Нелинейные электрические цепи постоянного тока доклад

Обновлено: 07.05.2024

Нелинейные электрические цепи

В электрические цепи могут входить пассивные элементы , электрическое сопротивление которых существенно зависит от тока и ли напряжения, в результате чего ток не находится в прямо пропорциональной зависимости по отношению к напряжению. Такие элементы и электрические цепи, в которые они входят, называют нелинейными элементами .

Нелинейные элементы придают электрическим цепям свойства, недостижимые в линейных цепях (стабилизация напряжения или тока, усиление постоянного тока и др.). Они бывают неуправляемые и управляемые . Первые - двухполюсники - предназначены для работы без воздействия на них управляющего фактора (полупроводниковые терморезисторы и диоды), а вторые - многополюсники - используются при воздействии на них управляющего фактора (транзисторы и тиристоры).

Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов

Электрические свойства нелинейных элементов представляют вольт-амперными характеристиками I(U) экспериментально полученными графиками, отображающими зависимость тока от напряжения, для которых иногда составляют приближенную, удобную для расчетов эмпирическую формулу.

Неуправляемые нелинейные элементы имеют одну вольт-амперную характеристику, а управляемые - семейство таких характеристик, параметром которого является управляющий фактор.

У линейных элементов электрическое сопротивление постоянно, поэтому вольт-амперная характеристика их является прямой линией, проходящей через начало координат (рис. 1, а).

Вольт-амперные характеристики нелинейных имеют различную форму и разделяются на симметричные и несимметричные относительно осей координат (рис. 1, б, в).

Рис. 1. Вольт-амперные характеристики пассивных элементов: а - линейных, б - нелинейных симметричных, в - нелинейных несимметричных

Рис. 2. Графики для определения статического к дифференциального сопротивлений нелинейных элементов на участках вольт-амперных характеристик: а - восходящем, б - падающем

У нелинейных элементов с симметричной вольт-амперной характеристикой, или у симметричных, элементов, перемена направления напряжения не вызывает изменения значения тока (рис. 1, б), а у нелинейных элементов с несимметричной вольт-амперной характеристикой, или у несимметричных элементов, при одном и том же абсолютном значении напряжения, направленного в противоположные стороны, токи разные (рис. 1, в). Поэтому нелинейные симметричные элементы применяют в цепях постоянного и переменного тока, а нелинейные несимметричные элементы, как правило, в цепях переменного тока для преобразования переменного тока в ток постоянного направления.

Характеристики нелинейных элементов

Для каждого нелинейного элемента различают статическое сопротивление, соответствующее данной точке вольт-амперной характеристики, например, точке А:

R ст = U/I = muOB / miBA = mr tgα

и дифференциальное сопротивление, которое для. той же точки А определяется по формуле:

R диф = dU/dI = muDC / miCA = mr tgβ ,

где mu, mi, mr - соответственно масштаб напряжений, токов и сопротивлений.

Статическое сопротивление характеризует свойства нелинейного элемента в режиме неизменного тока, а дифференциальное — при малых отклонениях тока от установившегося значения. Оба они изменяются при переходе от одной точки и вольт-амперной характеристики к другой, причем первое всегда положительное, а второе - знакопеременное: на восходящем участке вольт-амперной характеристики оно положительное, а на падающем участке - отрицательное.

Нелинейные элементы характеризуются также обратными величинами: статической проводимостью Gст и дифференциальной проводимостью G диф либо безразмерными параметрами -

Kr = - (R диф/ R ст)

или относительной проводимостью:

Kg = - ( G диф / G ст)

У линейных элементов параметры Kr и Kg равны единице, а у нелинейных элементов отличаются от нее, причем чем больше они отличаются от единицы, тем больше проявляется нелинейность электрической цепи.

Нелинейные электрические цепи рассчитывают графическим и аналитическим методами , в основу которых положены законы Кирхгофа и вольт-амперные характеристики отдельных элементов цепях переменного тока для преобразования переменного тока в ток постоянного направления.

При графическом расчете электрической цепи с двумя последовательно соединенными нелинейными резисторами R1 и R2 с вольт-амперными характеристиками I(U1) и I(U2) строят вольт-амперную характеристику всей цепи I(U) , где U = U1+U2 , абсциссы точек которой находят суммированием абсцисс точек вольт-амперных характеристик нелинейных резисторов с равными ординатами (рис. 3, а, б).

Рис. 3. Схемы и характеристики нелинейных электрических цепей: а - схема последовательного соединения нелинейных резисторов, б - вольт-амперные характеристики отдельных элементов и последовательной цепи, в - схема параллельного соединения нелинейных резисторов, г - вольт-амперные характеристики отдельных элементов и параллельной цепи.

Наличие этой кривой позволяет по напряжению U найти ток I , а также напряжения U1 и U2 на зажимах резисторов.

Аналогично выполняют расчет электрической цепи с двумя параллельно соединенными резисторами R1 и R2 с вольт-амперными характеристиками I1(U) и I 2(U), для чего строят вольт-амперную характеристику всей цепи I ( U ), где I = I1 + I2 , по которой, пользуясь заданным напряжением U , находят токи I , I1 , I2 (рис. 3 , в, г).

Аналитический метод расчета нелинейных электрических цепей основан на представлении вольт-амперных характеристик нелинейных элементов уравнениями соответствующих математических функций, позволяющих составить необходимые уравнения состояния электрических цепей. Поскольку решение таких нелинейных уравнений часто вызывает значительные трудности, аналитический метод расчета нелинейных цепей удобен, когда рабочие участки вольт-амперных характеристик нелинейных элементов могут быть спрямлены. Это позволяет описать электрическое состояние цепи линейными уравнениями, не вызывающими затруднения при их решении.

ГОСТ

Нелинейные цепи и элементы

Нелинейная электрическая цепь — это электрическая цепь, в состав которой входит хотя бы один нелинейный элемент.

Нелинейный элемент — это элемент, характеристики и параметры которого зависят от величины и/или направления связанных с ним переменных (электрический ток, магнитный поток, температура, световой поток, напряжение и т.п.).

Нелинейные элементы описываются нелинейными характеристиками, которые задаются графиками, таблично или определяются экспериментально. Нелинейные элементы можно разделить на двухполюсные и многополюсные. В многополюсных нелинейных элементах содержатся три и более полюсов, при помощи которых данные элементы присоединяются к электрической цепи. Этими полюсами могут быть:

Магнитные усилители.
Пентоды.
Тетроды.
Многообмоточные трансформаторы.
Электронные диоды.
Полупроводниковые диоды.

Нелинейные элементы также делятся на безынерционные и инерционные. У инерционных элементов характеристики зависят от скорости изменения переменных. Для данных элементов статические характеристик, определяющие зависимость между действующими значениями переменных, отличаются от динамических характеристик, которые устанавливают связь между мгновенными значениями переменных. В безынерционных нелинейных элементах характеристики никак не зависят от скорости изменения переменных. В них статические и динамические характеристики совпадают. Понятие инерционного и безынерционного элемента относительно, так как безынерционный нелинейный элемент может быть рассмотрен в допустимом диапазоне частот, в случае выхода из которого он становится инерционным.

Готовые работы на аналогичную тему

Нелинейные элементы также делят на управляемые и неуправляемые. Обычно к неуправляемым элементам относятся двухполюсники. Характеристика неуправляемого нелинейного элемента изображается единственной кривой. Управляемыми элементами являются электронные лампы тиристоры транзисторы, операционные усилители и т.п. То есть это те элементы, которые кроме главной цепи имеют хотя бы одну управляющую, электрический ток и напряжение которой оказывают влияние на вольтамперные характеристики основной цепи

Нелинейные электрические цепи постоянного тока

Нелинейные свойства нелинейных цепей постоянного тока определяются наличием в них нелинейных резисторов. Так как в нелинейных резисторах отсутствует прямая пропорциональность между напряжением и током, они не могут быть охарактеризованы одним значением сопротивления. Соотношение между напряжением и током зависит от их мгновенных значений, а также интегралов и производных по времени. В зависимости от условий функционирования нелинейного резистора и характера поставленной задачи различают динамическое, статическое и дифференциальное сопротивления. В том случае, когда нелинейный элемент является безынерционным (характеристики не зависят от скорости изменения переменных), то он может быть охарактеризован статическим и дифференциальным сопротивлением, график которых изображен на рисунке ниже.

Рисунок 1. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В этом случае статическое сопротивление представляет собой отношение напряжения на резистивном элементе в протекающему через него электрическому току (точка 1 на рисунке), то есть:

$Rcm = U1 / I1 = mRtga$

Дифференциальное сопротивление является отношением бесконечно малого приращения напряжения к такому же приращению электрического тока, то есть:

$R = du / di = mRtgB$

У неуправляемого нелинейного резистора статическое сопротивление всегда больше нуля, значение дифференциального сопротивления может быть отрицательным.

Методы расчета нелинейных цепей постоянного тока. Графический метод

Состояние электрических нелинейных цепей постоянного тока может описываться на основании законов Кирхгофа, имеющих общий характер. Для нелинейных цепей неприменим метод наложения, поэтому методы расчета линейных электрических цепей на основе законов Кирхгофа и метод наложения не распространяются на нелинейные. Как таковых общих методов расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока не существует. Распространены способы, которые имеют самые различные области применения и возможности. При расчете и анализе нелинейной электрической цепи постоянного тока составленные системы уравнений могут быть решены следующими способами:

Инерционные.
Графические.
Аналитические.
4 Графоаналитические.

При использовании графических методов поставленная задача решается при помощи графических построений на плоскости, а характеристики ветвей цепи записываются в функции одного аргумента, который является общим. Благодаря этому система уравнений сводится к одному нелинейному уравнению, у которого одна неизвестная. Самыми распространенными графическими способами расчета нелинейной цепи постоянного тока являются: расчет для последовательных цепей с резистивными элементами, метод пересечений, метод двух узлов.

Элемент электрической цепи, параметры которого зависят от значений токов и напряжений, называется нелинейным элементом (НЭ ). Цепь, схема замещения которой не содержит реактивных элементов, называется безинерционной или резистивной. Термин “безинерционный ” обусловлен тем, что в данных цепях переходный процесс заканчивается мгновенно.

При описании любого нового элемента электрической цепи устанавливается функциональная зависимость между напряжениями и токами на его зажимах, т.е. необходимо получит математическую модель элемента. Свойства нелинейных двухполюсных резистивных элементов описываются своей вольтамперной характеристикой (ВАХ), которую можно представить в виде

Для НЭ эта функция является нелинейной, например

или и т.д.

Нелинейный четырехполюсник, как и линейный, описывается двумя уравнениями, которые связывают напряжения и токи на его входе и выходе. При анализе транзисторов часто используется следующая система уравнений:

Графическое изображение уравнений для транзистора (входная и выходная характеристики) в схеме с общим эмиттером показано на рис. 1.1.

Для резистивных НЭ важным параметром является их сопротивление, которое зависит от того, в какой точке ВАХ оно определяется. Различают два вида сопротивлений: статическое и динамическое. Статическое сопротивление в рабочей точке А (рис. 1.1) определяется как

Это сопротивление постоянному току, оно характеризуется тангенсом угла наклона прямой, проходящей через рабочую точку А и начало координат.

Под действием напряжения малой амплитуды:

ток повторит по форме напряжение:

, т.е.

переменное напряжение и амплитуда переменного тока .

Для определения динамического (дифференциального) сопротивления по выходной характеристике НЭ необходимо выбрать приращение и и определить динамическое следующим образом:

Это сопротивление представляет собой сопротивление НЭ переменному току малой амплитуды.

Обычно переходят к пределу этих приращений и определяют дифференциальное сопротивление в виде:

Различают нелинейные элементы с монотонной и немонотонной ВАХ. Нелинейные элементы с немонотонной ВАХ имеет падающие участки и называется НЭ с отрицательным сопротивлением. Типичным НЭ с немонотонной ВАХ является тунельный диод (рис. 1.2)

Рис. 1.2.

В заключение отметим, что в теории нелинейных цепей не изучаются устройства НЭ, а используются внешние характеристики (модели) подобно тому, как при изучении теории линейных цепей не рассматривают устройство резисторов, конденсаторов и катушек и пользуются только их математическими моделями с параметрами и .

Анализ нелинейных цепей с двухполюсными элементами

Составление уравнений состояния цепи на основании законов Кирхгофа .

По первому закону Кирхгофа записываются уравнения вида:

где m – число ветвей, сходящихся в узле.

По второму закону Кирхгофа записываются уравнения вида:

где n – число ветвей, входящих в контур.

Если цепь содержит, кроме линейных, также НЭ, то в системе уравнений, описывающей состояние цепи появятся уравнения вида . Методика составления уравнений состояния цепи на основе законов Кирхгофа остается такой же, как в случае линейных резистивных цепей.

Составим, например, систему уравнений состояния для цепи, схема которой изображена на рис. 1.3. Пусть ВАХ нелинейного элемента определена выражением:

Рис. 1.3.

Зададимся положительными направлениями напряжений и токов. Цепь содержит один независимый контур и один независимый узел. Уравнения, записанные по законам Кирхгофа, имеют следующий вид:

К этим уравнениям дописываем уравнение . Неизвестными в данной системе уравнений являются напряжение и токи и . Всего три неизвестных. Для их отыскания составлено три уравнения. Как видим, процесс составления системы уравнений такой же, как и в случае линейной цепи. Однако процесс решения полученной системы, которая содержит нелинейное уравнение, может существенно затрудниться. Для большинства относительно сложных цепей аналитического решения системы уравнений может и не существовать. Тогда приходится прибегать к численным методам решения.

Составление уравнений состояния цепи методом узловых напряжений .

Рассмотрим в качестве примера схему, изображенную на рис. 1.4. Пусть ВАХ нелинейных элементов описываются выражениями

для НЭ₁ и для элемента НЭ₂ .

Приняв узел 2 за базисный, имеем три независимых узла, но уравнения будем составлять для 1 и 4 узлов. Узловое напряжение известно . Токи ветвей выражаются через узловые напряжения и следующим образом:

Составим уравнения для узлов 1 и 4 по первому закону Кирхгофа:

Подставив в эти уравнения значения токов, получим:

Уравнения узловых напряжений получены в виде системы двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными узловыми напряжениями.

Решить данную систему уравнений можно одним из численных методов (например, известным из математики методом Ньютона-Рафсона). Определив узловые напряжения, можно вычислить токи и напряжения ветвей.

Графоаналитические методы анализа нелинейных цепей

Сущность графоаналитических методов состоит в том, что путем подстановки систему уравнений сводят к системе, состоящей из двух уравнений от двух неизвестных. Потом эти уравнения изображают на графике. Точка пересечения графиков даст искомое решение.

Данные методы используются также в случаях, когда ВАХ нелинейного элемента задана графически и получить аналитическое выражение для нее затруднено (ВАХ описывается сложной функцией).

Для демонстрации графоаналитического метода решим следующую систему уравнений для схемы на рисунке 1.3:

Из второго уравнения выразим ток и подставим его в третье уравнение. В результате этой операции получим:

Решим уравнение относительно тока в НЭ:

Это уравнение прямой , где .

Точка пересечения ВАХ нелинейного элемента и уравнения прямой дает решение задачи.

Метод эквивалентного генератора

Если цепь содержит один НЭ, то применяют метод эквивалентного генератора. При этом линейная цепь относительно зажимов НЭ заменяется эквивалентным генератором напряжения или тока (рис. 1.5).

Ток в НЭ и напряжение на нем находится из системы, состоящей всего из двух уравнений. Так, применяя второй закон Кирхгофа к схеме рис. 1.5, б получаем:

Дописывая к данному равенству уравнение НЭ , получаем систему из двух уравнений. Решить данную систему можно графическим путем, построив график прямой:

и график ВАХ нелинейного элемента. Точка пересечения графиков дает значение тока и напряжения на НЭ.

Эквивалентное преобразование схем с нелинейными элементами

Суть эквивалентных преобразований состоит в замене участков цепи с параллельным или последовательным соединением ветвей одной эквивалентной ветвью путем суммирования их токов или напряжений по заданным характеристикам ветвей цепи.

Пусть два НЭ с уравнениями (ВАХ) и включены параллельно (рис. 1.6).

Необходимо найти уравнение НЭ, эквивалентного данному соединению элементов. Так как элементы соединены параллельно, то , а по первому закону Кирхгофа . Выполним сложение токов графически, как показано на рис. 1.7.

Задаемся значением напряжения. При этом значении напряжения находим токи НЭ и суммируем их. Задаемся новым значением напряжения и опять суммируем токи. Таким образом, находим серию точек, соединяя которые, получаем ВАХ эквивалентного НЭ.

Рассмотрим последовательное соединение НЭ (рис. 1.8).

В данном случае , а . Процесс определения ВАХ НЭ показан на рис. 1.9. Заметим, что рассмотренные преобразования применимы и в случае, когда последовательно или параллельно соединены несколько линейных, а также нелинейных элементов.

Поочередное применение правил эквивалентного преобразования участков с последовательным и параллельным соединением элементов позволяет постепенно "свертывать" участки цепей со смешанным соединением линейных и нелинейных сопротивлений с монотонными ВАХ.

Цепи, состоящие из линейных и нелинейных сопротивлений, можно использовать для стабилизации напряжения.

Отношение относительного приращения напряжения на входе таких цепей к относительному приращению выходного напряжения называется коэффициентом стабилизации .

Следует подчеркнуть, что эффект стабилизации напряжения в принципе не может иметь места в цепях, составленных из элементов с линейными ВАХ.

Вопрос к аудитории : Может ли иметь место стабилизация в линейных цепях?

Анализ цепей с четырехполюсными нелинейными элементами

Рассмотрим анализ резистивных цепей, если в их состав входят нелинейные четырехполюсники, которые описываются нелинейными уравнениями. На рис. 1.10 показана схема включения нелинейного четырехполюсника, а на рис. 1.11 – семейство его входных (а) и выходных (б) ВАХ.

По второму закону Кирхгофа для входной и выходной цепей схемы 1.10 можно записать:

Решая эти уравнения относительно токов и получаем уравнения:

которые называются уравнениями нагрузочных прямых .

На рис. 1.11 построены графики этих прямых и графических входных и выходных ВАХ четырехполюсного НЭ. Точки пересечения нагрузочных прямых и ВАХ определяют режимы постоянного тока (рабочие точки) на входе и выходе четырехполюсного НЭ.

В подавляющем большинстве практических задач анализа нелинейных резистивных цепей конфигурация цепи не бывает произвольно сложной; в цепи, как правило, действует один источник переменного сигнала, и требуется определить реакцию в одной или двух ветвях. Задача анализа сводится к следующему: при заданной цепи, содержащей резистивные элементы с известными характеристиками, источники постоянного напряжения и тока и один источник переменного сигнала , действующий на входе, определить реакцию : напряжение или ток на входе, либо на выходе цепи. Точное аналитическое решение задачи анализа возможно только в редких случаях простейших резистивных цепей с определенными характеристиками элементов. Уравнения электрического равновесия решают приближенными численными, графическими или графо-аналитическими методами.

1. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986.

2. Бакалов В.П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998.

3. Качанов Н.С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974.

Нелинейным элементом электрической цепи считается элемент, значения параметров которого зависят от значения тока данного элемента или напряжения на его выводах.

К нелинейным элементам электрических целей относятся разнообразные электронные, полупроводниковые и ионные приборы, устройства, содержащие намагничивающие обмотки с ферромагнитными магнитопроводами (при переменном токе), лампы накаливания, электрическая дуга и др.

Рис. 1.21. Примеры вольт-амперных характеристик:

а — линейного элемента; б — лампы накаливания; в - полупроводнико- вого диода; г - транзистора (при различных токах базы), д - терморезистора, е – стабилитрона

Нелинейные элементы получают в настоящее время все более широкое распространение, так как они дают возможность решать многие технические задачи. Так, с помощью нелинейных элементов можно осуществить преобразование переменного тока в постоянный, усиление электрических сигналов, генерирование электрических сигналов различной формы, стабилизацию тока и напряжения, изменение формы анналов, вычислительные операции и т д. Нелинейные элементы широко используются в радиотехнических устройствах, в устройствах промышленной электроники, автоматики, измерительной и вычислительной техники.

Важнейшей характеристикой нелинейных элементов является вольт-амперная характеристика (в. а. х.), представляющая собой зависимость между током нелинейного элемента и напряжением на его выводах: I(U) или U(I).

Зависимость между током I и напряжением U любого пассивного элемента электрической цепи подчиняется закону Ома, согласно которому I = U/r. Поскольку у линейных элементов с изменением тока или напряжения сопротивление остается постоянным, их в. а. х. не отличаются от прямой (рис. 1.21, а).

Рис. 1.22 - К расчету электрической цепи с нелинейным элементом графо-аналитическим методом

У нелинейных элементов в. а. х. весьма разнообразны и для некоторых из них даны на рис. 1.21,б — е. Там же приведены условные графические обозначения соответствующих элементов. Общее условное обозначение любого нелинейного резистивного элемента показано на рис. 1.22, а.

Имея в. а. х. нелинейного элемента, можно определить его сопротивления при любых значениях тока или напряжения. Различают два вида сопротивлений нелинейных элементов: статическое и дифференциальное.

Статическое сопротивление дает представление о соотношении конечных значений напряжения и тока нелинейного элемента и определяется в соответствии с законом Ома. Например, для точки А в. а. х. (рис. 1.21,б) статическое сопротивление

где m_u и m_i — масштабы напряжения и тока.

Дифференциальное сопротивление позволяет судить о соотношении приращений напряжения и тока и определяется следующим образом:

К нелинейным электрическим цепям применимы основные законы электрических цепей, т. е. закон Ома и законы Кирхгофа. Однако расчет нелинейных цепей значительно труднее, чем линейных, Объясняется это тем, что кроме токов и напряжений, подлежащих обычно определению, неизвестными являются также зависящие от них сопротивления нелинейных элементов.

Для расчета нелинейных электрических цепей применяется с большинстве случаев графоаналитический метод. Однако если в предполагаемом диапазоне изменения тока или напряжения нелинейного элемента его в. а. х. можно заменить прямой линией, то расчет можно производить и аналитическим методом.

Следует отметить, что к той части электрической цепи, которая содержит линейные элементы, применимы все методы расчета и преобразования электрических цепей, рассмотренные ранее.

Аналитический метод расчета нелинейных электрических цепей. Предположим, что имеется некоторый нелинейный элемент, в. а. х. которого приведена на рис. 1.26, а. Если данный элемент должен работать на линейном участке cd в.а.х., то для расчета и анализа можно использовать аналитический метод.

Чтобы выяснить зависимость между напряжением и током участка cd и построить схему замещения нелинейного элемента, работающего на данном участке, продлим его до пересечения в точке а с осью абсцисс и будем считать, что в точке пересечения напряжение U равно некоторой ЭДС Е.

Рис. 1.26. К расчету электрической цепи с нелинейным элементом аналитическим методом

Для рис. 1.26, а справедливо следующее очевидное соотношение:

Ob = Oa + ab = Oa + bx tgβ. (1.44)

Выразив в (1.44) отрезки через соответствующие электротехнические величины и масштабы напряжения и тока, получим

После умножения на масштаб напряжения будем иметь

(1.45)

где r_d — дифференциальное сопротивление нелинейного элемента на участке cd его в. а. х.

Полученному уравнению (1.45) согласно второму закону Кирхгофа соответствует схема замещения amb (рис. 1.26,б) нелинейного элемента, работающего на линейном участке cd.

Допустим, что нелинейный элемент получает питание от эквивалентного генератора с параметрами E_э и r_0э (рис. 1.26,б), заменяющего некоторый активный двухполюсник. Тогда по второму закону Кирхгофа можно написать

(1.46)

Используя (1.45) и (1.46), нетрудно решать многие задачи, связанные с расчетом и анализом нелинейной электрической цепи. Например, по (1.46) можно определить ток I_x , а по (1.45) - напряжение U_x при заданных E_э, r_0э и r_d.

Если графическое определение ЭДС E вызывает затруднение, можно найти ее, воспользовавшись выражением (1.45) и подставив в него известные координаты одной из точек участка cd.

Читайте также: