Графы в электротехнике доклад

Обновлено: 31.05.2024

Топологические графы электрических цепей

В общем случае граф есть совокупность отрезков произвольной длины и формы, называемых ветвями (рёбрами), и точек их соединения, называемых узлами (вершинами). В теории электрических цепей в основном находят применение направленные, или ориентированные графы у которых каждому ребру приписывается определенное направление, указываемое стрелкой.


Различают направленные топологические графы и направленные графы прохождения сигналов. Направленный топологический граф является упрощенной моделью электрической цепи, отражающей только ее топологические (структурные) свойства.

Граф электрической цепи строят по её эквивалентной схеме. Каждую ветвь цепи заменяют при этом отрезком произвольной длины и формы - ветвью графа, а каждый узел цепи преобразуют в узел графа. На ветвях графа стрелками указывают их направления, которые совпадают с положительным направлением токов, протекающих по соответствующим ветвям цепи. Нумерация ветвей и узлов графа та же, что и нумерация ветвей и узлов схемы.

Расширенному топологическому описанию цепи (см. рис. 2.2, а) соответствует расширенный граф цепи (рис. 2.5, а), сокращенному топологическому описанию (см. рис. 2.2, б) - сокращенный (рис. 2.5, б).

Свойства графа не зависят от формы и длины ветвей, а также от взаимного расположения узлов графа на плоскости и определяются только числом ветвей p, числом узлов q и способом соединения ветвей между собой. Графы, имеющие одинаковые количества узлов и ветвей, соединенных между собой одинаковым образом, называются изоморфными (рис. 2.6). Изменяя длину и форму ветвей, а также взаимное расположение узлов графа на плоскости, можно получить бесчисленное множество графов, изоморфных исходному. Такие преобразования графа называются изоморфными преобразованиями. Каждый из вариантов изображения графа, полученный путем таких преобразований, называется его геометрической реализацией.


Если узел является концом ветви , то говорят, что они инцидентны. Каждая ветвь графа инцидентна двум узлам. Часть графа, которая наряду с некоторым подмножеством ветвей графа содержит и все инцидентные им узлы, называется подграфом.

Путь - это подграф, являющийся последовательностью соединенных между собой ветвей, выбранных таким образом, что каждому узлу (за исключением двух узлов, называемых граничными) инцидентны две ветви, а граничным узлам инцидентно по одной ветви. Каждая ветвь и каждый узел встречаются в пути только один раз.

Замкнутый путь, т. е. путь, у которого начальные и конечные узлы совпадают, называется контуром. Каждому из узлов контура инцидентны две ветви. Очевидно, что между контурами графа и контурами исходной цепи существует взаимно однозначное соответствие.


Связный граф - это граф, между любыми двумя узлами которого существует, по крайней мере, один путь.

Деревом связного графа называется связный подграф, включающий все узлы графа, но не содержащий ни одного контура. Ветви графа, вошедшие в дерево, называются ветвями дерева; ветви, не вошедшие в дерево, называются связями (главными ветвями, хордами). Каждому графу может быть поставлено в соответствие несколько деревьев, отличающихся друг от друга составом ветвей дерева (рис. 2.7). Каждое из деревьев графа, содержащего p ветвей и q узлов, имеет m = q - 1 ветвей дерева и n = p – q + 1 главных ветвей. При построении деревьев графов электрических цепей в число ветвей дерева обязательно вносят ветви, соответствующие идеализированном источникам напряжения. Ветви графа, соответствующие ветвям цепи, содержащим идеализированные источники то­ка, в число ветвей дерева не включают.

Добавление к дереву графа любой главной ветви образует контур. Контуры, образованные поочередным добавлением к дереву графа его главных ветвей, называются главными контурами (рис. 2.8). Таким образом, главный контур состоит из ветвей дерева и одной главной ветви. Каждому дереву соответствует своя система из n = p – q + 1 главных контуров, причем главные контуры, соответствующие определенному дереву, отличаются один от другого, по крайней мере, одной ветвью, а именно главной ветвью, входящей в каждый из главных контуров. Каждому главному контуру обычно присваивают номер и приписывают ориентацию (направление обхода), совпадающие с номером и ориентацией соответствующей главной ветви.

Деревом связного графа называется связный подграф, включающий все узлы графа, но не содержащий ни одного контура. Ветви графа, вошедшие в дерево, называются ветвями дерева, ветви, не вошедшие в дерево, называются связями Читать ещё >

Графы схем электрических цепей ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

В общем случае граф — это совокупность отрезков произвольной длины и формы, называемых ветвями (ребрами), и точек их соединения между собою, называемых узлами (вершинами). В теории электрических цепей в основном находят применение направленные (или ориентированные) графы, у которых каждому ребру приписывается определенное направление, указываемое стрелкой. Различают направленные графы схем электрических цепей и направленные графы прохождения сигналов. Направленный граф схемы электрической цепи является упрощенной моделью этой цепи, отражающей только ее топологические (структурные) свойства. Направленный граф прохождения сигналов представляет собой наглядное графическое изображение системы уравнений, описывающей процессы в электрической цепи. В дальнейшем будем называть направленный граф прохождения сигналов сигнальным, а направленный граф схемы электрической цепи — просто графом цепи.

Граф цепи строят по ее схеме замещения. При этом каждую ветвь цепи заменяют отрезком произвольной дайны и формы — ветвью графа, а каждый узел цепи преобразуют в узел графа. На ветвях графа стрелками указывают их направления, которые совпадают с положительным направлением токов соответствующих ветвей цепи. Нумерация ветвей и узлов графа та же, что и нумерация ветвей и узлов схемы. Расширенному топологическому описанию цепи (см. рис. 1.22, а) соответствует расширенный граф цени (рис. 1.26, а), сокращенному топологическому описанию (см. рис. 1.22, б) — сокращенный (рис. 1.26, б).

Свойства графа не зависят от формы и длины ветвей, а также от взаимного расположения узлов графа на плоскости и определяются только числом ветвей р, числом узлов q и способом соединения ветвей между собой.

Расширенный (а) и сокращенный (б) графы цепи, изображенной на рис. 1.22.

Рис. 1.26. Расширенный (а) и сокращенный (б) графы цепи, изображенной на рис. 1.22.

Графы, имеющие одно и то же число узлов и ветвей, соединенных между собой одинаковым образом, называются изоморфными (рис. 1.27). Изменяя длину и форму ветвей, а также взаимное расположение узлов графа на плоскости, можно получить бесчисленное множество графов, изоморфных исходному. Такие преобразования графа называются изоморфными. Каждый из вариантов изображения графа, полученный путем изоморфных преобразований, называется его геометрической реализацией.

Если узел i является концом ветви j, то считается, что они инцидентны (от англ, incidence — сфера действия, охват). Каждая ветвь графа инцидентна двум узлам. Часть графа, которая наряду с некоторым подмножеством ветвей графа содержит и инцидентные им узлы, называется подграфом.

Степень узла графа равна числу ветвей, инцидентных данному узлу. На рис. 1.26, а узлы (1), (2) и (4) имеют вторую степень, узлы (0) и (3) — четвертую.

Графы, изоморфные с точностью до узлов второй степени, называются гомеоморфными. После удаления из гомеоморфных графов узлов второй степени и объединения ин;

Изоморфные графы цидентных этим узлам ветвей гомеоморфные графы становятся изоморфн ым и.

Рис. 1.27. Изоморфные графы цидентных этим узлам ветвей гомеоморфные графы становятся изоморфн ым и.

Таким образом, графы, соответствующие расширенному и сокращенному топологическому описанию цепи, являются гомеоморфнъши.

Примером гомеоморфных графов являются графы, изображенные на рис. 1.27.

Планарным (плоским) называется такой граф, который в результате изоморфных преобразований может быть изображен на плоскости без пересечения ветвей. Так, граф, изображенный на рис. 1.28, а, содержит две пересекающиеся ветви, однако он является планарным, так как существует изоморфный ему граф, не имеющий пересечения ветвей (рис. 1.28, б). Нетрудно убедиться, что все графы, содержащие не более четырех узлов, являются планарными.

Непланарный (объемный) граф не может быть изображен на плоскости без пересечения ветвей (рис. 1.29). При удалении из представленных на рисунке графов любой ветви они становятся планарными. Полный пятиугольник и двудольный граф называют также графами Понтрягина — Куратовского.

Доказано, что произвольный граф является планарным тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных одному из графов Понтрягина — Куратовского.

Устранение пересечений ветвей графа с помощью изоморфных преобразований.

Рис. 1.28. Устранение пересечений ветвей графа с помощью изоморфных преобразований.

Графы Понтрягина — Куратовского.

Рис. 1.29. Графы Понтрягина — Куратовского:

а — полный пятиугольник; б — двудольный граф Электрическая схема, которой соответствует планарный граф, также называется планарной. Непланарной схеме соответствует непланарный граф. Таким же образом вводятся понятия планарной и непланарной идеализированных электрических цепей.

Планарный граф делит плоскость, на которой он изображен, на внутренние и внешнюю области. Внутренние области, ограниченные ветвями графа, называются ячейками или окнами графа. Внешняя относительно графа часть плоскости называется базисной ячейкой.

Путь — это подграф, являющийся последовательностью соединенных между собой ветвей, выбранных таким образом, что каждому узлу (за исключением двух узлов, называемых граничными) инцидентны две ветви, а граничным узлам инцидентно по одной ветви (рис. 1.30). Каждая ветвь и каждый узел встречаются в пути только один раз.

Различные пути между вершинами (1) и (3) графа, изображенного на рис. 1.27.

Рис. 130. Различные пути между вершинами (1) и (3) графа, изображенного на рис. 1.27.

Замкнутый путь, т. е. путь, у которого начальные и конечные узлы совпадают, называется контуром (рис. 1.31). Каждому из узлов контура инцидентны две ветви. Очевидно, что между контурами графа и контурами исходной цепи существует взаимно однозначное соответствие.

Деревом связного графа называется связный подграф, включающий все узлы графа, но не содержащий ни одного контура. Ветви графа, вошедшие в дерево, называются ветвями дерева, ветви, не вошедшие в дерево, называются связями , хордами). Каждому графу, как правило, может быть поставлено в соответствие несколько деревьев, отличающихся друг от друга составом ветвей дерева (рис. 1.32). Каждое из деревьев графа, содержащего р ветвей и q узлов, имеет т = q — 1 ветвей дерева ип = р — q + 1 главных ветвей.

Некоторые из контуров графа, изображенного на рис. 1.27.

Рис. 1.31. Некоторые из контуров графа, изображенного на рис. 1.27.

При построении деревьев графов электрических цепей в число ветвей дерева необходимо внести все вырожденные ветви, составленные только из идеальных источников напряжения. Ветви графа, соответствующие вырожденным ветвям цепи, содержащим идеальные источники тока, в число ветвей дерева не включают.

Добавление к дереву графа любой главной ветви образует контур. Контуры, образованные поочередным добавлением к дереву графа его главных ветвей, называются главными (рис. 1.33). Таким образом, главный контур состоит из ветвей дерева и одной главной ветви [1] .

Каждому дереву соответствует своя система изп = р — - q + 1 главных контурову причем главные контуры, соответ ствующие определенному дереву, отличаются один от другогоу по крайней мере, одной ветвью, а именно главной ветвьюу входящей в каждый из главных контуров.

Некоторые из деревьев графа, изображенного на рис. 1.27.

Рис. 1.32. Некоторые из деревьев графа, изображенного на рис. 1.27.

Главные контуры графа (рис. 1.27), соответствующие дереву рис. 1.32, в.

Рис. 133. Главные контуры графа (рис. 1.27), соответствующие дереву рис. 1.32, в.

Каждому главному контуру обычно присваивают номер и приписывают ориентацию (направление обхода), совпадающие с номером и ориентацией соответствующей главной ветви [2] .

Сечением связного графа называется минимальная совокупность ветвей графа, при удалении которых граф распадается на две изолированные части, каждая из которых может быть узлом. Для нахождения ветвей, образующих сечение, граф рассекают на две части замкнутой линией — линией сечения (в случае планарных графов) или замкнутой поверхностью — поверхностью сечения (в случае непланарных графов), построенными таким образом, что ни одна из ветвей графа не пересекается этой линией (поверхностью) дважды. Совокупности ветвей , , (3, 4, 6>, пересекаемых линиями а, b, с (рис. 1.34), образуют сечения, потому что при удалении каждой из этих совокупностей ветвей граф распадается на две части. Ветви, пересекаемые линией d, не образуют сечения, так как при удалении этих ветвей граф распадается более чем на две части.

Очевидно, что каждая из частей, на которые линия (поверхность) сечения разделяет граф цепи, может рассматри;

К определению понятия сечения графа ваться как обобщенный узел и, следовательно, для каждого сечения графа можно составить уравнение баланса токов.

Рис. 134. К определению понятия сечения графа ваться как обобщенный узел и, следовательно, для каждого сечения графа можно составить уравнение баланса токов (токи ветвей, одинаковым образом ориентированные относительно линии сечения, берутся с одинаковым знаком).

Главным сечением графа называется такое сечение, в которое входит только одна ветвь выбранного дерева. Остальные ветви, входящие в главное сечение, являются связями (рис. 1.35). Число главных сечений равно числу ветвей дерева: т = q — 1.

Каждому дереву может быть поставлена в соответствие своя система главных сечений, причем главные сечения, соответствующие выбранному дереву, отличаются друг от друга, по крайней мере, одной ветвью — ветвью дерева, входящей в каждое из сечений. Главным сечениям графа присваивают номера и приписывают ориентацию, совпадающие с номером соответствующей ветви дерева и ее ориентацией относительно линии сечения.

Если одна из частей, на которые граф делится линией сечения, представляет собой изолированный узел, то соответствующее сечение называется каноническим (сечения 3 и 6 па рис. 1.35, а).

Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис. 1, 2), введя понятие ветви и узла.

Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током.
Узел – место соединения трех и более ветвей.

Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны.

Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь схем на рис. 1 и 2 заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис. 3.

Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, называется графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви могут состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом.

Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным.

Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.

В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы:

1. Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути только один раз. Например, в схеме на рис. 3 ветви 2-6-5; 4-5; 3-6-4; 1 образуют пути между одной и той же парой узлов 1 и 3 . Таким образом, путь – это совокупность ветвей, проходимых непрерывно.

2. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Например, для графа по рис. 3 можно определить контуры, образованные ветвями 2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4 . Если между любой парой узлов графа существует связь, то граф называют связным.

3. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис. 4.

4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа.

Если граф содержит m узлов и n ветвей, то число ветвей любого дерева , а числа ветвей связи графа .

5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом.

Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для нашего графа на рис. 3 S 1 и S 2 . При этом получаем соответственно сечения, образованные ветвями 6-4-5 и 6-2-1-5 .

С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений:

  • главный контур – контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи;
  • главное сечение – сечение, состоящее из ветвей связи и только одной ветви дерева.

Топологические матрицы

Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как не существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами. Выделяют три таких матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений.

1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы – ветвям схемы.

Для графа на рис. 3 имеем число узлов m =4 и число ветвей n =6. Тогда запишем матрицу А Н , принимая, что элемент матрицы ( i –номер строки; j –номер столбца) равен 1 , если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1 , если ориентирована к нему, и 0 , если ветвь j не соединена с узлом i . Сориентировав ветви графа на рис. 3, получим

Данная матрица А Н записана для всех четырех узлов и называется неопределенной. Следует указать, что сумма элементов столбцов матрицы А Н всегда равна нулю, так как каждый столбец содержит один элемент +1 и один элемент -1 , остальные нули.

Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице А (редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы А Н путем вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “4” получим

Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для узлов , т.е. числу уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа. Итак, введя понятие узловой матрицы А , перейдем к первому закону Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа

Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. справедливо соотношение

где - вектор плотности тока; - нормаль к участку dS замкнутой поверхности S .

Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S 2 графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать

Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что математически можно записать, как:

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю.

При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно (любое) из них будет линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации.

Введем столбцовую матрицу токов ветвей

Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид:

– где O - нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой взята матрица А, а не А Н , т.к. с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов.

В качестве примера запишем для схемы на рис. 3

Отсюда для первого узла получаем

что и должно иметь место.

2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы В соответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы.

Элемент b ij матрицы В равен 1 , если ветвь j входит в контур i и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1 , если не совпадает с направлением обхода контура, и 0 , если ветвь j не входит в контур i.

Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4 , запишем коэффициенты для матрицы В .

Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа.

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность потенциалов между крайними точками этого участка, т.е.

Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура:

Поскольку при обходе контура потенциал каждой i -ой точки встречается два раза, причем один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна нулю.

Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как:

- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием законов Кирхгофа записывается независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получаем систему из уравнений, что равно числу ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно.

Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей

Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид

В качестве примера для схемы рис. 5 имеем

откуда, например, для первого контура получаем

что и должно иметь место.

Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов

причем потенциал последнего узла , то матрица напряжений ветвей и узловых потенциалов связаны соотношением

где A Т - транспонированная узловая матрица.

Для определения матрицы В по известной матрице А=А Д А С , где А Д – подматрица, соответствующая ветвям некоторого дерева, А С- подматрица, соответствующая ветвям связи, может быть использовано соотношение В= (-А Т С А -1Т Д 1).

3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям графа.

Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений.

Элемент q ij матрицы Q равен 1 , если ветвьвходит в i -е сечение и ориентирована согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него), -1 , если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0 , если ветвь j не входит в i -е сечение.

В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа на рис. 5. При указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем

В заключение отметим, что для топологических матриц А, В и Q , составленных для одного и того же графа, выполняются соотношения

которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления этих матриц. Здесь 0 – нулевая матрица порядка .

Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные.

1. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей./Под ред. П.А.Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд.2-е , перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976.-544с.

2. Матханов Х.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. и радиотехн. спец. 3-е изд. переработ. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. –400с.

3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Сформулируйте основные топологические понятия для электрических цепей.
  2. Что такое узловая матрица?
  3. Что такое контурная матрица?
  4. Что такое матрица сечений?
  5. Токи ветвей некоторой планарной цепи удовлетворяют следующей полной системе независимых уравнений:

Восстановив граф цепи, составить матрицы главных контуров и сечений, приняв, что ветвям дерева присвоены первые номера.

Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения. Рассмотрим соотношения в электрической цепи, обусловленные способом соединения элементов.

Пусть цепь состоит из двухполюсников. В простейшем случае эти элементы могут быть соединены последовательно или параллельно.

При последовательном соединении любые два соседних элемента имеют общий зажим (рис. 1.28), токи во всех элементах одинаковы. Напряжение на зажимах всего соединения равно сумме напряжений отдельных элементов


. (1.13)

При параллельном соединении все элементы присоединяются к одной и той же паре узлов, так что напряжения на всех элементах одинаковы (рис. 1.29). Ток в неразветвленной части цепи равен сумме токов всех элементов


. (1.14)

Соотношения (1.13) и (1.14) справедливы для соединений любых элементов (резистивных, индуктивных и т. д.). Их вид определяются только способом соединения элементов, или, как говорят, геометрией (топологией) соединений.


Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому каждую ветвь можно изобразить отрезком прямой. На рис. 1.31 показан граф электрической цепи, изображенной на рис. 1.30.

На графе источники ЭДС и тока не изображаются. При этом ветвь с источником ЭДС сохраняется, ветвь с источником тока не показывается. Отрезки прямых называются ветвями графа, концевые точки ветви графа – узлами графа.

Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелками. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным. В противном случае - неориентированным.

Подграфом графа называется часть графа (одна ветвь, один узел, любое множество ветвей и узлов графа). В теории цепей различают подграфы: путь, контур, дерево, связи и сечение.

Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел в этом пути встречается один раз. На рис. 1.31 имеем пути: 3-4-5; 2-1-5 и т.д.

Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. На рис. 1.31 имеем контуры: 2-3-6, 2-3-5-4 и т.д.

Если между любой парой узлов графа (схемы) существует путь, то такой граф (схема) называется связным.

Деревом связного графа (схемы) называют связной подграф (подсхему), содержащий все узлы графа (схемы), но ни одного контура. Деревья графа рис. (1.31) показаны на рис. 1.32.

Ветви графа (схемы), которые дополняют дерево до исходного графа, называются ветвями связи (дополнениями дерева). Ветви связи деревьев рис. 1.32 показаны на рис. 1.33.

Сечением графа (схемы) называется множество ветвей, удаление которых делит граф (схему) на два изолированных подграфа (подсхемы), один из которых в частном случае может быть изолированным узлом. Сечение можно изобразить в виде следа замкнутой поверхности, рассекающей соответствующие ветви. Такие поверхности ( ; ) показаны на рис. 1.34.

Главным контуром называется контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи. Число главных контуров .


Главным сечением называется сечение, состоящее из ветвей связи и одной ветви дерева. Каждая ветвь дерева позволяет образовать одно главное сечение. Число главных сечений .

На рис. 1.35 жирными линиями показано дерево. Главные контуры: 2-3-6; 3-5-1; 2-3-5-4. Главные сечения: изображены поверхностями ; и .

Вопрос о числе независимых уравнений, которые можно составить по законам Кирхгофа, можно решить, применяя понятие дерева графа (схемы). Можно показать, что:

· уравнения по I закону Кирхгофа, составленные для главных сечений – независимы;

· уравнения по II закону Кирхгофа для главных контуров – независимы.

По I закону Кирхгофа составляют независимых уравнений. По II закону Кирхгофа составляют независимых уравнений.


1.7. Топологические матрицы графа.

Рассмотрим ориентированный граф (рис. 1.36), соответствующий схеме (рис. 1.30). Составим независимые уравнения Кирхгофа для узлов 1, 2, 3


.


.

Элементы топологической матрицы равны +1, -1, 0. Значения этих элементов определяются только структурой графа (схемы).

В соответствии с видом уравнений Кирхгофа различают три топологические матрицы: матрицу соединений (узловую матрицу) , матрицу сечений и матрицу контуров .


Матрица соединений (узловая матрица) - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по I закону Кирхгофа для узлов.

Строки матрицы соответствуют узлам (число строк равно числу независимых узлов, т.е. ), столбцы – ветвям. Если записать , - узловая матрица ( - номер строки, - номер столбца).

Правило составления : , если ветвь соединена с узлом и направлена от узла ; , если ветвь соединена с узлом и направлена к узлу , , если ветвь не соединена с узлом .


,

то матричная форма уравнений по I закону Кирхгофа для узлов будет


. (1.15)

С помощью матрицы можно выразить напряжения ветвей ( , , …, ) через потенциалы узлов ( , , …, )


, (1.16)

где , , - транспонированная узловая матрица.


Матрица сечений - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по I закону Кирхгофа для сечений. Строки матрицы соответствуют сечениям, столбцы ветвям.


.

, если ветвь содержится в сечении и направлена согласно с направлением сечения (ток ветви дерева направлен наружу замкнутой поверхности). , если ветвь содержится в сечении и направлена противоположно направлению сечения; , если ветвь не содержится в сечении . Число строк матрицы равно - числу независимых контуров.


Если матрица составлена для главных сечений, то ее называют матрицей главных сечений. При этом за положительное направление сечения берут направление ветви дерева данного сечения (рис. 1.37)

где , , - независимые сечения

Закон Кирхгофа для сечений в матричной форме:


. (1.17)


Если матрицу напряжений ветвей дерева обозначить через , то


. (1.18)


Матрица контуров - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по II закону Кирхгофа. Строки матрицы соответствуют контурам, столбцы – ветвям.


.

, если ветвь содержится в контуре и направление ветви совпадает с направлением обхода контура; , если ветвь содержится в контуре и ее направление против обхода контура; , если ветвь не содержится в контуре .


Матрицу , записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура.

Число строк матрицы равно числу независимых контуров .

Второй закон Кирхгофа в матричной форме:


, (1.19)


, (1.20)


где - матрица-столбец контурных токов.

Матрицы , , позволяют выразить алгебраическим языком топологию схем, что важно при анализе сложных цепей с помощью компьютера.

Соотношения между топологическими матрицами. Если матрицы , , составлены для одного и того же графа (схемы), то имеет место:


, (1.21)


. (1.22)

Читайте также: