Доклад на тему теорема синусов и косинусов

Обновлено: 05.07.2024

Геометрия – одна из самых древних и интересных наук, занимающаяся изучением геометрических фигур. Эта наука имеет огромный запас различных теорем, которые постоянно применяются как при решении математических задач, так и в жизни.
Цель данной работы – изучить историю теорем о косинусах и синусах.

Содержание

1) Введение
2) История тригонометрии
3) Теоремы и доказательства
4) Заключение
5) Список литературы

Вложенные файлы: 1 файл

презентация.pptx

теорем о синусах и косинусах

Выполнил студент гр. Тв-24

1) Введение
2) История тригонометрии
3) Теоремы и доказательства
4) Заключение
5) Список литературы

Цель данной работы – изучить историю теорем о косинусах и синусах.

Греческий математик Клавдий Птолемей также внес большой вклад в развитие тригонометрии.

Термин "тригонометрия" ввел в употребление в 1595 немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц. К концу 16 в. большинство тригонометрических функций было уже известно, хотя само это понятия еще не существовало.
Древние греки не знали синусов, косинусов и тангенсов, вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволявшие находить хорду окружности по стягиваемой дуге.

Термины "синус" и "косинус" пришли от индийцев. Полухорду индийцы называли "ардхаджива" (в переводе с санскрита — "половина тетивы лука"), а потом сократили это слово до "джива". Мусульманские астрономы и математики, получившие знания по тригонометрии от индийцев, восприняли его как "джиба", а затем оно превратилось в "джайб", что на арабском языке означает "выпуклость", "пазуха". Наконец, в 7 в. "джайб" буквально перевели на латынь словом "sinus", которое не имело никакого отношения к обозначаемому им понятию. Санскритское "котиджива" — синус остатка (до 90°), а на латинском — sinus complementi, т. е. синус дополнения, в 17 в. сократилось до слова "косинус". Наименования "тангенс" и "секанс" (в переводе с латинского означающие "касательная" и "секущая") введены в 1583 немецким ученым Финком.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Синус и косинус

Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin и cos были впервые введены в 1739 г. швейцарским математиком Иоганном Бернулли в письме к Леонарду Эйлеру.

Определение синуса и косинуса

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Стороны треугольника пропорциональны синусам против оположных углов

Доказательство теоремы синусов

Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = b. Докажем что:
a/Sin(a) = b/Sin(B) = c/Sin(C)
По теореме о площади треугольника:
S = 1/2*ab*Sin(C), S = 1/2*bc*Sin(A), S = 1/2*ca*Sin(B)
из первых двух равенств получаем
1/2*ab*Sin(C) = 1/2*bc*Sin(A), откуда
a/Sin(A) = c/ Sin(C). Точно также из второго и третьего равенств получаем: a/Sin(A) = b/ Sin(B). Итак:
a/Sin(a) = b/Sin(B) = c/Sin(C)
Теорема доказана.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство теоремы косинусов

Одно из самых красивых и простых доказательств теорем ы косинусов является доказательство её в координатной плоскости.
Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c,AC=b,CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С.С(b×cosα;b×sinα). Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:

9 класс — насыщенное новыми знаниями время. Чтобы не запутаться в теории по геометрии, рекомендуем сделать карточки с информацией по каждой теме. В этой статье вы найдете самое важное про теорему косинусов.

О чем эта статья:

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

BC 2 = a 2 = (b cos α - c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α - 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) - 2bc cos α + c 2

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

Когда b 2 + c 2 - a 2 > 0, угол α будет острым.
Когда b 2 + c 2 - a 2 = 0, угол α будет прямым.
Когда b 2 + c 2 - a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

h 2 = b 2 - (b × cos α) 2
h 2 = a 2 - (c – b × cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

b 2 = a 2 + c 2 - 2ac × cos β;
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab × cos γ.

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 - 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Теорема синусов. Теорема косинусов

Наглядная геометрия 9 класс. Опорный конспект 3. Теорема синусов. Теорема косинусов

Есть в курсе геометрии две очень важные теоремы, связанные с синусом и косинусом угла треугольника. Они так и называются: Теорема синусов и Теорема косинусов.

Из теоремы косинусов вытекают многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач. Можно смело сказать, что это самая работающая теорема. Из нее, в частности, следует и теорема Пифагора: если α = 90°, то cos 90° = 0, тогда а 2 = b 2 + с 2 .

1. Теорема синусов.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство. Дан треугольник со стороной а и противолежащим углом α. Опишем вокруг треугольника окружность. Из конца хорды а проведем диаметр QG. Так как угол, опирающийся на диаметр, — прямой, то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой QG и острым углом α (углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны).

Точно так же доказываем, что

Следовательно,

* Для тупого угла (180° – α) по формуле приведения

2. Формула нахождения радиуса R описанной окружности.

3. Теорема косинусов.

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: а 2 = b 2 + с 2 – 2bc cos α.

Доказательство. Проекция стороны b на сторону с равна b cos α. Проекция стороны а на сторону с равна с – b cos α. Из левого прямоугольного треугольника h 2 = b 2 – (b cos α) 2 , из правого h 2 = а 2 – (с – b cos α) 2 . Приравняем правые части равенств: b 2 – (b cos α) 2 = а 2 – с 2 + 2bc cos α – (b cos α) 2 , откуда a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α.

4. Нахождение косинуса угла треугольника по трем сторонам.

5. Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.

Теорема. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его четырех сторон.

6. Формула медианы треугольника.

7. Формула Герона.

ЭТО НУЖНО ЗНАТЬ !

Необходимость создания и доказательства теоремы синусов и косинусов

На уроках геометрии за 9 класс, изучая темы разностороннего и прямоугольного треугольников, по учебникам автора Атанасян Л. С., ученики учатся решать задачи, применяя теоремы синусов и косинусов.

Теорема синусов

Сформулируем теорему синусов и докажем ее.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Разносторонний треугольник

Для доказательства нужно помнить формулу вычисления площади треугольника, зная длины его двух сторон и угла между ними.
Запишем формулу нахождения площади, при условии, что нам известны длины сторон a и b и угол γ.

Аналогичные формулы записываем для треугольника с известными сторонами a и c и углом β.

И последняя формула для вычисления площади с известными сторонами b и c и углом α.

Поскольку значения площади мы во всех трех случаях получаем одинаковые — приравняем формулы:

Преобразуем и получаем равенство:

Аналогично поступаем со следующим равенством:

В результате можем записать полученное равенство следующим образом:

Что и требовалось доказать.

Дополнение к теореме синусов (следствие из теоремы)

Отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны между собой и равны двум радиусам описанной около него окружности.

Применение теоремы синусов для решения задач

Задача 1. (9 класс). В треугольнике сторона a равна 3 м, углы α и β соответственно равны 45° и 60°. Вычислить длину стороны b.
Решение:
В качестве иллюстрации к задаче мы можем использовать рисунок, который применяли для доказательства.
Записываем теорему синусов для сторон a и b:

Следующим шагом будет выражать из формулы сторону b:

Остается лишь подставить значения и вычислить:

Теорема косинусов

Теорема косинусов для разностороннего треугольника из учебных материалов 9-го и 10-го класса будет рассмотрена ниже.
Сформулируем теорему косинусов для разностороннего треугольника.
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, минус удвоенное произведение этих же сторон на косинус угла между ними.

Рисунок разносторонний треугольник с отмеченными сторонами и двумя углами

Для всех трех сторон теорему косинусов можно записать как:

Разносторонний треугольник в прямоугольной системе координат

Рассмотрим треугольник в прямоугольной системе координат.
Выразим сторону BC (она же a) как длину отрезка, по координатам концов отрезка C и B.
Согласно рисунку запишем координаты точка B (c; 0) и координаты точки C (b *cos α; b*sin α).
Применим формулу для нахождения длины отрезка:

Аналогично можно поступить с остальными сторонами.
Что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы косинусов

Можно не только находить длины сторон треугольника, а также косинусы углов треугольников (а, следовательно, и сами углы). Запишем формулы для нахождения косинусов углов треугольника, если известны длины всех его сторон:

Зная, какое значение принимает выражение в числителе формул для вычисления косинуса угла треугольника, мы можем судить и о величине самого угла.
Итак, если:

Из второго равенства видно, что теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.

Применение теоремы косинусов для решения задач

Задача 2. (9 класс). Найти сторону треугольника, противолежащую углу в 60°, зная длины двух других его сторон 5 см и 4 см.
Решение:
Используем формулу для нахождения длины стороны по теореме косинусов.

Частный случай использования теорем

Если треугольник равнобедренный, то теоремы можно записать в упрощенном виде.

Теорема косинусов и синусов в пространстве

В пространстве также используется теорема косинусов и теорема синусов. Нам нужно сформулировать их для трехгранного угла.

Данное соотношение называют теоремой косинусов для трехгранного угла.
Для данного трехгранного угла отношение синуса двугранного угла к синусу противолежащего ему плоского угла есть величина постоянная:

В разных интернет-платформах размещены в большом количестве онлайн-калькуляторы, для быстрого расчета неизвестных сторон и углов, но самостоятельный подход к изучению материала более полезен. И в этом вам поможет любая презентация на эту тему.

Читайте также: