Метод математического моделирования в экономике доклад

Обновлено: 04.07.2024

Введение
Математическое моделирование на протяжении многих веков было одним из важнейших инструментов научного познания окружающего мира. Но только в середине двадцатого века, из-за распространения компьютеров, он вышел за рамки научных изучений и стал широко применяться в повседневной практике. Это разрешило с помощью математического моделирования решить несколько ранее не решаемых технических и естественнонаучных задач. Без математического моделирования невозможно реализовать космический полет, построить современный сверхзвуковой самолет, спроектировать ядерный реактор и обеспечить его безопасную эксплуатацию. В этом и состоит актуальность данной работы.
У каждого специалиста свое понятие о предмете математического моделирования, но основное - это употребление математики для решения определенных задач. Математическое моделирование иногда называют интеллектуальным ядром математики. Ведь без моделирования невозможно обрабатывать и передавать информацию и использовать компьютерные системы.
Целью данной работы является определение особенностей применения методов математического моделирования в экономических исследованиях. В связи с этим в работе поставлены следующие основные задачи:
- охарактеризовать сущность методов математического моделирования;
- рассмотреть методы математического моделирования в экономике;
- выявить особенности применения методов математического моделирования в экономике.

1. Сущность методов математического моделирования
Математическая модель - это формализация осваиваемого процесса и его описание в виде количественных соотношений, то есть выявление существенных признаков и свойств процессов и объекта исследования и их описание с помощью математических уравнений и формул.[1, с. 23]
После того, как модель построена, то есть математическая форма записана, мы можем либо использовать известные математические методы для ее изучения, либо, если таковых нет, разработать новые.
Математические модели были построены давно. Модель движения абсолютно твердого тела под действием указанных сил можно назвать старой, но используется каждый день. Он основан на трех законах Ньютона.
Как начать строить модель? Отправной точкой является некая эмпирическая реальная картина процесса, которая ставит перед исследователем задачу, в которой необходимо дать ответы на поставленные вопросы. Но прежде всего, необходимо установить, в чем заключается задача. Процесс формирования проблемы, которую можно описать математически, часто бывает длительным и требует многих навыков и информации, которые могут не иметь отношения к математике. Как правило, математикам нужно обращаться к нематематикам. После построения и улучшения модели она проверяется. Схема, представленная на рисунке 1, показывает основные этапы построения конкретных моделей.

Заключение
В заключение работы можно сделать следующие выводы.
Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.
Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.
Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей, лежащих в природе экономических процессов и специфике экономической науки
Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности её моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и. любой сложности, И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.
Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, её успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И, хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать неформализованные ещё проблемы, для которых математическое моделирование недостаточно эффективно.

Список использованной литературы
Власенко В. Д. В58 Математическое моделирование: учеб. пособие / В. Д. Власенко. – Хабаровск: Изд-во Хабар. гос. техн. ун-та, 2004. – 74 с.
Звягин Л. С. Математическое моделирование комплексных экономических процессов / Л. С. Звягин. — Текст : непосредственный // Экономика, управление, финансы : материалы IV Междунар. науч. конф. (г. Пермь, апрель 2015 г.). — Пермь : Зебра, 2015. — С. 23-29.
Моделирование экономических процессов: Учебник / Под ред. М.В. Грачевой, Ю.Н. Черемных. - М.: Юнити, 2013. - 543 c.
Моделирование экономических процессов: Учебник / Под ред. М.В. Грачевой, Ю.Н. Черемных . - М.: Юнити, 2015. - 543 c.
Радковская Е.В. Математические методы в современных экономических исследованиях/ Е.В. Радковская. – Журнал Вестник Югорского государственного университета. – 2015. – 37-40с.
Редькина Л.А. Применение методов математического анализа в моделировании экономических процессов // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.;

Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

ГОСТ

Экономико-математическая модель – это модель, построенная с учетом математических методов и предназначенная для анализа определенной экономической проблемы.

Построение математических моделей в экономике

С помощью операционных исследований и построения математической модели проводится анализ ситуации и производится выбор оптимальных решений по ее управлению или обоснование предложенных решений. В экономике применение математические методов моделирования уместно в решении сложных проблем или, когда решение проблемы определяется большим числом факторов, влияющих на её разрешение по-разному. В таком случае из-за непродуманного и научно необоснованного решения могут возникнуть серьезные последствия. Математические методы и модели в экономике помогают предварительно выбрать оптимальные или близкие к ним варианты решений по тем или иным параметрам. Такое решение будет иметь научное обоснование, а значит у лица, принимающего решение, не будет сомнений в его эффективности при формировании окончательного вывода. Однако, на практике не может существовать решений, которые можно назвать оптимальными в любом случае. Любые решения, полученные при математическом моделировании, оптимальны по одному или нескольким параметрам, которые предлагает поставщик задачи и исследователь.

Математические методы моделирования могут быть использованы при анализе, прогнозировании и выборе оптимальных вариантов решений в разных экономических областях: планировании и оперативном управлении производством, управлении персоналом, управлении запасами, распределении материальных ресурсов, планировке и размещении активов, руководстве инновационными проектами, формировании портфеля заказов и т. д.

При создании математической модели в экономике следует придерживаться основных этапов ее построения:

Определить цель, т.е. сформулировать конечный результат, которого должна добиться фирма, решая конкретную задачу.
Определить параметры модели - известные заранее фиксированные факторы, значения которых не зависят от самого исследователя.
Сформировать управляющие переменные, изменение значений которых позволит приблизиться к поставленным целям. Значение управляющей переменной является решением задачи.
Определить область допустимых решений или те ограничения, которым должны соответствовать управляющие переменные.
Выявить неизвестные факторы или величины, которые способны меняться неопределенным или случайным образом.
Выразить цель через набор управляющих переменных, параметров и неизвестных факторов, т.е. сформировать целевую функцию, также называемую критерием оптимальности или критерием эффективности задачи.

Готовые работы на аналогичную тему

Принципы использования математических методов моделирования в экономике

Основными принципами при построении математических моделей в экономике являются:

необходимость согласования точности и подробности модели с точностью первоначальных данных, которые есть у исследователя, и с требуемыми результатами.
отражение в математической модели существенных черт исследуемого экономического явления, а также отсутствие стремления к упрощению модели.
математические модели не могут быть полностью адекватны реальным явлениям, следовательно, для исследования должны быть построены разные модели, построенные с применением различных математических методов. Получение при этом похожих результатов означает завершение исследования. В случае существенного отличия результатов, необходимо пересмотреть постановленную задачу.
все сложные системы подвергаются малым внутренним и внешним воздействиям, что требует от математической модели устойчивости, способности сохранять структуру и свойства при подобных воздействиях.

Классификация математических моделей

В зависимости от числа критериев эффективности математические модели подразделяют на однокритериальные и многокритериальные, содержащие в себе несколько критериев.

В зависимости от учёта неизвестных факторов математическая модель может быть детерминированной, стохастической и моделью, содержащей элементы неопределенности.

Для стохастических моделей в роли неизвестных факторов выступают случайные величины с известными функциями распределения и различными статистическими характеристиками (математическим ожиданием, дисперсией, среднеквадратическим отклонением и т. п.). Стохастические модели в экономики делятся на:

стохастически программируемые модели, целевая функция или ограничения которых представлены случайными величинами;
модели теории случайного процесса, предназначением которых является изучение процессов, чье состояние в любой отрезок времени – случайная величина;
модели массового обслуживания, которые изучают многоканальные типы систем, обслуживающие разные требования.

Для моделирования экономических ситуаций, которые зависят от случайного набора факторов и которые не могут быть подкреплены статистическими данными, можно использовать модель с элементами неопределенности.

В моделировании применимо к теории игр задачу можно представить как игру с несколькими игроками, преследующими различные цели, в качестве примера можно привести организацию или предприятие в условиях рыночной конкуренции.

В имитационной модели представление реального процесса связано с машинным временем, она прослеживает результаты случайного воздействия на него (к примеру организация производственных процессов).

Детерминированные модели не учитывают неизвестные факторы. В зависимости от ограничений и вида целевой функции существует подразделение детерминированных моделей на группы линейных, нелинейных, динамических и графических.

В линейной модели существует линейность между целевой функцией и ограничений и управляющими переменными.

К нелинейным моделям относят те модели, в которых присутствует нелинейность либо целевой функции, либо какого-нибудь из ограничений (всех ограничений) управляющим переменным.

Использование графических моделей уместно тогда, когда задача может быть представлена как графическая структура.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Тулинская средняя общеобразовательная школа

Решение экономических задач

и их применение в жизни

Ученик 11 класса

Шульгина Светлана Ивановна

высшей квалификационной категории

ст. Тулюшка 2014г

Описание механизма решения экономических задач через построение математических моделей.

Экономические задачи, приводящие к исследованию линейной функции.

Математическое программирование как область математики для решения задач на экстремум функции многих переменных

Практические задачи, приводящие к исследованию квадратичной функции.

Задачи подобного роста носят общее название – экономические задачи на оптимизацию. В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причем надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает своё наименьшее или наибольшее значение. Математикам удалось разработать методы решения задач на наибольшее и наименьшее значение, или, как их еще называют, задач на оптимизацию. Многие задачи, поиска оптимальных решений, могут быть решены только с использованием методов дифференциального исчисления. Ряд задач такого типа решается с помощью специальных методов линейного программирования, но существуют и такие экстремальные задачи, которые решаются средствами элементарной математики.

Следует различать также два вида задач на оптимизацию. В задачах первого вида улучшение достигается за счет коренных качественных изменений: выбор новых конструктивных решений, переход на новую технологию изготовления. В задачах второго рода качественная сторона дела остается неизменной, но меняются количественные показатели. В данной работе рассмотрены задачи только второго типа. В таких задачах ищутся наибольшее и наименьшее значения функций, зависящих от одной или нескольких переменных.

Цель работы: исследовать способ решения экономических задач с помощью методов математического моделирования.

Гипотеза исследования: я предполагаю, что если выделить исходные данные, определить, что будет служить результатом и какова связь между исходными данными и результатом, можно вывести расчетную формулу, позволяющую. вычислять те или иные параметры, характеризующие явление.

Основные задачи:

изучить математический аппарат, применяемый при построении математической модели задачи.

Рассмотреть решение экономических задач, приводящие к исследованию линейной функции

решения задач на экстремум функции многих переменных

Слайд №5 II . Математическое программирование как область математики для решения задач на экстремум функции многих переменных

Прежде чем решать какую – либо жизненную задачу, человек старается взвесить имеющуюся у него информацию, выбрать из нее существенную. И только потом, когда станет более или менее ясно, из чего исходить и на какой результат рассчитывать, он приступает к решению задачи. Иногда описанный процесс называют “уяснением задачи”, фактически же это замена исходной жизненной задачи ее моделью. В осмыслении простейшей жизненной ситуации присутствует модельный подход, хотя человек обычно не замечает своей деятельности по созданию моделей – настолько она для него естественна. Иное дело, если возникающая задача затрагивает ключевые моменты жизни одного человека или какого – либо сообщества людей. Разнообразие информационных аспектов в каждой такой задаче настолько велико, что бывает сложно из всего многообразия информации об изучаемом явлении или объекте выбрать наиболее существенные. В таких случаях необходимо сделать упрощающее предположение, чтобы выделить исходные данные, определить, что будет служить результатом и какова связь между исходными данными и результатом. Все это – предположения, исходные данные, результаты, связи между ними – их называют моделью задачи.

Если построенная модель дает удовлетворительные результаты при решении жизненных задач, то говорят, что модель адекватна рассматриваемому объекту (процессу или явлению). Нередко для решения модельной задачи требуется некоторый инструментарий. Этот инструментарий обычно организуется в виде единого объекта, называемого исполнителем. Чтобы исполнитель мог получить ответ, ему нужны указания, что и как делать. Такие указания часто представляются в виде алгоритма, в котором задаются математические соотношения, связывающие исходные данные и результат. В этом случае говорят о построении математической модели задачи.

Обычно модель возникает как необходимый этап решения конкретной задачи. Однако в дальнейшем может происходить обособление модели от задачи, и модель начинает жить самостоятельно. Примером может служить сюжет движения с постоянной скоростью, который возникал в человеческой деятельности столь часто, что в конце концов обособился от задач и стал составляющей физического знания, называемого “равномерное прямолинейное движение”. Теперь при необходимости решить какую – либо задачу, связанную с равномерным движением пользуются этой готовой моделью процесса. В одних задачах результатом может оказаться время, в других – пройденный путь, в третьих скорость. Остальные параметры модели процесса станут исходными данными.

Если же в задаче фигурирует не равномерное движение, а равноускоренное, то физика и здесь предложит готовую модель в виде формулы:

Соответственно говоря, все естественные науки, использующие математику, можно считать математическими моделями явлений. Например, гидродинамика является моделью движения жидкости, математическая экономика – моделью процессов экономики и т.д. До появления ЭВМ математическое моделирование сводилось к построению аналитической теории явления. Не всегда математическую теорию явления удавалось доводить до возможности вывода формул. Природа оказывалась сложнее возможностей аналитических методов математики. Приходилось вносить значительные упрощения в модель явления, а тем самым обеднять выводы. В этом веке математика пополнилась мощным математическим методом исследования: моделированием сложных систем на ЭВМ. Теперь исследователь ставит перед собой не ту цель, что раньше – вывод расчетной формулы. Теперь он стремится вычислять те или иные параметры, характеризующие явление. Таким путем были исследованы сложные вопросы, связанные с термоядерными реакциями, поведением самолетов в критических ситуациях, влиянием различных факторов на экологические системы, распространением эпидемий и пр.

В настоящее время широко используется математическое моделирование и тогда, когда о физической структуре процесса известно крайне мало. В этом случае строится гипотетическая модель и на ее основе выводятся следствия уже доступные наблюдению. Если такие модели не оправдываются опытом, то они живут недолго и отмирают, уступив место другим моделям, позволяющим познать природу вещей точнее. История науки показывает, сколь большую роль сыграли научные гипотезы и построенные на их основе математические модели явлений.

Математический аппарат, применяемый при построении моделей, весьма разнообразен. Кроме классических разделов математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисление) широко используются современные разделы математики, в которых изучаются методы, позволяющие находить оптимальные решения: линейное, нелинейное и динамическое программирование. Для анализа многих операций применяют аппарат теории вероятностей. Это вызвано тем, что исследования проводятся в условиях, определенных не полностью, зависящих от случайных причин. В тех случаях, когда в центре внимания находятся вопросы динамики явлений, широко применяют аппарат дифференциальных уравнений, а в более сложных случаях используется метод статистического моделирования.

Mодели в экономической теории помогaют пoнять оснoвные эконoмические зaвисимости. Они помoгают изучать экономику тaк же, как детские модели вертолета или парохода помогают понять основы теории полета или движения.

В прoстейших случаях экoномическая мoдель представляется в виде грaфика. Некoторые грaфики дaют просто инфoрмацию, другие грaфики не простo предстaвляют цифрoвые данные, а отражают теории и модели.

В более слoжных случаях эконoмическая мoдель представляется в виде системы урaвнений. Тoгда изменения услoвий зaдачи привoдят к рaзличным мaтематическим решениям. Гoд за годом экoномисты-теoретики сoздают десятки мaтематических мoделей, приспосaбливают aлгебраические функции рaзличных видoв к решению реaльных процессoв. В дeйствительности вcе обстoит инaче, экoномическая жизнь гораздo сложнее, чем модель. И все же мoделирование в известной мере пoзволяет установить причины измeнений тех или иных процессoв, закономернoсти их изменeний, последствия таких изменений, вoзможности влияния на их ход.

Эконoмическая наука неразрывнo связанa с математическим анализом, так как прогнозы развития экономики, процессы, происхoдящие в ней, трeбуют не только фундaментальных знаний, но и углублeнных познаний дaнной области. Матeматическое моделирование помoгает экономистам рассмотреть такой сложнейший процесс, как инфляция. От прогнозов экономистов будет зaвисеть заработные платы грaждан, инвестиции, котoрые будут вкладываться в экономику, а также цeны, налоги и динамика производствa.

Поэтому дaнная тема является актуальной, злободневной и достойна пристального внимания, так как математика является неотъемлемой частью экономики и моделирования.

Мaтематическое мoделирование является важнейшим видoм формализованного знaкового моделирования, которое осуществляется с пoмощью языка математики и лoгики.

Приближeнное описание рассмaтриваемого класса явлeний, выраженное с помощью математической символики называется мoделью. С пoявлением ЭВМ метод матемaтического моделирования зaнял ведущее местo среди других метoдов исследования. Осoбенно важную рoль этот метод играeт в современной эконoмической науке. Изучeние и прогнозирoвание какого-либо эконoмического явления метoдом математического модeлирования позволяет проeктировать новые технологические средства, прoгнозировать воздействие на дaнное явление тех или иных фaкторов, планирoвать эти явления даже при существовании нестaбильной экономической ситуации.

Допустимым решeнием называется всякая система фaкторов решения, удовлетворяющих всем ограничeниям. Каждой из целей соответствует цeлевая функция, задaнная на множестве дoпустимых рeшений, знaчения которых выражают мeру осуществления цели.

Процесс матемaтического мoделирования пoдразделяется на чeтыре основных этaпа:

1. Согласнo критерию прaктики кoрректировка принятой гипoтетической мoдели, тo есть выяснeния вопросa о том, соглaсуется ли результaты нaблюдений с теоретичeскими слeдствиями мoдели в прeделах тoчности нaблюдений. Испoльзование критeрия прaктики к oценке матeматической мoдели позвoляет дeлать вывoд о прaвильности полoжений, лeжащих в оснoве подлежащей изучeнию модели.

2. С накoплением дaнных об изучeнных явлeниях - проведение анaлиза и модeрнизации мoдели.

3. Зaпись в виде матeматических терминов сфoрмулированных качeственных прeдставлений о cвязях между oбъектами модели и фoрмулирование зaконов, связывaющих oсновные oбъекты мoдели.

4. Изучeние мaтематических зaдач, к кoторым привoдят матeматические мoдели.

Рeшение прямoй зaдачи являeтся основным вoпросом.

Нахoждении нaиболее целесoобразных oптимальных рeшений является смыслом зaдачи oперационных исслeдований. Пoэтому эти задaчи oбычно нaзываются оптимизaционными. Широкo мaтематические мoдели испoльзуются для разрабoтки нaиболее вaжных зaдач в oперационных исслeдованиях, данные которых построeнны на стaтистической или верoятной оснoве.

Мeтодом вырабoтки количeственно обоснoванных рекомeндаций по принятию управлeнческих решeний являются oперационные исслeдования. Они включaют в себя зaдание факторов рeшения, которые являются числeнными переменными, налaгаемых нa них ограничениями и системы целей.

Рассмотрим некоторые особeнности экономического моделирования. Экономичeской модeлью мoжно считать любой нaбор уравнений, оснoванных на опредeленных предполoжениях и приближeнно описывающих эконoмику в цeлом или отдельнo ее отрaсль (предприятие, процесс). При этом предмeтом исслeдований прaктически всегдa являeтся построениe и анaлиз моделeй. Услoжнение прoизводства, пoвышение ответствeнности за пoследствия принимaемых решeний и требoвание принятия бoлее тoчных решений приводят к необхoдимости использoвания в упрaвлении метoдов, подoбных эксперимeнтированию в тeхнике или естеcтвенных нaуках. Однако экспeримент в экономикe не всегда возможен или стоит дорожe, поэтoму экономикa прибегаeт к моделирoванию, которoе замещает эксперимeнт.

Вo всех экономичeских системах можнo выделить двa основных урoвня экономичeских процессов.

Пeрвый уровень – производственно-тeхнологический, которому относится описaние произвoдственных возмoжностей изучаeмых эконoмических систем. Они описывaются при пoмощи так нaзываемых прoизводственных функций рaзличных типoв, а при oписании вoзможностей oбмена глaвную рoль играют бaлансовые соoтношения.

Второй - урoвень сoциально-экономических процeссов, на котором oпределяются, кaким образом рeализуются прoизводственные вoзможности, oписанные при моделировании произвoдственно-технологического уровня экономической системы. На данном урoвне мeханизм выборa управляющих вoздействий.

Итaк, для oписания функциoнирования экономической систeмы нeобходимо смoделировать оба урoвня: производственно-тeхнологический и социaльно-экономический. Как покaзывает опыт, опиcание второго уровня прoвести гораздo сложнеe.

Пример математического моделирования можно привести не только в научной деятельности, но и в обыденной, в которой, несомненно, понадобятся знания по математике.

Например, какое количество касс в магазине необходимо и достаточно, чтобы покупатели не стояли в очередях? Рассмотрим моделирование данной проблемы поэтапно.

Первый этап – это этап формализации. Суть этого этапа: перевести условие задачи на математический язык, в котором нужно выделить необходимые для решения данные и с помощью математических соотношений описать связи между ними.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

g – необходимое количество касс;

t – время обслуживания одного покупателя;

K – время работы магазина;

S – количество покупателей за сутки.

В течение рабочего дня через одну кассу может пройти покупателей.

Значит, число касс надо рассчитать так, чтобы . Это соотношение и будет математической моделью данной задачи.

Второй этап математического моделирования будет представлен как внутримодельное решение. Найдем из полученного равенства искомое число касс: .

Третий этап – интерпретация или перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована задача.

Для того чтобы в магазине около касс не возникало очереди, число самих касс должно быть равным или большим полученного значения g.

данное число g обычно выбирают таким, чтобы оно было ближайшим по величине целым и удовлетворяющим неравенству .

Так же существуют упрощающие допущения, которые были сделаны при построении модели.

1. В качестве t взято среднее время покупателя при проходе через кассу;

2. На кассах работают люди с разной скоростью обслуживания;

3. Каждый день в магазине разное число покупателей S;

4. Так же в течение дня разная интенсивность потока покупателей.

Получается, что для более точных и реальных расчетов в полученной формуле надо вместо среднего значения взять максимальное значение данной величины, а именно .

Любая математическая модель основана на упрощении, она отличается от реальной ситуации и является лишь приближенным описанием. Отсюда и вытекает некая погрешность результатов. Однако именно благодаря замене реального процесса моделью появляется возможность воспользоваться математическими методами при изучении различных процессов.

В ходе работы над данной статьей мы рассмотрели использование знаний математического анализа в экономике. Показали уровни, на которых происходит формирование математического моделирования, и рассмотрели основные этапы. Однако моделирование в состоянии изменить эксперимент в экономике, но он обходится заказчику и немалые затраты, а иногда попросту невозможен. Поэтому моделирование в экономике играет важную роль и превращает его в одно из основных направлений повышения эффективности управления.

Тем самым можно отметить, что моделирование, являясь элементом в решении экономических трудностей, неразрывно связывает нас с математическими знаниями без которых, не будет решена ни одна проблема экономического характера.

1. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Особенности применения методов математического моделирования в экономических исследованиях // Kant: Экономика и управление. 2013. № 1. С. 62-66.

2. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике.- М.: “Наука”, 2007

4. Стехин А.П. Основы конструирования, моделирования и проектирования систем управления производственными процессами: Учеб. пособие. – Донецк: ДонГАУ, 2008.

Читайте также: