Методы доказательства неравенств 8 класс доклад

Обновлено: 07.07.2024

Доказательства неравенств, применяя неравенство Коши.

Вложение	Размер
neravenstva.doc	110 КБ

Предварительный просмотр:

Решением неравенств мы занимаемся на протяжении всего школьного курса. Неравенства можно решать графическим и аналитическим способом. Чтобы решить любое неравенство существует определенный алгоритм действий, поэтому данная задача является, скорее механическим действием, который не требует творческого подхода.

Напротив, доказательство неравенств требует неформального, вариативного подхода. Поэтому доказательство неравенств является наиболее интересным.

Однако, в школьном курсе математики доказательству неравенств уделяется очень мало внимания. Доказательство неравенств сводится к одному приему- оценке разности частей неравенства. Между тем, на математических олимпиадах часто встречаются задачи на доказательство неравенств с применением других способов и приемов (использование опорных неравенств, метод оценивания). На олимпиадах для школьников по математике также часто предлагаются неравенства, доказательство которых лучше выявляет способности и возможности учащихся, степень их интеллектуального развития. Кроме того, многие задачи повышенной сложности (из различных разделов математики) эффективно решаются с помощью неравенств.

Доказательства неравенств помогают развить навык осмысления и применения приемов доказательства неравенств; умение применять их при выполнении различных задач; умение анализировать, обобщать и делать выводы; логически излагать мысли; творчески относится к делу.

Между этими двумя этими величинами существует удивительное соотношение, которое исследовали ученые. О. Коши, французский математик, пришел к выводу о том, что среднее арифметическое n неотрицательных чисел всегда не меньше среднего геометрического этих чисел.

Наряду с неравенством Коши полезно знать следствия из него:

Равенство достигается при a = b.

Неравенства верны, если выполняются условия a > 0, b > 0.

Алгебраическое доказательство этого не равенства довольно простое:

Прибавим к обеим частям неравенства 4ав :

Разделим обе части неравенства на 4 :

;

Так как а и в – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:

Это метод, основанный на получении (синтезировании) неравенства (которое требуется обосновать) из опорных (базисных) неравенств и методов их установления.

Решим задачу, используя метод синтеза

Задача 1. Докажите, что для любых неотрицательных a, b, c справедливо неравенство

.

Решение. Запишем три неравенства, устанавливающие зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел

; ;

Перемножим почленно полученные неравенства, так как их левая и правая части неотрицательны

Задача 2. Применим неравенство Коши к доказательству этого неравенства:

.

Метод использования тождеств .

Суть метода состоит в том, что данное неравенство путём равносильных преобразований приводится к очевидному тождеству.

Рассмотрим решение задачи этим методом.

Задача. Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство .

Решение. Выделим в левой части неравенства полный квадрат

.

При любых действительных a и b это выражение неотрицательно, значит и данное неравенство выполнимо, то есть .

Сформировать умения учащихся решать неравенства различными методами,научиться работать в группах.

Решаемые задачи

• Числовые неравенства и их свойства.
• Доказательство неравенств с помощью составления разности; доказательство неравенств с помощью составления отношения чисел и сравнения с единицей.
• Решение текстовых задач с помощью неравенств.
• Доказательство неравенств с помощью опорных неравенств, метод вставки.
• Неравенство Коши. Неравенство Бернулли. Неравенство Коши-Буняковского.

Классификация неравенств

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на: М. Я. Выгодский "Справочник по элементарной математике", М., 1974

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Пример: Неравенство 3x^2-x^2+5 > 0 \! - алгебраическое, второй степени. Неравенство 2^x > x+4 \! - трансцендентное.

Числовые неравенства и их свойства.

Понятие неравенства

Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математике. Она вызывает, пожалуй, больше всего вопросов. Пусть на некоторых числовых множествах X1 и X2 заданы соответственно функции f(x) и g(х). Отношение вида f(x) > g(х) (1) или f(x) g1(х) и f2(x) Свойства неравенств.

Числовые неравенства обладают рядом свойств. Знание этих свойств поможет в дальнейшем решать неравенства, будет полезно и для исследования функций. Например, с неравенствами связаны такие свойства функции, как наибольшее и наименьшее значение функции на некотором промежутке, ограниченность функции снизу или сверху, возрастание или убывание.

Свойство 1. Если a > b и b > c, то a > c. Доказательство: a > b→ a-b>0 b > c→ b-c>0 Сумма двух положительных чисел - число положительное. (а-b)+(b-c)= а-b+ b-с = а - с > 0→ a >c. Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель множества действительных чисел, - числовую прямую. Неравенство a>b означает, что на числовой прямой точка, а расположена правее точки b, а неравенство b>c – что точка b расположена правее с. Тогда точка а расположена на прямой правее точки с, т.е. a > c. Свойство 1 обычно называют свойством транзитивности (от пункта а добираемся до пункта с как бы с транзитом, с промежуточной остановкой в пункте b).

Свойство 2. Если а > b, то a+с > b+c.

Свойство 3. Если а > b и m>0, то am > bm. Если а > b и m , > на b на -1, -а b и с > d, то а + c > b+d. Доказательство: если а > b, то по свойству 2, а + с > b+с. если с > d, то по свойству 2, с + b > d+ b. а+c > b+с, b+с> b+d, то по свойству 1 получаем, что а + c > b+d.

Свойство 5. Если а,b,с,d –положительные числа, и а>b, с>d, то ас > bd. Доказательство: а > b, с > 0→ас > bс. c > d, b >0→ bс > bd. Если ас > bс, bс > bd, то по свойству транзитивности ас > bd. Неравенства вида, а > b, с > d (или а b и с b, то

аⁿ > bⁿ, где n є N Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части неравенства - неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства. Дополнение к свойству 6. Если n-нечетное число, то для любых чисел а и b из неравенства а > b следует неравенство того же смысла аⁿ > bⁿ.

Разработка предназначена для учеников 8 класса, поэтому из всех перечисленных способов доказательства неравенств, разобраны только два: на основе определения и метод выделения квадрата. Для каждого способа приведены примеры. Практический блок разработки содержит 11 заданий для самостоятельного решения разного уровня сложности.

Доказательство неравенств.

Для доказательства неравенств существует несколько способов.

Доказательство неравенств на основе определения.

Метод выделения квадратов.

Метод математической индукции.

Использование специальных и классических неравенств.

Использование элементов математического анализа.

Графический метод.

Идея усиления.

Метод использования тождеств.

Метод введения новых переменных.

Из всех приведённых способов, на данном этапе изучения неравенств нам доступны только два: на основе определения и метод выделения квадратов. Их и рассмотрим.

1. Доказательство неравенств на основе определения.

Число больше числа , если их разность чисел и положительна. Исходя из этого определения, можно записать следующие условия:

, если разность ;

, если разность ;

, если разность ;

, если разность .

Например, доказать неравенство .

Составим разность левой и правой части неравенства:

.

Разность отрицательна, значит, левая часть меньше правой, ч.т.д.

2. Метод выделения квадратов.

Метод заключается в представлении неравенства в виде квадрата суммы (или разности), или в виде суммы (разности) квадратов. Мы ведь знаем, что выражение в квадрате всегда положительно, или, в крайнем случае, равно нулю.

Например, доказать неравенство .

Раскроем скобки в правой части неравенства и перенесём слагаемые в левую часть, и представим число 3 в виде трёх слагаемых, каждое из которых равно1:

.

Как доказать неравенство? Рассмотрим некоторые способы доказательства неравенств.

1) Число a больше числа b, если разность a-b — положительное число:

a>b, если a-b>0.

2) Число a меньше числа b, если разность a-b — отрицательное число:

a 0 или a=b (то есть a-b≥0).

4)a≤b, если a-b

Сводится к оценке разности левой и правой частей неравенства и сравнение её с нулём.

1) Доказать неравенство: (a+9)(a-2)

Оценим разность левой и правой частей неравенства:

Оцениваем разность левой и правой частей неравенства:

(3x-5)²≥0 при любом значении переменной x.

Следовательно, (3x-5)²+23>0 при любом x.

Значит, неравенство 9x²+48>30x выполняется при любом действительном значении x.

Что и требовалось доказать.

3) Доказать неравенство: x²+y²+16x-20y+190>0.

(x+8)²≥0 при любом значении x,

(y-10)²≥0 при любом значении y,

Следовательно, (x+8)²+(y-10)²+26>0 при любых действительных значениях переменных x и y.

А это значит, что x²+y²+16x-20y+190>0.

Что и требовалось доказать.

Высказываем предположение, что доказываемое неравенство неверно, и приходим к противоречию.

Предположим, что неравенство, которое нам нужно доказать, неверно. Тогда

Раскрываем скобки и упрощаем:

Поскольку (a₁b₂-a₁b₁)²≥0 при любых действительных значениях переменных, то -(a₁b₂-a₁b₁)²≤0. Пришли к противоречию. Значит, наше предположение было неверно. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

III. Доказательство неравенств с помощью геометрической интерпретации.

Таким способом, например, можно доказать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (частный случай неравенства Коши).

IV. Доказательство неравенств с использованием очевидных неравенств.

Доказать неравенство: a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Так при любых действительных значениях переменных (a-b)²≥0, (b-c)²≥0 и (a-c)²≥0, то очевидно, что (a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0.

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности и упрощаем:

Осталось перенести три слагаемые в правую часть:

Что и требовалось доказать.

V. Доказательство неравенств с помощью ранее доказанных неравенств.

Основные неравенства, на которые опираются при доказательстве других неравенств:

При a₁= a₂= …= a_n неравенство превращается в равенство.

• Сумма положительных взаимно-обратных чисел не меньше двух:

Применяется также аналог неравенства для отрицательных взаимно-обратных чисел:

Равенство достигается лишь в случае, когда числа x_i и y_i пропорциональны, то есть существует число k такое, что для любого i=1,2,…,n выполняется равенство x_i=ky_i.

где x>-1, n — натуральное число.

Равенство достигается лишь при x=0 и n=1.

Если x>-1, n — действительное число:

В обоих случаях равенство возможно лишь при x=0.

Модуль суммы не превосходит суммы модулей

Равенство достигается, если a и b имеют одинаковые знаки (a≥0 и b≤0 либо a≤0, b≤0).

• Модуль разности больше либо равен модуля разности модулей

1) Доказать неравенство при x>0, a>0, b>0, c>0:

Используем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

для каждого из множителей:

Так как по условию x>0, a>0, b>0, c>0, то x+a>0, x+b>0, x+c>0 и

Что и требовалось доказать.

2) Доказать неравенство:

Таким образом, для доказательства нашего неравенства надо показать, что

разделим обе части неравенства на 4 в двадцатой степени (при делении на положительное число знак неравенства не изменяется):

Применим неравенство Бернулли:

Так как в неравенстве

правая часть больше либо равна 6, это равенство верно. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Помимо перечисленных, существуют другие способы доказательства неравенств (метод математической индукции и т.д.).

Умение доказывать неравенства применяется во многих разделах алгебры (например, метод оценки решения уравнений сводится к доказательству неравенств).

Редкая олимпиада обходится без задач, в которых требуется доказать некоторое неравенство. Алгебраические неравенства доказываются с помощью различных методов, которые основываются на равносильных преобразованиях и свойствах числовых неравенств:

1) если a – b > 0, то a > b; если a – b

2) если a > b, то b a;

Напомним некоторые опорные неравенства, которые часто используются для доказательства других неравенств:

2) aх 2 + bx + c > 0, при а > 0, b 2 – 4ac

3) x + 1 /_x > 2, при х > 0, и x + 1 /_x –2, при х

4) |a + b| |a| + |b|, |a – b| > |a| – |b|;

5) если a > b > 0, то 1 /_a 1 /_b;

6) если a > b > 0 и х > 0, то a x > b x , в частности, для натурального n > 2

a 2 > b 2 и n √ a > n √ b ;

7) если a > b > 0 и х x x ;

8) если х > 0, то sin x

Многие задачи олимпиадного уровня, и это не только неравенства, эффективно решаются с помощью некоторых специальных неравенств, с которыми учащиеся школы часто не бывают знакомы. К ним, прежде всего, следует отнести:

(1 + α) n ≥ 1 + nα, где α > -1, n – натуральное число;

• доказательство неравенств на основе определения;
• метод выделения квадратов;
• метод последовательных оценок;
• метод математической индукции;
• использование специальных и классических неравенств;
• использование элементов математического анализа;
• использование геометрических соображений;
• идея усиления и др.

Задачи с решениями

1. Доказать неравенство:

а) a 2 + b 2 + c 2 + 3 > 2 · (a + b + c);

б) a 2 + b 2 + 1 > ab + a + b;

в) x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y > 0 при x > 0, y > 0.

a 2 + b 2 + c 2 + 1 + 1 + 1 – 2a – 2b – 2c = (a – 1) 2 + (b – 1) 2 + (c – 1) 2 > 0,

б) Доказываемое неравенство после умножения обеих частей на 2 принимает вид

2a 2 + 2b 2 + 2 > 2ab + 2a + 2b,

(a 2 – 2ab + b 2 ) + (a 2 – 2a + 1) + (b 2 – 2b +1) > 0,

(a – b) 2 + (a – 1) 2 + (b – 1) 2 > 0,

что очевидно. Равенство имеет место лишь при a = b = 1.

x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y = x 5 – x 4 y – (x 4 y – y 5 ) = x 4 (x – y) – y 4 (x – y) =

= (x – y) ( x 4 – y 4 ) = (x – y) (x – y) (x + y) (x 2 + y 2 ) = (x – y) 2 (x + y) (x 2 + y 2 ) > 0.

2. Доказать неравенство:

в) ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) > 0, где a > 0, b > 0, c > 0.

б ) Доказательство данного неравенства элементарно следует из следующей оценки:

Равенство достигается для равностороннего треугольника.

ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) =

так как сумма двух положительных взаимно обратных чисел больше или равна 2.

3. Доказать, что если a + b = 1, то имеет место неравенство a 8 + b 8 > 1 /₁₂₈.

Из условия, что a + b = 1, следует, что

a 2 + 2ab + b 2 = 1.

Сложим это равенство с очевидным неравенством

a 2 – 2ab + b 2 > 0.

2a 2 + 2b 2 > 1, или 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2 > 1.

Сложив это неравенство с очевидным неравенством

4a 4 – 8a 2 b 2 + 4b 2 > 0,

8a 4 + 8b 4 > 1, откуда 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4 > 1.

Сложив это неравенство с очевидным неравенством

64a 8 – 128a 4 b 4 + 64b 4 > 0,

128a 8 + 128 b 8 > 1 или a 8 + b 8 > 1 /₁₂₈.

4. Что больше е е · π π или е 2 π ?

Рассмотрим функцию f(x) = x – π · ln x . Поскольку f’(x) = 1 – π / _х , и слева от точки х = π f’(x) f’(x) > 0, то f(x) имеет наименьшее значение в точке х = π . Таким образом f(е) > f(π) , то есть

е – π · ln е = е – π > π – π · ln π

Отсюда получаем, что

Используя свойства логарифмов, нетрудно свести данное неравенство к равносильному неравенству:

где n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n (n-факториал). Кроме того имеет место система очевидных неравенств:

после почленного умножения которых, непосредственно получаем, что (n + 1) n > n!.

6. Доказать, что 2013 2015 · 2015 2013 2 ·2014 .

2013 2015 · 2015 2013 = 2013 2 · 2013 2013 · 2015 2013 =

= 2013 2 · (2014 – 1) 2013 · (2014 + 1) 2013 2 · (2014 2 – 1) 2013

2 · (2014 2 ) 2013 = 2014 2 + 2·2013 = 2014 2·2014 .

Очевидно, так же можно получить общее утверждение: для любого натурального n выполняется неравенство

(n – 1) n +1 (n + 1) n –1 2n .

7. Докажите, что для любого натурального числа n выполняется неравенство:

Оценим левую часть неравенства:

что и требовалось доказать.

8. Пусть а₁ 2 , а₂ 2 , а₃ 2 , . . . , а_n 2 – квадраты n различных натуральных чисел. Докажите, что

Пусть наибольшее из этих чисел равно m. Тогда

так как в правую часть добавлены множители, меньшие 1. Вычислим правую часть, разложив каждую скобку на множители:

9. Даны положительные числа a₁, a₂, . . . , a_n. Известно, что a₁ + a₂ + . . . + a_n ≤ 1 /₂ . Докажите, что

Раскрыв в левой части скобки, получим сумму

Сумма чисел во второй скобке не превосходит (a₁ + . . . + a_n) 2 , сумма в третьей скобке не превосходит (a₁ + . . . + a_n) 3 , и так далее. Значит, все произведение не превосходит

Методом математической индукции докажем, что для всех натуральных n верно неравенство:

Пусть при n = k имеет место: (1 + a ₁ ) . . . (1 + a _k ) ₁ + . . . + a _k ).

Рассмотрим случай n = k +1: (1 + a ₁ ) . . . (1 + a _k )(1 + a _k+1 )

В силу принципа математической индукции неравенство доказано.

10. Доказать неравенство Бернулли:

где α > -1, n – натуральное число.

Воспользуемся методом математической индукции.

При n = 1 получаем истинное неравенство:

Предположим, что имеет место неравенство:

Покажем, что тогда имеет место и

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α.

Действительно, поскольку α > –1 влечет α + 1 > 0, то умножая обе части неравенства

на (a + 1), получим

(1 + α) n (1 + α) ≥ (1 + nα)(1 + α)

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2

Поскольку nα 2 ≥ 0, следовательно,

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 ≥ 1 + (n + 1)α.

Таким образом, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли справедливо.

Задачи без решений

1. Доказать неравенство для положительных значений переменных

a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ≥ abc(a + b + c).

2. Доказать, что при любом a имеет место неравенство

3(1 + a 2 + a 4 ) ≥ (1 + a + a 2 ) 2 .

3. Доказать, что многочлен x 12 – x 9 + x 4 – x + 1 при всех значениях x положителен.

Читайте также:

  
• Государственная деятельность тютчева доклад
  
• Доклад о большой медведице для 1 класса
  
• Доклад на тему стыд и совесть 6 класс
  
• Банкротство гражданина в случае его смерти доклад
  
• Специфические средства общения глухих доклад