Доклад на тему многогранники вокруг нас 10 класс
Обновлено: 02.07.2024
После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.
Подписи к слайдам:
Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.
Бертран Рассел
- это выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
Признаки правильных многогранников:
Все его грани – равные правильные многоугольники
В каждой вершине сходится одинаковое число граней
Равны все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.
Существует пять различных видов правильных многогранников
определяется количеством граней
Сумма граней и вершин
Количество ребер +2
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Правильные многогранники удовлетворяют формуле
Открытие удивительной закономерности
у правильных многоугольников
Теорема о числе граней, вершин и рёбер
выпуклого многогранника – 1755 год
Сколько существует различных видов правильных многогранников?
При одной вершине сходится n плоских углов,
но чтобы образовался многогранный угол сумма
их градусных мер должна быть меньше 360°, т.е.
Грани правильного многогранника
Количество граней, сходящихся в одной вершине (n)
Грани правильного многогранника
Количество граней, сходящихся в одной вершине (n)
Угол правильного треугольника равен 60°, значит в
одной вершине может сходиться 3, 4 или 5 правильных
Существуют многогранники, гранями которых являются правильные треугольники
Сколько граней может сходиться в вершине правильного многогранника?
Угол квадрата равен 90°, значит в одной вершине может сходиться только 3 квадрата
Существуют многогранники, гранями которых являются правильные четырёхугольники
Сколько граней может сходиться в вершине правильного многогранника?
Угол правильного пятиугольника равен 108°, значит в одной вершине может сходиться только 3 правильных
Существуют многогранники, гранями которых являются правильные пятиугольники
Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, 13-я книга знаменитых “Начал” Евклида.
Правильные многогранники часто называют также платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли 4 стихии: огонь, вода ,воздух ,земля.
Пятый же многогранник символизировал все мироздание – его по-латыни стали называть quinta essentia (квинта эссенция), означающее все самое главное, основное, истинную сущность чего-либо.
Правильные многогранники в философской картине мира Платона
Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена
вверх, как у пламени
октаэдр – олицетворял воздух
куб – самая устойчивая из фигур – олицетворял землю
икосаэдр – как самый обтекаемый – олицетворял воду
додекаэдр символизировал весь мир
Холст, на котором написана "Тайная вечеря" Сальвадора Дали имеет форму золотого прямоугольника. Золотые прямоугольники меньших размеров использованы художником при размещении фигур двенадцати апостолов. В центре картины расположен додекаэдр.
Икосаидро-додекаидровая структура Земли
Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли . Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.
Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.
Изготовить модель правильного многогранника и вычислить площадь его поверхности.
2 Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.
4 Платоновыми телами называются правильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники. Свойства: в каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число рёбер; в все двугранные углы при рёбрах равны; се многогранные углы при вершинах правильного многоугольника равны. Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Существует лишь пять выпуклых правильных многогранников.
5 Тетраэдр-четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками.
6 Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами.
7 Октаэдр-восьмигранник, тело, ограниченное восемью правильными треугольниками.
8 Додекаэдр-двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью правильными многоугольниками.
9 Икосаэдр-двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью равносторонними треугольниками.
10 ТАБЛИЦА правильных многогранников Название: Число ребер при вершине Число сторон грани ЧислогранейЧисло ребер ребер Число вершин Тетраэдр33464 Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр
11 Начиная с VII века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит переход от практической к философской геометрии. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора.Пифагора. ПифагорейцыПифагорейцы считали, что атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел. ПлатонПлатон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы. (Стихия – вещество, из которого путем сгущения и разряжения, охлаждения и нагревания образуются все тела)
12 огонь тетраэдр водаикосаэдр воздух октаэдр землягексаэдр вселенная додекаэдр додекаэдр
13 Многогранники в искусстве и архитектуре Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.
14 Александрийский маяк Александрийский маяк. Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии. Этот оживленный порт основал Александр Великий во время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова. На его строительство, должно быть, ушло 20 лет, а завершен он был около 280 г. до н.э., во времена правления Птолемея II, царя Египта. Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии. Этот оживленный порт основал Александр Великий во время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова. На его строительство, должно быть, ушло 20 лет, а завершен он был около 280 г. до н.э., во времена правления Птолемея II, царя Египта.
15 Три башни Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню.
16 В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники. Леонардо да Винчи ( ) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции.'' Леонардо да Винчи Леонардо да Винчи
17 Многогранники в биологии Математики считают, что пчёлы Математики считают, что пчёлы строили свои шестиугольные соты строили свои шестиугольные соты задолго до появления человека. задолго до появления человека. Икосаэдр Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Геометрические свойства Геометрические свойства икосаэдра позволяют экономить генетическую икосаэдра позволяют экономить генетическую информацию. информацию.
18 Полуправильные многогранники (тела Архимеда) Архимеда Полуправильным называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники (возможно с разным числом сторон), причём в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
19 Усечённый октаэдр (получается путем операции отсечения углов октаэдра плоскостями) Усечённый тетраэдр (получается путем операции отсечения углов тетраэдра плоскостями) Усечённый икосаэдр (получается путем операции отсечения углов икосаэдра плоскостями)
20 Усечённый куб Икосододекаэдр Усечённыйикосододекаэдр Усечённый кубооктаэдр
21 Звёздчатые многогранники Звёздчатые многогранники получаются из правильных многогранников продолжением их граней или рёбер. (тела Кеплера – Пуансо)
22 У октаэдра есть только одна звездчатая форма. Её можно рассматривать как соединение двух тетраэдров. Большой звездчатый додекаэдр был впервые в 1619 г. Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра. Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра. Звёздчатый октаэдр Звёздчатый додекаэдр
23 Первая звёздчатая форма икосаэдра. Вторая звёздчатая форма икосаэдра. Шестая звёздчатая форма икосаэдра Звездчатый икосаэдр
24 Третья звёздчатая форма кубооктаэдра. Завершающая звёздчатая форма кубооктаэдра. Звездчатый кубооктаэдр
25 Первая звёздчатая форма икосододекаэдра. Девятая звёздчатая форма икосододекаэдра. Завершающая звёздчатая форма икосододекаэдра. Звездчатый икосододекаэдр
26 ЭЙЛЕР Леонард ( ), математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец. Учёный необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Автор св. 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и других, оказавших значительное влияние на развитие науки.
27 Теорема Эйлера Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его рёбер и Г - число граней. Тогда верно равенство В-Р+Г=2. Число =В-Р+Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То что эйлерова характеристика равна 2 для некоторых знакомых нам многогранников, видно из таблицы.
28 Многогранник Числ о вершин ребер гране й В-Р+Г Тетраэдр4642 Куб81262 Октаэдр61282 Додекаэдр Икосаэдр n-угольная пирамида n+12nn+12 n-угольная призма 2n3nn+22
29 Теорема Эйлера имеет огромное значение в геометрии. Эта теорема породила новое направление в математике - топологию. Эйлерова характеристика не зависит ни от длин рёбер, ни от площадей граней, ни от каких-либо углов многогранника. Эйлерова характеристика равна 2 независимо от того, выпуклый это многогранник или нет. Главное - чтобы поверхность этого многогранника не имела дыр и была " похожа" на сферу, а не на рамку топологию (см. рис.). Для многогранника, " похожего" на рамку, эйлерова характеристика равна 0.
30 МНОГОГРАННИКИ из ленты Многогранники – отнюдь не только объект научных исследований. Их формы – завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве. Обычно многогранники конструируют из разверток. Но есть и другой способ – построение многогранников из ленты.
31 Тетраэдр можно получить, перегибая бумажную ленту по сторонам расчерченных на ней равносторонних треугольников.
32 Аналогичным способом можно свернуть куб. Его грани также выстраиваются в цепочку, а чтобы изменить направление ленты для завершения формообразова ния, достаточно перегнуть ее по диагонали квадрата.
33 Построение октаэдра и икосаэдра осуществляется на основе узора из правильных треугольников. Свернув для октаэдра кольцо из шести, а для икосаэдра – из десяти треугольников, перегибаем ленту в обратную сторону и продолжаем сворачивать такие же кольца.
В презентации рассматривается история возникновения многогранников, их виды и роль в практической жизнедеятельности человека.
Содержимое разработки
Министерство общего и профессионального образования Свердловской области
Преподаватель ОТДИС:
Антонюк Елена Владимировна
Есть несколько причин, почему мы рассматриваем эту тему. Одной из них является та, что в практической деятельности и в быту мы постоянно встречаемся с предметами и объектами имеющими форму различных многогранников. Вы имеете представление о них, но только в узком смысле, и теперь выпал шанс изучить роль и значение этих пространственных тел. Вы узнаете о видах многогранников, истории их возникновения, я приведу примеры их применения и раскрою их значение в природе и практической деятельности человека.
Посмотрите вокруг — всюду геометрия! Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых.
Геометрия - это целый мир, который окружает нас с самого рождения.
Многогранники, несомненно, обладают красотой и используются в нашей жизни очень обширно.
ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ
Правильные многогранники
Многогранник
Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
Платон писал о них в своем трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий определённому правильному многограннику.
Огонь – тетраэдр
Вселенная – додекаэдр
Вода – икосаэдр
Воздух – октаэдр
Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал.
В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками.
В модели Солнечной системы пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет. Многогранники были расположены в следующем порядке: октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками.
Позже, от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников.
Равноугольно-полуправильные многогранники
Это многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноимённые правильные многоугольники .
Многогранники такого типа открыл Архимед. Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже были названы телами Архимеда.
Правильные звёздчатые многогранники
Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо .
Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр.
Пуансо открыл два других правильных звёздчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звёздчатый додекаэдр и большой икосаэдр .
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе.
Существует гипотеза, по которой ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете.
Ещё более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих рёбер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.
МНОГОГРАННИКИ В БИОЛОГИИ, ГЕОЛОГИИ И ХИМИИ
В микро-мире многогранники встречаются в виде молекул, вирусов и бактерий - простейших организмов.
Скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр . Простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник.
Вирусы-бактериофаги
Головка вируса-бактериофага также имеет форму икосаэдра .
Элементарной ячейкой воды являются тетраэдры , содержащие связанные между собой водородными связями пять молекул Н 2 О.
И из всего многообразия структур в природе базовой является гексагональная (шестигранная) структура , когда шесть молекул воды (тетраэдров) объединяются в кольцо. Такой тип структуры характерен для льда, снега и талой воды.
Кристаллическая решетка поваренной соли имеет кубическую структуру.
Многие горные породы имеют форму многогранников.
Кристаллы в форме октаэдра
Кристаллы в форме призм
Горный хрусталь
МНОГОГРАННИКИ В МЕДИЦИНЕ
Призмы применяют в медицине, для лечения косоглазия. Принцип тренировки состоит в попеременном приставлении к тренируемым глазам на определенное время положительных сферо – призматических элементов различной сферической и призматической диоптрийности.
МНОГОГРАННИКИ В ФИЗИКЕ
В 60-х годах ХVII столетия Исаак Ньютон проводил эксперименты со светом. Чтобы разложить свет на составляющие и получить спектр, он использовал трёхгранную стеклянную призму.
Учёный обнаружил, что, собрав раздробленный луч с помощью второй призмы, можно опять получить белый свет. Так он доказал, что белый свет является смесью разных цветов. Проходя через призму, световые лучи преломляются. Ньютон первый разгадал, что солнечный луч многоцветный .
Оптика и электронные приборы
(очки, бинокли, объективы, телефоны)
МНОГОГРАННИКИ В ИСКУССТВЕ
Архитектура
Использовать многогранники в архитектуре люди стали очень давно, ещё до новой эры. И по мере роста строительного мастерства в мире появлялись новые шедевры, основанные на сложных геометрических фигурах.
Великая пирамида в Гизе является одним из 7 чудес древности и ярким примером многогранника. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней.
Александрийский маяк . Маяк состоял из трёх мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной , в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр , в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты.
Многие готические соборы были построены с использованием расчётов, свойственных кубу.
Современная архитектура больших городов, ориентированная на возведение домов-коробок и однообразных конструкций, оказывает очень опасное влияние на человека.
Для корректировки зданий используется также и фэн шуй. Положения, объединённые под этим термином, представляют набор требований сакральной архитектуры и геометрии применительно к энергетическому моделированию жилого пространства. Применимость идей фэн шуй в строительстве помогает людям войти в резонанс с естественными человеческими и земными ритмами.
Шоколадная фабрика Nestle в Мексике. Стены представляют собой причудливый многогранник.
Роттердам - современный город с домами в 30, 40… и до 176 этажей. Практически все постройки представляют собой многогранники.
В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы, художники.
Сегодня вы узнали много интересного о применении многогранников, познакомились с историей их возникновения, ролью и значением в жизнедеятельности человека.
-75%
3) Развивать самостоятельность, творчество,морально-эстетические качества личности.
Систематизировать знания об основных видах многогранников, показать их применение в других видах деятельности
Систематизировать знания об основных видах многогранников, показать их применение в других видах деятельности
Формировать и развивать эвристическое мышление, показать, какую роль играет математика в развитии общества
Развивать самостоятельность, творчество, морально-эстетические качества личности
Составлен из двадцати равносторонних треугольников.
Сумма плоских углов равна 300 ` .
Составлен из восьми равносторонних треугольников.
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 ` .
Составлен из четырех равносторонних треугольников.
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 ` .
Составлен из двенадцати правильных пятиугольников.
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 ` .
Составлен из шести квадратов.
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 ` .
Если центры граней куба соединить отрезками, то получится октаэдр, то есть вершины октаэдра станут центрами граней куба.
Верно и обратное утверждение: центры граней октаэдра являются вершинами вписанного куба.
Для всякого выпуклого многогранника между числами вершин, граней и ребер выполняется соотношение:
Читайте также: