Как карл гаусс складывал числа от 1 до 100 доклад

Обновлено: 17.05.2024

Однажды десятилетний мальчик по имени Карл поставил в тупик своего учителя арифметики, решив очень трудную задачу за считанные секунды. В будущем Карл стал одним из величайших ученых, заслужив неофициальный титул “Короля математики”. А все началось с этого маленького открытия в школе. Так что же придумал Карл?

Дело было так. Учитель решил занять детей и заодно немного отдохнуть. Он задал классу, по его мнению, очень трудное задание. Задание было следующим: посчитайте сумму всех чисел от 1 до 100. Как бы вы посчитали такую сумму?

Каково же было удивление учителя, когда спустя всего несколько секунд, десятилетний Карл поднялся со своей скамьи, уверенным шагом прошел к учительскому столу и выложил на него листок бумаги, со словами: “вот решение”. Карл показал листок, на котором было написано лишь одно число - 5050. Учитель не поверил, что возможно так быстро решить задачу и подумал, что паренек хочет над ним подшутить. Согласно легенде, мальчик за это получил нехилую взбучку (был такой варварский обычай в школах тех времен).

Но ответ был правильный и на вопрос учителя, о том, как Карлу удалось так быстро найти решение, мальчик ответил, что заметил закономерность. Сумма первого и последнего числа 1 и 100 равна 101, сумма второго и предпоследнего числа - 2 и 99 также равна 101. Карл заметил, что это справедливо для всех пар чисел заканчивая последней парой - 50 и 51. И всего таких пар от 1 до 100 было 50. Таким образом, Карлу Гауссу осталось посчитать 50 раз по 101, иначе говоря, умножить 50 на 101 и получить конечный ответ- 5050!

Попробуем усложнить задачу. Предположим, что нам нужно посчитать сумму всех цифр от 1 до n, где n-любое натуральное число (их еще называют естественными числами, возникающими естественным образом при счете).

Получится ли решить такую задачу способом Гаусса? Оказывается, что да. Для удобства предположим, что число n четное, так как сама постановка задачи о делении всех чисел на пары подразумевает, что их четное количество.

Заметьте, что сумма каждой пары равна n+1 и что количество таких пар n/2. Нам остается лишь перемножить сумму каждой пары (n+1) на количество пар (n/2) по аналогии c задачей, с которой столкнулся Карл. Обозначим сумму буквой S.

А что если n - нечетное число, что делать тогда?

Или первое число не равно единице?

Или разница между соседними числами не один, а скажем три?

Или нам нужно посчитать такую сумму:

И единственное, что их объединяет с числами, которые суммировал Карл - это закономерность, связывающая соседние элементы между собой. Каждый следующий элемент получается из предыдущего путем прибавления одного и того же числа. Обозначим это общее для всей последовательности число как d и a _n=a_(n-1) + d. Таким образом, каждый элемент последовательности можно представить так:

Мы только что дали определение арифметической прогрессии и d - разность прогрессии.

Последовательность - упорядоченный список элементом, в данном случае в качестве элементов выступают числа.

Оказывается логика, которой руководствовался Гаусс, верна и в этом случае. Для того чтобы это показать, нам нужно слегка модифицировать трюк Карла и разбить пары несколько иначе. Помня, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется, обозначим сумму такой последовательности как S и запишем ее двумя зеркально разными способами.

Прибавим оба равенства, последовательно прибавляя в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали. Так вот все эти пары равны между собой. Как бы вы это показали? Я думаю, что наш друг Карл заметил бы особенность таких пар: если начинать с первой пары (a ₁+a_n), то в каждой следующей паре первое слагаемое пары увеличивается на d, тогда как второе уменьшается на d и, в конечном счете, сумма не меняется и равна (a₁+a_n). Учитывая, что таких пар n делим обе части равенства на два, получаем:

Получаем формулу суммы арифметической прогрессии. Если вспомнить, что любой элемент прогрессии выражается через первый элемент a₁ и разность прогрессии - d, то можно переписать формулу суммы следующим образом:

Первая статья из этого цикла посвящена правилу Гаусса.

Немного истории

Известный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) с раннего детства отличался от своих сверстников. Несмотря на то, что он был из небогатой семьи, он достаточно рано научился читать, писать, считать. В его биографии есть даже упоминание того, что в возрасте 4-5 лет он смог скорректировать ошибку в неверных подсчетах отца, просто наблюдая за ним.

Одно из первых его открытий было сделано в возрасте 6 лет на уроке математики. Учителю было необходимо увлечь детей на продолжительное время и он предложил следующую задачку:

Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

Юный Гаусс справился с этим заданием достаточно быстро, найдя интересную закономерность, которая получила большое распространение и применяется по сей день при устном счете.

Давайте попробуем решить эту задачку устно. Но для начала возьмем числа от 1 до 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Посмотрите внимательно на эту сумму и попробуйте догадаться, что же необычного смог разглядеть Гаусс? Для ответа необходимо хорошо представлять себе состав чисел.

Гаусс сгруппировал числа следующим образом:

Таким образом маленький Карл получил 5 пар чисел, каждая из которых в отдельности в сумме дает 11. Тогда, чтобы вычислить сумму натуральных чисел от 1 до 10 необходимо

Вернемся к первоначальной задаче. Гаусс заметил, что перед суммированием необходимо группировать числа в пары и тем самым изобрел алгоритм, благодаря которому можно быстро сложить числа от 1 до100:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Находим количество пар в ряде натуральных чисел. В данном случае их 50.

Суммируем первое и последнее числа данного ряда. В нашем примере — это 1 и 100. Получаем 101.

Умножаем полученную сумму первого и последнего члена ряда на количество пар этого ряда. Получаем 101 * 50 = 5050

Следовательно, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.

Задачи на использование правила Гаусса

А сейчас вашему вниманию предлагаются задачи, в которых в той или иной степени используется правило Гаусса. Эти задачки вполне способен понять и решить четвероклассник.

В любом случае, чтобы ребенок мог оперировать этим в своих вычислениях необходимо понимание алгоритма Гаусса, то есть умение разбить правильно по парам и посчитать.

Важно! Если будет заучена формула без понимания, то это очень быстро будет забыто.

Задача 1

Найти сумму чисел:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Вначале можно дать возможность ребенку самому решить первый пример и предложить найти способ, при котором это сделать легко в уме. Далее разобрать этот пример вместе с ребенком и показать как это сделал Гаусс. Лучше всего для наглядности записать ряд и соединить линиями пары чисел, дающие в сумме одинаковое число. Важно, чтобы ребенок понял как образуются пары — берем самое маленькое и самое большое из оставшихся чисел при условии, что количество чисел в ряду четно.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Задача 2

Имеется 9 гирь весом 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г. Можно ли разложить эти гири на три кучки с равным весом?

С помощью правила Гаусса находим сумму всех весов:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (г)

Далее смотрим, можно ли этот вес разбить на три равных веса:

Значит, если мы сможем сгруппировать гири так, чтобы в каждой кучке были гири суммарным весом 15г, то задача решена.

Один из вариантов:

9г, 6г
8г, 7г
5г, 4г, 3г, 2г, 1г

Другие возможные варианты найдите сами с ребенком.

Обратите внимание ребенка на то, что когда решаются подобные задачи лучше всегда начинать группировать с большего веса (числа).

Задача 3

Можно ли разделить циферблат часов прямой линией на две части так, чтобы суммы чисел в каждой части были равны?

Для начала к ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 применим правило Гаусса: найдем сумму и посмотрим, делится ли она на 2:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

Значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

По правилу Гаусса у нас получается 6 пар чисел, каждая из которых в сумме дает 13:

1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.

Следовательно, надо провести линию на циферблате так, чтобы 3 пары попали в одну половину, а три в другую.

Ответ: линия пройдет между числами 3 и 4, а затем между числами 9 и 10.

Задача 4

Можно ли провести на циферблате часов две прямые линией так, чтобы в каждой части сумма чисел была одинаковой?

Для начала к ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 применим правило Гаусса: найдем сумму и посмотрим делиться ли она на 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 делиться на 3 без остатка, значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

По правилу Гаусса у нас получается 6 пар чисел, каждая из которых в сумме дает 13:

1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.

Следовательно, надо провести линии на циферблате так, чтобы в каждую часть попали по 2 пары.

Ответ: первая линия пройдет между числами 2 и 3, а затем между числами 10 и 11; вторая линия — между числами 4 и 5, а затем между 8 и 9.

Задача 5

Получаем, что нам необходимо сложить числа от 1 до 20. А к вычислению такой суммы можно применить правило Гаусса:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Задача 6

Как рассадить 45 кроликов в 9 клеток так, чтобы во всех клетках было разное количество кроликов?

Если ребенок решил и с пониманием разобрал примеры из задания 1, то тут же вспоминается, что 45 это сумма чисел от 1 до 9. Следовательно, сажаем кроликов так:

первая клетка — 1,
вторая — 2,
третья — 3,
…
восьмая — 8,
девятая — 9.

Но если ребенок сразу не может сообразить, то попробуйте натолкнуть его на мысль о том, что подобные задачи можно решить перебором и надо начинать с минимального числа.

Задача 7

Вычислить сумму, используя прием Гаусса:

31 + 32 + 33 + … + 40;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
4 + 6 + 8 + 10 + 12;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Задача 8

Имеется набор из 12 гирек массой 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г, 10г, 11г, 12г. Из набора убрали 4 гирьки, общая масса которых равна трети общей массы всего набора гирек. Можно ли оставшиеся гирьки расположить на двух чашках весов по 4 штуки на каждой чашке так, чтобы они оказались в равновесии?

Применяем правило Гаусса, чтобы найти общую массу гирек:

1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (г)

Вычисляем массу гирек, которые убрали:

Нам не известно какие гирьки были убраны, значит мы должны рассмотреть все возможные варианты.

Применяя правило Гаусса можно разбить гирьки на 6 пар с равным весом (по 13г):

1г и 12г, 2г и 11г, 3г и 10, 4г и 9г, 5г и 8г, 6г и 7г.

Тогда лучший вариант, когда при убирании 4 гирек уберутся две пары из приведенных выше. В этом случае у нас останутся 4 пары: 2 пары на одну чашу весов и 2 пары на другую.

Худший вариант — это когда 4 убранные гирьки разобьют 4 пары. У нас останутся 2 неразбитые пары общим весом 26г, значит их помещаем на одну чашу весов, а оставшиеся гирьки можно поместить на другую чашу весов и они тоже будут 26г.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Карл Гаусс родился в немецком городе Брауншвейг 30 сентября 1777-м году. Был единственным ребёнком в семье. Сын бедных родителей. Отец подрабатывал и садовником, и водопроводчиком, и счётоводом. Он был прямым, честным, но грубоватым и резким в общении человеком. Мать была дочерью каменщика. Она была сильной, решительной женщиной, с острым умом, чувством юмора и элементарными навыками грамотности. Гаусс считал свою одарённость унаследованной от неё. Дом, в котором родился К. Гаусс (не сохранился) Родители К. Гаусса

В 1784 году К. Гаусс пошёл в школу. Он уже умел читать и писать, причём научился сам, безо всякой помощи со стороны родителей. В 3 классе стал выделяться среди своих одноклассников. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму числе от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. На его грифельной доске было написано: Школьные годы 101·50=5050

Алгоритм Гаусса Гаусс использовал новый метод для сложения натуральных чисел, который в последствие приобрёл широкую популярность и до сих пор используется при устном счёте. 1. Сложить первое и последнее число 1+100=101 2. Подсчитать количество пар чисел в ряду чисел от 1 до 100 100:2=50 3. Умножить получившуюся сумму на количество полученных пар чисел 101·50=5050

Как одарённый и многообещающий молодой горожанин, Карл Фридрих Гаусс вскоре был представлен государю – герцогу Брауншвейгскому (1791 год). Ему была назначена стипендия, и в дальнейшем оказано всяческое покровительство. В 1792-1795 годах Гаусс был учеником новой гимназии - Коллегии Карла. Это было образовательное учреждение для избранных, и юноша был принят туда за свои успехи в учёбе. В Коллегии Карла была на редкость хорошая библиотека, и именно тут произошло первое знакомство юного математика с трудами Архимеда, Лагранжа, Ньютона и Эйлера. Талантливому ученику стали уделять особое внимание, и в 1788 году он поступил в школу следующей ступени с чрезмерным упором на древние языки (в частности, латынь и древнегреческий – это сильно помогло ему в дальнейшей учёбе). Школьные годы

Первый успех пришел к Гауссу, когда ему не было еще девятнадцати, во время учёбы в Гёттингенском университете – он смог доказать, что можно построить правильный 17-угольник циркулем и линейкой (эту задачу не могли решить с архимедовых времён). Это открытие разрешило сомнения Карла относительно того, чему посвятить свою жизнь: математике или филологии. Правильный семнадцатиугольник-геометрическая фигура, принадлежащая к группу правильных многоугольников. Он имеет 17 сторон и 17 углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на его окружности. Первый успех К. Гаусса

В 1824 году Гаусс избирается иностранным членом - корреспондентом Петербургской Академии наук. Через год он открывает гауссовы комплексные целые числа (те, у которых как вещественная, так и мнимая часть - целые числа), строит для них теорию делимости и сравнений. Успешно применяет их для решения сравнений высоких степеней. Корреспондент Петербургской Академии наук

В 1818–1848 в центре научных интересов Гаусса находилась геодезия. Он проводил как практические работы (геодезическая съемка и составление детальной карты Ганноверского королевства), так и теоретические исследования; им же были заложены основы высшей геодезии и проведена большая экспериментальная работа по земному магнетизму (ценный вклад и для физики). Геодезия

В 1832 он создал абсолютную систему мер, введя три основные единицы: 1 сек, 1 мм,1 кг В 1833 совместно с Вильгельмом Эдуардом Вебером построил первый в Германии электромагнитный телеграф, связывавший обсерваторию и физический институт в Гёттингене. Физика Изобрёл униполярный магнитометр (прибор для измерения характеристик магнитного поля и магнитных свойств материалов), а затем бифилярный. Создал основы теории потенциала, в частности сформулировал основную теорему электростатики (знаменитая теорема Гаусса – Остроградского). В 1840 разработал теорию построения изображений в сложных оптических системах. В 1835 создал магнитную обсерваторию при Гёттингенской астрономической обсерватории.

В 1845 университет поручил Гауссу реорганизовать Фонд поддержки вдов и детей профессоров. Гаусс не только отлично справился с этой задачей, но и попутно внес важный вклад в теорию страхования. Через 4 года Гёттингенский университет торжественно отметил золотой юбилей диссертации Гаусса. В юбилейной лекции ученый вернулся к теме своей диссертации, предложив четвертое доказательство основной теоремы алгебры.

Умер 23-го февраля 1855 года в возрасте 77 лет. Гаусс был настолько воодушевлён открытием правильного 17тиугольника, что в конце жизни завещал, чтобы 17тиугольник высекли на его могиле. Скульптор отказался это сделать, утверждая, что построение будет настолько сложным, что результат нельзя будет отличить от окружности. На могильном камне Гаусса этого рисунка нет, но памятник, воздвигнутый Гауссу в Брауншвейге, стоит на семнадцатиугольном постаменте.

С первых лет Гаусс отличался феноменальной памятью и выдающимися способностями к точным наукам. Всю свою жизнь он совершенствовал свои познания и систему счета, что принесло человечеству множество великих изобретений и бессмертных трудов.

Маленький принц математики

Карл родился в Брауншвейге, в Северной Германии. Это событие произошло 30 апреля 1777 года в семье бедного рабочего Герхарда Дидериха Гаусса. Хотя Карл был первым и единственным ребенком в семье, у отца редко находилось время на воспитание мальчика. Чтобы как-то прокормить семью, ему приходилось хвататься за любую возможность заработать: обустройство фонтанов, садовничество, каменные работы.

Большую часть своего детства Гаусс провел вместе с матерью Доротеей. Женщина души не чаяла в своем единственном сыне и, в дальнейшем, безумно гордилась его успехами. Она была веселой, умной и решительной женщиной, но, в силу своего простого происхождения, - неграмотной. Поэтому, когда маленький Карл, попросил научить его писать и считать, помочь ему оказалось нелегкой задачей.

Как-то раз, когда Герхард снова снял подряд на каменные работы, он расплачивался с рабочими в присутствии маленького Карла. Внимательный ребенок в уме успел пересчитать все озвученные отцом суммы, и тут же нашел ошибку в его подсчетах. Герхард усомнился в правоте своего трехлетнего сына, но, пересчитав, действительно, обнаружил неточность.

Пряники вместо кнута

Когда Карлу исполнилось 7, родители отдали его в народную Екатерининскую школу. Всеми делами здесь заведовал немолодой и строгий учитель Бюттнер. Главным методом воспитания у него были телесные наказания (впрочем, как и везде в то время). В устрашение при себе Бюттнер носил внушительный хлыст, которым первое время попадало и маленькому Гауссу.

Сменить гнев на милость Карлу удалось достаточно быстро. Как только прошел первый урок по арифметике, Бюттнер кардинально изменил отношение к смышленому мальчику. Гауссу удавалось решать сложные примеры буквально на лету, используя оригинальные и нестандартные методы.

Таланты мальчика заметил не только Бюттнер, но и его помощник – Христиан Бартельс. На свое небольшое жалование он покупал учебники по математике, по которым занимался сам и учил десятилетнего Карла. Эти занятия привели к ошеломительным результатам – уже в 1791 году мальчика представили герцогу Брауншвейгскому и его приближенным особам, как одного из самых талантливых и перспективных учеников.

Циркуль, линейка и Геттинген

Герцог был в восторге от юного дарования и пожаловал Гауссу стипендию в размере 10 талеров в год. Только благодаря этому, мальчику из бедной семьи удалось продолжить обучение в самой престижной школе – Каролинской коллегии. Там он получил необходимую подготовку и в 1895 году с легкостью поступил в Геттингенский университет.

Здесь Гаусс совершает одно из своих величайших открытий (по мнению самого ученого). Юноше удалось рассчитать построение 17-угольника и воспроизвести его с помощью линейки и циркуля. Другими словами, он решил уравнение х17- 1 = 0 в квадратичных радикалах. Это показалось Карлу настолько значимым, что в этот же день он начал вести дневник, в котором завещал начертить 17-угольник на своем надгробии.

Звезды на кончике карандаша

В 1798 году Карл покидает университет по неизвестным причинам и возвращается в родной Брауншвейг. При этом свою научную деятельность молодой математик и не думает приостанавливать. Наоборот, время, проведенное в родных краях, стало самым плодотворным периодом его работы.

Браки без расчета

Это несчастье в жизни Гаусса не стало последним. Примерно в то же время от смертельных ран погибает друг и наставник ученого – герцог Брауншвейгский. С тяжелым сердцем Карл покидает родину и возвращается в университет, где принимает кафедру математики и пост директора астрономической лаборатории.

В Геттингене он сближается с дочерью местного советника – Минной, которая была хорошей подругой его покойной жены. 4 августа 1810 года Гаусс женится на девушке, но их брак с самого начала сопровождают ссоры и конфликты. Из-за бурной личной жизни Карл даже отказался от места в Берлинской академии наук Минна родила ученому троих детей – двух сыновей и дочь.

Новые изобретения, открытия и ученики

Высокий пост, который Гаусс занимал в университете, обязывал ученого к преподавательской карьере. Его лекции отличались свежестью взглядов, а сам он был добрым и отзывчивым, что вызывало отклик у студентов. Тем не менее, сам Гаусс преподавать не любил и считал, что, уча других, он тратит свое время попусту.

Карл Фридрих Гаусс был немецким математиком и астрономом. Он родился у бедных родителей в Брауншвейге в 1777 году и скончался в Геттингене в Германии в 1855 году, и к тому времени все, кто его знал, считали его одним из величайших математиков всех времен.

Изучение Гаусса

Как мы изучаем Карла Фридриха Гаусса? Ну, когда дело доходит до его ранней жизни, мы должны полагаться на семейные истории, которыми поделилась его мать, когда он стал знаменитым. Конечно, эти истории склонны к преувеличению, но его замечательный талант был заметен, уже когда Гаусс был в раннем подростковом возрасте. С тех пор у нас появляется все больше записей о его жизни.
Когда Гаусс вырос и стал замечен, у нас начали появляться письма о нем людьми, которые его знали, а также официальными отчетами разного рода. У нас также есть длинная биография его друга, написанная на основе бесед, которые они имели в конце жизни Гаусса. У нас есть его публикации, у нас очень много его писем к другим людям, и много материала он написал, но так и не опубликовал. И, наконец, у нас есть некрологи.

Ранняя жизнь и путь к математике

Вторым важным событием было повторное открытие Гауссом первого известного астероида. Он был найден в 1800 году итальянским астрономом Джузеппе Пьяцци, который назвал его Церерой в честь римской богини земледелия. Он наблюдал ее в течение 41 ночи, прежде чем она исчезла за солнцем. Это было очень захватывающее открытие, и астрономы очень хотели знать, где он появится снова. Только Гаусс рассчитал это правильно, чего не сделал никто из профессионалов, и это сделало его имя как астронома, которым он и остался на многие годы вперед.

Поздняя жизнь и семья

Первая работа Гаусса была математиком в Геттингене, но после открытия Цереры, а затем и других астероидов он постепенно переключил свои интересы на астрономию, а в 1815 году стал директором Геттингенской обсерватории, и занимал эту должность почти до самой смерти. Он также оставался профессором математики в Геттингенском университете, но это, похоже, не требовало от него большого преподавания, а записи о его контактах с молодыми поколениями была довольно незначительной. Фактически, он, кажется, был отчужденной фигурой, более комфортной и общительной с астрономами, и немногими хорошими математиками в его жизни.

В 1820-х годах он руководил массированным исследованием северной Германии и южной Дании и в ходе этого переписывал теорию геометрии поверхностей или дифференциальную геометрию, как ее называют сегодня.

Гаусс женился дважды, в первый раз довольно счастливо, но когда его жена Джоанна умерла во время родов в 1809 году, он снова женился на Минне Вальдек, но этот брак оказался менее успешным; Она умерла в 1831 году. У него было трое сыновей, двое из которых эмигрировали в Соединенные Штаты, скорее всего, потому что их отношения с отцом были проблемными. В результате в Штатах существует активная группа людей, которые ведут свое происхождение от Гаусса. У него также было две дочери, по одной от каждого брака.

Величайший вклад в математику

Рассматривая вклад Гаусса в этой области, мы можем начать с метода наименьших квадратов в статистике, который он изобрел, чтобы понять данные Пьяцци и найти астероид Церера. Это был прорыв в усреднении большого количества наблюдений, все из которых были немного не точными, чтобы получить из них наиболее достоверную информацию. Что касается теории чисел, говорить об этом можно очень долго, но он сделал замечательные открытия о том, какие числа могут быть выражены квадратичными формами, которые являются выражениями вида . Вам может казаться, что это важно, но Гаусс превратил то, что было собранием разрозненных результатов в систематическую теорию, и показал, что многие простые и естественные гипотезы имеют доказательства, которые лежат в том, что похоже на другие разделы математики вообще. Некоторые приемы, которые он изобрел, оказались важными и в других областях математики, но Гаусс обнаружил их еще до того, как эти ветви были правильно изучены: теория групп — пример.

Его работа по уравнениям вида и, что более удивительно, по глубоким особенностям теории квадратичных форм, открыла использование комплексных чисел, например, для доказательства результатов о целых числах. Это говорит о том, что многое происходило под поверхностью предмета.

Позже, в 1820-х годах, он обнаружил, что существует концепция кривизны поверхности, которая является неотъемлемой частью поверхности. Это объясняет, почему некоторые поверхности не могут быть точно скопированы на другие, без преобразований, как мы не можем сделать точную карту Земли на листе бумаги. Это освободило изучение поверхностей от изучения твердых тел: у вас может быть яблочная кожура, без необходимости представления яблока под ней.

Поверхность с отрицательной кривизной, где сумма углов треугольника меньше, чем у треугольника на плоскости //source:Wikipedia

В 1840-х годах, независимо от английского математика Джорджа Грина, он изобрел предмет теории потенциала, который является огромным расширением исчисления функций нескольких переменных. Это правильная математика для изучения гравитации и электромагнетизма и с тех пор используется во многих областях прикладной математики.

И мы также должны помнить, что Гаусс открыл, но не опубликовал довольно много. Никто не знает, почему он так много сделал для себя, но одна теория состоит в том, что поток новых идей, которые он держал в голове был еще более захватывающим. Он убедил себя в том, что геометрия Евклида не обязательно истинна и что по крайней мере одна другая геометрия логически возможна. Слава этому открытию досталась двум другим математикам, Бойяю в Румынии-Венгрии и Лобачевскому в России, но только после их смерти — настолько это было спорно в то время. И он много работал над так называемыми эллиптическими функциями — вы можете рассматривать их как обобщения синусоидальных и косинусных функций тригонометрии, но, если более точно, они являются сложными функциями комплексной переменной, а Гаусс изобрел целую теорию из них. Десять лет спустя Абель и Якоби прославились тем, что сделали то же самое, не зная, что это уже сделал Гаусс.

Работа в других областях

После своего повторного открытия первого астероида, Гаусс много работал над поиском других астероидов и вычислением их орбит. Это была трудная работа в докомпьютерную эпоху, но он обратился к своим талантам, и он, похоже, почувствовал, что это работа позволила ему выплатить свой долг принцу и обществу, которое дало ему образование.

Кроме того, во время съемки в северной Германии он изобрел гелиотроп для точной съемки, а в 1840-х годах он помог создать и построить первый электрический телеграф. Если бы он также подумал об усилителях, он мог бы отметиться и в этом, так как без них сигналы не могли путешествовать очень далеко.

Прочное Наследие

Есть много причин, почему Карл Фридрих Гаусс по-прежнему так актуален сегодня. Прежде всего, теория чисел превратилась в огромный предмет с репутацией очень сложного. С тех пор некоторые из лучших математиков тяготеют к нему, и Гаусс дал им способ приблизиться к нему. Естественно, некоторые проблемы, которые он не смог решить, привлекли к себе внимание, поэтому вы можете сказать, что он создал целую область исследований. Оказывается, у этого также есть глубокие связи с теорией эллиптических функций.

Кроме того, его открытие внутренней концепции кривизны обогатило все изучение поверхностей и вдохновило на многие годы работы последующие поколения. Любой, кто изучает поверхности, от предприимчивых современных архитекторов до математиков, находится у него в долгу.

Внутренняя геометрия поверхностей простирается до идеи внутренней геометрии объектов более высокого порядка, таких как трехмерное пространство и четырехмерное пространство-время.

Общая теория относительности Эйнштейна и вся современная космология, в том числе изучение черных дыр, стали возможными благодаря тому, что Гаусс совершил этот прорыв. Идея неевклидовой геометрии, столь шокировавшая в свое время, заставляла людей осознавать, что может быть много видов строгой математики, некоторые из которых могут быть более точными или полезными — или просто интересными -, чем те, о которых мы знали.

Неевклидова геометрия // источник: Numberphile

Человек за легендой

Однако у вас не должно создаться впечатления, что Гаусс был неприятным человеком. Он был принципиальным человеком, он был счастлив принять Софи Жермен как серьезного математика в то время, когда женщины были исключены из высшего образования, и он всегда стремился использовать свои таланты для продуктивного использования. Но его исключительные таланты, и, хотя мы можем только порадоваться за них, Радакторвероятно, сделали его очень одиноким.

Джереми Грей, доктор, заслуженный пр.фессор истории математики, Открытый университет.

Читайте также: