Движение тела переменной массы доклад

Обновлено: 04.07.2024

Вычисление изменений массы материальной точки в процессе движения по уравнениям динамики точки переменной массы и уравнениям Мещерского. Понятие скоростей направленных противоположно друг другу по формулам Циолковского. Инерция системы и её импульс.

Рубрика	Физика и энергетика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	28.06.2013
Размер файла	68,0 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Реферат на тему: Движение тел переменной массы. Центр масс системы тел. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

Рассмотрим случай, когда в процессе движения масса материальной точки изменяется. Пусть в некоторый момент времени t масса двигающегося тела m и скорость .

Спустя время масса уменьшится на , а скорость увеличится на . При этом отделившаяся масса имеет скорость относительно данного тела.

По II закону Ньютона:

- равнодействующая внешних сил, действующих на тело.

Свяжем ИСО с телом в момент времени t.

В выбранной СО тело в момент начала наблюдения покоится. Определим изменение импульса системы тел:

Разделим полученное выражение на dt:

- то после соответствующей замены получаем:

Полученное уравнение называют основным уравнением динамики точки переменной массы или уравнением Мещерского.

- реактивная сила, возникающая вследствие действия на тело отделяемой (или присоединяемой) массы.

После замен получаем основное уравнение динамики при движении тела переменной массы:

Частный случай применения основного уравнения динамики:

Пусть . В этом случае и основное уравнение динамики принимает вид:

Пусть система замкнута:

Пусть в момент t тело покоится:

Из формулы Циолковского следует, что скорость ракеты направлена противоположно скорости вылета газов (при ), не зависит от времени сгорания топлива, а определяется только отношением начальной массы ракеты к оставшейся массе.

Центр масс системы частиц.

Центром масс (или центром инерции) системы называется точка С, положение которой задаётся радиус-вектором.

и - масса и радиус-вектор i-ой частицы.

Определим центр масс системы, состоящей из 2-х частиц. Положение точек и относительно системы центра масс характеризуется радиус-векторами:

То после соответствующих подстановок получаем:

Из полученных выражений следует, что , то есть точка С лежит на линии, соединяемой точки, кроме того:

ЦМ двух точек делит расстояние между точками в отношении, обратно пропорциональном массам точек.

В однородном поле силы тяжести ЦМ системы совпадают с центром тяжести.

Скорость центра масс:

Из последнего уравнения следует, что импульс системы тел равен произведению массы системы на скорость её центра масс.

Уравнение движения ЦМ.

То, учитывая постоянство массы, получаем:

Центр масс любой системы движется так, как если бы все массы системы были сосредоточены в этой точке, и к ней были бы приложены все внешние силы. При этом ускорение центра масс совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.

Если система замкнута, и , то .

В замкнутой системе скорость ЦМ остаётся постоянной при любом движении тел внутри системы.

Систему отсчёта, жестко связанную с центром масс, и перемещающуюся поступательно по отношению к инерциальным системам, называют системой центра масс или Ц - системой.

Отличительной особенностью Ц - системы является то, что полный импульс системы частиц в ней всегда равен нулю.

Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.

Неинерциальной является система отсчета, в которой не выполняется явление инерции. Это С.О., движущаяся с ускорением относительно И.С.О.

Пусть С.О. К' вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью и перемещается поступательно относительно С.О. К с ускорением . Точка массой m движется в С.О. К' с ускорением . Согласно закона преобразования ускорений результирующее ускорение точки в системе отсчета К определяется по формуле:

Тогда ускорение точки в С.О. К' можно найти по формуле:

Умножим левую и правую части последнего уравнения на массу точки:

В итоге получаем основное уравнение динамики точки в Н.И.С.О.:

- поступательная сила инерции, обусловленная поступательным движением Н.И.С.О.,

- центробежная сила инерции, обусловленная вращательным движением С.О. вектор центробежной силы направлен вдоль радиуса окружности от её центра,

- сила Кориолиса, возникающая вследствие движения тела во вращающейся С.О.

Особенности сил инерции:

Силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а свойствами самих неинерциальных систем отсчета. Поэтому на силы инерции третий закон Ньютона не распространяется.

Эти силы существуют только в неинерциальных системах. В инерциальных системах отсчета сил инерции нет и понятие сила в этих системах отсчета применяется только в ньютоновском смысле - как мера взаимодействия тел. динамика инерция импульс

Все силы инерции, подобно силам тяготения, пропорциональны массе тела. Поэтому в однородном поле сил инерции, как и в поле сил тяготения, все тела движутся с одним и тем же ускорением независимо от их масс.

Соответствие поля тяготения и поля инерции привело Эйнштейна к формулировке принципа эквивалентности: все физические явления в однородном поле тяготения происходят точно также, как и в соответствующем однородном поле сил инерции.

Подобные документы

Движение центра масс механической системы. Количество движения точки и импульс силы. Теорема об изменении количества движения механической системы. Движение точки под действием центральной силы. Закон сохранения кинетического момента механической системы.

презентация [533,7 K], добавлен 09.11.2013

Примеры взаимодействия тел с помощью опытов. Первый закон Ньютона, инерциальные системы отсчета. Понятие силы и физического поля. Масса материальной точки, импульс и центр масс системы. Второй и третий законы Ньютона, их применение. Движение центра масс.

реферат [171,4 K], добавлен 10.12.2010

Свойства сил инерции. Законы сохранения, вращающиеся системы отсчета. Неинерциальные системы отсчета, движущиеся поступательно. Центробежная сила инерции. Земля как неинерциальная (вращающаяся) система отсчета. Спираль Экмана, течение Гольфстрим.

курсовая работа [2,6 M], добавлен 10.12.2010

Сущность движения материальных тел. Виды и основные формулы динамики поступательного движения. Классическая механика, как наука. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Величина, определяющая инерционные свойства тела. Понятие массы и тела.

контрольная работа [662,8 K], добавлен 01.11.2013

Вычисление скорости, ускорения, радиуса кривизны траектории по уравнениям движения точки. Расчет передаточных чисел передач, угловых скоростей и ускорений звеньев вала электродвигателя. Кинематический анализ внецентренного кривошипно-ползунного механизма.

Настоящий реферат посвящен динамике тел переменных масс. В реферате описан вывод обобщенного уравнения Мещерского, приведены его частные случаи. Рассмотренынекоторыеклассическиезадачидинамикиточкипеременноймассы.

Abstract

This abstract is dedicated to the dynamics of bodies with variable mass. The abstract describes the derivation of the Meshchersky generalized equation, also its particular cases are given. Some classical problems of dynamics of a point of variable mass are considered.

Введение

В некоторых задачах механики предпочтительнее рассматривать не движение системы материальных точек, а движение некоторого объекта, ограниченного замкнутой поверхностью, через которую движется поток материальных частиц. К такому типу относятся задачи, связанные с движением жидкостей, расчетом двигательных установок различных аппаратов (в частности, ракетных двигателей) а также задачи, связанные с движением ракет, при котором двигатель выбрасывает поток газа. Нас, естественно, интересует движение корпуса ракеты, а не центра масс

Примеров движущихся тел, масса которых заметно изменяется в процессе движения, множество как в различных областях производства (вращающееся веретено, на которое навивается нить; рулон газетной бумаги, разматывающийся на валу печатной машины и т. п.), так и в природе (изменение массы ядра кометы,возрастание массы Земли вследствие падения на ее поверхность метеоритов, таяние плавающей льдины и др.).

Следует отметить, что в теоретической механике переменность массы понимается не в смысле ее возникновения или исчезновения, а в смысле присоединения или отделения либо совместного ‚присоединения и отделения частиц. Предметом дальнейшего рассмотрения будет система частиц с постояннымимассами, состав которой изменяется: некоторое количество частиц покидает рассматриваемую систему, новые частицы к нейприсоединяются.

Хотя изменение массы мы наблюдаем лишь в случае тел конечных размеров, тем не менее, в динамике тел с переменноймассой (переменным составом), введение понятия материальной

точки переменной массыупрощает и облегчает изложение материала. Точку можно определить как множество частиц (спостоянной массой), которые в момент времени 1 находятся внутри области, ограниченной некоторой контрольной поверхностью,причем предполагается, что эта область движется поступательно(вместе с некоторой своей геометрической точкой). Переходом кпределу при стремлении к нулю объема области, ограниченной контрольной поверхностью, придем к понятию, аналогичномупонятию материальной точки постоянной массы. Таким образом,точка переменной массы - это геометрическая точка с некоторой конечной массой,изменяющейся в процессе движения.

Основное уравнение движения точки переменной массы было получено И. В. Мещерским в 1897 г. в его магистерской диссертации. В 1898 г. результаты диссертации были им обобщены на случай одновременного присоединения и отделения частиц. Позже эта теория получила окончательное выражение в его работе "Уравнение движения точки переменной массы в общем случае", которая была опубликована в первом номере журнала "Известия Санкт-Петербургского политехнического института" в 1904 году. Эти две работы составили "теоретический фундамент современной ракетодинамики.[2].

[7]. К середине ХХ века, когда реактивный принцип движения получил большое практическое значение, научные интересы А. А. Космодемьянского сосредоточились на специальном разделе классической механики - механике точки переменной массы. Он был одним из тех, кто создавал и разрабатывал основы нового для того времени раздела механики, востребованного практикой - теории движения ракет. Он назвал этот раздел ракетодинамикой.

Следует отметить, что в этих работах приведены основные результаты закрытых работ, выполнявшихся в интересах создания и развития ракетной техники, о чем свидетельствует перечень наград: в 1949 г. - Правительственная премия за теоретические работы по ракетодинамике; в 1953 г. - Государственная премия второй степени за выполнение специального задания Правительства; в 1956 и 1957 гг. ордена Ленина; в 1964 г. орден Трудового Красного Знамени.

Основной вклад А. А. Космодемьянского в науку - создание теории движения тел переменной массы, формулирование основных теорем ракетодинамики, вывод уравнений движения в обобщенных координатах и в канонической форме. Кроме того, были получены решения ряда частных задач.

Принципиальным допущением, позволяющим получитьдифференциальное уравнение движения точки переменной массы, является гипотезаблизкодействия (контактного взаимодействия), согласно которойчастицы изменяют количество движения точки только в моментих непосредственного контакта. Как только отделяющаяся частица получает относительную скорость по отношению к точке, еевоздействие на точку прекращается. Присоединяющаяся частицадо момента контакта с точкой не взаимодействует. Ввиду того, чтоскорости присоединяющихся или отделяющихся частиц в моментконтакта, вообще говоря, отличаются от скорости точки, она будет испытывать удары со стороны этих частиц. Для случая непрерывного изменения массы точки воздействие таких ударов нанее аналогично действию некоторых дополнительных сил, называемых реактивными.

Эта теория вызывает интерес не только у механиков, но и у математиков. К примеру, в работе А.В.Гохмана [5] рассматривается движение точки с переменной массой m(t) без воздействия внешних сил. Он доказывает, что всякому такому движению соответствует геодезическая в некотором четырехмерном пространстве, представляющем собой специальное реономное пространство с так называемой s-финслеровой связностью.[5]

Обобщенное уравнение Мещерского[1,3,6]

Рассмотрим случаи, для которых процесс изменения массы происходит непрерывно. При скачкообразном изменении массы соответствующие задачи решаются путем применения общих теорем динамики тел постоянной массы, а также методами теории удара.

Воспользуемся теоремой об изменении количества движения механической системы. Для этого рассмотрим механическую систему, состоящую из частиц постоянной массы, которые в момент времени t составляютматериальную точку М,с массой точки М, скоростью 12v´> , и за время ∆t присоединятся к материальной точке М,с массами 12Вµ1(1)´> . 12ВµN1(1)´>, и скоростями в момент времени t- 12v1(1)´>. 12vN1(1)´>. 12Вµ1(2)´>. 12ВµN2(2)´>- массы техчастиц, которые за время ∆t отделятся от точки М, а 12v2(2)´> . 12vN2(2)´>- их абсолютные скорости в момент времениt + ∆t . Введем обозначения

Запишем количество движения этой механической системы в моменты времени t и t + ∆t. Получим:

Учитывая, что, получим

Теорему об изменении количества движения системыс учетом (3) запишем в виде

Так как при ∆t -› 0,∆m₁, и ∆m₂ также будут стремиться к нулю,то в уравнении (4) 12F´> является равнодействующей сил, приложенных к точке М .

Уравнение (4) называется обобщенным уравнением Мещерского. Обозначим

12u1´> = 12v1´>- 12v´> , 12u2´> = 12v2´>- 12v´> , обобщенное уравнение Мещерского примет вид

Обозначим 12P1´> = 12u1dm1dt´>, 12P2´> = - 12u2dm2dt´>, и запишем обобщенное уравнение Мещерского (5) в следующейформе:

Сила 12P´> называется реактивной и представляет собой геометрическую сумму реактивных сил обусловленных присоединением 12P1´> и отделением 12P2´> частиц.

Уравнение Мещерского является частным случаем второго закона Ньютона:

для случая, когда масса непостоянна.

Частные случаи уравнения Мещерского[1,3]

1. Имеет место лишь процесс отделения масс. Тогда

и уравнения (4), (5) примут вид

2. Происходит лишь присоединение частиц. Тогда 12m2´> ≡ 0, 12dMdt´>= 12dm1dt´>

и обобщенное уравнение Мещерского можнопредставить в следующих формах:

Реактивные силы при этом будут

3. Абсолютные скорости частиц в момент присоединения и отделения равны нулю, т. е. 12v1´>= 12v2´>= 0 , либо, если происходит только присоединение или только отделение частиц, то соответственно 12v1´>= 0 или 12v2´>= 0. В этом случае обобщенное уравнение Мещерского принимает вид

а реактивная сила

4. Относительные скорости частиц в моменты присоединения и отделения равны нулю, т. е. 12u1´>= 12u2´>= 0, либо, если происходит только присоединение или только отделение, то соответственно 12u1´>= 0 или 12u2´>= 0.В этом случае обобщенное уравнение Мещерского имеет вид

а реактивная сила

5. Одновременно происходит присоединение и отделение частиц при равных скоростях центров масс присоединяющихся и отделяющихся частиц, т. е. 12v1´> = 12v2´>= 12v0´> (при этом 12u1´> = = 12u2´>= 12u0´>). Обобщенное уравнение Мещерского в этом случае можно представить в следующих формах:

а реактивная сила

6. Пусть масса присоединившихся частиц за любой промежуток времени равна массе отделившихся частиц. В этом случае 12m1´> = 12m2´>, M =const и обобщенное уравнение Мещерского примет одну из следующих форм:

Реактивные силы при этом определяются выражениями

Некоторые классические задачи динамики точки переменной массы

Задача Кейли (о движении опускающейся тяжелой цепи)[2]

Пусть с горизонтальной подставки опускается вниз тяжелаяцепь, элементы которой непрерывно присоединяются к движущейся части цепи. Оставшаяся часть цепи находится в состояниипокоя у края подставки. Предполагая, что цепь движется по вертикальной прямой, исследовать процесс падения цепи с подставки, пренебрегая силами сопротивления.

Пусть х - длина, а m -масса свешивающейся и движущейся части цепи. Эта масса непрерывно увеличивается за счет присоединения элементов dm части цепи, лежащей на подставке. При этом скорость присоединяющихсяэлементов возрастает в момент присоединения от нуля до скорости движущейся части. Таким образом, при решении данной задачи можно воспользоваться уравнением

Обозначим через γ вес единицы длины цепи. Тогдаm = γx/g, v = 12x´>и уравнение (6) будет иметь вид

Так как 12dfdt´> = 12dfdxdxdt´> = 12xdfdx´>,то уравнение (7) можно представить следующим образом:

Умножив уравнение (8) на х, запишем полученное уравнение в виде

Начальные условия выбираем следующие:

Из формул (9) и (10) находим С= 0.Получим

Продифференцировав (11) по t, найдем

Интегрируя уравнение (12) с начальными условиями (10) окончательно получаем

Решение (13) не является единственным: начальным условиям (10) и дифференциальному уравнению (7) можно удовлетворить, полагая x ≡ 0. Если считать, что в момент t= 0 точка А не имеет ускорения (см. рис. 1), то цепь будет оставаться в покое; если же точка А имеет ускорение (с подставки свешивается бесконечно малый элемент цепи), то цепь придет в движение.

Первая задача Циолковского (о движении ракеты вне силового поля)[2,4]

Пусть точка движется в безвоздушном пространстве вне силового поля, причем имеет место лишь один процесс отделения частиц. Движение такой точки моделирует движение ракеты вкосмическом пространстве, если пренебречь внутренним движением частиц, силами сопротивления космической среды, гравитационным притяжением, силами светового давления и т. п.

Тогда 12F´> = 0 и из частного случая уравнения Мещерского, в котором имеет место лишь процесс отделения масс, получим векторное уравнение движения ракеты

где относительная скорость отделения продуктов сгорания топлива.

Полагая, что постоянна по величине и направлена противоположно скорости 12v´> ракеты, найдем скорость и закон движения ракеты.

Направим ось Ох вдоль вектора скорости ракеты (рис. 2). В проекции на ось Ох уравнение (14) с учетом, что

Разделяя в (15) переменные и интегрируя, находим где 12v0´>- начальная скорость ракеты; 12M0´>- масса ракеты в начальный момент времени.

Так как масса корпуса ракеты со всем оборудованием и полезным грузом; 12MС‚´>- масса топлива в начальный момент времени, из формулы (16) легко найти предельную скорость, которую получит ракета, когда будет израсходовано все топливо:

Выражение (17) это известная формула К. Э. Циолковского, опубликованная в его работе 1903 г. Из нее следует, что предельная скорость 12vРє´> ракеты зависит только от относительного запаса топлива и относительной скорости истечения продуктов его сгорания.От закона изменения массы ракеты (режима работы двигателя) предельная скорость ракеты не зависит.Если задано отношение 12MС‚MРє´> = Z где Z - число Циолковского, то предельная скорость 12vРє= v0´> + 12urln(1+Z)´> будет вполне определенной независимо от того, быстро или медленно происходило сгорание топлива.

Путь, пройденный ракетой на активном участке траектории (соответствующий этапу сгорания топлива), зависит от закона сгорания топлива.Полагая приt = 0 x = 0, из уравнения (16) получаем

В теоретических работах по ракетодинамике обычно рассматривают два закона изменения массы: экспоненциальный

где β = const, и линейный

где = const ˃ 0; α = const ˃ 0.

Из формул (21.25), (21.26) найдем время Т сгорания топлива.

Для экспоненциального закона имеем

Интегрируя (18) при экспоненциальном законе изменения массы (19), получаем закон движения ракеты

Если же сгорание топлива происходит по линейному закону то, согласно (18) и (20),

Отметим, что при линейном законе изменения массы (20) ее расход

и реактивная сила

При экспоненциальном законе изменения массы (19) расход массы и реактивная сила переменны (изменяются по экспоненте), но ускорение, вызванное действием на ракету одной лишь реактивной силы, постоянно, т. е.

Начнем с хорошо известной ситуации. Пусть тело можно считать материальной точкой (например, можно пренебречь его структурой и размерами или вести речь только о центре масс тела) либо все части протяженного тела имеют одну и ту же скорость v. Тогда 2-й закон Ньютона, в теоретической механике чаще говорят - уравнения движения, для такого тела имеет вид:
где m - неизменная масса тела, F - действующая на тело внешняя сила. В общем случае протяженных тел отдельные части тела движутся каждая со своей скоростью, и описание движения всех частей с учетом их взаимодействия резко усложняется.

Вложенные файлы: 1 файл

Движение тел переменной массы

где m - неизменная масса тела, F - действующая на тело внешняя сила. В общем случае протяженных тел отдельные части тела движутся каждая со своей скоростью, и описание движения всех частей с учетом их взаимодействия резко усложняется.

2-й закон Ньютона для тел переменной массы имеет вид:

где F - суммарная внешняя сила, которая действует в данный момент времени как на тело (переменной массы m), так и на его отделяющиеся или добавляющиеся части (массы -dm или dm соответственно). Эту тонкость надо постоянно иметь в виду. Может случиться, что вся внешняя сила или конечная ее составляющая приложена именно к этим частям: под действием конечной внешней силы (бесконечно) малая масса (-dm или dm) за (бесконечно) малый промежуток времени t ¸ t + dt меняет свою скорость на конечную величину, от v до v' или от v' до v, испытывая (бесконечно) большое ускорение. Именно этот случай реализуется в приводимых ниже задачах. Конечно, может случиться, что изменение скорости отделяющихся или добавляющихся частей обеспечивается внутренними силами. Так обстоит дело, например, в случае космической ракеты или снежной лавины.

2-й закон Ньютона для тел переменной массы можно переписать в эквивалентной форме (особенно удобной во втором случае):

Отличие от привычного случая постоянной массы состоит в том, что m = m(t) является теперь известной функцией времени, а к внешней силе F добавляется реактивная сила

Дадим вывод 2-го закона Ньютона для тел переменной массы (при первом чтении этот абзац можно пропустить). Он следует из 2-го закона Ньютона для любой, в том числе составной системы, в следующей общей форме:

т.е. приращение dp полного импульса p системы за интервал времени t ¸ t + dt равно импульсу Fdt действующей на систему внешней силы F. Системой в рассматриваемом интервале времени t ¸ t + dt является тело переменной массы вместе с отделяющимися или добавляющимися частями. В любом случае ( >0 или 0, 0 ). Раскрывая правую часть

dp = mdv - dm (v' - v) + dmdv = mdv - dmu + dmdv

и приравнивая ее Fdt, имеем:

Деля обе части последнего равенства на dt, переходя к переделу dt ® 0 и отбрасывая стремящееся к нулю слагаемое получаем окончательно:

Переменная масса – это масса тела, которая может меняться при медленных движениях из-за частичных приобретений или потерь составляющего вещества.

Уравнение движения материальной точки с переменной массой

Чтобы записать уравнение движения для тела с такой массой, возьмем для примера движение ракеты. В основе ее перемещений лежит очень простой принцип: она движется за счет выброса вещества с большой скоростью, а также сильного воздействия, оказываемого на это вещество. В свою очередь выбрасываемые газы также оказывают воздействие на ракету, придавая ей ускорение в противоположном направлении. Кроме того, ракета находится под действием внешних сил, таких, как гравитация Солнца и других планет, земная тяжесть, сопротивление среды, в которой она совершает движение.

Обозначим массу ракеты в какой-либо момент времени t как m ( t ) , а ее скорость как v ( t ) . То количество движения, которая она при этом совершает, будет равно m v . После того, как пройдет время d t , обе эти величины получат приращение (соответственно d m и d v , причем значение d m будет меньше 0 ). Тогда количество движения, совершаемого ракетой, станет равно:

( m + d m ) ( v + d v ) .

Нам необходимо учитывать тот момент, что за время d t также происходит движение газов. Это количество тоже нужно добавить в формулу. Оно будет равно d m г а з v г а з . Первый показатель означает массу газов, которые образуются за указанное время, а второй – их скорость.

Теперь нам нужно найти разность между суммарным количеством движения за время t + d t и количеством движения системы во время t . Так мы найдем приращение данной величины за время d t , которое будет равно F d t (буквой F обозначена геометрическая сумма всех тех внешних сил, которые действуют в это время на ракету).

В итоге мы можем записать следующее:

( m + d m ) ( v + d v ) + d m г а з + v г а з - m v = F d t .

Поскольку нам важны именно предельные значения d m d t , d v d t и их производные, приравняем эти показатели к нулю. Значит, после раскрытия скобок произведение d m · d v может быть отброшено. С учетом сохранения массы получим:

d m + d m г а з = 0 .

Теперь исключим массу газов d m г а з и получим скорость, с которой газы будут покидать ракету (скорость струи вещества), выражающаяся разностью v о т н = v г а з - v . Учитывая эти преобразования, можно переписать исходное уравнение в следующем виде:

d m v = v о т н d m + F d t .

Теперь разделим его на d t и получим:

m d v d t = v о т н d m d t + F .

Уравнение Мещерского

Форма полученного уравнения точно такая же, как у уравнения, выражающего второй закон Ньютона. Но, если там мы имеем дело с постоянной массой тела, то здесь из-за потери вещества она постепенно меняется. К тому же помимо внешней силы нужно учитывать так называемую реактивную силу. В примере с ракетой это будет сила выходящей из нее газовой струи.

Уравнение m d v d t = v о т н d m d t + F впервые вывел русский механик И.В. Мещерский, поэтому оно получило его имя. Также его называют уравнением движения тела с переменной массой.

Формула Циолковского

Попробуем исключить из уравнения движения ракеты внешние силы, воздействующие на нее. Предположим, что движение ракеты прямолинейно, а направление противоположно скорости газовой струи v о т н . Будем считать направление полета положительным, тогда проекция вектора v о т н является отрицательной. Она будет равна - v о т н . Переведем предыдущее уравнение в скалярную форму:

m d v = v о т н d m .

Тогда равенство примет вид:

d v d m = - v о т н m .

Газовая струя может выходить во время полета с переменной скоростью. Проще всего, разумеется, принять ее в качестве константы. Такой случай наиболее важен для нас, поскольку так уравнение решить намного проще.

Исходя из начальных условий, определим, какое значение приобретет постоянная интегрирования С. Допустим, что в начале пути скорость ракеты будет равна 0 , а масса m 0 . Следовательно, из предыдущего уравнения можем вывести:

C = v о т н ln m 0 m .

Тогда мы получим соотношения следующего вида:

v = v о т н ln m 0 m или m 0 m = e v v о т н .

Это соотношение и является формулой Циолковского.

Она предназначена для расчета запаса топлива, с помощью которого ракета может набрать необходимую скорость. При этом время сгорания топлива не обусловливает величину максимальной скорости ракеты. Чтобы разогнаться до предела, нужно увеличить скорость истечения газов. Для достижения первой космической скорости следует изменить конструкцию ракеты. Она должна быть многоступенчатой, поскольку необходимо меньшее соотношение между требуемой массой топлива и массой ракеты.

Разберем несколько примеров применения данных построений на практике.

Условие: у нас есть космический корабль, скорость которого постоянна. Для изменения направления полета в ней нужно включить двигатель, который выбрасывает газовую струю со скоростью v о т н . Направление выброса перпендикулярно траектории корабля. Определите угол изменения вектора скорости при начальной массе корабля m 0 и конечной m .

Решение

Ускорение по абсолютной величине будет равно a = ω 2 r = ω v , причем v = c o n s t .

Значит, уравнение движения будет выглядеть так:

m d v d t = v о т н d m d t перейдет в m v ω d t = - v о т н d m .

Поскольку d a = ω d t является углом поворота за время d t , то после интеграции первоначального уравнения получим:

a = v о т н v ln m 0 m .

Ответ: искомый угол будет равен a = v о т н v ln m 0 m .

Условие: масса ракеты перед стартом равна 250 к г . Вычислите высоту, которую она наберет через 20 секунд после начала работы двигателя. Известно, что топливо расходуется со скоростью 4 к г / с , а скорость истечения газов постоянна и равна 1500 м / с . Поле тяготения Земли можно считать однородным.

Решение

Начнем с записи уравнения Мещерского. Оно будет иметь следующий вид:

m ∆ v 0 ∆ t = μ v о т н - m g .

Здесь m = m 0 - μ t и v 0 – скорость ракеты в заданный момент времени. Разделим переменные:

∆ v 0 = μ v о т н m 0 - μ t - g ∆ t .

Теперь решим полученное уравнение с учетом первоначальных условий:

v 0 = v о т н ln m 0 m 0 - μ t - g t .

С учетом того, что H 0 = 0 при t = 0 , у нас получится:

H = v о т н t - g t 2 2 + v о т н m 0 μ 1 - μ t m 0 ln 1 - μ t m 0 .

Добавим заданные значения и найдем ответ:

H = v о т н t - g t 2 2 + v о т н m 0 μ 1 - μ t m 0 ln 1 - μ t m 0 = 3177 , 5 м .

Ответ: через 20 секунд высота ракеты будет составлять 3177 , 5 м .

Читайте также: