Доклад по математическому анализу
Обновлено: 28.06.2024
Л. Эйлер - самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Многие его работы оказали значительное влияние на развитие науки.
Почти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург. В 1731—1741 и начиная с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741-1766 годах работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык, часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики по математике (С. К. Котельников), и по астрономии (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.
Л.Эйлер внес очень большой вклад в развитие математического анализа.
Цель реферата – изучить историю развития математического анализа в XVIII веке.
1 Понятие математического анализа. Исторический очерк
Математический анализ - совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.
В учебном процессе к анализу относят
· дифференциальное и интегральное исчисление
· теорию рядов (функциональных, степенных и Фурье) и многомерных интегралов
При этом элементы функционального анализа и теории интеграла Лебега даются факультативно, а ТФКП, вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений читаются отдельными курсами. Строгость изложения следует образцам конца XIX века и в частности использует наивную теорию множеств.
Предшественниками математического анализа были античный метод исчерпывания и метод неделимых. Все три направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение на бесконечно малые элементы, природа которых, впрочем, представлялась авторам идеи довольно туманно. Алгебраический подход (исчисление бесконечно малых) начинает появляться у Валлиса, Джеймса Грегори и Барроу. В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон, который, однако, долгое время не публиковал свои открытия.
Эти определения поясняются геометрически, при этом на рисунке бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:
Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать безразлично одну вместо другой.
Отсюда получается x + dx = x, далее
dxy = (x + dx)(y + dy) − xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx
и проч. правила дифференцирования. Второе требование гласит:
Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий.
Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой.Исследуя касательную, проходящую через точку M = (x,y), Лопиталь придаёт большое значение величине
достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же dy к dx не придаётся никакого особого значения.
Примечательно нахождение точек экстремума. Если при непрерывном увеличении диаметра x ордината y сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал dy сначала положителен по сравнению с dx, а потом отрицателен.
Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.
Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, y = x2, тогда в силу первого требования
2xdx + dx2 = 2xdx;
в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что dy можно преобразовать в соответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума dy = 0. В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что dy равен нулю в точке максимума, будучи разделён на dx
Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя, хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты y кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при x = a. Тогда точка кривой с x = a имеет ординату y, равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при x = a.
2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа
Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля 1707 в семье пастора и провел детство в близлежащем селении, где его отец получил приход. Здесь на лоне сельской природы, в благочестивой обстановке скромного пасторского дома Леонард получил начальное воспитание, наложившее глубокий отпечаток на всю его последующую жизнь и мировоззрение. Обучение в гимназии в те времена было непродолжительным. Осенью 1720 тринадцатилетний Эйлер поступил в Базельский университет, через три года окончил низший – философский факультет и записался, по желанию отца, на теологический факультет. Летом 1724 на годичном университетском акте он прочел по-латыни речь о сравнении картезианской и ньютонианской философии. Проявив интерес к математике, он привлек к себе внимание Иоганна Бернулли. Профессор стал лично руководить самостоятельными занятиями юноши и вскоре публично признал, что от проницательности и остроты ума юного Эйлера он ожидает самых больших успехов.
Еще в 1725 Леонард Эйлер выразил желание сопровождать сыновей своего учителя в Россию, куда они были приглашены в открывавшуюся тогда – по воле Петра Великого – Петербургскую Академию наук. На следующий год получил приглашение и сам. Покинул Базель весной 1727 и после семинедельного путешествия прибыл в Петербург. Здесь он был зачислен сначала адъюнктом по кафедре высшей математики, в 1731 стал академиком (профессором), получив кафедру теоретической и экспериментальной физики, а затем (1733) кафедру высшей математики.
Сразу же по приезде в Петербург он полностью погрузился в научную работу и тогда же поразил всех плодотворностью своей деятельности. Многочисленные его статьи в академических ежегодниках, первоначально посвященные преимущественно задачам механики, скоро принесли ему всемирную известность, а позже способствовали и славе петербургских академических изданий в Западной Европе. Непрерывный поток сочинений Эйлера печатался с тех пор в трудах Академии в течение целого века.
Наряду с теоретическими исследованиями, Эйлер уделял много времени и практической деятельности, исполняя многочисленные поручения Академии наук. Так, он обследовал разнообразные приборы и механизмы, участвовал в обсуждении способов подъема большого колокола в Московском кремле и т.п. Одновременно он читал лекции в академической гимназии, работал в астрономической обсерватории, сотрудничал в издании Санкт-Петербургских ведомостей, вел большую редакционную работу в академических изданиях и пр. В 1735 Эйлер принял участие в работе Географического департамента Академии, внеся большой вклад в развитие картографии России. Неутомимая работоспособность Эйлера не была прервана даже полной потерей правого глаза, постигшей его в результате болезни в 1738.
Осенью 1740 внутренняя обстановка в России осложнилась. Это побудило Эйлера принять приглашение прусского короля, и летом 1741 он переехал в Берлин, где вскоре возглавил математический класс в реорганизованной Берлинской Академии наук и словесности. Годы, проведенные Эйлером в Берлине, были наиболее плодотворными в его научной деятельности. На этот период падает и его участие в ряде острых философско-научных дискуссий, в том числе о принципе наименьшего действия. Переезд в Берлин не прервал, однако, тесных связей Эйлера с Петербургской Академией наук. Он по-прежнему регулярно посылал в Россию свои сочинения, участвовал во всякого рода экспертизах, обучал посланных к нему из России учеников, подбирал ученых на замещение вакантных должностей в Академии и выполнял много других поручений.
В том же 1766 Эйлер почти полностью потерял зрение и на левый глаз. Однако это не помешало продолжению его деятельности. С помощью нескольких учеников, писавших под его диктовку и оформлявших его труды, полуслепой Эйлер подготовил в последние годы своей жизни еще несколько сотен научных работ.
Похоронен на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге, откуда его прах перенесен осенью 1956 в некрополь Александро-Невской лавры.
Математический анализ функции одной переменной, основные теоремы о пределах функций, их дифференцируемость. Производная и дифференциал высших порядков, экстремумы функций. Методы интегрирования, неопределенный и определенный интегралы, их свойства.
| Рубрика | Математика |
| Вид | шпаргалка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 12.01.2013 |
| Размер файла | 163,8 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
1. Понятие функции
Числовую величину х назовём переменной величиной, если она может принимать различные значения.
Х-множество всех значений х, XR.
Пусть существует множество YR. Если каждому х из Х по некоторому правилу сопоставлено единственное y из Y, то говорят, что на Х задана функция y=f(x) или
Функция определена, если заданы: множество Х(ОблОпредФункц), множество Y(МножЗначФункц), правило сопоставления элементов Y элементам Х.
Способы задания функций. Табличный, аналитический, графический, описательный
Основные характеристики функций: Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется чётной, если для любого x из D, выполняется условие
Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется нечётной, если для любого x из D, выполняется условие -xD, f(-x)=-f(x).
Пусть функция y=f(x) определена на D и пусть D1cD(подмножество), тогда:
1) если для любых х 1 и х 2 D1 выполняется
то функция называется неубывающей на множестве D1.
3) Если для любых х 1 и х 2 D1 выполняется
то функция называется убывающей на множестве D1.
4) Если для любых х 1 и х 2 D1 выполняется
то функция называется невозрастающей на множестве D1. для случаев 1,2,3,4 функцию называют монотонной, для 1,3-строго монотонной.
Классификация функций: Простейшими элементарными функциями называют: постоянные функции f(x)=c, c=const. степенные, показательные, логарифмические, все тригонометрические и им обратные, все функции, полученные с помощью конечного числа арифметических действий над простыми элементарными функциями, а так же суперпозиции этих функций - составляют класс элементарных функций.
m0 - целая рациональная функция, или алгебраическое множество степени m.
m0,n0 - дробно рациональная функция. Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и их арифметических действий над степенными функциями как с целым, так и с дробным показателем и не являющихся рациональными называют иррациональными. Все функции, не являющиеся рациональными или иррациональными называют трансцендентными (логарифм, показательная).
2. Предел последовательности
Число А называют пределом последовательности , при n, если , т.е. для любого положительного числа существует такое натуральное число N=N(), такое что при всех n>N выполняется неравенство |xn-A| 0, существует такой номер, что все n с большими номерами попадают в - окрестность числа А.
3. Бесконечно большие (б.б.) и бесконечно малые (б.м.) последовательности
- называется бесконечно большой, если для любого М>0, существует такой номер N, что для всех n с номерами n>N, выполняется условие, что |xn|>M.
- называется бесконечно малой, если для любого М>0, существует такой номер N, что для всех n с номерами n>N, выполняется условие, что |xn| 0NM:n>N=>|Xn|>M.
n>N - бесконечно малая и обратно.
Основные свойства бесконечно малых/больших последовательностей
Теорема: сумма и разность б.м.п. есть б.м.п. Док-во: n - б.м., n-б.м.
/2>0N1:n>N1=>|n| 0N2:n>N2=>|n| N будут одновременно выполнятся
|n| n>N |n+-n| |n|+|n| N |n+-n| 0N1:n>N1=>|n| N2=>|n| N существует
|n| |n|*|n| 0, что для всех членов последовательности выполняется:
Теорема: произведение ограниченной последовательности на б.м. есть б.м.п. Док-во: Пусть Xn-ограниченная, n - б.м. Так как Xn-ограниченная, то
так как n - б.м., то
/с>0N:n>N=>|n| 0, существует дельта ()>0, зависящая от , такое что для всех произвольных х, принадлежащих окрестности х 0 и отличных от х 0 удовлетворяющих неравенству, что |x-x0| 0, что модуль функции |f(x)|c для всех x[a;b], в противном случае функция называется неограниченной на отрезке.
Теорема: всякая непрерывная на отрезке [a;b] функция ограничена на отрезке [a;b]
Теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.
Теорема: если функция непрерывна на [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка с, значение функции в которой равно 0.
10. Дифференцирование
Понятие производной. Рассмотрим функцию y=f(x) на интервале (a;b). Возьмём на этом интервале точку х 0 и приращение на оси Ох. Прямая, соединяющая 2 точки (х 0;f(x0)) и (x0+x;f(x0+x))на графике функции называется секущей.
Угловой коэффициент секущей равен отношению приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента.
Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует)
Если предел конечен, то производная конечная, если предел бесконечен, то производная бесконечна.
Геометрический смысл производной. Прямая y-y0=k(x-x0), угловой коэффициент которой равен производной функции в данной точке (k=f'(x0)) называется касательной к графику функции в данной точке.
При х0, значение х0+хх0, т.е. секущая стремится занять положение касательной, так будем говорить, что касательная есть предельное положение секущей.
Геометрический смысл производной состоит в том, что она равна tg угла наклона касательной.
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания называется нормалью.
- уравнение нормали в точке х0.
11. Дифференцируемость функции
Операция вычисления производной функции называется дифференцированием.
Функция y=f(x), называется дифференцируемой в точке х 0, если её приращение функции (y) может быть представлено:
где А-число, не зависящее от х, а (x) - бесконечно малая функция.
Теорема: для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируемой в точке х 0 необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Док-во: необходимость: пусть функция дифференцируема в точке, тогда её приращение может быть записано как
Разделим всё на x:
переходя к пределу:
По определению в точке х 0 имеется конечная производная А. Достаточность: пусть существует конечная производная функции y=f(x) в точке х 0:
Теорема (второе определение непрерывности): если функция y=f(x) дифференцируема в точке х 0, то она и непрерывна в этой точке. Док-во: т.к. функция дифференцируема в точке, то её приращение можно записать
это означает, что функция в точке непрерывна. Обратное НЕ верно.
12. Правила дифференцирования
Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х, тогда:
доказывается нахождением предела при х0.
13. Производные элементарных функций
14. Производная сложной функции
y=f(u) и u=g(x), то y=f(g(x))
- сложная функция, с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Теорема: пусть u=g(x) - дифференцируема в точке х 0, а функция y=f(u)-дифференцируема в точке u0, где u0=g(x0), тогда y=f(g(x))-дифференцируема в точке х 0 и её производная находится по формуле
-*, т.к функция дифференцируема в точке u0, то её производная м.б. записана:
тогда её приращение м.б. представить
где (u)-бесконечно малая, А-производная в точке u0.
15. Производная обратной функции
Определение: функция y=f(x), множеству Х ставит в соответствие Y, где Х-D(f) и Y-E(f). Если каждому y из Y ставится в соответствие x из X, причем х - единственное, то определена функция x=(y), где Y-D(), X-E() такая функция x=(y) - обратная к y=f(x), x=f -1(y).
Из определения обратной функции вытекает, что функция y=f(x) имеет обратную производную тогда и только тогда, когда она задаёт взаимно-однозначное соответствие между X и Y=> любая строго монотонная функция имеет обратную производную, если исходная функция возрастает, то и обратная возрастает.
Теорема о производной обратной функции: пусть y=f(x) определена и строго монотонна в окрестности точки х 0, x=f -1(y) - обратная к ней функция, тогда если функция y=f(x) имеет производную в точке х 00, то и обратная функция имеет отличную от нуля производную в точке y0=f(x0) и её производная вычисляется:
Замечание: переход от у0 на х0 осуществим в виду того, что функция f(x) и f -1(у) дифференцируемы в точках х 0 и у 0, а раз функции дифференцируемы, то они не прерывны, а по второму определению непрерывности бесконечно малое приращение аргумента соответствует бесконечно малому приращению функции.
16. Понятие дифференциала
Дифференциалом функции y=f(x) называется главная линейная часть приращения функции т.е. dy= f '(x)x. Если f(x)=x, то dy=dx=(x)' x=x.
Геометрический смысл дифференциала:
QN - величина дифференциала. Рассмотрим треугольник MNQ. tg=MN/MQ - производная в точке. NQ=f '(x0) x.
Приближенное вычисление при помощи дифференциала:
f(x+x)-f(x)=f '(x)x+(x)x, где (x)x - б.м.функция.
17. Производная и дифференциал высших порядков
Понятие производной n-ого порядка: если y=f(x) дифференцируема, то f '(x) - так же является функцией аргумента х, следовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о её производной. Назовём производную второго порядка или второй производной производную от производной функции f ''(x)=(f '(x))'. Производная n-ого порядка от х:
18. Теорема Ферма
Пусть y=f(x), определена на интервале (a;b), в точке х 0(a;b) функция принимает наибольшее или наименьшее значение, тогда если в точке х 0 существует производная, то она равна нулю. Док-во: пусть для определённости функция в точке х 0 принимает наибольшее значение, тогда для любого х(a;b), хх 0, f(x)f(x0). Таким образом приращение функции равно:
Рассмотрим х>0: y0, x>0, f '(x0)0; рассмотрим x m. В случае 1 функция является const, f '(x)=0. в случае 2 т.к. f(a)=f(b), то хотя бы одно из значений либо наибольшее, либо наименьшее не принимается на концах отрезка. Тогда есть точка С, в которой функция y=f(x) принимает наибольшее и наименьшее значения, а т.к. по условию функция дифференцируема в этой точке, то по теореме ферма f '(C)=0.
20. Теорема Лагранжа
Пусть на отрезке [a;b] определена функция y=f(x), она непрерывна на этом отрезке и дифференцируема в интервале (a;b), тогда есть такая точка С, принадлежащая (a;b), для которой справедливо:
Док-во: рассмотрим вспомогательную функцию
она удовлетворяет всем трём условиям теоремы Роля:
1) функция непрерывна, как разность двух функций
2) F(x) дифференцируема на (a;b)
3) F(a)=0, F(b)=0, F(a)=F(b). Тогда по теореме Ролля существует такая точка С, что
называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.
21. Теорема Коши
Пусть функции f(x) g(x) непрерывны на отрезке [a;b], и g'(x)0, тогда существует такая точка С, принадлежащая интервалу (a;b), для которой справедлива формула:
Док-во: данная формула имеет смысл в случае, если g(b)g(a). Если бы эти значения были бы равны, то по теореме Ролля для функции g(x) нашлась бы такая точках 0, что g'(x0)=0. по условию g'(x)0, значит g(b)g(a). Составим вспомогательное уравнение:
Это уравнение удовлетворяет всем трём условиям теоремы Ролля, тогда по теореме Ролля для функции F(x) найдётся такая точка С, что
Замечание: эта формула называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных производных.
22. Правило Лапиталя
Будем говорить, что отношение двух функций f(x) g(x) при хх 0 есть неопределённость вида [0/0] если и . Раскрыть эту неопределённость значит вычислить этот предел или показать, что он не существует.
Теорема Лапиталя: Пусть функции f(x) g(x) определены и дифференцируемы в окрестностях некоторой точки х 0, за исключением может быть самой точки х 0. Известно, что и , g'(x)0. тогда если существует предел , то существует и и они равны между собой.
Док-во: применим к функциям f(x) g(x) теорему Коши на отрезке [x0;x], тогда найдётся такая точка С(a;b) для которой выполняется
Переходим к пределу при хх 0:
Замечание: теорема так же верна в случае, когда рассматривается неопределённость типа [/].
23. Монотонность функций
Признак монотонности: Если функция дифференцируема на интервале и её производная в точке принадлежащей этому интервалу больше или равна нулю, то функция является неубывающей, если производная меньше или равна нулю, то функция невозрастающая.
Док-во: рассмотрим случай f '(x)0. пусть x1,x2(a;b), x1 f(x0).
Теорема (необходимое условие локального экстремума): Если функция имеет в точке х 0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то её производная равна нулю. Док-во: т.к. в точке х 0 функция имеет локальный экстремум, то есть такой интервал, на котором значение функции в точке х 0 будет наибольшим/наименьшим среди всех других значений функции на этом интервале, что означает по теореме Ферма производная в этой точке равна нулю. Обратное не верно.
Достаточное условие экстремума: если непрерывная функция f(x) дифференцируема в дельта окрестности (x0-;x0+) и при переходе через неё слева направо производная меняет знак с + на -, то х 0- точка максимума(если с - на + то минимума).Док-во (с + на -): Рассмотрим (x0-;x0) для х из этого интервала на отрезке [x;x0]. Применим формулу Лагранжа.
Рассмотрим (x0;x0+): тогда на [x0;x], по формуле Лагранжа
Вывод: для любой точки из (x0-;x0+) выполняется условие что f(x0)>f(x) => х 0-точка максимума.
25. Направление выпуклостей и точки перегиба графика функций
Определение: график функции имеет на интервале (a;b) выпуклость вверх, если он расположен ниже любой касательной к графику функции на этом интервале. График функции имеет на интервале (a;b) выпуклость вниз, если он расположен выше любой касательной к графику функции на этом интервале.
Теорема: если функция f(x) имеет на интервале (a;b) вторую производную и она является положительной во всех точках этого интервала, то тогда график функции является выпуклым вниз на этом интервале (если вторая производная отрицательная, то выпуклость вверх)
Док-во: рассмотрим f''(x)>0 на (a;b). Возьмем точку С(a;b). Необходимо доказать, что функция на (a;b) лежит выше любой касательной. Уравнение касательной в точке С: y=f(c)-f'(c)(x-c) найдём разность между функцией и касательной используя теорему Лагранжа:
Если x>c, то f(x)>y, если x y касательной.
Определение: точка х 0 называется точкой перегиба, если в этой точке график функции имеет касательную и существует (x0-;x0+) в пределах которой график функции слева и справа от х 0 имеет разные направления выпуклостей.
Необходимое условие точки перегиба: пусть график функции имеет в точке х 0 перегиб, и пусть функция имеет непрерывную вторую производную, тогда значение второй производной в этой точке равно нулю.
Достаточное условие точки перегиба: пусть функция имеет вторую производную в (x0-;x0+), тогда если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от х 0, то график функции имеет перегиб в этой точке.
26. Асимптоты графика функций
При исследовании графика функции на бесконечность, т.е. при x+ и x-, а так же вблизи точек разрыва часто оказывается, что график сколь угодно близко приближается к той или иной прямой, т.е. асимптоте.
Прямая х=х 0 - вертикальная асимптота графика функции y=f(x), если хотя бы один из пределов или равен . Нахождение вертикальных асимптот:
1) точки разрыва и граничные точки на области определения
2) вычисляем односторонний предел при х стремящимся к этим точкам.
Прямая y=a - горизонтальная асимптота графика y=f(x), при х, если .
Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой к графику y=f(x) при х, если саму функцию y=f(x) можно представить в виде
Схема нахождения: вычисляем
если этот предел не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонной асимптоты. Вычисляем
если его нет или он бесконечен, то асимптоты нет.
27. Схема исследования функции и исследование её графика
1. Область определения функции, промежутки непрерывности, точки разрыва, вертикальные асимптоты
2. точки пересечения с осями.
5. промежутки монотонности и экстремумы
6. Выпуклости, точки перегиба
7. наклонные асимптоты
28. Формула Тейлора
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х 0 и имеет в этой точке производные (n+1) порядка. Тогда для любого х в (x0-;x0+) найдется такое (кси)(х 0;х), такая что справедлива формула:
- многочлен Тейлора, остаточный член в формуле Лагранжа.
Формула Маклорена: называют формулу Тейлора при х 0=0.
29. Функция нескольких переменных
Предположим, что задано множество D упорядоченных пар чисел. Если каждой паре из множества D по некоторому правилу сопоставить единственную переменную zZ, то говорят, что на множестве D задана функция z=f(x;y).
Предел функции двух переменных. Введём понятие дельта окрестности точки M0(x0;y0). M(x;y)U(M0),
Определение: пусть функция Z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки М 0, за исключением быть может самой точки М 0. число А называется пределом функции z=f(x;y) при хх 0, уу 0. M(x;y)M0(x0,y0).
Если для любого E>0 существует >0, такое что для всех хх 0, уу 0 и удовлетворяет
Теорема достаточное условие локального экстремума: Пусть в точке М 0 возможного экстремума и некоторой её окрестности функция Z=f(x;y) имеет частные производные второго порядка. Обозначим:
Составим матрицу: , обозначим
Если >0, то точка М 0 - является точкой локального экстремума,
Если 0, A>0, М 0 - точка минимума,
интегрируя обе части получаем:
42. Определённый интеграл (определение, геометрический смысл)
Читайте также: