Линейный гармонический осциллятор доклад

Обновлено: 04.07.2024

Потенциальная энергия линейного осциллятора имеет вид

и, следовательно, уравнение Шредингера записывается как

В этих обозначениях уравнение Шредингера принимает вид

Будем искать его решение в виде

Подставляя решение (4.5) в уравнение (4.4), приходим к уравнению для функции

решение его представим в виде ряда по степеням

Подстановка этого выражения в (4.6) дает рекуррентную формулу для коэффициентов

откуда видно, что существуют два независимых решения, соответствующих четным и нечетным При функция ведет себя как если только не выполнено условие

где любое неотрицательное целое число. Случай экспоненциальной асимптотики недопустим с физической точки зрения; в случае же (4.9) решение уравнения (4.6) представимо в виде полиномов Эрмита как для четных, так и для нечетных

Полиномы Эрмита. Рассмотрим некоторые свойства полиномов Эрмита

Общее выражение для полинома Эрмита порядка

Убедимся в том, что это и есть общий случай решения уравнения (4.6). Подставив в него (4.11), получим:

что эквивалентно уравнению

При уравнение (4.13) удовлетворяется тождественно. Заметив теперь, что при дифференцировании по тождество порядка переходит в тождество порядка нетрудно применить метод индукции. Приведем некоторые полезные свойства полиномов Эрмита.

Выражение (4.14) эквивалентно уравнению (4.13), если последнее записать для

Доказательство проводится методом индукции. Для справедливость (4.15) очевидна. Используя (4.11) и (4.14), получаем рекуррентную формулу

с помощью которой по индукции доказывается (4.15).

Доказательство для очевидно; для оно проводится методом индукции с учетом (4.11).

Вывод. Нормированные собственные функции линейного осциллятора имеют вид

Для значений энергии получаем из (4.3) и (4.9):

Отсюда вытекает важный результат: энергия квантового линейного гармонического осциллятора в принципе не может обращаться в нуль (конечно, при отличной от нуля собственной частоте причем минимальная энергия, соответствующая основному состоянию, равна (в классической теории энергия основного состояния — состояния покоя — равна нулю). Возбуждение добавляет к энергии основного состояния величину, составляющую целое кратное величины (квантование энергии).

3.5.1. Периодические смещения ядер молекулы относительно некоторых равновесных положений называют молекулярными колебаниями. Этот вид внутримолекулярного движения при некоторых упрощениях можно представить в виде совокупности однономерных движений, каждому из которых отвечает своя колебательная степень свободы.

3.5.2. Пространственным перемещениям центра масс молекулы отвечают 3 поступательные степени свободы. Движениям ее как целого относительно центра масс соответствуют вращательные степени свободы. Их число определяется минимально необходимым количеством плоских поворотов, требуемых для перевода молекулы в любую пространственную ориентацию относительно закрепленной системы координат, исходящей из центра масс. У молекулы с нелинейной равновесной геометрией ядерного остова таких поворотов 3 и столько же вращательных степеней свободы, а у молекул с линейной геометрией – достаточно лишь двух поворотов и вращательных степеней свободы две.

Всего же внешних механических степеней свободы, к которым относятся поступательные и вращательные, у молекул либо 6, либо 5. Если молекула содержит N-атомов, то для полного механического описания ядерных перемещений требуется 3N степеней свободы и на долю колебательных остается 3N-6 у нелинейных молекул и 3N-5 у линейных.

3.5.3. Простейшая, очень эффективная модель молекулярного одномерного колебания описывает колебание гармоническое, называемое линейным вибратором или линейным осциллятором. Для простоты, далее везде будем называть его просто осциллятором, за исключением специально оговариваемых ситуаций.


Из элементарной физики известно, что гармонические колебания классической системы порождаются упругой силой, линейно зависящей от смещения колеблющейся массы относительно равновесного положения, т.е. (сила Гука). Потенциальная энергия упругих сил квадратично зависит от смещения:


. (3.70)

Напомним также, что константа упругости k связана с колеблющейся приведенной массой μ и собственной круговой частотой ω формулой

, где , (3.71)

так что потенциальная энергия имеет вид:


. (3.72)

3.5.4. Решение уравнение Шредингера для гармонического осциллятора довольно сложно и требует специальных сведений из теории дифференциальных уравнений, хотя при этом не добавляется качественно новой информации по сравнению с задачами “ящика” и “ротатора”. Возможен иной, значительно более простой путь расчета уровней и волновых функций осциллятора, основанный на использовании только элементов алгебры операторов. Этот путь основан на совместном анализе уравнения Шредингера (колебательного гамильтониана) и коммутационного соотношения Гейзенберга (3.67). При этом мы получаем возможность как бы “пересчитывать” уровни и состояния, “перемещаясь” по их лесенке, с помощью специально вводимых операторов сдвига уровней-состояний.

3.5.5. Итак, рассмотрим систему операторных выражений, а именно:

гамильтониан , (3.73)


коммутационное соотношение . (3.73а)

Введем подстановки, не влияющие на смысл формул, а лишь изменяю-щие “масштабы” переменных


. (3.74)

Умножая выражение (3.73) на 2μ, а (3.73а) на μω и используя подста-новки (3.74), можно упростить формулы (3.73) и (3.73а)


, (3.75)


, (3.76)

и для любого из дискретных уровней с номером υ уравнение Шредингера при-обретает вид:


. (3.77)

3.5.6. Гамильтониан (3.75) представлен в виде суммы квадратов двух операторов и , связанных коммутационным соотношением (3.76). Используя схему алгебры комплексных чисел (см. раздел 1.3.2.), попытаемся разложить гамильтониан (3.75) на сомножители, содержащие только первые степени составляющих его операторов


, (3.78)


. (3.79)

3.5.7. Произведения комплексных чисел коммутативны, поэтому безразличен порядок записи комплексно-сопряженных сомножителей:

(a + ib) (a - ib) = (a - ib) (a + ib) = C·C* =|C| 2 . (3.80)

Так как операторы не обладают свойством коммутативности следует ожидать, что операторные произведения и различны и не равны гамильтониану, поэтому требуется исследовать их связь с гамильтонианом. При этом следует помнить, что в силу линейности операторов, слагаемые операторных сумм можно переставлять, а отдельные группы сомножителей можно объединять, так как операторные произведения обладают свойством ассоциативности.


, (3.81)


. (3.82)

Таким образом, произведения операторов и отличаются от гамильтониана на постоянную величину соответственно.

Подставим найденные в (3.81) и (3.82) выражения гамильтониана в уравнение Шредингера (3.77) и перенесем постоянные множители в правую часть полученных уравнений :


(3.83)


(3.84)

3.5.8. Для выяснения смысла операторов и еще раз подействуем первым из них на обе части уравнения (3.83), а вторым – на уравнение (3.84), т.е. домножим эти уравнения слева на и соответственно:


, (3.85)


. (3.86)

Подставим вместо произведений операторов () и () их выражения (3.82) и (3.81) и опять перенесем постоянные величины Ω в правую часть уравнений:


(3.87)


. (3.88)

В итоге каждое из уравнений (3.87) и (3.88) приобрело стандартный вид уравнения Шредингера, но собственные функции в них () и () отличны от волновой функции исходного состояния Ψυ, а собственные значения отличаются от исходного ευ на постоянную величину. Функции () отвечает уровень , на величину 2Ω сдвинутый вниз по отношению к уровню состояния Ψυ, т.е. оператор произвел понижение уровня на один номер:


. (3.89)


Аналогично оператор сдвигает номер уровня и состояния Ψυ на еди- ницу вверх:


. (3.90)

Функции и , полученные с помощью операторов и по формулам (3.89) и (3.90), не нормированы; но в дальнейших расчетах это несу-ественно. Состоянию отвечает уровень , а – уровень , т.е.


. (3.91)

Линейный гармонический осциллятор - система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы - является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой механики. Примерами классических осцилляторов являются пружинный, физический и математический маятники. Рассмотрим один из механических аналогов гармонического осциллятора: шарик, подвешенный на пружине рис.32. Сила, действующая на шарик, определяется: , где – жесткость пружины. Потенциальная энергия шарика имеет вид: . Выведенный из равновесия, шарик совершает гармонические колебания с частотой . Вид потенциальной кривой гармонического осциллятора как видно из выражения для D – парабола. Сопоставляя выражения для частоты и потенциальной энергии, получим:



где - собственная частота колебаний осциллятора, - масса осциллирующей частицы. Поскольку вид потенциальной кривой – парабола, то потенциальная яма в данном случае является параболической, рис.33. В точках с координатами полная энергия равна потенциальной. Поэтому с классической точки зрения частица не может выйти за пределы области ; . Такой выход означал бы, что потенциальная энергия частицы больше полной и значит:

Таким образом, классический осциллятор находится в потенциальной яме с координатами без права выхода. Гармонический осциллятор в квантовой механике - квантовыйосциллятор - описывается уравнением Шредингера, учитывающим вид зависимости потенциальной энергии:

где - полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что такое уравнение решается только при собственных значениях энергии, равных:

Следовательно, энергия квантовая осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т.е. квантуется. Энергия ограничена снизу отличным от нуля минимальным значением энергии .Эта энергия называется – энергия нулевых колебаний.

Существование минимальной энергии является типичной для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей.

Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находится на дне ямы, причем этот вывод не зависит от ее формы. Действительно, нахождение частицы на дне ямы означает обращение в ноль импульса частицы: , но на дне ямы E = U = 0, т.е.

Так как (определенное значение, то ). Тогда неопределенность , что противоречит пребыванию частицы в яме. Этот вывод противоречит выводам классической теории, согласно которым наименьшая энергия осциллятора равна нулю (соответствует покоящейся в положении равновесия частице).

Из выражения для Еn следует, что уровни энергии в осцилляторе зависят от квантового числа n и расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, в отличии от потенциальной ямы с прямоугольными стенками.

Таким образом, в квантовом осцилляторе имеется нулевая энергия - E0 . Существование E0 подтверждается экспериментально при изучении рассеяния света кристаллами при низких температурах. Оказывается, что интенсивность рассеяния света по мере понижения температуры стремится не к нулю, а к некоторому значению, указывающему, что и при абсолютном нуле температуры колебания ионов в узлах кристаллической решетки не прекращаются. Т.е. существуют нулевые колебания.

Квантовая механика позволяет вычислить вероятность различных переходов квантовой системы из одного состояния в другое. Подобные вычисления показывают, что и для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними уровнями. При таких квантовых переходах выполняется условие: . Условие, которое накладывается на изменение квантовых чисел при переходах из одного состояния в другое, называются правилами отбора.

Из (2.20) вытекает, что энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями . Этот результат, получающийся естественный образом, совпадает с тем весьма чужеродным для классической физики предположением, которое пришлось сделать Планку при вычислении излучательной способности абсолютно черного тела.

3.5.1. Периодические смещения ядер молекулы относительно некоторых равновесных положений называют молекулярными колебаниями. Этот вид внутримолекулярного движения при некоторых упрощениях можно представить в виде совокупности однономерных движений, каждому из которых отвечает своя колебательная степень свободы.

3.5.2. Пространственным перемещениям центра масс молекулы отвечают 3 поступательные степени свободы. Движениям ее как целого относительно центра масс соответствуют вращательные степени свободы. Их число определяется минимально необходимым количеством плоских поворотов, требуемых для перевода молекулы в любую пространственную ориентацию относительно закрепленной системы координат, исходящей из центра масс. У молекулы с нелинейной равновесной геометрией ядерного остова таких поворотов 3 и столько же вращательных степеней свободы, а у молекул с линейной геометрией – достаточно лишь двух поворотов и вращательных степеней свободы две.

Всего же внешних механических степеней свободы, к которым относятся поступательные и вращательные, у молекул либо 6, либо 5. Если молекула содержит N -атомов, то для полного механического описания ядерных перемещений требуется 3N степеней свободы и на долю колебательных остается 3N-6 у нелинейных молекул и 3 N -5 у линейных.

3.5.3. Простейшая, очень эффективная модель молекулярного одномерного коле бания описывает колебание гармоническое, называемое линейным вибратором или линейным осциллятором . Для простоты, далее везде будем называть его просто осциллятором, за исключением специально оговариваемых ситуаций.

Из элементарной физики известно, что гармонические колебания классической системы порождаются упругой силой, линейно зависящей от смещения колеблющейся массы относительно равновесного положения, т.е. (сила Гука). Потенциальная энергия упругих сил квадратично зависит от смещения:

Напомним также, что константа упругости k связана с колеблющейся приведенной массой μ и собственной круговой частотой ω формулой

так что потенциальная энергия имеет вид:

3.5.4. Решение уравнение Шредингера для гармонического осциллятора довольно сложно и требует специальных сведений из теории дифференциальных уравнений, хотя при этом не добавляется качественно новой информации по сравнению с задачами “ящика” и “ротатора”. Возможен иной, значительно более простой путь расчета уровней и волновых функций осциллятора, основанный на использовании только элементов алгебры операторов. Этот путь основан на совместном анализе уравнения Шредингера (колебательного гамильтониана) и коммутационного соотношения Гейзенберга (3.67). При этом мы получаем возможность как бы “пересчитывать” уровни и состояния, “перемещаясь” по их лесенке, с помощью специально вводимых операторов сдвига уровней-состояний.

3.5.5. Итак, рассмотрим систему операторных выражений, а именно:

коммутационное соотношение . (3.73а)

Введем подстановки, не влияющие на смысл формул, а лишь изменяю-щие “масштабы” переменных

Умножая выражение (3.73) на 2 μ , а (3.73а) на μω и используя подста-новки (3.74), можно упростить формулы (3.73) и (3.73а)

и для любого из дискретных уровней с номером υ уравнение Шредингера при-обретает вид:

3.5.6. Гамильтониан (3.75) представлен в виде суммы квадратов двух операторов и , связанных коммутационным соотношением (3.76). Используя схему алгебры комплексных чисел (см. раздел 1.3.2 .), попытаемся разложить гамильтониан (3.75) на сомножители, содержащие только первые степени составляющих его операторов

3.5.7. Произведения комплексных чисел коммутативны, поэтому безразличен порядок записи комплексно-сопряженных сомножителей:

( a + ib ) ( a - ib ) = ( a - ib ) ( a + ib ) = C·C* =|C| 2 . (3.80)

Так как операторы не обладают свойством коммутативности следует ожидать, что операторные произведения и различны и не равны гамильтониану, поэтому требуется исследовать их связь с гамильтонианом. При этом следует помнить, что в силу линейности операторов, слагаемые операторных сумм можно переставлять, а отдельные группы сомножителей можно объединять, так как операторные произведения обладают свойством ассоциативности.

Таким образом, произведения операторов и отличаются от гамильтониана на постоянную величину соответственно.

Подставим найденные в (3.81) и (3.82) выражения гамильтониана в уравнение Шредингера (3.77) и перенесем постоянные множители в правую часть полученных уравнений :

3.5.8. Для выяснения смысла операторов и еще раз подействуем первым из них на обе части уравнения (3.83), а вторым – на уравнение (3.84), т.е. домножим эти уравнения слева на и соответственно:

Подставим вместо произведений операторов ( ) и ( ) их выражения (3.82) и (3.81) и опять перенесем постоянные величины Ω в правую часть уравнений:

В итоге каждое из уравнений (3.87) и (3.88) приобрело стандартный вид уравнения Шредингера, но собственные функции в них ( ) и ( ) отличны от волновой функции исходного состояния Ψ υ , а собственные значения отличаются от исходного ε υ на постоянную величину. Функции ( ) отвечает уровень , на величину 2Ω сдвинутый вниз по отношению к уровню состояния Ψ υ , т.е. оператор произвел понижение уровня на один номер:

Аналогично оператор сдвигает номер уровня и состояния Ψ υ на еди- ницу вверх:

Функции и , полученные с помощью операторов и по формулам (3.89) и (3.90), не нормированы; но в дальнейших расчетах это несу-ественно. Состоянию отвечает уровень , а – уровень , т.е.

3.5.9. Переход к обычной энергетической шкале с использованием подста-новок (3.74б и 3.74в) дает

Согласно формуле (3.92), уровни гармонического осциллятора эквидис-тантны , и интервал между.ними равен .

3.5.10. Продолжая исследование лесенки уровней, учтем, что сверху она неограничена, но нижняя граница определена уровнем основного состояния Ψ 0 , ниже которого не существует состояний системы. Поэтому попытка подействовать оператором понижения на волновую функцию основного состояния должна дать нулевой результат, т.е. применительно к волновой функции основного уровня оператор понижения сыграет роль ее “уничтожителя” – аннигилятора:

Здесь целесообразно вернуться к переменной х . С учетом выражения для (3.80) и подстановки (3.74а) формулу (3.93) после простых преобразований приводим к дифференциальному уравнению для :

при интегрировании которого получим волновую функцию основного состояния:

Далее находим нормировочный множитель А 0 :

При раскрытии выражения (3.96) использован интеграл Пуассона:

3.5.11. Волновая функция является собственной функцией гамильто-ниана. Поэтому для расчета основного уровня достаточно подействовать по-следним на и определить собственное значение

Энергия искомого основного уровня равна . (3.99)

Последовательными сдвигами на вверх, согласно уравнению (3.92), получается вся лесенка энергетических уровней, и схема квантования энергии осциллятора передается формулой:

3.5.12. Оператор повышения позволяет получить весь спектр волновых функций из . Если υ раз подействовать оператором на , то получится с точностью до постоянного множителя. Иными словами, генератор волновой функции υ -го состояния – это оператор повышения, возведенный в степень υ :

Напомним, что любое преобразование волновой функции, в общем случае, порождает необходимость новой нормировки.

3.5.13. Обсудим вид волновых функций осциллятора. Для этого удобно произвести еще одно упрощение за счет замены переменной путем подстановки:

благодаря чему и оператор повышения , необходимый для полу-чения , примут вид:

Постоянный коэффициент в выражении (3.104) ие играет роли, так как к функции Ψ υ , генерируемой по формуле (3.105), он добавляет лишь множитель , который далее автоматически входит в состав нормировочного множителя А υ , и поэтому Ψ υ передается формулой:

Оператор представляет собой бином, составленный из степеней переменной s и оператора дифференцирования , который в свою очередь извлекает из гауссовой экспоненты степенные множители, в результате выражение (3.105) преобразуется к виду:

где – многочлен степени υ , называемый полиномом Эрмита . Нетрудно убедиться, что эти полиномы можно представить выражением, которое легко запоминается, благодаря своей симметричности:

Последовательно придавая υ значения 0, 1, 2, 3 …, читатель легко может вывести формулы полиномов Эрмита разных порядков. Для того, чтобы читатель смог проверить свои расчеты, приведем в табл.2 несколько первых полиномов Эрмита вместе с их корнями и графиками. В табл.2 также изображены графики ненормированных волновых функций

У волновых функций имеется один и тот же множитель – экспонента ; эта быстро спадающая к нулю функция при удалении от начала координат “прижимает” к оси абсцисс расходящиеся было ветви полиномов. В результате получается картина, очень напоминающая поведение волновых функции “ящика”.

Читайте также: