Доклад признаки делимости на 7 и на 11
Обновлено: 05.07.2024
Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях – не делится.
Примеры.
- 31 700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями;
- 215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4;
- 16 608 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся, на 4.
Признак делимости на 8
Признак делимости на 8 подобен предыдущему. Число делится на 8, если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях – не делится.
Примеры.
- 125000 делится на 8 (три нуля в конце);
- 170 004 не делится на 8 (три последние цифры дают число 4, не делящееся на 8);
- 111120 делится на 8 (три последние цифры дают число 120, делящееся на 8).
Можно указать подобные признаки и для деления на 16, 32, 64 и т. д., но они не имеют практического значения.
Признаки делимости на 3 и на 9.
На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 – только те, у которых сумма цифр делится на 9.
Примеры.
Признак делимости на 6.
Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае – не делится.
Например, 126 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.
Признаки делимости на 5.
На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие – не делятся.
Пример.
- 240 делится на 5 (последняя цифра 0);
- 554 не делится на 5 (последняя цифра 4).
Признак делимости на 25.
На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.
Признаки делимости на 10, 100 и 1000.
На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 – только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 – только те, у которых три
последние цифры нули.
Примеры.
- 8200 делится на 10 и на 100;
- 542000 делится на 10, 100, 1000.
Признак делимости на 11.
На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на
число, делящееся на 11.
Примеры.
Признак делимости на 7.
Таким образом для делимости на числа первого десятка, кроме 7, существуют удобные признаки; для 7 удобного признака делимости не найдено.
Можно дать следующий признак делимости на 7, который недостаточно удобен. Разобьем число справа налево на грани, по три цифры в каждой грани. Число делится на 7, если разность суммы чисел в гранях, стоящих на четных местах, и суммы чисел в гранях, стоящих на нечетных местах, делится на 7. Так, число 159 213 608 421 делится на 7, так как 421 + 213=634, 608 + 159 = 767 и разность 767 – 634 = 133 делится на 7.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Учитель: Агеева Наталья Сергеевна Класс: 6
Город Дубна, 2018 г.
Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.
Из истории математики о делимости чисел
Признак делимости Паскаля.
Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.
Например,: число 2814 делится на 7, так как делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).
Делители и кратные .
Если натуральное число а делится нацело на натуральное число b , то число а называют кратным числам b , а число b – делителем числа а .
Для любого натурального числа а каждое из чисел а*1, а*2, а*3, а*4, … является кратным числа а .
Простые и составные числа.
Натуральное число называют простым , если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число.
Например, число 5 – простое, т.к. делится на 1 и само на себя.
Натуральное число называют составным , если оно имеет больше двух натуральных делителей.
Например, число 55 – составное, т.к. имеет более двух делителей: 1; 5; 11; 55.
Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.
Делимость чисел обладает свойствами :
Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это же число.
Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.
Если уменьшаемое и вычитаемое делится на какое-нибудь число, то и разность разделится на это число.
Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое – делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это число.
Если хоть один из множителей делится на какое-нибудь число, то произведение их также разделится на это число.
Признаки делимости на 2
Чётное число – это число, которое делится на 2.
Нечётное число – не делится на 2.
Число делится на два, в том случае если его последняя цифра является чётной или нуль. Во всех остальных случаях – не делится.
Число 55 734 делится на 2, так как у него последняя цифра 4 которая является чётной.
Число 559 не делится на 2, так как цифра 9 находящаяся в конце нечетная.
Число 6750 делится на 2, так как цифра, которая находится в конце 0.
Признаки делимости на 3
Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3. Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.
Признаки делимости на 4
Число делится на 4, при условии, если две последние его цифры нули либо образуют число, которое делится на 4. В остальных случаях – не делится.
Число 52 600 делится на 4, так как в его окончании находятся два нуля.
Число 768 001 не делится на 4, так как крайние две цифры дают число 01, которое не делится на 4.
Число 67 144 делится на 4, так как две конечные цифры 4 и 4 дают число 8, которое делится на 4.
Признаки делимости на 5
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5. Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0 или 5, то это число не делится нацело на 5.
245 делится на 5, так как число оканчивается цифрой 5.
6740 делится на 5, так как число оканчивается цифрой 0.
657 не делится на 5, так число оканчивается цифрой 7.
Признаки делимости на 6
Число делится на 6, когда его можно разделить одновременно на 2 и на 3. В противном случае – не делится.
Число 306 может быть разделено на 6, в виду того, что оно делится и на 2 и на 3.
Признаки делимости на 7
Число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков этого числа делится на 7 или равен 0.
959 делится на 7, потому что 95-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 делится на 7 без остатка).
111 и 345 не делятся на 7, потому что 11-2*1=11-2=9 (9 не делится без остатка на 7) и 34-2*5=34-10=24 (24 не делится без остатка на 7).
Признаки делимости на 8
Число делится на 8 только тогда, когда число из трех последних цифр делится на 8.
56064 – 064 делится на 8, значит, 56064 кратно 8.
Признаки делимости на 9
Если сумма цифр числа делится нацело на 9 то и само число делится нацело на 9. Если сумма цифр числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.
6003 = 6+0+0+3 = 9, 9 делится на 9, значит, и само число делится на 9.
Признаки делимости на 10
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10. Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0, то это число не делится нацело на 10.
991186 0 – делится на 10.
Признаки делимости на 11
На 11 можно разделить только те числа, у которых сумма цифр, находящихся на нечётных местах, или равна сумме цифр, находящихся на чётных местах, либо отличны от нее на число, которое делится на 11.
103 785 можно разделить на 11, так как 1 + 3 + 8 = 12 и 0 + 7 + 5 = 12
461 025 не может разделено на 11, в виду того что числа 7 и 11 взаимно не равны, а их разность 4 на 11 не разделить. ( 11 – 7 = 4 ),( 4 + 1 + 2 = 7 ), ( 6 + 0 + 5 = 11).
Признаки делимости на 12
Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4.
504 - делится на 3 и 4, а значит и на 12.
Признаки делимости на 13
Число делится на 13 когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.
858 делится на 13, так как 85-9*8 = 13 делится на 13.
Признаки делимости на 14
Число делится на 14 когда оно делится на 2 и на 7.
Число 252 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.
Признаки делимости на 15
Число делится на 15, если оно делится на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось 0 или 5 и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.
Признаки делимости на 19
Число делится на 19 когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.
Числа кратные 19 всегда делятся на 19.
19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228..
Применим последовательно признак делимости. Число десятков в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.
В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.
Признаки делимости на 25
Число делится на 25 когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.
58050 делится на 25, так как 50 делится на 25.
579 00 делится на 25.
Признаки делимости на 50
Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы на конце числа две последние цифры делились на 25 и представляли четное число. Этому условию удовлетворяют числа 50 и 100, но 100 - трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться на 00 или 50.
Кроме известных признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. В некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.
Использованная литература:
10 . Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1989.- 352 с.
11. Я.И. Перельман. Занимательная Алгебра, - М.: Триада-Литера, 1994.-199с.
12. Кордемский Б. А., Математическая смекалка, Ленинград,
издательство технико-теоретической литературы, 1956.
17. Математика – это интересно! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006 год. Пельман Я. И.
18. Внеклассная работа по математике 5-11 классы М.: Айрис – пресс 2007 год Фарков А. В.
19. Оригинальные головоломки с числами. М.: Эксмо, 2007. Кен Рассел, Филипп Картер.
Я решила начать с признака деления на 7 . Немного поискав в интернете я нашла способ :
ОПР : Число делится на 7 тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 .
Количество десятков – 15 ( 15 4 )
Количество единиц – 4 (15 4 )
(возьмем число 154 )
1.Сначала надо взять количество десятков ( в нашем числе их 15 ) , а затем вычесть из десятков количество единиц ( 4 ) умноженных на 2 ( 4 * 2 ) .У нас получился пример :
15 – ( 4 * 2 ) = 15 – 8 = 7
2.Получившийся ответ нужно разделить на 7 .
Если получится с остатком ( не поделится ) то число не делится на 7.
Если получится без остатка ( поделится ) то число делится на 7.
Семь кратно семи значит и 154 тоже кратно 7 .
ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 11 :
ОПР: Число делится на 11 если разность суммы чисел, стоящих на нечетных местах и суммы чисел на четных местах равна 0 или делится на 11
Признаки делимости чисел сложно применять, поскольку их достаточно много. Зато знание таких признаков существенно экономит время, поскольку позволяет без деления узнать, делиться одно число на другое или нет. Разберемся в теме подробнее.
Что такое делимость?
Признаки делимости позволяют просто и быстро определить, возможно ли полностью поделить одно число на другое. А делимость это и есть возможность поделить одно число на друге без остатка.
Признаки делимости
Признаки делимости удобнее изучать, разбив возможные делители на группы. Поступим так же и рассмотрим делимость на каждую из групп в отдельности.
На 2,4,8
Эти числа в рассматриваемом вопросе сгруппированы, так как их признаки очень похожи друг на друга.
- Число делится на 2 только если является четным.
- Число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4 или последние две цифры 00. Например, число 130 не делится на 4, так как 30 не делится на 4. А вот уже число 1400 можно поделить на 4.
- Число делится на 8, если последние две цифры числа нули или делятся на 8
На 3 и 9
Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Рассмотрим число: 804. Оно делится на 3, поскольку сумма цифр 8+0+4=12 – делится на 3.
Число делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9. Признак похож на признак делимости на число 3.
Интересно: Если число делится на 9, то оно делится и на 3. При этом, число, которое делится на 3 не всегда делится на 9.
Число делится на 5, если последняя цифра числа равняется 5 или нулю. Это наиболее известный признак делимости, наряду с делимостью на 2.
Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и 3, так как 2*3=6. Поэтому признак делимости на 6 это объединение признаков деления на 2 и на 3.
То есть: число делится на 6, если оно четное и сумма всех его цифр делится на 3
Самые сложные в восприятии признаки делимости на 7 и на 11. Число делится на 7, если разность сумм четных цифр числа и нечетных цифр чисел делится на 7.
Приведем пример: число 469 делится на 7. Почему? Сумма цифр на нечетных позициях 4+9=13. Сумма чисел на четных позициях 6. Разность получившихся сумм: 13-6=7, а это число делится на 7. Поэтому все число 469 делится на 7
На 10
Число делится на 10 только если последней цифрой числа является 0
По тому же принципу определяют делимость числа на 100, 1000 и так далее. Если у числа два нуля на конце, то оно делится на 100, если три нуля на конце, число делится на 1000 и так далее.
На 11
Число делится на 11 только, если разность сумм четных и нечетных цифр числа делится на 11 или равняется нулю Приведем пример:
Число 2035 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на четных позициях: 2+3=5. Сумма нечетных цифр: 0+5=5. Разность полученных выражений:5-5=0, значит число делится на 11.
Нельзя путать понятия четной позиции и четного числа. Цифра это знак, который используется для записи чисел. Число это набор цифр, каждая из которых стоит на своей позиции. В числе 127 всего три цифры. Цифра 1 стоит на первой позиции, цифра 2 на второй и так далее. На четной позиции находится цифра 2. На нечетных позициях цифры 1 и 7.
Чтобы быстрее запомнить все группы можно свести в таблицу признаков делимости чисел.
Признаки
Запомни
Признак делимости на 2
Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2 или является нулём.
Признак делимости на 4
Число делится на 4, если две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 8
Число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8.
Признак делимости на 3
Число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3.
Признак делимости на 6
Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.
Признак делимости на 9
Число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9.
Признак делимости на 5
Число делится на 5, если его последняя цифра 5 или 0.
Признак делимости на 25
Число делится на 25, если его две последние цифры нули или образуют число, которое делится на 25.
Признак делимости на 10,100 и 1000.
10 делятся нацело только те числа, последняя цифра которых нуль.
На 100 делятся нацело только те числа, две последние цифры которых нули.
На 1000 делятся нацело только те числа, три последние цифры нули.
Признак делимости на 11
Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11.
Что мы узнали?
Мы поговорили о признаках делимости. Расписали все существующие признаки по группам. В особо сложных ситуациях привели примеры.
Читайте также: