Доклад на тему математика и гармония

Обновлено: 02.07.2024

Презентация на тему: " Математика. Красота и Гармония. Закон симметрии.." — Транскрипт:

1 Математика. Красота и Гармония. Закон симметрии.

2 Plan: Введение. Притча. Математика - символ мудрости. Симметрия. Общая информация. Виды симметрии. Симметрия в природе. Симметрия в искусстве. Живопись. Архитектура. Музыка. Литература Русский язык. Заключение.

3 Введение. Цель проекта заключается главным образом в открытие более интересного взгляда на применение математики в различных аспектах нашей жизни. Симметрия отражается не только в математических науках, но и в сфере изящных видов искусств. Она является фундаментальным свойством природы, представление о котором имели великие мыслители разных поколений.

6 Мы считаем, что симметрия это общенаучная философская категория, характеризующая структуру организации систем. Поставив перед собой задачу раскрыть значение симметрии в построении окружающего мира, мы обратились к терминам красота и гармония. Красота неразрывно связана с симметрией. Она выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и живых организмах, в произведениях искусства и в научных открытиях. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все, без исключения, направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в биологии и химии, физике и математике, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Что же такое симметрия? Какой глубокий смысл заложен в этом понятии? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир?

10 Люди придумали цифры и действия с ними, а потом в них же открыли множество законов, правил и теорем. Кроме того, оказалось, что в жизни цифр, линий, углов и бесконечно малых величин можно увидеть много красивого – изящные теоремы, тела, поверхности, даже условия задач. Числа живут своей жизнью, и мы, соприкоснувшись с ней, удивляемся, а иногда и любуемся ею. Компьютер дает нам возможность видеть на экране те или иные процессы, которые мы программируем. Например, за один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется по некоторому правилу на некоторую ломаную в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

12 Виды симметрии. В школьном курсе геометрии рассматриваются три вида симметрии: Симметрия относительно точки (центральная симметрия); Симметрия относительно прямой (осевая или зеркальная симметрия); Симметрия относительно плоскости. Однако наряду с привычными формами симметрии существуют и другие виды симметрии: Винтовая симметрия Переносная симметрия. Понятие поворота даёт представление о поворотной симметрии.

13 Графики функций О симметрии графиков функций уместно говорить, когда функция является четной или нечетной.

14 Симметрия в природе. Не только симметричные формы окружают нас повсюду, но и сами биологические и физические законы пронизаны общим для всех них принципом симметрии. Из области кристаллографии, физики твёрдого тела он вошёл в область химии, в область молекулярных процессов, в физику атома. Посмотрим на простейшие морские организмы радиолярии:

15 Рассматривая расположение листьев на ветке дерева, видим, что один лист не только отстоит от другого, но и повёрнут вокруг оси ствола. Листья располагаются на стволе по винтовой линии (принцип винтовой симметрии). Семена подсолнечника располагаются по спиралям, опять же по принципу симметрии.

16 Сегментационные части тел насекомых и животных послушно следуют закону симметрии, фундаменту красоты и гармонии. Так что за кажущимся хаосом мира скрывается порядок. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией.

17 Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира. В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка и, кроме того, зеркальной симметрией.

18 Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называется правильным, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани, т.е. является выпуклым, и все его грани есть равные правильные многоугольники.

20 Симметрия природы и природа симметрии Мы любуемся пейзажами художников, удачными снимками. Горы красиво отражаются на поверхности озера, придавая снимку законченность.

21 Поверхность озера играет роль зеркала и воспроизводит отражение с геометрической точностью. Поверхность воды есть плоскость симметрии.

22 Живопись. "Искусство живописи есть не что иное, как искусство выражать невидимое через видимое". Фромантес Закономерности цветового строя в изобразительном искусстве есть не что иное, как переработанные творческим сознанием художника некоторые закономерности действительности.

23 Фигуры мадонны и ребенка вписываются в правильный треугольник, который вследствие своей симметричности особенно ясно воспринимается глазом зрителя.

25 Архитектура. Люди всегда стремились достичь гармонии в архитектуре. Благодаря этому стремлению на свет появлялись всё новые изобретения, конструкции и стили. Готический стиль Ренессанс Барокко Классицизм Модерн Русско-Византийский Древнерусский

34 Симметрия - жизненно важная составная часть любого аспекта музыки - от композиции монументальных симфоний до тонкой структуры мелодических фраз.

38 Русский язык. Буквы русского языка тоже можно рассмотреть с точки зрения симметрии. Вертикальная ось симметрии А; Д; Л; М; П; Т; Ф; Ш. Горизонтальная ось симметрииВ; Е; З; К; С; Э; Ю. И вертикальные и горизонтальные оси симметрии Ж; Н; О; Х. Центр симметрииО; Х; Ж. Оси симметрии отсутствуютБ; Г; И; Й; Р; У; Ц; Ч; Щ; Я.

42 Заключение. Не только симметричные формы окружают нас повсюду, но и сами многообразные физические и биологические законы гравитации, электричества и магнетизма, ядерных взаимодействий, наследственности пронизаны общим для всех них принципом симметрии. Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и живой природы. Симметрия, проявляясь в самых различных объектах материального мира, несомненно, отражает наиболее общие, наиболее фундаментальные его свойства. Поэтому исследование симметрии разнообразных природных объектов и сопоставление его результатов является удобным и надежным инструментом познания основных закономерностей существования материи. Единство науки и искусства – важнейший залог последующего развития культуры. Она противостоит хаосу, беспорядку. Она присутствует в нашей жизни буквально во всём, но мы настолько к ней привыкли, что не замечаем этого. Но как бы мы к ней не относились, она есть в нашей жизни буквально во всём, добавляя в неё мир, спокойствие и состояние чего-то нечуждого глазу.

…Все в природе подлежит измерению, все может быть сосчитано.

Н. И. Лобачевский

Мир вокруг нас полон гармонии, где бы мы ни жили. Есть города, которые давно стали олицетворением красоты, их пишут художники и воспевают поэты, туда стремятся туристы. Санкт – Петербург, Париж, Рим… Есть малые города и села, которые радуют глаз не меньше великих городов. В России их не счесть. Они прекрасны своими природными пейзажами, спокойным налетом старины, ведь не случайно художники ищут своих героев именно там, и в памяти всплывают имена Левитана, Саврасова, Моне, Матисса…

Трудно сказать, где не используется симметрия. Она повсюду – в архитектуре, в одежде, механизмах и машинах, мебели, посуде, настольных играх и даже в музыке. Но есть и асимметрия, которая иногда тоже проявляет себя как нечто красивое. Мы находим ее на полотнах художников-импрессионистов, в зданиях, построенных с начала XX века, в современных небоскребах и часто в мире моды.

Актуальность – золотое сечение, несмотря на то, что было известно с древних времен, до сих пор помогает создавать прекрасное. И прекрасное, гармоничное нужно применять к современной моде, дизайну мебели, архитектуре, потому что они не всегда радуют глаз своими пропорциями.

Объектами моего исследования являются человек, речная ракушка, здания, расположенные в старой части города Миасса.

Предмет исследования – число F (число Фибоначчи).

Цель работы – проверить как проявляет себя число F в природных объектах и доказать, что красота может быть выражена математическим способом, узнать, какой процент учеников в классе обладает идеальными пропорциями.

Провести исследование среди учеников класса и выяснить процент обладателей идеальных пропорций

Доказать, что красота природы может иметь математическое выражение

Гипотеза исследования: больший процент от учеников класса имеет соотношение частей тела пропорциональные числу 1, 62.

Методы исследования: наблюдение, измерение, сравнение, обобщение.

Теоретическая часть

Определение и закономерности числа F

Принято считать, что понятие о золотом делении ввёл в научный обиход Пифагор , древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор своё знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Динамические прямоугольники, т.е. изменяющиеся

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвящённым.

Да Винчи много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение.

Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обратил внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений, строение).

Дадим определение Золотого сечения.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему:

a : b = b : c
или
c : b = b : a.

Ученые анализировали пропорции древнего храма Парфенон. Он полностью соответствует вышеприведенной формуле. Другой пример – анализ пропорций человеческого тела, нарисованного рукой Великого Леонардо. Вы можете их увидеть в презентации.

Красота в природе выражается и в симметричности, и в соответствии частей числу F.

Исходя их полученных данных, мы будем проводить исследование природных объектов – раковина речного моллюска и бабочка; человеческого тела – авторы работы и учащиеся класса; архитектурных памятников – здание дома купца Смирнова, дворец Автомобилестроителей.

Практическая часть

Для того, чтобы доказать, что природа, человек и творение рук его прекрасны и подчиняются законам математики, мы провели несколько исследований.

Сначала мы проверяли соотношение моих частей тела. Для этого мы сняли размеры ее ладони и обозначили точки АВС на ней так, чтобы точки были максимально удалены друг от друга. Тогда АВ = 179 мм, АС = 95 мм. АВ относится к АС как 1, 88. Это немного больше, чем число Фибоначчи, равное 1, 62, но и не на много его превышающее. Этот факт можно объяснить тем, что человек может быть высоким, среднего роста или низкого роста, тогда его пропорции будут немного отклоняться в ту или иную сторону. Мой рост – 157 см в возрасте 12 лет, т.е. выше среднего.

Далее мы провели исследование на соотношение роста Алины к высоте талии. Соотношение получилось почти идеальным: 1, 57. Рост мы обозначили отрезком АВ, на уровне талии отметили точку С. АВ = 157см, АС = 100см.

Мы нашли соотношение между частями тела учащихся нашего класса и нескольких взрослых, получили данные, отраженные в таблицах 1 и 2.

Таблица 1. Школьники – возраст 11 – 12 лет

Соотношение А (длина ладони к длине кисти)

Соотношение В (рост - талия)

Соотношение С (основание ладони – костяшки – высота первой фаланги)

Таблица 2. Взрослые

Соотношение С (основание ладони – костяшки – высота первой фаланги)

В таблице 1. Мы привели разные данные по исследованию. Нам было сложно сразу найти правильное соотношение частей тела, которое отвечает числу Фибоначчи. Сначала мы пробовали найти число F, когда рассчитывали соотношение размера ладони к длине пальцев. В итоге выяснилось, что соотношение выбрано неверно. В таблице почти нет результата, близкого к коэффициенту 1, 26.

Далее мы нашли более подробный рисунок ладони человека, на котором видно более подробно, как соотносятся разные части ладони между собой. Проверили несколько позиций, оказалось, что не все они верные. Одна из них, а именно соотношение С подтвердила нашу гипотезу о том, что больший процент от учеников класса имеет соотношение частей тела пропорциональные числу 1, 62.

Кроме этого, мы провели измерение размеров раковины речного моллюска. Соотношение его длины и ширины оказалось идеальным – 1, 62. Длина моллюска АВ = 96 мм, ширина СD= 59 мм. АВ:СВ = 1, 62.

Размеры крыльев бабочки тоже подтверждают существование волшебного соотношения. Наш эксперимент проводился по фотографии, поэтому в дальнейшем хотелось бы перепроверить результат на реальной бабочке. Соотношение верхних и нижних крылышек равно 1, 66.

Архитектурные памятники города Миасса сохранились с начала 19 столетия. Стиль, в котором они выполнены, называется Классицизм, а это значит, что здания строились по классическим канонам, заложенным еще древними греками. Они удивительно гармоничны, их пропорции приятны глазу, а в украшениях нет ничего лишнего. Для примера мы взяли недавно отреставрированный дом купца Смирнова. Соотношение длины здания к его высоте до остроконечных башенок – 1, 589.

Еще один объект архитектурного ансамбля Миасса расположен на проспекте Автозаводцев. Это Дворец Автомобилестроителей. Внешне здание напоминает древнегреческий храм, есть портик и колонны. Нет, конечно, той легкости и изобилия в украшениях, но пропорции золотого сечения были соблюдены и в 20 веке. Соотношение длины главного здания и его высоты равно 1, 57.

Проводить подобные исследования было интересно. Наша гипотеза нашла подтверждение. Кроме того, мы исследовали разные объекты и пришли к выводу, что число Фибоначчи всегда есть проявление природной или искусственно созданной гармонии.

Мы провели исследование различных объектов, для того, чтобы доказать, что гармония может быть вычислена математическим способом. Для нас это золотое число, или число Фибоначчи, равное 1, 26. Оно проявляет себя в строении человеческого тела, поэтому оно выглядит таким гармоничным. Мир природы тоже подчиняется законам гармонии, и мы наглядно продемонстрировали число F, измеряя речного моллюска и бабочку. В архитектуре без золотой пропорции тоже не обойтись, и мы рады, что можем наблюдать строения, возведенные по принципам гармонии, заложенным еще древними греками, в нашем городе. Мы считаем, что цель исследования была достигнута и есть результат проведенного исследования, выраженный конкретными числами.

Гипотеза о том, что больший процент от опрошенных имеет соотношение частей тела пропорциональные числу 1, 62, нашла свое подтверждение.

А. Азевич “Двадцать уроков гармонии” - М., “Школа-Пресс”, 1998

Н. Васютинский “Золотая пропорция” - М.,”Молодая гвардия”, 1990

М.В.Величко “Математика 9-11 классы. Проектная деятельность учащихся” - Волгоград: Учитель, 2007

М. Гарднер “Математические головоломки и развлечения” - М., “Мир”, 1971

Д. Пидоу “Геометрия и искусство” - М., “Мир”, 1989

А.П.Савин, В.В.Станцо, А.Ю. Котова “Я познаю мир. Математика” - М.: АСТ: Астрель: Хранитель, 2007

Энциклопедический словарь юного математика - М.,1989. - Журнал “Квант”, 1973, № 8

Общие сведения о золотой пропорции История Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Леонардо да Винчи много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Динамические прямоугольники Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Античный циркуль золотого сечения В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления

Построение шкалы отрезков золотой пропорции Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд). Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m , рядом откладываем отрезок M . На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

Деление отрезка прямой по золотому сечению Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ . Полученная точка С соединяется линией с точкой А . На полученной линии откладывается отрезок ВС , заканчивающийся точкой D . Отрезок AD переносится на прямую АВ . Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. От резки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618. если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382. Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям. Свойства золотого сечения описываются уравнением: x 2 – x – 1 = 0. Решение этого уравнения: Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения

Золотой треугольник Пентаграмма Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой . Для построения пентаграммы необходимо построить пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер ( 1471. 1528).

Построение правильного пятиугольника и пентаграммы Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА . Перпендикуляр к радиусу ОА , восставленный в точке О , пересекается с окружностью в точке D . Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED . Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC . Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Золотое сечение в природе Рассматривая расположение листьев на стебле растений можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (В).

Спираль Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то?по?учает?я Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.

Золотое сечение в физике Строение всех встречающихся в природе живых организмов и неживых объектов, не имеющих никакой связи и подобия между собой, спланировано по определенной математической формуле. Это является самым ярким доказательством их осознанной сотворенности согласно некоему проекту, замыслу. Формула золотого сечения и золотые пропорции очень хорошо известны всем людям искусства, ибо это главные правила эстетики. Любое произведение искусства, спроектированное в точном соответствии с пропорциями золотого сечения, являет собой совершенную эстетическую форму. По этому закону Великого Божественного Творения созданы галактики, сотворены растения и микроорганизмы, тело человека, кристаллы, живые существа, молекула ДНК и законы физики, тогда как ученые и люди искусства лишь изучают этот закон и стараются подражать ему, воплощать этот закон в своих творениях. Вне сомнения, что все в нашем мире, в окружающей нас жизни сотворено Всевышним Господом без какого либо подобия. Тогда как люди только копируют и подражают примерам, существующим в природе, которые Он сотворил. Мы лишь воспроизводим с большей или меньшей степенью мастерства подобия совершенства форм жизни, что окружают нас повсеместно.

Золотое сечение в архитектуре В книгах о “золотом сечении” можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими “золотое сечение”, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. “Золотое сечение” дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин. Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является храм Парфенон (V в. до н. э.) в Афинах имеет отношение высоты здания к его длине равное 0,618. Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Если произвести деление Парфенона по “золотому сечению”, то получим те или иные выступы фасада.

Золотое сечение в скульптуре Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции “сечения” создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечения”. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал “золотое сечение” в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины

Золотое сечение в живописи Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в. Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится “обо всем на свете”. Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма. Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них. Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

Презентация покажет, как можно описать всю красоту и изящество окружающего мира, его объекты, процессы и явления с точки зрения математики.

Описание разработки

Цель проекта:

Показать, как можно описать всю красоту и изящество окружающего мира, его объекты, процессы и явления с точки зрения математики.

Показать неразрывную связь между основными законами математики и законами формообразования произведений искусства и архитектуры.

Рассмотреть связь между законами математики и их проявлением в музыке, природе, строении человеческого тела и окружающем мире.

"Числа правят миром!"

Ещё древнегреческий математик V I в. до н. э, знаменитый ПИФАГОР доказал, что явления всей Вселенной подчинены определённым числовым соотношениям.

"Божественная пропорция".

Золотую или божественную пропорцию, как называл её Лука Пачоли, можно встретить в строении листа растения, строе музыкального произведения, в готических и русских православных храмах, старинных мерах и в закономерностях расположения листьев на ветке.

Как известно, золотая пропорция создаёт зрительное ощущение гармонии и равновесия. Но помимо эстетических воздействий она обладает ещё интересными математическими свойствами.

С учением об отношениях чисел и пропорциях ещё с древних времён связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке.

Содержимое разработки

С учением об отношениях чисел и пропорциях

ещё с древних времён связывались представления

о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке.

Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре

означает соблюдение определённых соотношений между

размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания. В ●

Одним из примеров числовых отношений является «золотое

называли математики древности и средневековья ● С

деление отрезка, при котором длина всего отрезка

так относится к длине его большей части, как

длина большей к меньшей:

АВ : АС = АС : ВС А●

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей себя.

В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = с : d

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующим образом:

На две равные части – АВ : АС = АВ : ВС
На две неравные части в любом отношении ( такие части пропорции не образуют)
Таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Последнее и есть ЗОЛОТОЕ ДЕЛЕНИЕ

или деление в крайнем и среднем отношении.

Математика и музыка – два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

Тот же Пифагор, вместе со своими учениками создал первую математическую теорию музыки. Благозвучные, гармоничные аккорды не случайны. Важнейшие гармонично звучащие музыкальные интервалы могут быть получены при помощи отношений чисел 1,2,3,4. Пифагор установил, что высота звучания струны зависит от её длины.

Если длину струны уменьшить вдвое, то тон

повыситься на одну октаву. Если же уменьшить

в ношении 3:2 или 4:3, то этому будут

соответствовать музыкальные интервалы

квинта или кварта.

Например, композиция Моне Лизы Леонардо да Винчи основана на золотых треугольниках, которые являются частями правильного звёздчатого пятиугольника.

Сечение названо золотым , потому, что там, где

оно присутствует, ощущается красота и

Пропорции хорошо сложенного человека

Вспомним статую Аполлона, издавна считавшуюся

образцом мужской красоты.

Если высоту статуи разделить в отношении золотого сечения и то же самое проделать с каждой частью, то точки деления придутся на анатомически важные части тела: начало шеи, талию, коленную чашечку и т. д.

Та же закономерность распространяется на лицо и руки статуи.

Пентаграмма в виде пятиконечной звезды – это вместилище золотых пропорций.

Символом здоровья знаменитый

Пифагор считал пятиконечную

звезду, красота которой имеет

Для построения такой звезды

Пропорциональность является наиболее ярким, зримым, объективным и математически закономерным выражением архитектурной гармонии.

Пропорция – это поэзия числа и геометрии на архитектурном языке. На языке пропорций говорили зодчие всех времён и архитектурных направлений.

Гармония в архитектуре обретает математическое выражение в законе золотого сечения.

Красивейшее произведение древнегреческой архитектуры -

– ПАРФЕНОН,

построено в Афинах в V в. до н. э.

Отношение высоты здания к его

длине равно значению

золотого сечения.

стороны которого находятся в отношении золотого сечения . Если от такого прямоугольника отрезать квадрат, то останется прямоугольник, отношение сторон которого вновь равно золотому сечению. Почтовые открытки, например,

имеют отношение сторон, равное золотому сечению .

По логарифмической спирали свёрнуты раковины многих улиток. Если посмотреть на изображение раковины, то можно заметить, что точка С делит

отрезок АВ приблизительно в золотом отношении ≈ 0,618. Логарифмическая спираль встречается во многих соцветиях. Даже пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по логарифмической спирали

Золотое сечение встречается и в природе.

« ПРИРОДА – ЕСТЬ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ

Рассматривая расположение

листьев на общем стебле

астений, можно заметить,

что между каждыми двумя

парами листьев (А и С) третья

расположена в месте золотого

сечения ( точка В ).

- Среди цветов наблюдается

поворотная симметрия.

- В расположении листьев

стеблях растений –

винтовая симметрия.

Пять красивых тел.

С древнейших времён наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей. История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками восхищались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Форму правильных тел, по-видимому, подсказала древним грекам сама природа:

1) Кристаллы поваренной соли имеют форму куба;

2) Правильная Форма – октаэдра;

3) кристаллы пирита - додекаэдра.

Теорией многогранников увлекался и другой древнегреческий учёный – Платон, который в своей античной философии утверждал, что:

Земля – это куб, вода – это икосаэдр, воздух – это октаэдр, огонь – это тетраэдр и мировой эфир – это додекаэдр.

веществ (соль, лёд, песок, графит. ), а также модели атомов размещены по законам симметрии.

Осевой и центральной симметрией

окружающие нас предметы.

Числовая гармония мира проявляется, например,

в том, как покрывали в прошлом и покрывают сейчас великолепные залы многих замков и дворцов паркетом, имеющим форму правильных многоугольников.

Оказывается, вокруг одной точки плоскости

можно уложить или три правильных шестиугольника,

или четыре квадрата, или шесть правильных треугольников.

Все правильные многоугольники

обладают удивительной

соразмерностью,

а значит гармонией.

Всю красоту необъятного разнообразия мира можно описать законами математики.

Законом гармонии является также закон периодичности явлений и процессов, происходящих в природе. Например, красиво бегущая волна описывается тригонометрическими функциями.

-75%

Начну с того, что к написанию данной исследовательской работы меня подвигла любовь к предмету математика и не меньшая любовь к занятиям в детской художественной школе. Мы очень хорошо знаем, что размах практического применения математики огромен. Какую бы науку мы не изучали, в какой бы области не работали наши родители, везде необходимо знание математики.

Люди в своей жизни постоянно сталкиваются с математикой. Математика дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению. В ней много цифр, различных знаков и символов. Если мы посмотрим вокруг, то заметим, что нас окружают предметы, которые имеют свою геометрическую форму. Некоторые тела состоят из простых геометрических форм, а некоторые из сложных. Архитекторы и строители создают здания при помощи вычислений и геометрических законов. Таким образом, наша жизнь без математики немыслима, ведь человек постоянно открывает что-то новое и усовершенствует давно забытое.

Цель работы : выявить, что же такое золотое сечение, исследовать принцип золотого сечения в окружающем мире .

1) изучить красоту окружающих предметов с математической точки зрения;

2) найти в математической литературе подтверждение гипотезы исследования о том, что золотое сечение – это символ красоты и гармонии, за которые отвечает математика;

3) провести эксперименты по поиску идеальных пропорций в красивых предметах, а также на примере своих одноклассников;

4) оформить результаты исследовательской деятельности.

Этапы выполнения исследовательской работы:

1. Подбор и изучение необходимой литературы.

2. Сбор и систематизация материала. 3. Экспериментальная проверка фактов, подтверждающих гипотезу проекта.

4. Оформление результатов исследовательской деятельности.

Обзор литературы по теме исследования:

1.Основная часть. Теоретические сведения по теме исследования

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Именно к красоте и гармонии и стремился человек с давних лет. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины.

И эта формула – формула золотого сечения – некий универсальный информационный код красоты, соединяющий разные искусства и разные века в интуитивном постижении прекрасного. Она отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по-разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом". Она оказалась близкой к 1,6.

Теперь обратимся непосредственно к математике и её точным расчётам.

Золотое сечение – это деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей.

с :в=в:а

Отношение обозначают буквой j ;

Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться. Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой . Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

I.2. Числа Фибоначчи

В поле моего исследования попало и такое интересное явление, как Числа Фибоначчи - удивительные числа, которые были открыты итальянским математиком Средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи. Путешествуя по Востоку, он познакомился с достижениями арабской математики. После его открытия числа эти так и стали называться именем известного математика. Удивительная суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел.

Числа, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, . называются "числами Фибоначчи ", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи. В числах Фибоначчи существует очень интересная особенность. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1. и через раз то превосходящая, то не достигающая его. Уже после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда… Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, или золотая пропорция.

В математике это число обозначается греческой буквой фи (Ф)

И так, Золотая пропорция = 1 : 1,618

I.3. Золотое сечение в природе, живописи, архитектуре

Где же мы можем увидеть золотую пропорцию? Да везде, если только быть внимательным!

Например, портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках", являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника.

В работах скульптора Фидия (Афина Парфенос, Аполлон Бельведерский, Зевс Олимпийский) золотое сечение заложено в различных пропорциях человеческого тела. Не только вся статуя, но и отдельные ее части делятся в золотом отношении.

И сследователи полагают, что Пифагор понятие золотого сечения позаимствовал у египтян и вавилонян. Об этом свидетельствует то, что пропорции пирамиды Хеопса, барельефы предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона были созданы при помощи соотношения золотого сечения .

В особый вид изобразительного искусства Древней Греции следует выделить изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной форме амфор и кратеров, а также в их росписи легко угадываются пропорции золотого сечения. Например, амфора выдержана в следующих пропорциях:

Рассматривая расположение листьев на стебле растений можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (В).

Удивительна также в этом плане форма стрекозы, которая создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста

I.4. Золотой прямоугольник

Золотой прямоугольник — это прямоугольник , длины сторон которого находятся в золотой пропорции , >>>> где φ примерно равно 1,618. Золотой прямоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки следующим способом:

Строим обычный квадрат.

Из угла проводится линия до середины противоположной стороны.

Строим окружность, используя точку пересечения в качестве центра окружности, а в качестве радиуса используем полученный отрезок.

Продолжаем противоположную сторону до пересечения с окружностью.

Многие архитекторы, художники были очарованы золотым прямоугольником и использовали его принцип во многих своих произведениях. Например, пропорции золотого прямоугольника мы можем наблюдать в следующих строениях: Альгамбра в Гранаде, Вилла Штейн в Гарше. Даже флаг Того разработан с пропорциями, близкими к золотому прямоугольнику .

Значит, золотое сечение издавна окружает людей и наша задача просто увидеть его и оценить по достоинству, так как это, действительно, символ красоты и гармонии.

2. Практическая часть

- выбор самой удачной фоторамки;

- выбор дерева с самыми красивыми листьями;

- изучение строения кленового листа;

- расчет пропорций человеческого тела на примере моих одноклассников.

Выбор фоторамки

Цель исследования: выявить, действительно ли форма золотого прямоугольника создает впечатление красоты и гармонии

Оборудование: лист ватмана с рисунками фоторамок различных размеров.

Вопрос : какая фоторамка самая красивая (удачная)?

Читайте также: