Доклад представление числовой информации с помощью систем счисления

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры. они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но в любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами

Но что же люди понимают тогда под словом "число"?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Сегодня для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр). Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления. [1]

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах. В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 5 ₁₀ , в двоичной 101 ₂ . [2]

Алгоритм перевода целого числа из десятичной системы счисления в двоичную:

делим число на 2 - основание переводимой системы счисления;

находим остаток от деления целой части числа;

записываем все остатки от деления в обратном порядке.

Алгоритм перевода целого числа из двоичной системы счисления в десятичную:

для перевода в десятичную систему счисления находим сумму произведений основания 2 на соответствующую степень разряда.

Пусть, есть двоичное число 110001 ₂ . Для перевода в десятичное записываем его в виде суммы по разрядам следующим образом:

110001 ₂ =1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

Арифметические операции с двоичными числами

Сложение выполняется поразрядно столбиком, начиная с младшего разряда и используя таблицы двоичного сложения:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10.

При сложении необходимо помнить, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в старший. [3]

Вычитание выполняется поразрядно столбиком, начиная с младшего разряда и используя таблицы двоичного вычитания:
0 – 0 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
10 – 1 = 1.

Умножение в двоичной системе производится по тому же принципу что и в десятичной системе счисления, при этом используется таблица двоичного умножения:
0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1 .

Пример 3 . Найти произведение двух чисел:

Деление в двоичной системе производится вычитанием делителя со сдвигом вправо, если остаток больше нуля.

Пример 4. Найти частное двух чисел если :
1. Делимое больше делителя:

2. Делимое меньше делителя:

Восьмеричная система счисления - позиционная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7.

Алгоритм перевода целого числа из десятичной системы счисления в восьмеричную:

делим число на 8 - основание переводимой системы счисления;

находим остаток от деления целой части числа;

записываем все остатки от деления в обратном порядке.

Алгоритм перевода целого числа из восьмеричной системы счисления в десятичную:

для перевода в десятичную систему счисления находим сумму произведений основания 8 на соответствующую степень разряда.

2357 ₈ = (2·8 3 )+(3·8 2 )+(5·8 1 )+(7·8 0 ) = 2·512 + 3·64 + 5·8 + 7·1 = =1263 ₁₀

Арифметические операции с восьмеричными числами

Сложение выполняется поразрядно столбиком, начиная с младшего разряда и используя таблицы сложения восьмеричных чисел

Умножение в восьмеричной системе производится по тому же принципу что и в десятичной системе счисления, при этом используется таблица восьмеричного умножения:

Шестнадцатеричная система счисления - позиционная система счисления с основанием 16. В качестве цифр этой системы счисления обычно используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F. Буквы A, B, C, D, E, F имеют значения 1010, 1110, 1210, 1310, 1410, 1510 соответственно. [6]

Алгоритм перевода целого числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:

делим число на 16 - основание переводимой системы счисления;

находим остаток от деления целой части числа;

записываем все остатки от деления в обратном порядке.

Алгоритм перевода целого числа из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную:

для перевода в десятичную систему счисления находим сумму произведений основания 16 на соответствующую степень разряда.

Например, требуется перевести шестнадцатеричное число 3A5 в десятичное. В этом числе 3 цифры. В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

3A5 ₁₆ = 3·16 2 +10·16 1 +5·16 0 =
= 3·256+10·16+5·1 = 768+160+5 = 933 ₁₀

При переводе чисел, следует помнить, что в шестнадцатеричной системе счисления: A=10; B=11; C=12; D=13; E=14; F=15.

Арифметические операции с шестнадцатеричными числами

Сложение выполняется поразрядно столбиком, начиная с младшего разряда и используя таблицы сложения шестнадцатеричных чисел

Умножение в шестнадцатеричной системе производится по тому же принципу что и в десятичной системе счисления, при этом используется таблица шестнадцатеричного умножения:

Понятие числа является фундаментальным как для математики, так и для информатики. С числами связано еще одно важное понятие — система счисления.

Система счисления — это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действий над числами.

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить нанепозиционные и позиционные.

В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-нибудь значков: насечек, черточек, точек.

В дальнейшем свое название получили десяток десятков (сотня), десяток сотен (тысяча) и так далее. Такие узловые числа для удобства записи стали обозначать особыми значками — цифрами. Если при подсчете предметов их оказывалось 2 сотни, 5 десятков и еще 4 предмета, то при записи этой величины дважды повторяли знак сотни, пять раз — знак десятков и четыре раза знак единицы.

В таких системах счисления от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает; поэтому они называются непозиционными системами счисления.

Непозиционными системами пользовались древние египтяне, греки, римляне и некоторые другие народы древности.

На Руси вплоть до XVIII века, использовалась непозиционная система славянских цифр. Буквы кириллицы (славянского алфавита) имели цифровое значение, если над ними ставился специальный знак ~ титло. Например Ã — 1, — 4, — 100.

Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но совсем не удобны при умножении и делении.

Идея позиционной системы счисления впервые возникла в древнем Вавилоне.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.

Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, так как запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

С позиционной десятичной системой счисления вы знакомы с раннего детства, только, возможно, не знали, что она так называется.

Позиционный тип этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая — три десятка, третья — три единицы. Одна и та же цифра в зависимости от позиции в записи числа обозначает разные величины.

333 = 3x100 + 3x10 + 3.

32478 = 3 х 10000 + 2 х 1000 + 4 х 100 + 7 х 10 + 8 =

= 3 х 10 4 + 2 х 10 3 + 4 х 10 2 + 7 х 10 1 + 8 х 10 0 .

Отсюда видно, что всякое десятичное число можно представить как сумму произведений составляющих его цифр на соответствующие степени десятки. То же самое относится и к десятичным дробям.

26,387 = 2 х 10 1 + 6 х 10 0 + 3 х 10 -1 + 8 х 10 -2 + 7 х 10 -3

Системы счисления, используемые в ЭВМ

За основание позиционной системы счисления можно принять любое натуральное число большее 1. Упомянутая выше вавилонская система имела основание 60. Следы этой системы сохранились до наших дней в порядке счета единиц времени (1 час = 60 мин, 1 мин = 60 с).

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавитиз n цифр. Обычно для этого при n n первых арабских цифр, а при n >10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы.

Триединая дидактическая задача урока:

● познакомить учащихся с понятиями система счисления, алфавит, основание, видами систем счисления;

● организация деятельности учащихся по формированию знаний и умений при работе с различными системами счисления;

● сформировать умения определять, как изменится число при переносе запятой на 1 разряд в любой позиционной системе счисления;

● сформировать умение определять число, следующее за предложенным в заданной системе счисления.

● обогащать и усложнять словарный запас учащихся;

● развивать мышление (учить строить аналогии, определять и объяснять понятия);

● развитие навыков устного счета;

● развитие сенсорной сферы (ориентировка во времени);

● развитие двигательной сферы (овладение моторикой мелких мышц);

● формировать трудовые качества личности;

● формировать требовательность к себе.

Материально – техническое оснащение: персональный компьютер учителя, проектор, экран.

Здравствуйте! Прошу вас приготовиться к уроку. Вам понадобится: тетрадь дневник, учебник, пенал.

Подготовка учащихся к усвоению новых знаний

Изучение нового материала

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. (Приложение 1 Слайд 1)

Знаковая система – это совокупность знаков и правил работы с ними.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные. (Приложение 1 Слайд 2)

В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных – не зависит.

Давайте рассмотрим одно и тоже число в арабской (индийской) системе счисления. и римской: 888

Как будет выглядит это число в римской системе счисления.? (помощь в ответе если потребуется). (Приложение 1 Слайд 3,4)

А в арабской системе счисления как образуются числа.

Римская система счисления имеет один существенный недостаток – очень трудно выполнять арифметические операции (возможно такой вывод сделают учащиеся сами, если им предложить выполнить не сложные арифметические действия в обоих системах счисления).

Рассмотрим позиционные системы счисления, т. к. именно они используются для определения информационной памяти компьютера. Для каждой позиционной системы счисления определим алфавит и основание. (Приложение 1 Слайд 5)

Основание – количество цифр в алфавите, которое определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа

Алфавит двоичной системы - от 0 до 1, значит основание равно 2.

Алфавит восьмеричной системы счисления – от 0 до 7, значит основание равно 8.

Как вы думаете каков алфавит в шестнадцатеричной системе счисления?

Алфавит - от 0 до 9 и A B C D E F, а значит основание равно 16

Первичная проверка понимания.

Рассмотрим пример: 120,1. В какой позиционной системе счисления может быть записано число?

Почему двоичная система не подходит?

Как изменяется число в десятичной системе счисления с переносом запятой на один знак влево?

Все правила работы с другими системами совершенно такие же как в десятичной.

Давайте попробуем ответить на тот же самый вопрос, но для восьмеричной системы.

В тетради постройте таблицу и внесите в нее результаты ответа на вопрос:

Как изменится число при переносе запятой вправо на один знак для двоичной, десятичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системе счисления для чисел:

1 вариант – 456,1

2 вариант - 76,92.

Основание равно количеству цифр в алфавите и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях.

Закрепление новых знаний и способов деятельности. Предлагаю вам заполнить таблицу:

Контроль и самоконтроль. (Приложение 1 Слайд 6)

Таблица заполняется на половину, вторую часть учитель предлагает заполнить дома на оценку.

Подведение итогов

Выставление оценок за урок.

Рефлексия

Домашнее задание

название систем счисления;
алфавит системы счисления;
правила образования чисел.

Содержимое разработки

Рассматриваемая тема урока может быть изучена как в 9 классах, так и в 8 классах, и рассчитана на учащихся, изучающих предмет непрерывно с 7 класса.

Триединая дидактическая задача урока:

познакомить учащихся с понятиями система счисления, алфавит, основание, видами систем счисления;

организация деятельности учащихся по формированию знаний и умений при работе с различными системами счисления;

сформировать умения определять, как изменится число при переносе запятой на 1 разряд в любой позиционной системе счисления;

сформировать умение определять число, следующее за предложенным в заданной системе счисления.

обогащать и усложнять словарный запас учащихся;

развивать мышление (учить строить аналогии, определять и объяснять понятия);

развитие навыков устного счета;

развитие сенсорной сферы (ориентировка во времени);

развитие двигательной сферы (овладение моторикой мелких мышц);

формировать трудовые качества личности;

формировать требовательность к себе.

Материально – техническое оснащение: персональный компьютер учителя, проектор, экран.

Таблица 9 - Структура урока №1

Подготовка учащихся к усвоению нового материала

Усвоение новых знаний и способов деятельности

Первичная проверка понимания

Закрепление новых знаний и способов деятельности

Контроль и самоконтроль знаний

Таблица 10 - Технологическая карта урока №1

Информатика и ИКТ,

Старостина Елена Николаевна

Представление числовой информации с помощью систем счисления

Актуальность использования средств ИКТ

Обеспечение наглядности учебного материала

Изучение и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности

развивающие

воспитательные

дать понятие о системах счисления, алфавите, основании

навыки организации рабочего места;

развития познавательной активности учащихся; развития мышления, устного счета.

развивать внимание, контроль и взаимоконтроль

Необходимое аппаратное и программное обеспечение

(локальная сеть, выход в Интернет, мультимедийный компьютер, программные средства)

ПК учителя, проектор, экран

Образовательные ресурсы Интернет

Таблица 11 - Организационная структура урока № 1

Функции и виды деятельности преподавателя

Подготовить учащихся к работе. Полная готовность кабинета и класса к работе.

Ознакомление с темой, целью и планом урока

Включение учащихся в деловой ритм

2. Подготовка учащихся к усвоению новых знаний

Активизировать знания учащихся.

Формировать познавательные мотивы.

Принятие целей урока учащимися

3. Изучение нового материала

Ввести новые понятия: система счисление, позиционная и не позиционная система счисления, алфавит и основание систем счисления.

Развивать мыслительные навыки.

Определение основных понятий по теме урока

4. Первичная проверка понимания

Установить осознанность восприятия через ответы на поставленные вопросы.

Предложение заданий по определению алфавита и
основания систем счисления

Самостоятельное заполнение по образцу таблицы. Самоконтроль

5. Закрепление новых знаний и способов деятельности

Корректировка действий учащихся

6. Контроль и самоконтроль знаний

Получение достоверной информации о достижении всеми учащихся планируемых результатов обучения.

Взаимный контроль и коррекция

Координация по работе с таблицей

Самопроверка, работа над ошибками

Исправление допущенных ошибок

7. Подведение итогов

Суждение с использованием внутреннего критерия.

Формирования долга и ответственности

Оценка деятельности учащихся

Контроля и коррекции

Выражение своего отношения к занятию

Понравилось ли занятие

9. Домашнее задание

Таблица 12 - Ход урока № 1

Организационный

Здравствуйте! Прошу вас приготовиться к уроку. Вам понадобится: тетрадь

дневник, учебник, пенал.

Приветствие учителя. Подготовка к уроку.

Подготовка учащихся к усвоению новых знаний

Вспоминая уроки истории расскажите как начиная с древних времен появилась необходимость в счете.

Какими цифрами мы с вами привыкли пользоваться?

А правила образования чисел и вычислений одинаковые в римской и арабской системе?

Учащиеся рассказывают о возникновении счета в каменном веке (счет на пальцах), появление цифр.

Арабская и римская (ответы из класса) Возможно кто – то вспомнит вавилонскую систему счисления.

Изучение нового материала

Знаковая система – это совокупность знаков и правил работы с ними.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные. (Приложение 1 Слайд 2)

Давайте рассмотрим одно и тоже число в арабской (индийской) системе счисления. и римской: 888

А в арабской системе счисления как образуются числа.

Алфавит двоичной системы - от 0 до 1, значит основание равно 2.

Алфавит восьмеричной системы счисления – от 0 до 7, значит основание равно 8.

Как вы думаете каков алфавит в шестнадцатеричной системе счисления?

Алфавит - от 0 до 9 и A B C D E F, а значит основание равно 16.

Учащиеся записывают определения в тетрадь.

Определение позиционной системы счисления записывают под диктовку,

Определение непозиционной системы счисления, формулируют по аналогии.

Учащиеся вспоминают образование чисел с использованием букв:
I – 1;V – 5; X – 10; L – 50; C – 100;
D – 500; M – 1000.

Первичная проверка понимания.

Рассмотрим пример: 120,1. В какой позиционной системе счисления может быть записано число?

Почему двоичная система не подходит?

Как изменяется число в десятичной системе счисления с переносом запятой на один знак влево?

Все правила работы с другими системами совершенно такие же как в десятичной.

Давайте попробуем ответить на тот же самый вопрос, но для восьмеричной системы.

В тетради постройте таблицу и внесите в нее результаты ответа на вопрос:

1 вариант – 456,1

2 вариант - 76,92.

В 8 системе счисления, 10 системе счисления, 16 системе счисления.

В алфавите двоичной системы нет числа два.

Уменьшается в 10 раз.

Уменьшится в 8 раз.

Закрепление новых знаний и способов деятельности. Предлагаю вам заполнить таблицу:

Контроль и самоконтроль. (Приложение 1 Слайд 6)

Таблица заполняется на половину, вторую часть учитель предлагает заполнить дома на оценку.

Учащиеся помогают в заполнении таблицы, по цепочке называя следующее значение.

Подведение итогов

Выставление оценок за урок.

Учащиеся предлагают отметить оценками активных одноклассников.

Учащиеся дают оценку своей деятельности.

Домашнее задание

название систем счисления; алфавит системы счисления;

правила образования чисел.

Запись домашнего задания.

-75%

Слайд 1

Слайд 2

Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемого цифрами. Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемого цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от её положения в числе, а в непозиционных – не зависит.

Слайд 3

Римская непозиционная система счисления В качестве цифр в ней используются: I(1), V(5), X(10), L(50),C (100), D(500), M(1000) Значение цифры не зависит от её положения в числе. Например, в числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину – 10, три числа 10 дают в сумме 30. Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется. Например, число 1998 в римской системе счисления: MCMXCVIII=1000+ (1000-100)+(100-10)+5+1+1+1 Записать в римской системе счисления: 28, 9, 99, 1994

Слайд 4

Слайд 5

Позиционные системы счисления В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от её позиции в числе. Например, десятичная, двоичная и др. Каждая позиционная система имеет определённый алфавит цифр и основание. В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в её алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.

Слайд 6

Десятичная система счисления Цифра в крайней справа позиции обозначает единицы, цифра, смещённая на одну позицию влево, обозначает десятки, ещё левее – сотни, затем тысячи и т.д.

Слайд 7

Например: 555 – запись числа в свёрнутой форме (в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10, которое является основанием десятичной системы счисления) В развёрнутой форме производится умножение цифр на основание 55510=5*102+5*101+5*100

Слайд 8

Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания: Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания: 555,5510=5*102+5*101+5*100+5*10-1+5*10-2 Число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания, в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа

Слайд 9

Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево Задание: Записать число в развёрнутой форме: 3,1410

Слайд 10

Двоичная система счисления Основание равно 2, алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Число в двоичной системе в развёрнутой форме записывается в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Слайд 11

Например: А2=101,012=1*22+0*21+1*20+0*2-1+1*2-2 Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющую целую часть от дробной на один разряд соответственно вправо или влево. 101,012*2=1010,12 101,012:2=10,1012 Задание: записать числа в развёрнутой форме: 1012; 10,12

Читайте также: