Доклад по теме параллелепипед

Обновлено: 05.07.2024

Рассмотрим два равных многоугольника и , расположенных в параллельных плоскостях и так, чтобы отрезки , соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1).

Каждый из n четырехугольников

…, (1)

является параллелограммом, так как имеет попарно параллельные противоположные стороны.

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов (1), называется призмой.

Многоугольники и называются основаниями, а параллелограммы (1) – боковыми гранями призмы. Отрезки называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов (1), следовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призму с основаниями и называют n – угольной призмой. На рисунке 2 изображены треугольная и шестиугольная призмы.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники. На рисунке 2 изображена правильная шестиугольная призма. [1, 62]

Понятие параллелепипеда

Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани – параллелограммы.

На рисунке 3 изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 4 – прямой параллелепипед.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. [4, 301]

Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называется прямым параллелепипедом. У него все боковые грани прямоугольники, а основания параллелограммы. Если все грани параллелепипеда – прямоугольники, то его называют прямоугольным параллелепипедом. Длины трех его ребер, которые выходят из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны, называется кубом. Соотношение между различными видами параллелепипеда приведено в схеме: [2, 115]

Свойства параллелепипеда

1 ) противолежащие грани равны и параллельны;

2 ) все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

1 ) Рассмотрим какие-нибудь две противоположные грани параллелепипеда, например, и (рис. 5).

Поскольку все грани параллелепипеда – параллелограммы, то прямая AD параллельна прямой ВС, а прямая параллельна прямой . Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.

Из того, что грани параллелепипеда – параллелограммы, следует, что АВ, , CD и параллельны и равны. Отсюда сделаем вывод, что грань совмещается параллельным переносом вдоль ребра АВ с гранью . Следовательно, эти грани равны.

2 ) Возьмем две диагонали параллелепипеда (рис. 5), например, и , и проведем дополнительные прямые и . АВ и соответственно равны и параллельны ребру DC, поэтому они равны и параллельны между собою; вследствии этого фигура есть параллелограмм, в котором прямые и – диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам. Аналогично мы можем доказать, что две другие диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Точка пересечения каждой пары диагоналей лежит в середине диагонали . Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам. Таким образом, точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии. [3, 21]

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Это выплывает из пространственной теоремы Пифагора. Если – диагональ прямоугольного параллелепипеда , то – ее проекции на три попарно перпендикулярные прямые (рис. 6). Следовательно, . [2, 116]

Замечание: в прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.

Дополнительные соотношения между элементами призмы

Если в наклонной призме боковое ребро образует одинаковые углы со сторонами основания, которые выходят из вершины , то основание О высоты лежит на биссектрисе угла (рис. 7).

Доказательство:

Проведем и отрезки Согласно теореме о трех перпендикулярах, имеем и . Прямоугольные треугольники и равны, поскольку имеют общую гипотенузу и одинаковые углы ( по условию). Следовательно, и , отсюда Таким образом, точка О равноудалена от сторон угла и, следовательно, лежит на биссектрисе угла . [3, 24]

1. Ребро куба равно а.

Диагональ грани: d= a√2.

Диагональ куба: D= a√3.

Периметр основания: P= 4a.

2 . Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 8см. Высота призмы равняется 12см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат.

Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то есть , где - площадь основания призмы, - площадь боковой поверхности, содержащей основание, - площадь боковой поверхности, содержащей стороны равнобедренного треугольника. (Они равны, так как стороны основания равны в следствие того, что треугольник равнобедренный, а вторые стороны равны высоте призмы)

Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см. (основание треугольника одновременно является стороной грани).

Таким образом, зная высоту и основание равнобедренного треугольника можно найти его остальные стороны и площадь:

Катеты, соответственно равны (у нас высота, являющаяся в равнобедренном треугольнике одновременно и медианой , с каждым из катетов образует прямоугольный треугольник) по теореме Пифагора:

3 . В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы.

Правильный четырехугольник – это квадрат.

Соответственно, сторона основания будет равна

Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:

4 . Рассмотрим правильную четырехугольную призму , диагональное сечение которой – квадрат. Через вершину и середины ребер АВ и ВС проведена плоскость. Найти площадь полученного сечения, если

Построение сечения видно на рисунке, где К и L – середины сторон АВ и ВС основания призмы, Е и F – точки пересечения прямой КL соответственно с продолжениями сторон DA и DC. Сечением является пятиугольник площадь которого можно найти. Можносначала вычислить площади треугольников и а потом от площади первого треугольника вычесть удвоенную площадь второго (поскольку треугольники и равны). Однако в данном случае проще воспользоваться формулой:

Проекция пятиугольника на плоскость основания призмы есть пятиугольник , площадь которого найдем, вычитая из площади квадрата площадь треугольника ВКL:

Пусть диагональ ВD основания пересекает отрезок КL в точке О. Так как и (согласно теореме о трех перпендикулярах), то – линейный угол двугранного угла КL.

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора имеем:

Значит, и

5 . Дана правильная призма: , . Найти высоту призмы.

Площадь основания

Периметр основания Р = 8 см.

Высота призмы

6 . Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b от этого основания. Сторона основания равна a . Найдите полную поверхность параллелепипеда.

Пусть – данный параллелепипед с основаниями , и боковыми рёбрами , причём ABCD – квадрат со стороной a , вершина равноудалена от вершин A, B, C и D, а расстояние от вершины до плоскости основания ABCD равно b. Поскольку точка равноудалена от вершин квадрата ABCD, она лежит на перпендикуляре к плоскости ABCD, проходящем через центр O квадрата. Перпендикуляр, опущенный из точки O на сторону BC, проходит через её середину M. По теореме о трёх перпендикулярах , поэтому – высота грани . Из прямоугольного треугольника находим, что

Если S – полная поверхность параллелепипеда , то

7 . Докажите, что если сечение параллелепипеда плоскостью является многоугольником с числом сторон, большим трёх, то у этого многоугольника есть параллельные стороны.

У параллелепипеда 3 пары параллельных граней. Если плоскость пересекает более трёх граней, то по крайней мере две стороны многоугольника сечения лежат в противоположных гранях параллелепипеда. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей эти две стороны параллельны.

8. В параллелепипеде грань ABCD – квадрат со стороной 5, ребро также равно 5, и это ребро образует с рёбрами AB и AD углы . Найдите диагональ .

Треугольник – равносторонний, т.к. = AB и . Поэтому . Аналогично, . Боковые рёбра треугольной пирамиды с вершиной равны между собой, значит, высота этой пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания ABD , а т.к. треугольник ABD прямоугольный, то точка O – середина его гипотенузы BD, т.е. центр квадрата ABCD. Из прямоугольного треугольника находим, что

Поскольку , точка равноудалена от вершин C и D, поэтому её ортогональная проекция K на плоскость основания ABCD также равноудалена от C и D, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD. Поскольку || и =, четырёхугольник – прямоугольник, поэтому OK==5. Продолжим отрезок KO до пересечения с отрезком AB в точке M. Тогда M – середина AB и MK=MO+OK=. Из прямоугольных треугольников MKB и находим, что:

9 . На ребре AD и диагонали параллелепипеда взяты соответственно точки M и N, причём прямая MN параллельна плоскости и AM:AD = 1:5. Найдите отношение .

Пусть P – центр параллелограмма ABCD. Плоскости и пересекаются по прямой , поэтому прямые и пересекаются в некоторой точке Q, причём

По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскости α и пересекаются по прямой, проходящей через точку E параллельно . Ясно, что точка пересечения этой прямой с прямой и есть точка N (прямая MN лежит в плоскости, параллельной плоскости ). Рассмотрим параллелограмм . Так как

то

10 . Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.

Пусть O – общая середина отрезков , и . Тогда AB||и AD||. Значит, плоскости ABD и параллельны. Аналогично, плоскость параллельна плоскости . В плоскостях ABD и возьмём соответственно точки C и так, что ABCD и – параллелограммы. Так как CD||AB , AB|| и ||, то CD||. Поэтому плоскости и также параллельны. Шестигранник , образован пересечением трёх пар параллельных плоскостей. Следовательно, это параллелепипед.

1. Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 3 см и 4 см.

Длина диагонали параллелепипеда равна корню из суммы квадратов его измерений и составит

2. Сосчитайте сколько у прямоугольного параллелепипеда рёбер

А	Б	В	Г	Д
8	10	12	24	6

3. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов …, , называется:

4. Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется…

А ) высотой призмы;

Б) ребром призмы;

В) медианой призмы;

Г) диагональю призмы;

Д) стороной призмы.

5. Прямая призма называется правильной, если ее основания…

А) равнобедренные треугольники;

Б) не правильные многоугольники;

Д ) правильные многоугольники.

6. У параллелепипеда все грани.

А ) параллелограммы;

7. В прямоугольном параллелепипеде все ли диагонали равны?

8. У параллелепипеда противолежащие грани равны и …

А ) параллельны;

Б) лежат в одной плоскости;

Г) лежат в разных плоскостях;

Д) образуют между собой угол

9. У параллелепипеда все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней …

А) в отношении 1:2;

Б) в отношении 1:3;

В ) пополам;

Г) в отношении 1:5;

10. Чему равен квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда?

А ) сумме квадратов трех его измерений;

В) сумме трех его измерений;

Г) сумме квадратов ребер;

Д) корню из суммы трех его измерений.

- Многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов …, , называется призмой.

- Многоугольники и называются основаниями, а параллелограммы …, – боковыми гранями.

- Призму с основаниями и называют n – угольной призмой.

- Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

- Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

- Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

- Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называется прямым параллелепипедом.

- У параллелепипеда все боковые грани прямоугольники, а основания параллелограммы. Если все грани параллелепипеда – прямоугольники, то его называют прямоугольным параллелепипедом.

- Длины трех его ребер, которые выходят из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

- Прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны, называется кубом.

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Учеб. для 10 – 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1992 – 207с.

2. Геометрія: Підруч. для учнів 10 – 11 кл. з поглибл. вивч. математики в серед. загально-освіт. закладах /Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, В. М. Владіміров, Н. Г. Владімірова. – 2-ге вид. – К.: Освіта, 2003. – 239 с.

3. Лосєва Н. М. Геометричні тіла: Навчальний посібник. – Донецьк: ДонНУ, 2006. – 240 с.

4. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1995. – 383 с.

На рисунке 3 изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 4 – прямой параллелепипед.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. [4, 301]

Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Прямой параллелепипед
Площадь боковой поверхности S б =Р о *h, где Р о — периметр основания, h — высота
Площадь полной поверхности S п =S б +2S о , где S о — площадь основания
Объём V=S о *h
Прямоугольный параллелепипед
Основная статья: Прямоугольный параллелепипед
Площадь боковой поверхности S б =2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда
Площадь полной поверхности S п =2(ab+bc+ac)
Объём V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.
Произвольный параллелепипед
Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величинесмешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения [1] :215 .
ς== В математическом анализе == В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом понимают множество точек вида

1 ) Рассмотрим какие-нибудь две противоположные грани параллелепипеда, например, и (рис. 5).

Поскольку все грани параллелепипеда – параллелограммы, то прямая AD параллельна прямой ВС, а прямая параллельна прямой . Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.
Из того, что грани параллелепипеда – параллелограммы, следует, что АВ, , CD и параллельны и равны. Отсюда сделаем вывод, что грань совмещается параллельным переносом вдоль ребра АВ с гранью . Следовательно, эти грани равны.
2 ) Возьмем две диагонали параллелепипеда (рис. 5), например, и , и проведем дополнительные прямые и . АВ и соответственно равны и параллельны ребру DC, поэтому они равны и параллельны между собою; вследствии этого фигура есть параллелограмм, в котором прямые и – диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам. Аналогично мы можем доказать, что две другие диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Точка пересечения каждой пары диагоналей лежит в середине диагонали . Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам. Таким образом, точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии. [3, 21]
Теорема:
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Доказательство:
Это выплывает из пространственной теоремы Пифагора. Если – диагональ прямоугольного параллелепипеда , то – ее проекции на три попарно перпендикулярные прямые (рис. 6). Следовательно, . [2, 116]

Замечание: в прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.

Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b от этого основания. Сторона основания равна a . Найдите полную поверхность параллелепипеда.

Если S – полная поверхность параллелепипеда , то

В параллелепипеде грань ABCD – квадрат со стороной 5, ребро также равно 5, и это ребро образует с рёбрами AB и AD углы . Найдите диагональ .

Поскольку , точка равноудалена от вершин C и D, поэтому её ортогональная проекция K на плоскость основания ABCD также равноудалена от C и D, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD. Поскольку || и = , четырёхугольник – прямоугольник, поэтому OK= =5. Продолжим отрезок KO до пересечения с отрезком AB в точке M. Тогда M – середина AB и MK=MO+OK= . Из прямоугольных треугольников MKB и находим, что:

Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.

Пусть O – общая середина отрезков , и . Тогда AB|| и AD|| . Значит, плоскости ABD и параллельны. Аналогично, плоскость параллельна плоскости . В плоскостях ABD и возьмём соответственно точки C и так, что ABCD и – параллелограммы. Так как CD||AB , AB|| и || , то CD|| . Поэтому плоскости и также параллельны. Шестигранник , образован пересечением трёх пар параллельных плоскостей. Следовательно, это параллелепипед.

Если у прямоугольного параллелепипеда высота равна 10 , отрезки основания равны 4 и 5 .

Чтобы найти объем параллелепипеда нужно использовать формулу abc,

то из этого следует: V=10*4*5=200

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности.

Решение.
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме попарных произведений его измерений

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Решение.
Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как

Диагональ параллелепипеда находится как

Тогда площадь поверхности

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 . Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.
Объем параллелепипеда , где – площадь одной из граней, а – длина ребра, составляющего с этой гранью угол . Площадь ромба с острым углом в равна двум площадям равностороннего треугольника. Вычислим объем:

Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Решение.
Высота и сторона такого параллелепипеда равны диаметру сферы, то есть это куб со стороной 2. Площадь поверхности куба со стороной :

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Решение.
Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как . Выразим : , откуда неизвестное ребро

Найдите объем параллелепипеда , если объем треугольной пирамиды равен 3.

Решение.
Объем параллелепипеда равен , где – площадь основания, – высота. Объем пирамиды равен , где – площадь основания пирамиды, по построению равная половине площади основания параллелепипеда. Тогда объем параллелепипеда в 6 раз больше объема пирамиды .

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30 , 30 и 45 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.
Ребро параллелепипеда напротив угла в равно , поскольку образует с заданной диагональю и диагональю одной из граней равнобедренный треугольник. Два другие ребра по построению лежат в прямоугольных треугольниках напротив угла в и равны, поэтому половине диагонали. Тогда объем параллелепипеда:

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.

Решение.
Найдем третье ребро из выражения для объема:

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.
Длина диагонали параллелепипеда равна

Длина третьего ребра тогда . Получим, что объем параллелепипеда

B11 № 27077. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Решение.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где – площадь грани, а – высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда площадь грани

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.
Высота параллелепипеда равна высоте вписанного в него цилиндра. Основанием параллелепипеда является квадрат, сторона которого в два раза больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому площадь основания равна 4, а объем параллелепипеда равен

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Решение.
Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как . Выразим :

откуда неизвестное ребро

Диагональ параллелепипеда находится как

Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где – площадь грани, а — высота перпендикулярного к ней ребра. Имеем

В переводе с древнегреческого языка параллелепипед означает параллельную плоскость — призму, нишей которой является параллелограмм (многогранник с шестью сторонами). Предметы аналогичной формы находятся в окружающей жизни и быту. В математическом анализе и геометрии расчет параметров фигуры осуществляется с помощью формул.

Общая характеристика

В мире имеется множество предметов с формой параллелепипеда. Люди обычно не задумываются об этом, но архитектура и различные массивные строения состоят из нескольких граней. Выглядеть параллелепипед может по-разному в зависимости от типа.

Основные понятия и классификация

Определение параллелепипеда, пирамиды, куба и других многогранников было известно с древнейших времен. Основными характеристиками являются простота и значимость.

Выведенные формулы V и S значимы для решения различных задач с практическим содержанием и доказательства теорем (по чертежам). Виды параллелепипеда:

Прямой. Четыре боковые грани имеют углы по 90 градусов.
Прямоугольный. Каждая сторона фигуры является прямоугольной.
Наклонный.
Двугранный, трехгранный. Состоит из нескольких граней под углом 90 градусов.
Наклонный, диагональный. Боковые грани не перпендикулярны основаниям.
Ромбоэдр. Стороны являются одинаковыми ромбами.
Куб. Параллелепипед с равными (квадратными) сторонами.

В 6 классе на уроке геометрии изучают планиметрию (плоские фигуры). Здесь представлена развертка плоскостей.

Две стороны параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а содержащие единую линию — смежными. С точки зрения плоскостей, расположенных параллельно, внутри пересекаются три их пары. Эти вершины соединяет отрезок — диагональ. Длина трех ребер правильного многогранника называется измерением. Главным условием является общая вершина.

При решении задач важно понятие высоты — перпендикуляра, опущенного из любой вершины на обратную сторону. Грань, на которую опускается высота, считается основанием. Свойства параллелепипеда:

любые стороны являются параллелограммами (с симметрией);
стороны, расположенные друг против друга, будут параллельными и равными.

Кирпич — отличный пример прямоугольного параллелепипеда (ПП). Также его форму имеют девятиэтажные панельные дома, шифоньеры, шкафы-купе, контейнеры для хранения продуктов и прочие предметы быта.

Диагонали поверхности пересекаются и этой центральной точкой делятся на несколько частей. Они равны d2=a2+b2+c2

Грани параллелепипеда спереди и сзади равнозначны, также как верхняя и нижняя стороны, но не равны, поскольку не противоположные, а смежные.

Формулы и анализ

Для ПП верно мнение, что его объем равен величине тройного произведения векторов трех сторон, исходящих из единой вершины. Формулы для ПП:

Расшифровка обозначений: V — объем фигуры, S — площадь поверхности, a — длина, b — ширина, c — высота.

Особым случаем параллелепипеда, в котором все стороны квадраты, является куб. Если любую из сторон обозначить буквой a, то для поверхности и объема используются формулы: S=6*a*2, V=3*а. В них V — объем фигуры, a — длина грани.

Последняя разновидность параллелепипеда — прямой тип. Его основанием будет параллелограмм, а основанием ПП — прямоугольник. Формулы, используемые в математике и геометрии: Sб=Ро*h, Sп=Sб+2Sо, V=Sо*h.

Диагональ ПП равна сложению квадратов его измерений: d2 = a2 + b2 + c2. Эта формула получается из теоремы Пифагора.

∆BAD — прямоугольный, поэтому BD2 = AB2 + AD2 = b2 + c2.

∆BDD1 является прямоугольным, значит, BD12 = BD2 + DD12. Нужно подставить значение: d2 = a2 + b2 + c2.

Стандартная формула: V= Sосн*h. Расшифровка обозначений: V — объем параллелепипеда, Sосн — площадь основания, h — высота.

S находится так же, как показатель параллелограмма или прямоугольника. При решении тестов и экзаменационных задач легче вычислять показатели призмы, в основе которой находится прямой угол. Также может пригодиться формула расчета стороны параллелепипеда Sбок = P*h, где:

Sбок — площадь параллелепипеда;
Р — периметр;
h — высота, перпендикулярная основанию.

Объем фигуры равен величине смешанного произведения нескольких векторов, выпущенных из единой точки.

Практическое применение

Для вычисления объема, высоты и прочих характеристик фигуры нужно знать теоретические основы и формулы. Решение задач входит в программу сдачи ЕГЭ и билеты при поступлении в вуз.

Доказательство теорем

Теоретически S боковой поверхности ПП равна S б. п. = 2 (a+b)c. S полной поверхности равна Sполн. поверхности ПП=2 (ab+ac+bc).

Объем ПП равен произведению трех его боковых частей, выходящих из единой вершины (три измерения ПП): abc.

Доказательство: так как у ПП боковые ребра перпендикулярны основанию, то они являются и его высотами — h=AA1=c. Если в основании лежит прямоугольник, то Sосн=AB ⋅ AD=ab. Диагональ d ПП можно найти по формуле d2=a2+b2+c2, где a, b, c — измерения ПП.

Если в основании расположен прямоугольник, то △ ABD прямоугольный, значит, по теореме Пифагора BD2=AB2+AD2=a2+b2. Если все боковые грани перпендикулярны основной линии, то BB1 ⊥ (ABC) ⇒ BB1 ⊥ BD.

Когда △ BB1D прямоугольный, то по теореме Пифагора B1D=BB12+BD2.

Решение задач

Задача 1: известны ПП: 3, 4, 12 см, необходимо найти длину главной диагонали фигуры.

Поиск ответа на вопрос начинается с выстраивания схематического изображения, на котором означаются величины. Используется формула B1D2 = AB2 + AD2 + AA12. После вычислений получается выражение b2=169, b=13.

Задача 2: ребра ПП, выходящие из общей точки, равны 3 и 4, общая S — 94. Нужно найти третье ребро, выходящее из той же вершины.

Ребра обозначаются а1 и а2, а неизвестное — а3. Площадь поверхности выражается S = 2 (a1a2 + a1a3 + a2a3).

Далее получаем a3 (a1 + a2) = S/2 — a1a2. Неизвестное ребро: a3 = S/2 — a1a2/a1 + a2 = 47−12/7 = 5.

Задача 3: два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из общей точки, составляют 72 и 18, диагональ равна 78. Нужно определить объем фигуры.

Для решения требуется найти диагональ по формуле вычисления квадратного корня из суммы (a2 + b2 + c2), где a, b, c — ребра фигуры. 78 — корень из суммы 722 + 182 + c2. Решение:

78 = корень из суммы 5508+с2
782 = 5508 + с2
с2 = 6084 — 5508.
С2 = 576.

Ответ: объем составляет 576.

Задача 4: ребро наклонного параллелепипеда составляет 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см является сечением фигуры, параллельным ребру. Нужно определить площадь боковой поверхности призмы.

KL и AD не являются равными, как пара ML и DC. Боковая S фигуры эквивалентна S сечения, умноженной на AA1, так как ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см².

Задача 5: ABCDA1B1C1D1 = 3, 4 см, боковое ребро — 12 см. Нужно определить диагональ ПП.

В основании лежит прямоугольник со сторонами АВ 3 см и AD 4 см. Боковое ребро составляет 3 см. BB1 является высотой ПП и равняется 12 см. Диагональ B1D2 = AB2 + BB1 2 += 9+16+144 = 169. B1D= 13 см.

Задача 6: основанием ПП служит квадрат, одна из вершин его верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижней части. Нужно найти высоту фигуры, если диагональ основания равна 8 см, а боковое ребро — 5 см.

Одна из вершин основания (F) равнозначно удалена от всех вершин нижнего основания параллелепипеда. Вместе с диагональю нижней части (AC) она образует равнобедренный ∆AFC. AF = AC по условию. AF является ребром фигуры.

В равнобедренном ∆AFC стороны одинаковы: AF=FC=5 см, AC=8 см. Высота ∆AFC будет являться высотой параллелепипеда.

Высота треугольника делит его основание пополам. По теореме Пифагора она равна:

FK2 + (AC/2)2 = FC2;
FK2 + 16 = 25;
FK2 =25−16 = 9;
FK = 3 см.

Высота фигуры составляет 3 см.

Установленные теоремы, доказательства, а также выведенные формулы помогают вычислить различные значения для фигуры.

Что-то должно быть связано с параллельностью, не правда ли?

Читай статью, смотри вебинар и ты все про него будешь знать!

Параллелепипед — коротко о главном

Параллелепипед — это четырехугольная призма (многогранник с \( \displaystyle 6\) гранями), все грани которой — параллелограммы.

Прямой параллелепипед —это параллелепипед, у которого \( \displaystyle 4\) боковые грани — прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники

Куб — параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Высота параллелепипеда – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Свойства параллелепипеда

Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через точку пересечения диагоналей (центр параллелепипеда), делится ею пополам.
Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой и равны сумме квадратов его измерений. \( \displaystyle ^>=<^>+^>+^>\).

Параллелепипед — подробнее

Параллелепипед – многоугольник, образованный пересечением трех пар параллельных плоскостей.

Если слишком сложно, просто посмотри на картинку.

Далее смотри на картинки, запоминай и не путай!

Высота – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Та грань, на которую опущена высота, называется основанием.

Свойства параллелепипеда

Всеграни параллелепипеда – параллелограммы.
Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Внимание: передняя и задняя грани параллелепипеда равны, верхняя и нижняя – тоже равны, но не равны (не обязаны быть равны) передняя и верхняя грани – потому что они не противоположные, а смежные.

Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Прямой параллелепипед

Прямым называется параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

У прямого параллелепипеда в основании – параллелограмм, а боковые грани – прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Это такая обувная коробка:

У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники.

Давай-ка теперь выведем одну интересную формулу для диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.\( \displaystyle ^>=<^>+^>+^>\).

Видишь, как красиво? На теорему Пифагора похоже, правда? И формула эта как раз и получается из теоремы Пифагора.

Читать далее…

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Куб – параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Все ребра куба равны.

Кстати, заметь, что куб – частный вид прямоугольного параллелепипеда.

Поэтому для диагонали куба действует формула, которую мы получили для прямоугольного параллелепипеда.

Давай убедимся в пользе этой формулы.

Читать далее…

Бонус. Видео из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

А теперь пора закрепить знания и порешать задачки. Иначе твои знания будут не полными!

На этом вебинаре мы на примере самых простых объемных фигур (куб, параллелепипед, призма — задание №8 из ЕГЭ) научимся находить важнейшие вещи в стереометрии — расстояния и углы в пространстве.

Бери ручку, тетрадь и решай задачи вместе с Алексеем!

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

Алексей Шевчук — ведущий курсов

Время услышать тебя!

Теперь ты знаешь все про параллелепипед. Ты воспользуешься этим в решении многих задач стереометрии!

А теперь мы хотим услышать тебя. Напиши в комментариях ниже свое мнение об этой статье!

Помогла ли она тебе? Все ли было понятно?

А еще ты можешь задать любой вопрос. Мы ответим!

Добавить комментарий Отменить ответ

6 комментариев

Наталья :

Скажите , пожалуйста, если разрезать куб на две равные половинки, как будет называться такая половинка-прямоугольный параллелепипед? Спасибо за такое наглядное очень подробное описание. Буду на досуге вдумчиво читать, разбираться

Алексей Шевчук :

Наталья :

Здравствуйте, Алексей!
Благодарю Вас. Вы можете посоветовать такой учебник для детей, где
наглядно и очень доступно были бы объяснены все эти объемные и плоские фигуры?
Всего доброго! С уважением, Наталья

Левани :

Огромное вам СПАСИБО !всё понятно и интересно объяснили,спасибо,было такое ощущение,что вы рядом .

Александр Кель :

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Пульхерия Алексеевна
11 мая 2018
Спасибо огромное. Вы такая потрясающая женщина. Как вам это удалось.

Аноним
05 июня 2018
Прекрасная статья, большое спасибо!

Саша
09 января 2019
Шикарное объяснение! Спасибо!

Ольга
21 января 2019
Вот бы в школе так объясняли. Всё по полочкам разложено. Спасибо!

гузаль
12 июня 2019
спасибо! все было понятно. И за мотивацию тоже спасибо)))

Читайте также: