Доклад решето эратосфена 6 класс математика

Обновлено: 16.05.2024

Эратосфен ( ок. 276-194 до н. э.) - греческий писатель и ученый. Эратосфен родился в Африке, в Кирене. Учился сначала в Александрии, а затем в Афинах.

Он руководил Александрийской библиотекой и был воспитателем наследника престола. Эратосфен был очень образованным и разносторонним человеком, он занимался филологией, хронологией, математикой, астрономией, географией, сам писал стихи. Эратосфен заложил основы математической географии, вычислив с большой точностью величину земного шара.

Описание способа “Решето Эратосфена”

Сначала выписываем все натуральные числа от 2 до заданного числа, например до 120. Наименьшее из них 2 – простое. Остальные числа кратные двум (четные) вычёркиваются

На втором шаге вычёркиваем все числа кратные трем, кроме наименьшего из них, самого числа 3. Оно простое

Продолжаем по тому же правилу. Наименьшее из чисел, оставшихся после предыдущего шага, будет простым. А все другие кратные ему числа вычёркиваются.

Вычёркиваем числа кратные 5.

Вычёркиваем числа кратные 7.

Пользуясь решетом Эратосфена вычеркивание можно прекратить, как только мы дойдем до простого числа, которое больше чем √N (где N- последнее заданное число). К этому моменту все не вычеркнутые числа будут простыми.

В нашем случае при N=120, после того, как мы вычеркнули числа кратные 7, дальнейшее вычёркивание можно не производить.

Применяя метод Эратосфена, мы как бы отсеяли, пропустили через решето все составные числа и оставили только простые.

Так как во времена Эратосфена писали на восковых табличках и не вычеркивали, а "выкалывали" цифры, то табличка после описанного процесса напоминала решето. Именно поэтому метод Эратосфена для нахождения простых чисел получил название "решето Эратосфена".

Есть какая-то странность в этих простых числах. Вроде бы в Решете Эратосфена нет никаких случайностей и должна получаться точная и легко записываемая формулой последовательность. Но — как ни странно — ничего подобного: формулы нет! Сколько столетий уже искали — нет!

В это настолько не верится, что и сегодня начинают искать несуществующую формулу. Но эти поиски не заканчиваются успехом. Может быть, повезёт мне?

2. "Квант" №1, 1974 г

Техника описания ветвящихся алгоритмов и другие работы по алгоритмизации в программировании

. в интервале 2. N, известный как решето Эратосфена, состоит в следующем: 1.Выписываем . показывают, что алгоритм решета Эратосфена можно усовершенствовать, используя . заданная в виде массива. Алгоритм 4 (Решето Эратосфена). Program Eratosphen; Const N = 1000; .

Основы программирования на языке турбо паскаль

Язык программирования Паскаль, разработанный в 1970 г. профессором Швейцарской высшей политехнической школы Никлаусом Виртом специально для целей обучения студентов, быстро завоевал широкую популярность благодаря своей простоте, логичности языковых .

Множественный тип данных. Множества

. мы это сделаем, известен как "Решето Эратосфена". Суть этого метода в следующем: . простых чисел и Grating - множество, называемое решетом. Алгоритм начинает работу с Prime = . Grating) do решете> Min := Min + 1; Prime := Prime .

Множества в программировании на языке Pascal

1. Изучить теорию по теме проекта.

2. Найти простые числа, больше числа 1000 (до 1100)

3. Изготовить материальную модель решета Эратосфена.

Предмет исследования: таблица простых чисел

Методы исследования:

1. Работа с литературой, ресурсами сети Интернет

2. Эксперименты с простыми числами

Этапы проекта:

Простые и составные числа

Простое число - это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, больше единицы, разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел.

Простое число – это натуральное число, которое не имеет других делителей кроме 1 и самого себя. (Пример: число 11 = 1 * 11)

Количество простых чисел уходит в бесконечность, но поиск закономерности появления простых чисел является самой большой загадкой математики. Приз в миллион долларов обещан тому, кто сможет раскрыть тайну этих чисел.

За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF назначила денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США.

Составное число – это натуральное число, у которого есть делители, отличные от 1 и самого себя. (Пример: число 6 = 3*2)

Всякое составное число можно разложить на простые множители. (Например: 55 = 5*11)
Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому оно не относится ни к простым, ни к составным числам.

Эратосфен - греческий математик

В 245 году до н.э. царь Птолемей III Эвергет пригласил Эратосфена приехать из Афин чтобы работать в Александрийской библиотеке, где уже трудились его учитель Каллимах и Аполлоний Родосский. Эратосфен откликнулся на приглашение, в возрасте около тридцати лет он приехал в Александрию, где и остался до самой смерти. Через пять лет после приезда он сменил Аполлония Родосского на посту главы Александрийской библиотеки. Как глава библиотеки, Эратосфен занимался обучением детей монарха. В старости у Эратосфена воспалились глаза , что в дальнейшем привело к слепоте. Невозможность читать и наблюдать за природой сильно угнетала его и в 194 год до н. э. он принял решение уморить себя голодом.

Эратосфен работал во многих областях науки: филология, грамматика, история, литература, математика, хронология, астрономия, география и музыка.

Свои знания Эратосфен изложил в многочисленных научных сочинениях и исследовательских работах.

Для отыскания простых чисел Эратосфен придумал такой способ. Он записал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычеркнул единицу, которая не является ни простым, ни составным числом. Затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 - числа, кратные 2: 4,6,8, . Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались все числа кратные 3: 6,9,12, . В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

1. Из ряда чисел: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 и т. д вычёркиваем числа кратные 2.

2. Затем, вычёркиваем числа кратные 3.

3. Вычёркиваем числа кратные 4.

4. Вычёркиваем числа кратные 5.

5. Вычёркиваем числа кратные 6 .

В Научно-исследовательской лаборатории Лос-Аламоса были получены все простые числа до 100 000 000.

Математика нужна каждому и везде. Без математики ничего не обходится. Математика – наука прошлого, настоящего, будущего. Не каждый может стать математиком, но математика в жизни нужна каждому!

Список источников информации

Математика 6 класс, А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.

издательство: Вентана-Граф, 2018 г.

Приложение 1

Рис.1. Начертил сетку, в каждой клетке записал натуральные числа от 1001 до 1100

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА И РЕШЕТО ЭРАТОСФЕНА

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Работу начали с анкетирования учащихся 6 – 10 классов нашей школы, чтобы выяснить знают ли они:

1. Что такое решето?

2. Какие числа называются простыми?

3. Кто такой Эратосфен?

В опросе приняли участие 90 человек. Результаты оказались следующими (Приложение 2).

Гипотеза: Действительно ли мы можем найти простое число больше 997.

Задачи:

1.Изучить имеющуюся литературу по теме проекта.

2.Провести опрос по теме проекта.

3.Найти простые числа, больше числа 997.

4.Изготовить материальную модель решета Эратосфена.

Предмет исследования: таблица простых чисел

Методы исследования:

1.Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.

3. Опыты и эксперименты с простыми числами

Этапы проекта:

2. Основная часть

2.1. Краткое описание используемых понятий

Решето – это утварь для просеивания муки, состоящая из широкого обруча и натянутой на него с одной стороны сетки. Решето отличается от сита более крупным размером отверстий сетки. (Толковый словарь Ушакова)

Решето -1) Предмет обихода широкий обруч с натянутой на него частой сеткой для просеивания чего-нибудь

2) Просеивающее устройство. (Толковый словарь Ожегова)

Решето – всякая несплошная вещь со сквозниной, с промежками, пролётами; ряд установленных жёрдочек, шестиков…переплетённых вдоль и поперёк, или иным образом.(Толковый словарь Даля)

Простое число – это натуральное число, которое не имеет других делителей кроме 1 и самого себя. (Пример: число 19 = 1 * 19)

Составное число – это натуральное число, у которого есть делители,отличные от 1 и самого себя. (Пример: число 10 = 5*2)

Всякое составное число можно разложить на простые множители.(Например: 63=3*3*7 или 363= 3*11*11)

Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому оно не относит ни к простым, ни к составным числам.

В 1909 году американский математик Деррик Норман Лемер опубликовал таблицы простых чисел в промежутке от 1 до 10.017.000. Книга таблиц имеется в Российской государственной библиотеке в Москве.

2.2. Биография Эратосфена

Вопросом изучения простых чисел, закономерности их появления и поиском самого большого простого числа математики занимаются очень давно. Первые сведения о простых числах, встречаются в трудах древне – греческого математика Эратосфена Киренского (276г.до н.э-194г. до н.э).

Эратосфен родился в Африке, в Кирене. Учился сначала в Александрии, а затем в Афинах. Вероятно, именно благодаря столь широкому образованию и разнообразию интересов Эратосфен получил от Птолемея III приглашение вернуться в Александрию, чтобы стать воспитателем наследника престола и возглавить Александрийскую библиотеку (одну из первых библиотек в мире). В знаменитой библиотеке хранилось более 700 000 свитков, которые содержали все сведения о мире, известные людям той эпохи. Эратосфен принял это предложение и занимал должность библиотекаря вплоть до своей кончины. При содействии своих помощников Эратосфен первым рассортировал свитки по темам. Он дожил до глубокой старости, а когда ослеп, то перестал есть и умер от голода. Он не представлял себе жизни без возможности работать со своими любимыми книгами.

Его научные таланты удостоились высокой оценки современника Эратосфена, Архимеда, который посвятил ему свою книгу Эфодик (т.е. Метод)

Эратосфен предложил способ нахождения простых чисел, который можно описать в виде следующего алгоритма.

1.Из ряда чисел: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 и т. д вычёркиваем числа кратные 2.

2.Затем, вычёркиваем числа кратные 3.

3.Вычёркиваем числа кратные 4.

4.Вычёркиваем числа кратные 5.

5.Вычёркиваем числа кратные 6 .

Пример

Запишем натуральные числа, начиная от 2 до 20 в ряд.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Первое число в списке 2 — простое. Пройдём по ряду чисел, вычёркивая все числа кратные 2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Следующее не вычеркнутое число 3 — простое. Пройдём по ряду чисел, вычёркивая все числа кратные 3

2 3 5 6 7 9 11 12 13 15 17 19

Процесс окончен. Все незачеркнутые числа последовательности являются простыми.

2.4. Практическая часть проекта: изготовление решета Эратосфена

Заключение

Следовательно – наша цель достигнута, проблема решена. Разработанные нами материалы могут использоваться на уроках математики.

Список использованной литературы

Интернет – ресурсы( Википедия)

В данном проекте вы можете узнать информацию о числах, входящих в "Решето Эратосфена" и практически выполнить изготовление модели решета с простыми числами.

Полное наименование образовательного учреждения

МБОУ им.Героя Советского Союза В.И.Аулова с.Первомайское

Лев-Толстовского муниципального района Липецкой области

Решето Эратосфена

Фамилия, имя, отчество обучающегося

Толстушенко Виктор Сергеевич

Ученик 6 класса

Фамилия, имя, отчество руководителя

Шуваева Светлана Борисовна

Учитель математики

II. Основная часть

2.1. Анкетирование учащихся 6-9 классов……………………………………………………………4

2.3. Значение слова РЕШЕТО в Толковых словарях………………………………………………. 4

2.4.Краткое описание основных используемых понятий (простые и составные числа)…………..4

III. Практическая часть проекта: изготовление решета Эратосфена………………………………..6

V.Список используемой литературы и интернет- ресурсов………………………………. 8

VI. Приложение 1 Простые числа от 2 до 997…………………………………………..…………. 9.

Приложение 2 Простые числа от 2 до 2803…………………………………..……. 10

Приложение 3 Работы и сочинения Эратосфена в математике, астрономии,

Изучить сопутствующую теорию и историческое развитие данной темы.

Выяснить существует математическая формула для их отыскания.

Исследовать современное состояние изучаемого вопроса.

Гипотеза: можно ли найти формулу для расчёта простых чисел.

II. Основная часть

2.1 Анкетирование учащихся 6-9 классов

2.2. Биография Эратосфена

2.3. Значение слова РЕШЕТО в Толковых словарях

Я рассмотрел значение слова решето в толковых словарях Ефремовой, Ушакова, Ожегова, и в большом энциклопедическом словаре. Значение слова РЕШЕТО в Толковом словаре Ефремовой решето- это предмет хозяйственной утвари в виде широкого деревянного обода с натянутой на одну сторону крупной сеткой. В толковом словаре Ушаковой решето- это утварь для просеивания муки. В толковом словаре Ожегова решето - обруч с натянутой на него частой мелкой сеткой для процеживания, просеивания. В большом энциклопедическом словаре решето – это устройство для разделения сыпучих масс по размеру частиц просеиванием через сетки. Различают сита плоские (вибрационные, качающиеся) и барабанные (вращающиеся).

2.4. Краткое описание основных используемых понятий (простые и составные числа)

В зависимости от того, сколько делителей имеет число, числа делятся на простые и составные. Знание наизусть простых чисел или проверка их по таблице используется для сокращения дробей, нахождения наибольшего общего кратного и наименьшего общего знаменателя и в других вычислениях. Простое число — это число, у которого только два делителя: 1 и само число. Например: 13,17,19 и другие.

Все простые числа сведены в таблицу простых чисел, из которой желательно знать наизусть однозначные и двузначные простые числа, что упростит вычисления по многим темам школьной программы.

Составные числа кратны трем и более натуральным числам. Натуральное число, имеющее натуральный делитель, отличный от него самого и 1, называется составным числом.Например:6,8,12 и другие. Среди простых чисел встречаются числа-близнецы. Числа- близнецы это простые числа, отличающиеся на 2, например 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13…

В Научно-исследовательской лаборатории Лос-Аламоса были получены все простые числа до

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 — не простое число, вычеркивается.

2 — подчеркиваем. Находим числа, кратные 2, и вычеркиваем их (4, 6. 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).

3 — подчеркиваем. Вычеркиваем в поле все числа, которые кратны 3 (9, 15).

5 — подчеркиваем. Числа, кратные 5, уже вычеркнуты с поля (10,15.20).

7 — подчеркиваем. Число, кратное 7, уже вычеркнуто с поля (14).

Числа 11.13,17 и 19 в нашем поле не имеют кратных чисел, подчеркиваем их.

Следовательно, из чисел первых двух десятков простыми будут числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13. 17, 19.

2.6. Формула простого числа

Леонард Эйлер указал формулу: p = x * x – x + 41, позволяющую вычислять сорок одно простое число, если х = 0, 1, 2… 40. Но по этой формуле нельзя определить все простые числа, а всего лишь 41 число. Пьер Ферма высказал предположение, что все числа вида 2 m +1, где m=2 n , простые.
И в самом деле первые 4 числа (n=1,2,3,4)
2 2 +1=5, 2 4 +1=17, 2 8 +1=257, 2 16 +1=65537
простые, но пятое число 2 32 +14294967297 - составное.

1) 0 х 0 - 0 + 41 = 41.

2) 5 х 5 – 5 + 41 = 61.

3) 20 х 20 – 20 + 41 = 421.

4) 3 х 3 – 3 + 41 = 47.

5) 40 х 40 – 40 = 1601

Марен Марсен заинтересовался числами вида 2 p -1, где p простое число.
При p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 мы получим простые числа: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287. Но М₁₁= 2047 = 23*89 - составное. Составными будут и числа М₂₃ и М₂₉
Леонарду Эйлеру удалось доказать, что простым является число М₃₁ = 2147 483 647.
В 1883 г.

Иван Михеевич Первушин сумел доказать, что простым является
М₆₁=2 305 843 002 913 693 951. В наше время при помощи ЭВМ найдено еще несколько простых чисел этого вида. Одно из последних - 2 216091 – 1 . Но и сейчас никто не знает формул, по которым можно было бы вычислить все новые простые числа. Их поиск напоминает поиск новых звезд на ночном небе, при этом роль телескопов исполняют самые мощные и совершенные из всех современных ЭВМ.

Ш. Практическая часть проекта: изготовление решета Эратосфена

Для изготовления модели решета Эратосфена я взял кусок фанеры размером 40*40 сантиметров квадратных. Расчертил 100 клеток шириной по 4 сантиметра. Выписал все целые числа от 1 до 100 в виде прямоугольной таблицы. Вычеркнул все числа, кратные 2 (за исключением самой 2), проведя вертикальные черты во втором, четвертом и шестом столбцах. Вычеркнул все числа, кратные 3, (за исключением самой 3), проведя вертикальную черту в третьем столбце. Следующее за 3 не вычеркнутое число 5. Чтобы вычеркнуть все числа, кратные 5, провёл диагонали, идущие вниз и влево. Чтобы вычеркнуть все числа, кратные 7, провёл диагонали, идущие с наклоном вправо и вниз. Числа 8,9 и 10 – составные, их кратные уже были вычеркнуты раньше. Моя работа по составлению списка простых чисел, не превосходящих 100, на этом закончилась. В вычеркнутых числах я сделал на уроке технологии отверстия, а оставшиеся простые числа с помощью прибора для выжигания обвёл, чтобы их было отчетливо видно, и покрыл простые числа лаком. Данную модель я изготовил своими руками.

IV. Заключение.

Решето Эратосфена работает, как вычислительная машина. Так, значит, Эратосфен изобрел счётную машину. А ведь для простых чисел не существует даже формулы, по которой их можно вычислить все. Формулы нет, а Решето есть. И создав модель Решета Эратосфена, я построил таблицу простых чисел от 2 до 97. Есть какая-то странность в этих простых числах. Вроде бы в Решете Эратосфена нет никаких случайностей и должна получаться точная и легко записываемая формулой последовательность. Но как, ни странно: формулы нет! Моя гипотеза о том, можно ли найти формулу для расчёта простых чисел оказалась не полностью осуществимой. Сколько столетий уже искали, но никто не может создать. В это настолько не верится, что и сегодня современные математики начинают искать несуществующую формулу. Но эти поиски не заканчиваются успехом. Может я со временем смогу вывести эту формулу и мне повезёт?

V.Список литературы и интернет-ресурсы:

3.Толковый словарь Ефремовой, 2012 г

4. Толковый словарь Ушакова, 2012 г

5.Толковый словарь Ожегова, 2012 г

6. "Квант" №1, 1974 г

Работы и сочинения Эратосфена

Работы по математике

Работы по астрономии

Для своих астрономических наблюдений Эратосфен установил под портиком здания Мусейона большие армиллярные сферы.

Эратосфен определил угловое расстояние от экватора до тропика: он нашёл его равным 11/83 от 180°.

Работы по геодезии и географии

Измерение Земли по Эратосфену

Эратосфен говорит, что Сиена и Александрия лежат на одном меридиане. И поскольку меридианы в космосе являются большими кругами, такими же большими кругами обязательно будут и меридианы на Земле. И поскольку таков солнечный круг между Сиеной и Александрией, то и путь между ними на Земле с необходимостью идёт по большому кругу. Теперь он говорит, что Сиена лежит на круге летнего тропика. И если бы летнее солнцестояние в созвездии Рака происходило ровно в полдень, то солнечные часы в этот момент времени с необходимостью не отбрасывали бы тени, поскольку Солнце находилось бы точно в зените; дела и в самом деле обстоят таким образом в [полосе шириной] в 300 стадиев. А в Александрии в этот же час солнечные часы отбрасывают тень, поскольку этот город лежит к северу от Сиены. Эти города лежат на одном меридиане и на большом круге. На солнечных часах в Александрии проведём дугу, проходящую через конец тени гномона и основание гномона, и этот отрезок дуги произведёт большой круг на чаше, поскольку чаша солнечных часов расположена на большом круге. Далее, вообразим две прямые, опускающиеся под Землю от каждого гномона и встречающиеся в центре Земли. Солнечные часы в Сиене находятся отвесно под Солнцем, и воображаемая прямая проходит от Солнца через вершину гномона солнечных часов, производя одну прямую от Солнца до центра Земли. Вообразим ещё одну прямую, проведённую от конца тени гномона через вершину гномона к Солнцу на чаше в Александрии; и она будет параллельна уже названной прямой, поскольку уже сказано, что прямые от разных частей Солнца к разным частям Земли параллельны. Прямая, проведённая от центра Земли к гномону в Александрии, образует с этими параллельными равные накрестлежащие углы. Один из них — с вершиной в центре Земли, при встрече прямых, проведённых от солнечных часов к центру Земли, а другой — с вершиной на конце гномона в Александрии, при встрече с прямой, идущей от этого конца к концу его же тени от Солнца, там где эти прямые встречаются наверху. Первый угол опирается на дугу от конца тени гномона до его основания, а второй — на дугу с центром в центре Земли, проведённую от Сиены до Александрии. Эти дуги подобны между собой, поскольку на них опираются равные углы. И какое отношение имеет дуга на чаше к своему кругу, такое же отношение имеет и дуга от Сиены до Александрии [к своему кругу]. Но найдено, что на чаше она составляет пятидесятую часть своего круга. Поэтому и расстояние от Сиены до Александрии с необходимостью будет составлять пятидесятую часть большого круга Земли. Но оно равно 5 000 стадиев. Поэтому весь круг будет равен 250 000 стадиям. Таков метод Эратосфена.

Позднее полученное Эратосфеном число было увеличено до 252 000 стадиев. Определить, насколько эти оценки близки к реальности, трудно, поскольку неизвестно, каким именно стадием пользовался Эратосфен. Но если предположить, что речь идёт о греческом (178 метров), то его радиус земли равнялся 7 082 км, если египетским (157,5), то 6 287 км. Современные измерения дают для усреднённого радиуса Земли величину 6 371 км, что делает вышеописанный расчёт выдающимся достижением и первым достаточно точным расчётом размеров нашей планеты.

В сравнительно больших отрывках дошло до настоящего времени сочинение Эратосфена о географии. В полном своём составе оно делилось, по свидетельству Страбона, на три книги. В первой автор дал критический обзор истории географии, от первого появления географических понятий у Гомера до своих непосредственных предшественников, то есть до историков и географов, воспользовавшихся походами Александра Македонского и их описаниями. Вторая книга излагает основы географии по взглядам самого автора. Предмет третьей книги составляет суша.

Другие работы Эратосфена

Читайте также: