Непозиционная система счисления доклад

Обновлено: 19.05.2024

Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами. Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Содержание

Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называют цифрами.

Системы счисления

Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путём повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1–го класса счету. Рассмотрим различные системы счисления.

Единичная система – не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки – иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной. В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.

Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum – сто, Demimille – половина тысячи, Мille – тысяча). Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (два десятка, пяток, три единицы).

Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Например, IX – обозначает 9, XI – обозначает 11.

Десятичное число 99 имеет следующее представление:

Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

Алфавитные системы счисления. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1, 2, . 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, и т.д. Для обозначения чисел 10, 20, . 90 применялись следующие 9 букв а для обозначения чисел 100, 200, . 900 – последние 9 букв.

У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, который использовал сначала глаголицу, а затем кириллицу.

В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления – количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в коде(записи) числа. Ныне мы привыкли пользоваться десятичной позиционной системой — числа записываются с помощью 10 цифр. Самая правая цифра обозначает единицы, левее — десятки, ещё левее — сотни и т.д.

В любой позиционной системе число может быть представлено в виде многочлена.

Покажем, как представляют в виде многочлена десятичное число:

Типы систем счисления

Самое главное, что нужно знать о системе счисления – её тип: аддитивная или мультипликативная. В первом типе каждая цифра имеет своё значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Во втором типе каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе:

(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Здесь дважды использован иероглиф “2”, и в каждом случае он принимал разные значения “2000” и “20”.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Для аддитивной (“добавительной”) системы нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до 4-5 десятков), и порядок записи. Например, в Латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6).

Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется “десятичная”. В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления – десятичная.

Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. “Но на одной то руке всего пять пальцев” – скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. “А с ногами – двадцать пальцев” – скажут другие, и будут тоже абсолютно правы. Именно так считали индейцы Майя. Это даже видно по их цифрам.

Очень интересно понятие “дюжина”. Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число – мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг на всех пальцах одной руки, не считая большого? Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги.

А если на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, то получим всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему.

В разных цивилизациях считали по–разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда–то использовавшихся этим народом.

Так у французов когда-то была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как “четырежды двадцать”.

Римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как V ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем, а X – это две таких же руки.

Набор символов для обозначения чисел и правила их использования составляют систему счисления. Системы счисления принято делить на позиционные и непозиционные. Описание и примеры непозиционных систем счисления приведены в данной статье.

Что такое непозиционная система счисления

В непозиционной системе счисления изменение положения символа в числе не влияет на значение самого числа.

Отличие позиционных и непозиционных систем хорошо видно при сравнении арабских и римских чисел. Числа, записанные арабскими цифрами, составляются в позиционной системе. И здесь важно учитывать понятие разрядности. Одна и та же цифра, в зависимости от того, в каком разряде числа она записывается, обозначает разную числовую величину. Например, в числе 234 цифра 2 обозначает величину двести, а в числе 324 – соответствует двадцати.

В римской системе счисления, цифра, в какое положение ее не помещай, всегда означает одно и то же. Например, с помощью римских цифр V и I, эквивалентных арабским 5 и 1, можно составить числа VI и IV, что соответствует 6 и 4. В непозиционной системе расположение цифры никак не влияет на ее значение.

История возникновения непозиционных систем счисления уходит корнями в глубокую древность. Жители древних государств: Вавилона, Майя, Древнего Египта, Греции и Рима, пользовались непозиционным принципом в составлении чисел. Некоторые из таких систем, например, римские цифры, используются и по сей день.

Римская система счисления

В римской системе ключевые числа записываются латинскими буквами I, V, X, L, C, D, M, а все остальные числовые значения получаются путем комбинирования этих знаков с использованием принципов сложения и вычитания.

Рис. 1. Римские цифры и их десятичные арабские эквиваленты.

Римская система получила название от места своего возникновения. Она начала использоваться еще в Древнем Риме, более двух тысяч лет назад. В римской системе есть одна особенность – в ней не используется цифра ноль.

Числа в римской системе следует записывать слева направо от большего к меньшему. Если в числе перед большей цифрой стоит меньшая, то ее следует вычесть из следующей за ней цифрой, исходя из принципа вычитания. Меньшие цифры, стоящие после больших, соответственно прибавляются.

Например, арабское число 1978 в римской системе будет записано так: MCMLXXVIII.

Римская система, в настоящее время используется для записи дат, обозначения валентности химических элементов.

Древние непозиционные системы счисления

Исторической науке известны древние системы счисления, использующие различные знаки, символы и рисунки для обозначения числовых значений. Самыми известными являются:

Древнеегипетская система счисления
Вавилонская система счисления
Система счисления майя

Древнеегипетская система счисления

В древнеегипетской системе счисления специальные символы заменяли числа 1, 10, 100, 1000, 1000, и так далее, кратные десяти.

Рис. 2. Символы древнеегипетской системы счисления и их десятичные эквиваленты.

Числа записывались в виде комбинации таких символов, повторяющихся в зависимости от значения конкретного разряда не более девяти раз. Например, в числе 45 символ для обозначения 10 записывается четыре раза, а символ единицы, повторяется пять раз.

Вавилонская система счисления

Вавилонская система представления чисел использует для обозначения чисел знаки в виде вертикальных и горизонтальных насечек – клиньев. Такую систему написания знаков называют клинописью.

Единицы в древнем Вавилоне обозначали прямыми клиньями, десятки – лежащими, то есть горизонтальными. Прямым клином обозначается также число шестьдесят.

Вавилонскую систему записи числовых значений называют также шестидесятеричной. Принцип разделения числового пространства на группы по 60 единиц используется и в настоящее время для определения временных отрезков. Один час состоит из 60 минут, одна минута – из 60 секунд.

Вавилонская система представляет собой комбинированный вариант системы счисления, так как представление чисел от 1 до 60 подчинено непозиционному принципу, а числа свыше шестидесяти представляются с использованием позиционного подхода.

Например, число 34 в вавилонской системе записывается как последовательность из трех горизонтальных клиньев, за которыми следует четыре прямых клина. А число 84 будет начинаться с прямого клина, обозначающего 60, за которым следуют два лежащих клина и затем четыре прямых.

Система счисления майя

Для обозначения чисел в различных бытовых ситуациях Майя использовали непозиционную систему представления чисел, в которой записывались числа от 0 до 19 с помощью знаков, представляющих собой комбинации точек и горизонтально расположенных отрезков.

Рис. 3. Цифры народа цивилизации майя.

Например, цифра для обозначения числа 17 выглядит как две точки, расположенные над тремя горизонтальными черточками.

Что мы узнали?

Для представления чисел используются позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах расположение знаков, составляющих числа не влияет на их числовые значения. Самой известной непозиционной системой является система римских цифр. Известные исторической науке системы записи чисел древних народов Египта, Вавилона, цивилизации Майя применяли непозиционный принцип представления чисел, используя различные знаки для обозначения числовых эквивалентов.

ГОСТ

Единичная система счисления

Необходимость в записи чисел стала возникать у людей еще в древности после того, как они научились считать. Свидетельством этого являются археологические находки в местах стойбищ первобытных людей, которые относятся к периоду палеолита ($10$-$11$ тыс. лет до н.э.). Изначально количество предметов изображали, используя определенные знаки: черточки, насечки, кружочки, нанесенные на камни, дерево или глину, а также узлы на веревках.

Ученые эту систему записи чисел называют единичной (унарной), поскольку число в ней образовано повторением одного знака, который символизирует единицу.

Недостатки системы:

при написании большого числа необходимо использовать большое количество палочек;

возможно легко ошибиться при нанесении палочек.

Позднее, чтобы облегчить счет, эти знаки люди стали объединять.

С примерами использования единичной системы счисления можно встретится и в нашей жизни. Например, маленькие дети пытаются изобразить на пальцах сколько им лет, или же счетные палочки используют для обучения счету в первом классе.

Единичная система не совсем удобна, так как записи выглядят очень длинно и их нанесение довольно утомительно, поэтому со временем стали появляться более практичые в использовании системы счисления.

Вот некоторые примеры.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления

Данная система счисления появилась около 3000 лет до н.э. в результате того, что жители Древнего Египта придумали свою числовую систему, в которой при обозначении ключевых чисел $1$, $10$, $100$ и т.д. были использованы иероглифы, что было удобным при написании на глиняных дощечках, которые заменяли бумагу. Другие числа составлялись из них с помощью сложения. Сначала записывалось число высшего порядка, а затем низшего. Умножали и делили египтяне, последовательно удваивая числа. Каждая цифра могла повторяться до $9$ раз. Примеры чисел данной системы приведены ниже.

Готовые работы на аналогичную тему

Римская система счисления

Данная система принципиально не намного отличается от предыдущей и сохранилась до наших дней. В ее основе находятся знаки:

$I$ (один палец) для числа $1$;

$V$ (раскрытая ладонь) для числа $5$;

$X$ (две сложенные ладони) для $10$;

для обозначения чисел $100$, $500$ и $1000$ использовались первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum – сто, Demimille – половина тысячи, Мille – тысяча).

При составлении чисел римляне использовали следующие правила:

Необходимо записать число $1986$ в римской системе счисления.

Решение: $1986 = 1000 + 900 + 50 + 30 + 6 = M + (M – C) + L + (X + X + X) + V + I = MCMLXXXVI$,

$900 = M – C$ (группа второго вида);

$30 = X + X + X$ (группа первого вида).

Римскими цифрами пользуются издревле: ими обозначаются даты, номера томов, разделов, глав. Раньше считал, что обычные арабские цифры можно легко подделать.

Алфавитные системы счисления

Данные системы счисления более совершенны. К ним относятся греческая, славянская, финикийская, еврейская и другие. В этих системах числа от $1$ до $9$, а также количество десятков (от $10$ до $90$), сотен (от $100$ до $900$) были обозначены буквами алфавита.

В древнегреческой алфавитной системе счисления числа $1, 2, . 9$ обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, и т.д. Для обозначения чисел $10, 20, . 90$ применялись следующие $9$ букв а для обозначения чисел $100, 200, . 900$ – последние $9$ букв.

У славянских народов числовые значения букв устанавливались в соответствии с порядком славянского алфавита, использовавшего изначально глаголицу, а затем кириллицу.

Алфавитная система использовалась и в древней Руси. До конца $XVII$ века в качестве цифр использовались $27$ букв кириллицы.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Что таоке непозиционная система счисления в информатике

В информатике используют позиционный и непозиционный метод записи чисел. Позиционный способ предполагает представление числовых обозначений в определенной последовательности для сохранения величины числа.

Непозиционная система счисления – это способ записи числа с помощью символов, в котором изменение положения знаков не влияет на значение величины числа.

Разновидности непозиционных систем счисления с примерами

Существует несколько видов непозиционной системы исчисления.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Биномиальная

В данном методе для записи чисел применяются биноминальные коэффициенты.

Число x в рассматриваемой системе представляет собой сумму биноминальных коэффициентов:

где, 0 Определение

Греческая система счисления – это метод представления числа с помощью букв греческого алфавита и некоторых знаков доклассического периода. Другие названия данного способа – ионийская, новогреческая.

В Греции рассматриваемый алфавитный способ записи чисел стал применяться в III веке до н.э. Буквы греческого алфавита соответствуют следующим числам:

С помощью ионийской системы можно записать лишь числа от 1 до 999.

Римская

Римская система исчисления – это метод числовой записи посредством использования символов латинского алфавита.

Соответствие букв латиницы числовому значению:

I — один;
V — пять;
X — десять;
L — пятьдесят;
C — сто;
D — пятьсот;
M — тысяча.

Для представления чисел десятичной системы счисления в виде римских букв работают следующие правила:

Стоящий слева от большего меньший символ вычитается из большего.
Стоящий справа от большего меньший символ прибавляется к большему.

При переводе числа 67 в римскую систему счисления получаем следующий набор латинских букв: LXVII = (50 + 10) + (5 + 2) = 60 + 7.

545 имеет вид DXLV = 500 + (50 - 10) +5.

Применение данной системы исчисления:

обозначение знаменательных дат;
разделов и глав книг;
обозначение порядкового номера.

Древнеегипетская

Способ записи чисел, используемый в Древнем Египте, основывался на иероглифах. С помощью этих символов записывались основные числа 1, 10, 100 и т.д. Другие числовые значения получались с помощью сложения ключевых чисел.

Действие производилось в следующей последовательности:

Первым записывали число высшего порядка, после него – низшего.
Умножение и деление осуществлялось путем последовательного удвоения числовых значений.
Повторение каждой цифры допускалось до девяти раз.

Вавилонская

Вавилонская система исчисления – это позиционный метод записи чисел с основанием 60, применявшийся в Древнем Вавилоне. Это первая известная шестидесятеричная система.

В данной системе счисления числа записываются справа налево в порядке убывания: сотни, десятки, единицы. Досчитав до 60, отмечают новый числовой ряд, запись чисел вновь начинается с 1.

Цифрами вавилонского числового метода считались клинья, разные для записи единиц, десятков и нуля.

В измерении времени: час состоит из 60 минут, а минуты – из 60 секунд.

В измерении углов: градус равен 60 минутам, а минута – 60 секундам.

Система счисления майя

Цифры майя – это позиционная запись чисел с основанием 20, используемая племенами майя.

Рассматриваемый способ исчисления состоял из нуля и 19 сложных цифр. Ноль имел обозначение пустой ракушки. Цифры составлялись из точки и горизонтальной черточки. Точка означала единицу, черта – пятерку.

Цифры майя применялась в календарных расчетах. В бытовых целях использовали непозиционный метод записи. Об этом свидетельствует то, что в позиционной системе счисления цивилизации майя имеется больше чисел, чем необходимые 12.

Читайте также: