Доклад на тему магические квадраты 6 класс

Обновлено: 05.07.2024

В работе рассмотрены некоторые свойства магических квадратов, и некоторые способы заполнения магических квадратов произвольного порядка. Алгоритмы заполнения показаны в презентации.

Вложение	Размер
текст работы	1.2 МБ
презентация к работе	804.05 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Великие учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира

Цель: определить общие способы построения магических квадратов. Задачи: изучить историю возникновения и развития магических квадратов; изучить свойства магических квадратов; ознакомиться с основными методами построения магических квадратов; научиться строить магические квадраты любого порядка; оформить результаты исследования. Предполагаемые результаты: научиться строить магические квадраты любого порядка; выяснить возможность применения магических квадратов в деятельности человека, а так же в математике или её приложениях.

Одной из первых известных человечеству магических фигур является магический квадрат 5 4 2 8 6 7 9 15 15 15 15 15 15 15 15 3 1

Магический квадрат – это квадратная таблица, заполненная последовательными натуральными числами 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65 Квадраты нечетного порядка заполняются индийским способом (по диагоналям)

Квадраты, порядок которых делится на 4, заполняются методом выделения диагональных элементов 1 2 4 3 5 34 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 260 260 260 260 260 260 260 260 260 260 260 260 260 260 260 260 260 260

Квадраты, порядок которых делится на 2, но не делится на 4, заполняются методом четырех квадратов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 1 6 3 5 7 4 9 2 17 10 15 12 14 16 13 18 11 17 10 15 12 14 16 13 18 11 26 19 24 21 23 25 22 27 20 26 19 24 21 23 25 22 27 20 35 28 33 30 32 34 31 36 29 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111

Из заполненного магического квадрата можно получить новый магический квадрат увеличением всех чисел квадрата на одно и то же число 4 9 2 3 5 7 8 1 6 6 11 4 5 7 9 10 3 8 M =15 M =21

2 9 4 7 3 6 1 8 5 Из заполненного магического квадрата можно получить новый магический квадрат отражением относительно осей симметрии 2 9 4 7 3 6 1 8 5 6 7 2 1 5 9 8 3 4

16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 Из заполненного магического квадрата можно получить новый магический квадрат отражением относительно осей симметрии 1 2 3 5 8 9 12 14 15 16 13 11 10 7 6 4 4 14 15 1 9 7 6 12 5 11 10 8 16 2 3 13

6 7 2 1 5 9 8 3 4 Из заполненного магического квадрата можно получить новый магический квадрат отражением относительно осей симметрии 6 7 2 1 5 9 8 3 4 6 7 2 1 5 9 8 3 4

16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 Из заполненного магического квадрата можно получить новый магический квадрат отражением относительно осей симметрии 1 2 3 5 8 9 12 14 15 16 13 11 10 7 6 4 16 5 9 4 2 11 7 14 3 10 6 15 13 8 12 1

16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 Из заполненного магического квадрата можно получить новый магический квадрат поворотом вокруг центра 1 2 3 5 8 9 12 14 15 16 13 11 10 7 6 4 4 9 5 16 14 7 11 2 15 6 10 3 1 12 8 13

17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 В магическом квадрате четные и нечетные числа расположены симметрично 4 6 20 22 23 17 5 7 1 15 13 19 25 21 3 9 11 24 8 14 16 10 12 18 2 23 5 7 14 16 17 24 1 8 15 4 6 13 20 22 11 18 25 2 9 10 12 19 21 3

Практическое использование получили не сами магические квадраты, а разделы современной математики, которые возникли и развивались, благодаря решению задач составления и анализа свойств магических квадратов

Задачи проекта : изучить историю возникновения и развития магических квадратов, изучить свойства магических квадратов, ознакомиться с основными методами построения магических квадратов, научиться строить магические квадраты любого порядка, оформить результаты исследования — выполнены. Цель работы : определить общие способы построения магических квадратов, — достигнута.

Спасибо за внимание!

Предварительный просмотр:

Проект в номинации 2 (математика)

Матусевич Кирилл Викторович

Научный руководитель проекта:

Товстоног Елена Анатольевна

(полная) школа № 3

Теоретические основы исследования

История возникновения и развития магических квадратов

Свойства магических квадратов

Выводы по первой главе

Практическая часть исследования

Общие способы построения магических квадратов

Заполнение квадратов нечетных порядков (индийский способ)

Заполнение квадрата порядка, кратного четырем

Заполнение квадрата четного порядка, не кратного четырем

Симметричные преобразования магических квадратов

Применение магических квадратов

Выводы по второй главе

изучение литературы;
поиск исторических фактов.

Сроки проведения работы: с сентября по февраль 2012-2013 учебного года.

1 этап – изучение проблемы (сентябрь);
2 этап – сбор информации по проблеме (октябрь);
3 этап – обработка и анализ информации (ноябрь);
4 этап – оформление документации (декабрь, январь);
5 этап – презентация учебного проекта (февраль).

Гипотеза - изучение свойств магических квадратов позволит определить общие способы их построения.

Цель исследования: определить общие способы построения магических квадратов.

изучить историю возникновения и развития магических квадратов;
изучить свойства магических квадратов;
ознакомиться с основными методами построения магических квадратов;
научиться строить магические квадраты любого порядка;
оформить результаты исследования.

Предполагаемые результаты: научиться строить магические квадраты любого порядка; выяснить возможность применения магических квадратов в деятельности человека, а так же в математике или её приложениях.

Напрашиваются и другие вопросы : Когда впервые появились магические квадраты? А что магические квадраты дают, где их используют? Сможет ли составить магический квадрат шестиклассник?

С понятием магического квадрата я впервые встретился в учебнике математики. Меня поразило то, как такая простая фигура как квадрат, вместе с натуральным числовым рядом превратилась в нечто совершенно иное, обладающее новыми, интересными свойствами.

Изучая дополнительную литературу, я заинтересовался историей возникновения, решениями магических квадратов и применением их в жизни и математике.

На основании анализа актуальности, была сформулирована проблема исследования , которая заключается в поиске общих способов построения магических квадратов.

Цель исследования : определить общие способы построения магических квадратов

Объект исследования – магические квадраты

Предмет исследования - свойства магических квадратов

Исходя из анализа актуальности, цели, объекта и предмета исследования, мы выдвинули следующую гипотезу : изучение свойств магических квадратов позволит определить общие способы их построения.

Предмет исследования и выдвинутая гипотеза позволили наметить следующие задачи исследования :

изучить историю возникновения и развития магических квадратов;
изучить свойства магических квадратов;
ознакомиться с основными методами построения магических квадратов;
научиться строить магические квадраты любого порядка;
оформить результаты исследования в виде текста исследовательской работы и слайд - презентации.

В работе 21 страница, она состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

ГЛАВА I. Теоретические основы исследования

1.1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

Числовую фигуру обычно называют магической, если составляющие ее числа не повторяются и при определенных взаимных сочетаниях дают заранее задуманный составителем результат.

Наверное, одной из первых известных человечеству магических фигур является магический квадрат. Он встречаются в культуре, истории, верованиях и в различных мистических учениях многих народов.

Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.

Рис. 1. Таблица Ло Шу.

На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях. Магические квадраты находят при раскопках поселений Золотой Орды (рис. 2), в Китае, Индии и Тибете, в Израиле, Турции и во всех странах Европы.

Рис. 2. Магический квадрат, найденный при раскопках поселений Золотой Орды

Дата создания гравюры - 1514 год - указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.

В западной Европе в средние века магические квадраты были достоянием представителей алхимии и астрологии. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы (рис. 4)

Рис. 4. Старинный оберег с изображением магического квадрата

В XIX и XX вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.

С развитием вычислительной техники исследования магических квадратов в последние десятилетия приобрели второе дыхание. Вполне объяснимо, что наибольшие успехи в развитии теории и практики магических квадратов были достигнуты в Европе, США и Японии. Появились описания более сложных фигур, таких как: кубы и тессеракты – четырехмерные аналоги магических квадратов. Результаты этих исследований открывают новые методы решения сложных задач современной математики.

1.2 Свойства магических квадратов

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n 2 клеток и называется квадратом n –го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n 2 последовательных натуральных чисел (т.е. числа от 1 до n 2 ) . Такие квадраты называют нормальными.

Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями.

Сумма чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали магического квадрата называется магической константой M . Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой:

Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков , за исключением n= 2, хотя случай n =1 тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальным нетривиальным случаем является таблица Ло Шу , он имеет порядок 3. Магическая константа (рис. 5).

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Почему я выбрал такую тему? В наше время популярный вид досуга - решение судоку, головоломок с числами (в том числе и компьютерные головоломки), которые напрямую связаны со свойствами магических квадратов.

Изучение магических квадратов, их свойств может помочь в развитии:

интереса к предмету математики

А так же решение задач, связанных с магическими квадратами:

предотвращает заболевания, связанные с нарушением работы головного мозга.

Можно ли, используя методы математики, научиться быстро решать судоку, головоломки с числами?

изучение истории появления магических квадратов и способов их заполнения

познакомиться с магическими квадратами

узнать историю возникновения квадратов

изучить правила составления и заполнения магические квадраты

научиться правильно и быстро строить магические квадраты

рассмотреть разновидности магических квадратов

узнать, знакомы ли мои одноклассники с чудесными квадратами

провести эксперимент

сделать выводы

предположить пути дальнейшего исследования

Для заполнения магических квадратов должны существовать специальные способы, которые позволяют сделать это быстро.

Методы исследования

изучение специальной литературы;

поиск информации в сети Интернет;

анализ и обобщение.

Основная часть:

Глава 1.Теоретическая часть:

1.1. Из истории возникновения магических квадратов.

Магический квадрат один из наиболее древних головоломок – древнекитайского происхождения . Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы . Эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату. Ло-шу (Приложение 1) использовали в магических обрядах при заклинаниях.

В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии.

Из Индии сведения о магических квадратах перешли к арабам. Арабы были знакомы с квадратом третьего порядка в VIII веке, а в XII веке его описал в своих сочинениях Ибн Эзра. Мусульмане очень благоговейно относились к квадратам пятого порядка с цифрой 1 в середине, считая это изображение символом единства Аллаха.

Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос, живший в Константинополе .

В Западной Европе в средние века магические квадраты были достоянием представителей алхимии и астрологии. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.

Однажды за 3 минуты до конца урока математики учитель предложил одному классу решить следующую задачу.

Задача: заполнить квадрат 3´3 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова.

Так как никто не справился с заданием за такое короткое время, решение задачи было предложено на дом. Из 25 учеников этого класса с ней справился только один. Он изобразил заполненный квадрат на доске, сказав, что на его заполнение у него ушло минут 10-15. Он перебирал различные варианты, пока не пришел к нужному.

Меня заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это побудило меня заняться работой.

Тема : заполнение магических квадратов.

Объект : магический квадрат.

Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.

Цели: изучить способы заполнения магических квадратов и историю их появления

- Познакомиться с историей появления и названия магических квадратов

- изучить известные способы заполнения магических квадратов

Методы : Анализ литературы и Интернет-ресурсов.

1. знакомство с литературой и Интернет-ресурсами

2. апробация найденных методов

3. оформление работы

Оборудование:

- проектор для демонстрации презентации

1. История появления магических квадратов

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а ), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б . В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, в 15 в. О магических квадратах узнали европейцы. Первым квадратом , придуманным европейцем , считается квадрат Дюрера ( рис.2 ) изображен на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры .

2. Способы заполнения магических квадратов

Магические квадраты нечетного порядка

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера . Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца (по ломаной диагонали). Дойдя до правого края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки или угла, траектория спускается на одну клетку вниз .

Метод Ф.де ла Ира (1640–1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рис. 5 показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5,б ). Поклеточная сумма этих двух квадратов (рис. 5,в ) образует магический квадрат.

Достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры

Сначала исходный пустой квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на следующем рисунке.

Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Магические квадраты (6 класс). Презентация на заданную тему содержит 14 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

Любознательность - один из всегдашних верных признаков энергичного ума. Джонсон, Сэмюэль. Магический квадрат – это квадрат, состоящий из п столбцов и п строк, в каждую клетку которого вписано число. Числа в квадрате размещены так, что в каждом горизонтальном, вертикальном и диагональном ряду получается одна и та же сумма.

Первый магический квадрат Это изображение считается самым древним магическим квадратом. Говорят, что он впервые появился в Китае примерно за 2800 лет до нашей эры.

Древнеиндийский магический квадрат Этот квадрат появился в 1 веке нашей эры. Сумма чисел в каждом ряду 34.

Магический квадрат Пифагора Пифагор создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки.

Магический квадрат Дюрера В её правом верхнем углу размещён магический квадрат 4 порядка. Сумма чисел каждого ряда равна 34.

Латинские квадраты Латинским квадратом называется квадрат n*n клеток, в которых написаны числа от 1, до n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу.

Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Магические квадраты. Презентация на заданную тему содержит 16 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

Цели: Цели: 1. Познакомиться с магическими квадратами. 2. Узнать историю возникновения квадратов. 3. Научиться правильно и быстро заполнять магические квадраты. Задачи: 1. Изучить историю возникновения и развития магических квадратов; 2. Изучить свойства магических квадратов; 3. Познакомиться с основными методами построения магических квадратов.

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n² клеток и называется квадратом n-го порядка. Например 3 клетки квадрат 3 –го порядка, 4 клетки –квадрат 4 порядка, и т.д. В большинстве магических квадратов используются первые последовательные натуральные чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n²+1)/2. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка – S = 34, 5-го порядка – S = 65. Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n² клеток и называется квадратом n-го порядка. Например 3 клетки квадрат 3 –го порядка, 4 клетки –квадрат 4 порядка, и т.д. В большинстве магических квадратов используются первые последовательные натуральные чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n²+1)/2. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка – S = 34, 5-го порядка – S = 65.

Задача 1. Впиши в пустые прямоугольники недостающие числа от 1 до 16 так, чтобы в сумме по всем столбикам и строкам и обеим диагоналям получилось число 34. Задача 1. Впиши в пустые прямоугольники недостающие числа от 1 до 16 так, чтобы в сумме по всем столбикам и строкам и обеим диагоналям получилось число 34.

1. Магические квадраты – это нечто удивительное, интересное и увлекательное. 1. Магические квадраты – это нечто удивительное, интересное и увлекательное. 2. Заполнять магические квадраты несложно, но необходимо знать некоторые правила. 3. Главными чертами магических квадратов являются не только ясность, чёткость и логика, но и эстетичность, стройность и красота. Из полученной презентации мы узнали разновидности магических квадратов, историю их возникновения , а также применение в современном мире.

Читайте также: