Доклад по математике на тему квадратные уравнения
Обновлено: 04.07.2024
История квадратных уравнений: уравнения в Древнем Вавилоне и Индии. Формулы четного коэффициента при х. Квадратные уравнения частного характера. Теорема Виета для многочленов высших степеней. Исследование биквадратных уравнений. Сущность формулы Кордано.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 09.05.2009 |
| Размер файла | 75,8 K |
Подобные документы
История развития формул корней квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Решение квадратных уравнений Диофантом. Квадратные уравнения в Индии, в Хорезмии и в Европе XIII - XVII вв. Теорема Виета, современная алгебраическая запись.
контрольная работа [992,3 K], добавлен 27.11.2010
Установление прямой зависимости между величинами при изучении явлений природы. Свойства дифференциальных уравнений. Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
курсовая работа [209,4 K], добавлен 04.01.2016
Уравнения, системы линейных, квадратных и третьей степени уравнений. Уравнения высших степеней сводящиеся к квадратным. Системы уравнений, три переменные. График квадратичной функции, пределы, производные. Интегральное счисление и примеры решения задач.
шпаргалка [129,6 K], добавлен 22.06.2008
Типы уравнений, допускающих понижение порядка. Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка. Теоремы о свойствах частичных решений. Определитель Вронского и его применение. Использование формулы Эйлера. Нахождение корней алгебраического уравнения.
презентация [103,1 K], добавлен 29.03.2016
Ученые математики, открытия которых являются основой научно-технического прогресса. Квадратные уравнения в Европе в XII-XVII веках. Научная деятельность Ф. Виета и её роль в развитии математики в XVI веке. Особенности применения научных открытий в жизни.
презентация [1,6 M], добавлен 16.05.2012
Подход к решению уравнений. Формулы разности степеней. Понижение формы члена уравнения. Компьютерный поиск данных чисел. Система Диофантовых уравнений. Значения натурального ряда. Уравнения с нечётным числом членов решений в натуральных числах.
доклад [166,1 K], добавлен 26.04.2009
Изучение биографии и деятельности Франсуа Виета и его вклада в математику. Определение понятия квадратного уравнения. Сущность уравнений частного порядка и их решение рациональным способом. Анализ теоремы Виета как инструмента для решения уравнений.
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
История квадратных уравнений
Необходимость решать уравнения не только первой степени, но и второй ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Правила решения этих уравнений, изложенные в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, но в этих текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.
«Обезьянок резвых стая
А двенадцать по лианам Всласть поевши, развлекалась
Стали прыгать, повисая
Их в квадрате часть восьмая
Сколько ж было обезьянок,
На поляне забавлялась
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее задаче уравнение Бхаскара пишет под видом x2 - 64x = - 768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем: x2 - б4х + 322 = -768 + 1024, (х - 32)2 = 256, х - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.
Квадратные уравнения в Европе XVII века
Определение квадратного уравнения
Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c - числа, , называется квадратным.
Коэффициенты квадратного уравнения
Числа а, b, с – коэффициенты квадратногоуравнения.а – первый коэффициент (перед х²), а ≠ 0;b - второй коэффициент (перед х);с – свободный член (без х).
Какие из данных уравнений не являются квадратными?
1. 4х² + 4х + 1 = 0;2. 5х – 7 = 0;3. - х² - 5х – 1 = 0;4. 2/х² + 3х + 4 = 0;5. ¼ х² - 6х + 1 = 0;6. 2х² = 0;
7. 4х² + 1 = 0;8. х² - 1/х = 0;9. 2х² – х = 0;10. х² -16 = 0;11. 7х² + 5х = 0;12. -8х²= 0;13. 5х³ +6х -8= 0.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
квадратных уравнений
(8 класс, алгебра)
1. Определение квадратного уравнения, его виды ________________стр. 3
2. Из истории квадратных уравнений __________________________стр. 4
3. Различные способы решения квадратных уравнений:
1) Разложение левой части уравнения на множители ________________стр. 6
2) Метод выделения полного квадрата ____________________________стр. 6
3) Решение квадратных уравнений по формуле _____________________стр. 7
4)Решение уравнений с использованием теоремы Виета _____________ стр. 8
5) Решение уравнений способом переброски _______________________стр. 9
6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения ________________стр. 10
7) Графическое решение квадратного уравнения __________________ стр. 13
8) Решение квадратных уравнений с помощью
циркуля и линейки _________________________________________стр. 14
9) Решение квадратных уравнений с помощью
номограммы _____________________________________________стр. 18
10) Геометрический способ решения квадратных уравнений _________стр. 20
4. Дидактический материал __________________________________стр. 22
5. Литература _______________________________________________стр. 24
1. Определение квадратного уравнения, его виды.
Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax 2 + bx + c = 0,
где х- переменная, а, b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.
Если в квадратном уравнении ах 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ах 2 + с = 0, где с ≠ 0;
2) ах 2 + b х = 0, где b ≠ 0;
2. Из истории квадратных уравнений.
а) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
х 2 + х = , х 2 – х = 14
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
б) Квадратные уравнения в Индии.
ах 2 + b х = с, а > 0
В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.
в) Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду
х 2 + b х = с,
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
3. Различные способы решения квадратных уравнений.
1) Разложение левой части уравнения на множители.
1. Решим уравнение х 2 + 10х – 24 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители:
х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х – 24 = 0.
2) Метод выделения полного квадрата
Поясним этот метод на примере.
Решим уравнение х 2 + 6х – 7 = 0
Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение
х 2 + 6х в следующем виде:
х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3.
В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как
х 2 + 2· х ·3 + 3 2 = (х + 3) 2 .
Преобразуем теперь левую часть уравнения
прибавляя к ней и вычитая 3 2. Имеем:
х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2· х ·3 + 3 2 – 3 2 – 7 = (х + 3) 2 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3) 2 –16 = 0, т.е. (х + 3) 2 = 16.
Следовательно, х = 3 = 4, х1 = 1, или х +3 = - 4 , х2 = – 7.
3) Решение квадратных уравнений по формуле
Вывод формулы:
Умножим обе части уравнения
ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0,
на 4а и следовательно имеем:
4а 2 х 2 + 4а b с + 4ас = 0.
((2ах) 2 + 2ах · b + b 2 ) – b 2 + 4ас = 0,
(2ах + b ) 2 = b 2 – 4ас,
а) 4х 2 + 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 – 4ас = 7 2 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >два разных корня;
х = , х = ; х = , х 1 = , х = , х 2 = –1
Таким образом, в случае положительного дискриминанта,
т. е. при b 2 – 4ас≥0 уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет два различных корня.
б) 4х 2 – 4х + 1 = 0,
а =4, b = - 4, с = 1. D = b 2 – 4ас= 16 – 4∙4∙1 = 0, D = 0, один корень;
Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. = b 2 – 4 ас= 0, то уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет единственный корень, х =
в) 2х 2 +3х + 4 = 0, а =2, b = 3, с = 4, D = b 2 – 4ас= 9 – 4∙2∙4 =9 – 32 = - 13,
Итак, если дискриминант отрицателен, т. е. = b 2 – 4ас
ах 2 + b х + с = 0 не имеет корней.
4) Решение уравнений с использованием теоремы Виета
(прямой и обратной)
а) Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х 2 + px + q = 0. (1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).
а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен ( q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p .
Если p >0, то оба корня отрицательные, если p
х 2 – 3х + 2 = 0; х1 = 2 и х2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = – 3
х 2 +8х + 7 = 0; х1 = – 7 и х2 = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.
б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен ( q то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p , или отрицателен, если p >0.
х 2 + 4х – 5 = 0; х1 = – 5 и х2 = 1, так как q = – 5 p = 4 > 0;
х 2 – 8х – 9 = 0; х1 = 9 и х2 = – 1, так как q = – 9 p = – 8 >0.
б) Теорема Виета для квадратного уравнения
ах 2 +вх +с = 0
Справедлива теорема, обратная теореме Виета:
Если числа х1 и х2 таковы, что х1+х2 = -р, х1х2 = q , то х1 и х2 – корни квадратного уравнения
Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.
1. Решить уравнение
Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что
Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.
2. Решить уравнение
Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что
Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.
Рассмотрим квадратное уравнение
ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение
а 2 х 2 + а b х + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению
у 2 + by + ас = 0,
Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.
у 2 – 11 y +30 = 0.
Согласно теореме Виета
6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
А. Пусть дано квадратное уравнение
ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0.
1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = .
Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение
Согласно теореме Виета
По условию а + b + с = 0, откуда b = – а – с. Значит,
Получаем х 1 = 1, х 2 = , что и требовалось доказать.
2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х 1 = – 1, х 2 = – .
Доказательство. По теореме Виета
По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,
т.е. х 1 = – 1 и х 2 = , что и требовалось доказать.
1. Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.
Решение . Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = = .
Ответ : 1; – .
2. Решим уравнение 132х 2 + 247х + 115 = 0
Решение. Т. к. а- b +с = 0 (132 – 247 +115=0), то
Б. Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней
можно записать в виде
Решим уравнение 3х 2 – 14х + 16 = 0.
Решение. Имеем: а = 3, b = – 14, c = 16, k = – 7;
D = k 2 – ac = (– 7) 2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D >0, два различных корня;
В. Приведенное уравнение
x 2 + px + q = 0
совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, p и c = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней
Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p – четное число.
1. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.
Решение . Имеем: х 1,2 = 7±= 7±= 7±8.
7. Графическое решение квадратного уравнения
Если в уравнении
x 2 + px + q = 0
перенести второй и третий члены в правую часть, то получим
x 2 = – px – q .
Построим графики зависимостей у = х 2 и у = – px – q .
График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.
График второй зависимости – прямая.
Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение имеет одно решение;
- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
Что называют квадратным уравнением
Важно!
Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.
Примеры квадратных уравнений
Важно! Общий вид квадратного уравнения выглядит так:
Как решать квадратные уравнения
В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней.
Запомните!
Чтобы решить квадратное уравнение нужно:
Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.
Подставим их в формулу и найдем корни.
Важно!
Обязательно выучите наизусть формулу для нахождения корней.
С её помощью решается любое квадратное уравнение.
Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.
Теперь можно использовать формулу для корней.
x1;2 =| −(−6) ± √ (−6) 2 − 4 · 1 · 9 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| 6 ± √ 36 − 36 |
| 2 |
x1;2 =
| 6 ± √ 0 |
| 2 |
x1;2 =
| 6 ± 0 |
| 2 |
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Ответ: x = 3
Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.
Мы помним из определения квадратного корня о том, что извлекать квадратный корень из отрицательного числа нельзя .
Рассмотрим пример квадратного уравнения, у которого нет корней.
5x 2 + 2x = − 35x 2 + 2x + 3 = 0
x1;2 =
| −2 ± √ 2 2 − 4 · 3 · 5 |
| 2 · 5 |
x1;2 =
| −2 ± √ 4 − 60 |
| 10 |
x1;2 =
| −2 ± √ −56 |
| 10 |
Ответ: нет действительных корней.
Важно!
Неполные квадратные уравнения
Читайте также: