Формула бинома ньютона доклад

Обновлено: 02.07.2024

Бино́м Нью́тона — математическая формула вида \((a + b)^n\) , выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых. Частными случаями бинома Ньютона при n = 2 и n = 3 являются формулы для квадрата и куба суммы а и b: (а + b) 2 = а 2 + 2ab + b 2 , (а + b) 3 = а 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 . При n = 4 получают формулу (а + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 .

Бином Ньютона для дробных и отрицательных показателей

Пусть имеем выражение \((a + b)^n\) , где n — дробное или отрицательное число. Пусть \(| a | >| b |. \) Представим \((a + b)^n\) в виде \(a^n(1 + x)^n\) . Величина \(x = \) абсолютное ее значение меньше единицы. Выражение \((1 + x)^n\) можно вычислить с любой степенью точности по формуле (3).

Обобщенная формула бинома Ньютона

Биномиальные коэффициенты

Числа 1, n, \(n(n-1)\over 1*2\) называются биномиальными коэффициентами. Биномиальные коэффициенты всегда являются целыми положительными числами. Крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краев к середине; сумма всех коэффициентов равна 2n. Сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + b) n равна коэффициенту в разложении (а + b) n+1 ; например, суммы 1+3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а + b) 3 дают коэффициенты 4, 6, 4 в формуле для (а + b) 4 . Пользуясь этим свойством, можно получить путем сложения биномиальные коэффициенты для любого n. Результаты располагают в виде таблицы — треугольника Паскаля.

История открытия бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона для целых положительных показателей была известна задолго до Исаака Ньютона, но он в 1676 году указал на возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя. Строгое обоснование указанных Ньютоном возможностей дал Н. Абель в 1826 году. В случае дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, а правая часть формулы получает бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Бином Ньютона играет роль во многих областях математики, в частности в алгебре и теории чисел.

С натуральным n формула Бинома Ньютона принимает вид a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n , где имеем, что C n k = ( n ) ! ( k ) ! · ( n - k ) ! = n ( n - 1 ) · ( n - 2 ) · . . . · ( n - ( k - 1 ) ) ( k ) ! - биномиальные коэффициенты, где есть n по k , k = 0 , 1 , 2 , … , n , а " ! " является знаком факториала.

В формуле сокращенного умножения a + b 2 = C 2 0 · a 2 + C 2 1 · a 1 · b + C 2 2 · b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
просматривается формула бинома Ньютона, так как при n = 2 является его частным случаем.

Первая часть бинома называют разложением ( a + b ) n , а С n k · a n - k · b k - ( k + 1 ) -ым членом разложения, где k = 0 , 1 , 2 , … , n .

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля

Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:

Показатель степени Биноминальные коэффициенты
0 C 0 0
1 C 1 0 C 1 1
2 C 2 0 C 2 1 C 2 2
3 C 3 0 C 3 1 C 3 2 C 3 3
⋮ … … … … … … … … …
n C n 0 C n 1 … … … … … C n n - 1 C n n

При натуральных n такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:

Показатель степени Биноминальные коэффициенты
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
⋮ … … … … … … … … … … … … …
n C n 0 C n 1 … … … … … … … … … C n n - 1 C n n

Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Имеются равенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:

  • коэффициента располагаются равноудалено от начала и конца, причем равны, что видно по формуле C n p = C n n - p , где р = 0 , 1 , 2 , … , n ;
  • C n p = C n p + 1 = C n + 1 p + 1 ;
  • биномиальные коэффициенты в сумме дают 2 в степени показателя степени бинома, то есть C n 0 + C n 1 + C n 2 + . . . + C n n = 2 n ;
  • при четном расположении биноминальных коэффициентов их сумма равняется сумме биномиальных коэффициентов, расположенных в нечетных местах.

Равенство вида a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n считается справедливым. Докажем его существование.

Для этого необходимо применить метод математической индукции.

Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:

  1. Проверка справедливости разложения при n = 3 . Имеем, что
    a + b 3 = a + b a + b a + b = a 2 + a b + b a + b 2 a + b = = a 2 + 2 a b + b 2 a + b = a 3 + 2 a 2 b + a b 2 + a 2 b + 2 a b + b 3 = = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 = C 3 0 a 3 + C 3 1 a 2 b + C 3 2 a b 2 + C 3 3 b 3
  2. Если неравенство верно при n - 1 , тогда выражение вида a + b n - 1 = C n - 1 0 · a n - 1 · C n - 1 1 · a n - 2 · b · C n - 1 2 · a n - 3 · b 2 + . . . + C n - 1 n - 2 · a · b n - 2 + C n - 1 n - 1 · b n - 1
  1. Доказательство равенства a + b n - 1 = C n - 1 0 · a n - 1 · C n - 1 1 · a n - 2 · b · C n - 1 2 · a n - 3 · b 2 + . . . + C n - 1 n - 2 · a · b n - 2 + C n - 1 n - 1 · b n - 1 , основываясь на 2 пункте.

a + b n = a + b a + b n - 1 = = ( a + b ) C n - 1 0 · a n - 1 · C n - 1 1 · a n - 2 · b · C n - 1 2 · a n - 3 · b 2 + . . . + C n - 1 n - 2 · a · b n - 2 + C n - 1 n - 1 · b n - 1

Необходимо раскрыть скобки, тогда получим a + b n = C n - 1 0 · a n + C n - 1 1 · a n - 1 · b + C n - 1 2 · a n - 2 · b 2 + . . . + C n - 1 n - 2 · a 2 · b n - 2 + + C n - 1 n - 1 · a · b n - 1 + C n - 1 0 · a n - 1 · b + C n - 1 1 · a n - 2 · b 2 + C n - 1 2 · a n - 3 · b 3 + . . . + C n - 1 n - 2 · a · b n - 1 + C n - 1 n - 1 · b n

Производим группировку слагаемых

a + b n = = C n - 1 0 · a n + C n - 1 1 + C n - 1 0 · a n - 1 · b + C n - 1 2 + C n - 1 1 · a n - 2 · b 2 + . . . + + C n - 1 n - 1 + C n - 1 n - 2 · a · b n - 1 + C n - 1 n - 1 · b n

Имеем, что C n - 1 0 = 1 и C n 0 = 1 , тогда C n - 1 0 = C n 0 . Если C n - 1 n - 1 = 1 и C n n = 1 , тогда C n - 1 n - 1 = C n n . При применении свойства сочетаний C n p + C n p + 1 = C n + 1 p + 1 , получаем выражение вида

C n - 1 1 + C n - 1 0 = C n 1 C n - 1 2 + C n - 1 1 = C n 2 ⋮ C n - 1 n - 1 + C n - 1 n - 2 = C n n - 1

Произведем подстановку в полученное равенство. Получим, что

a + b n = = C n - 1 0 · a n + C n - 1 1 + C n - 1 0 · a n - 1 · b + C n - 1 2 + C n - 1 1 · a n - 2 · b 2 + . . . + + C n - 1 n - 1 + C n - 1 n - 2 · a · b n - 1 = C n - 1 n - 1 · b n

После чего можно переходить к биному Ньютона, тогда a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n .

В настоящем разделе рассматривается общий случай этой формулы, т.е. случай произвольного натурального значения n .

Утверждение . Для любого натурального числа n и любых чисел x и y справедлива формула бинома Ньютона :

– числа сочетаний из n элементов по k элементов.

В формуле (1) слагаемые

называют членами разложения бинома Ньютона , а числа сочетаний – коэффициентами разложения или биномиальными коэффициентами .

Если в формуле (1) заменить y на – y , то мы получим формулу для n - ой степени разности:

Связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

Напомним, что треугольник Паскаля имеет следующий вид:

№Треугольник Паскаля
01
11 1
21 2 1
31 3 3 1
41 4 6 4 1
51 5 10 10 5 1
61 6 15 20 15 6 1
……

Поскольку числа, составляющие треугольник Паскаля, являются биномиальными коэффициентами, то треугольник Паскаля можно переписать в другом виде:

Свойства биномиальных коэффициентов

Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

к доказательству которых мы сейчас и переходим.

Докажем сначала равенство 1.

Это равенство отражает основное свойство треугольника Паскаля, заключающееся в том, что в каждой из строк треугольника Паскаля, начиная со строки с номером 2 , между числами 1 стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

Для доказательства равенства 1 воспользуемся формулой (2):

что и требовалось.

Для доказательства равенства 2 положим в формуле бинома Ньютона (1) x = 1, y = 1.

Если же в формуле бинома Ньютона (1) взять x = 1, y = –1, то получится равенство 3.

Перейдем к доказательству равенства 4. С этой целью положим в формуле бинома Ньютона (1) y = 1

Воспользовавшись очевидным равенством

перепишем формулу (3) в другом виде

Если теперь перемножить формулы (3) и (4), то мы получим равенство:

Если к левой части формулы (5) применить формулу бинома Ньютона, а затем, раскрыв в правой части скобки и приведя подобные члены, приравнять коэффициенты при x n в левой и в правой частях, то мы получим следующее равенство:

  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Бином Ньютона — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

(a+b)^n = \sum_<k=0></p> <p>^n \binom a^ b^k = a^n + a^b + \dots + a^b^k + \dots + b^n

<n\choose k></p> <p>где =\frac<k!(n - k)!>= C_n^k
— биномиальные коэффициенты, — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число. В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Доказательство

Докажем формулу бинома Ньютона индукцией по n :

База индукции:

(a+b)^0=1=\binom</p> <p>a^0b^0

Шаг индукции: Пусть утверждение для верно:

(a+b)^n = \sum_<k=0></p> <p>^n a ^ b ^

Тогда надо доказать утверждение для :

(a+b)^</p> <p> = \sum_^ <\choose k > a ^ b ^

(a+b)^<n+1></p> <p> = (a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_^ a ^ b ^ = \sum_^n b ^ >\quad + \quad \sum_^n a ^ b ^

Извлечём из первой суммы слагаемое при

\sum_<k=0></p> <p>^n b ^ > = a^ + \sum_^n a ^ b ^ k

Извлечём из второй суммы слагаемое при

\sum_</p> <p>^n a ^ b ^ = b^ + \sum_^a^ b ^ = b^ + \sum_^n > a^ b ^

Теперь сложим преобразованные суммы:

a^</p> <p> + \sum_^n a ^ b ^ k \quad + \quad b^ + \sum_^n > a^ b ^ = a ^ + b ^ + \sum_^n \left( + > \right) a ^ b ^ k =

=\sum_</p> <p>^0 a ^ b ^ k \quad + \quad \sum_^ a^b^k \quad + \quad \sum_ ^ a ^ b ^ k= \sum_^ <\choose k > a ^ b ^

Что и требовалось доказать.

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора:

(1+x)^r=\sum_<k=0></p> <p>^ <\infty> x^k
,

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

<r \choose k></p> <p>=\prod_^(r-n)=\frac\,

(1+z)^\alpha=1+\alpha<></p> <p>z+\fracz^2+. +\fracz^n+.
.

сходится при .

z=\frac<1></p> <p>В частности, при
и получается тождество

\left(1+\frac<1></p> <p>\right)^=1+x+\frac+. +\frac+\dots.

\lim_<m\to\infty></p> <p>Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел <\left(1+\frac<1>\right)^>=e
, выводим тождество

e^x=1+x+\frac<x^2></p> <p>+\dots+\frac+\dots,

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

(x_1+x_2+\cdots +x_m)^n =\sum\limits_<k_j\geqslant 0, k_1+k_2+\cdots+k_m=n></p> <p> x_1^\ldots x_m^,

\textstyle \binom<n></p> <p>где = \frac
— мультиномиальные коэффициенты. Сумма берется по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна n (то есть по всем композициям числа n длины m ). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения , даже если .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо по индукции по m , либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При , выражая , получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

B_n(a_s)= B_n(a_1,\dots,a_n)

Пусть и ,тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

B_n(<</p> <p>+>)=\sum_ () ().

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю ( англ. ), жившему в XIII веке, а такжеисламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век). В середине XVI века, Михаэль Штифель описал биномиальные коеффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1677 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе

Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая карьера.

Дамский роман Е.Н. Вильмонт получил название "Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона!"

Читайте также: