры этих величин и выходной параметр результата. Выходной параметр должен содержать перед собой ключевое слово var для передачи параметра по ссылке.

Здесь должен вычисляться шаг в соответствии с числом разбиений.

Сумма может вычисляться при помощи цикла for по числу разбиений или при помощи циклов repeat или while с перемещением текущей точки от начальной до конечной. Например, для метода правых прямоугольников процедура может быть описана так:

procedure integral(a,b:real;n:integer; var s:real);

var i:integer; h:real;

begin

h:=abs(b-a)/n; s:=0;

for i:=1 to n do

s:=s+h*f(a+h*i);

end;

Конечно, перед описанием процедуры необходимо описать подынтегральную функцию f(x). Смотрите описание функций в 3.1.

Замечание! При вычислении интеграла функция должна браться по модулю, т. к. площадь фигуры всегда положительна, независимо от того, что функция может быть и отрицательной. Для упрощения программы модуль можно вставить сразу в описание функции.

4. Вычисление интегралов с заданной точностью и оценка методов интегрирования

Оценка погрешности усечения R в формулах численного интегрирования оказывается трудоемкой и малоэффективной из-за трудностей оценки производных высокого порядка подынтегральных функций. Поэтому в практических расчетах для достижения требуемой точности вычислений или допустимой погрешности E используют правило Рунге.

Согласно этому правилу вычисление заданного интеграла проводят для разных интервалов разбиения отрезка [A,B]. Так, если начальное число интервалов разбиения есть n и соответствующее ему приближенное значение интеграла – I_n, то для числа интервалов 2n получим значение интеграла I_2n. Число интервалов можно увеличивать в 2, 3 и т. д. раз по сравнению с базовым значением n. При двукратном увеличении числа отрезков погрешность D приближенного значения интеграла для методов прямоугольников и трапеций оценивается как

Если Δ > E, то количество интервалов разбиения [A,B] опять увеличивают вдвое, т. е. значение I вычисляют для 4n. Такое удвоение повторяют до тех пор, пока не выполнится условие Δ Основная часть программы должна содержать ввод с клавиатуры начального числа разбиений и погрешности вычислений. Для обеспечения заданной точности интеграла процедура его вычисления должна выполняться в цикле. Причём сначала сохраняется старое значение интеграла, затем увеличивается число разбиений и вычисляется новое значение интеграла. Цикл работает пока разница между старым и новым значениями интеграла не станет меньше заданной точности.

При выводе результата полезно также вывести конечное число разбиений, чтобы знать, на сколько частей нужно разбить отрезок для обеспечения заданной точности вычисления интеграла.

История появления и развития персональных компьютеров является одним из наиболее впечатляющих явлений нашего века. С момента появления первых образцов персональных компьютеров прошло меньше 25 лет, но сейчас без них уже немыслимо огромное количество областей человеческой деятельности - экономика, управление, наука, инженерное дело, издательское дело, образование, культура и т.д. Интерес к персональным компьютерам постоянно растет, а круг их пользователей непрерывно расширяется. В число пользователей ПЭВМ вовлекаются как новички в компьютерном деле, так и специалисты по другим классам ЭВМ.

Язык Паскаль - это один из наиболее распространённых языков программирования 80-90х годов , поддерживающий самые современные методологии проектирования программ (нисходящее, модульное проектирование, структурное программирование) имеют свою достаточно богатую историю развития.

Новую жизнь языку дала фирма Борланд, разработавшая на его базе семейство Паскаль – систем, называемых Турбо Паскалем. Интегрированная среда, обеспечивающая многооконную разработку программной системы, обширный набор встроенный в неё средств компиляции и отладки , доступный для работы через легко осваиваемое меню, - всё это обеспечивает высокую производительность труда программиста, недостижимую при работе со старыми средами.

Язык Турбо Паскаль хорошо подходит для обучения программированию.

Заданием на курсовую работу является создание программы на языке программирования Турбо Паскаль, которая должна осуществлять решение следующей задачи :

Вычислить приближённое значение интеграла функции f(x) на интервале с точностью до 0.01 методами Симпсона и трапеции с целью сравнения.

Определить метод, который решает поставленную задачу за минимальное число повторений.

Построить график функции f(x) на заданном интервале. Решить поставленную задачу с использованием функций и процедур алгоритмического языка Турбо Паскаль.

Читайте также:


Международная торговля и развитие доклад генерального секретаря 2020

Доклад о положении дел танджиро камадо

Объединение гдр и фрг доклад

Доклад из опыта работы по пдд безопасные дороги 2021

Сокровища затонувших кораблей доклад