Доклад на тему линейная алгебра

Обновлено: 04.05.2024

Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.
Линейные операции над векторами
Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения векторов, а также умножение вектора на число.

Прикрепленные файлы: 1 файл

математика.docx

Министерство образования и науки Российской Федерации

Департамент образования г.Москвы

Институт государственного управления, права и инновационных технологий

Реферат по курсу:

По теме: Линейная алгебра

Выполнила:

Студентка 1 курса

Заочной формы обучения

Чиркова Мария Сергеевна

Проверил: доцент Глимаков В.Д.

Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть a и b – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку O и построим вектор ОА = а. От точки А отложим вектор АВ = b. Вектор ОВ, соединяющий начало первого с концом второго, называется суммой векторов a и b: ОВ = а + b.

Произведением вектора а на скаляр (число) называется вектор * а, который имеет длину | | * | a |, коллинеарен вектору а, имеет направление вектора а, если >0 и противоположное направление, если -0 , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

Операции над векторами обладают свойствами:

Если операции обладают данными свойствами, то они называются линейными. С помощью линейных операций мы можем создавать линейные объекты.

Независимость системы векторов
Базис систем векторов
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов

Независимость системы векторов:

Если линейная комбинация λ₁ * а 1 + λ₂ * а 2 + …+ λ_р * а р представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа λ₁, λ₂, …, λ_р равны нулю, то система векторов а 1 , а 2 , …, а р называется линейно независимой.

Базис систем векторов:

Базисом системы векторов а1 , а2 , . аn называется такая подсистема b1, b2 . br (каждый из векторов b1, b2, . br является одним из векторов a1, a2 . an), которая удовлетворяет следующим условиям:
1. b1, b2, . br линейно независимая система векторов;
2. любой вектор aj системы a1, a2, . an линейно выражается через векторы b1, b2, . br

r — число векторов входящих в базис.

Скалярное произведение векторов:

Скалярное произведение векторов - в конечномерном векторном пространстве определяется как сумма произведений одинаковых компонент перемножаемых векторов.

Линейная алгебра – раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений, среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре – определители, матрицы, сопряжение.
Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

Содержание работы

Файлы: 1 файл

Матем реферат 17092015.docx

НОУ ВПО «СИБИРСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА

(ученая степень, звание, Ф.И.О.)

1. Зарождение линейной алгебры ………………………………………….

2. Становление линейной алгебры …………………………………………

3. Развитие линейной алгебры ………………….……………..……………

Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

Линейная алгебра обобщена средствами общей алгебры, в частности, современное определение линейного (векторного) пространства опирается исключительно на абстрактные структуры, а многие результаты линейной алгебры обобщены на произвольные модули над кольцом. Более того, методы линейной алгебры широко используются и в других разделах общей алгебры, в частности, нередко применяется такой приём, как сведение абстрактных структур к линейным и изучение их относительно простыми и хорошо проработанными средствами линейной алгебры, так, например, реализуется в теории представлений групп. Функциональный анализ возник как применение методов математического анализа и линейной алгебры к бесконечномерным линейным пространствам, и во многом базируется на методах линейной алгебры и в дальнейших своих обобщениях. Также линейная алгебра нашла широкое применение в многочисленных приложениях (в том числе, в линейном программировании, в эконометрике и естественных науках (например, в квантовой механике)

введение с четко сформулированной целью работы и ее обоснованием; введение должно содержать также и краткий обзор изученной литературы, в котором указывается взятый из того или иного источника материал, кратко анализируются изученные источники, показываются их сильные и слабые стороны; объем введения обычно составляют от одной до двух страниц текста (10 % от общего объема работы); исходя из всего вышеуказанного, введение необходимо писать в последнюю очередь при работе над рефератом;

1. Зарождение линейной алгебры

Первые элементы линейной алгебры следовали из практических вычислительных задач вокруг решения линейных уравнений, в частности, такие арифметические приёмы как тройное правило и правило ложного положения были сформулированы ещё в древности.

Однако после достижения определённости с основными вопросами нахождения решений систем линейных уравнений развитие раздела практически не происходило, и даже в конце XVIII - начале XIX века считалось, что проблем относительно уравнений первой степени больше не существует, притом системы линейных уравнений с числом переменных, отличающихся от количества уравнений или с линейно-зависимыми коэффициентами в левой части попросту считались некорректными [5, с. 42-44].

2. Становление линейной алгебры

Крамер и Безу в работах по проблеме отыскания плоской кривой, проходящей через заданную точку, вновь построили это понятие (правило Крамера сформулировано в 1750 году), Вандермонд и Лагранж дали индуктивное определение для случаев , а целостное определение и окончательные свойства определителей дали Коши (1815) и Якоби (1840-е годы). Гауссу (около 1800 года) принадлежит формализация метода последовательного исключения переменных для решения этих задач, ставшего известным под его именем (хотя по существу для решения систем линейных уравнений именно этот метод и использовался с древности) [6, с. 82-85].

3. Развитие линейной алгебры

Д’Аламбер, Лагранж и Эйлер, работая над теорией дифференциальных уравнений в том или ином виде выделили класс линейных однородных и установили факт, что общее решение такого уравнения порядка является линейной комбинацией частных решений (однако, при этом не отмечали необходимость линейной независимости решений). Основываясь на наблюдении, что множество значений целочисленной функции не меняется от того, что над и совершается линейная подстановка (с целыми коэффициентами и определителем, равным 1), Лагранж в 1769 году разрабатывает теорию представления целых чисел квадратичными формами, а в 1770 году обобщает теорию до алгебраических форм. Гаусс развил теорию Лагранжа, рассматривая вопросы эквивалентности форм, и ввёл серию понятий, относящихся к линейным подстановкам, самым важным из которых было понятие сопряжённой (транспонированной) подстановки. С этого времени арифметические и алгебраические исследования квадратичных и связанных с ними билинейных форм составляют существенную часть предмета линейной алгебры.

Ещё одним источником подходов для линейной алгебры стала проективная геометрия, создание которой начато Ж. Дезаргом в XVII веке и получившей значительное развитие в трудах Монжа конца XVIII века и в дальнейшем в работах Понселе, Брианшона и Шаля начала - середины XIX века. В те времена основным предметом изучения проективной геометрии были коники и квадрики, являющиеся по сути квадратичными формами. Кроме того, понятие двойственности проективных пространств, введённое Монжем, являет один из аспектов двойственности в линейных пространствах (однако эта связь была замечена только в конце XIX века Пинкерле).

Фробениус в 1877 году ввёл понятие ранга матрицы, основываясь на котором в ближайшие годы сразу несколько учёных доказали утверждение об эквивалентности разрешимости системы линейных уравнений совпадением рангов её основной и расширенной матрицы, известной в русских и польских источниках как теорема Кронекера - Капелли, во французских - теорема Руше - Фонтене, в немецких и испанских - теорема Руше - Фробениуса, в итальянских и английских - теорема Руше - Капелли.

В 1888 году Пеано на базе исчисления Грассмана впервые в явном виде сформулировал аксиомы линейного пространства (векторных пространств над полем действительных чисел в том числе бесконечномерных) и применил обозначения, сохранившиеся в употреблении в XX—XXI века. Тёплиц в начале 1910-х годов обнаружил, что при помощи аксиоматизации линейного пространства для доказательства основных теорем линейной алгебры не требуется прибегать к понятию определителя, что позволяет распространить их результаты на случай бесконечного числа измерений, иными словами, линейная алгебра применима при любом основном поле. Аксиоматическое определение векторного и евклидова пространства было впервые чётко сформулировано в начале XX века практически одновременно Вейлем и фон Нейманом, исходя из запросов квантовой механики.

Тензорное исчисление, разработанное в 1890-е годы Риччи и Леви-Чивитой, составило своей алгебраической частью основное содержание полилинейной алгебры. Особое внимание к этому подразделу было привлечено в 1910-е -1930-е годы благодаря широкому использованию тензоров Эйнштейном и Гильберт ом в математическом описании общей теории относительности.

В 1922 году С. Банах, изучая полные нормированные линейные пространства, ставшие известными после его работ как банаховы, обнаружил, что уже в конечном случае возникают линейные пространства, не изоморфные своему сопряжению, и в этой связи в первой половине XX века методы и результаты линейной алгебры обогатили функциональный анализ, сформировав его основной предмет в современном понимании - изучение топологических линейных пространств. Также в 1920-е - 1950-е годы получает распространение направление по линеаризации общей алгебры, так, развивая результат Дедекинда о линейной независимости любых автоморфизмов поля, Арти н линеаризовывает теорию Галуа, а в 1950-е годы, прежде всего, в работах Джекобсона, эти результаты обобщены на произвольные расширения тел; благодаря этим построениям обретена возможность применения инструментов и достижений хорошо изученной линейной алгебры в весьма абстрактных разделах общей алгебры.

Со второй половины XX века с появлением компьютеров, развитием методов вычислительной математики и компьютерной алгебры в рамках линейной алгебры получило бурное развитие вычислительное направление — отыскание методов и алгоритмов, обеспечивающих эффективное решение задач линейной алгебры с использованием вычислительной техники, сформировался самостоятельный раздел вычислительной линейной алгебры, а решение задач линейной алгебры стало одной из важных практических составляющих использования компьютеров. В числе работ, положивших начало разработке этого направления, стало создание Тьюрингом алгоритма LU- разложения квадратной матрицы на верхнюю и нижнюю треугольные (1948 год). Показательно, что результаты тестов Linpack, в которых вычислительные системы должны решить сложные системы линейных уравнений с использованием LU-разложения, считаются основным показателем производительности вычислений с плавающей запятой, в том числе и для кластерных систем.

В 1950-е - 1960-е годы крупные исследования в области вычислительной линейной алгебры опубликованы Д.К. Фаддеевым и Дж. Уилкинсоном, значительные результаты в 1970-е - 2000-е годы получены Г.И. Марчуком, А.А. Самарским, С.К. Годуновым, Г. Голубом, О. Аксельсоном [6, с. 130].

ГОСТ

Исторический экскурс

Линейная алгебра – это раздел математики, который изучает разнообразные системы и структуры линейной природы. В качестве таких объектов выделяют: линейные уравнения и пространства, отображения, векторы и иное.

Так исторически заложено, что первым предметом линейной алгебры были линейные уравнения, а с построением системы уравнений использоваться стали иные инструменты, такие как матрицы и определители, тем самым появились теории векторных пространств.

Теория матриц была разработана в 1850-х годах Кэли.

Система линейных уравнений в матрично-векторном представлении была впервые отражена в трудах Лагерра (1867). Грассман в трудах 1844 и 1862 годов изучал разделы алгебры, а его формальное изложение стало прототипом первой аксиоматической теории алгебраических систем.

В работах Пеано 1888 года были сформулированы аксиомы линейного пространства.

Теоретический экскурс

В учебниках курса линейной алгебры приведены абстрактные определения векторного пространства, потому как оно представляет собой аддитивно записанную абелеву группу с определенным умножением на скаляры, которые удовлетворяют четырем аксиомам.

Вектор является направленным отрезком, а множество направленных отрезков составляет векторное пространство.

Готовые работы на аналогичную тему

Потому как многочлены схожи с векторами, то они должны обладать координатами (для вектора характерны две координаты, а для вектора в пространстве – три). Линейная алгебра определяет размерность как максимальное число линейно независимых векторов. Векторы $х_1, х_2, … х_n$ называются линейно зависимыми, если найдутся числа $а_1, а_2, … а_n$, из которых хотя бы одно не равно нулю, так чтобы выполнялось равенство:

$а_1х_1 + а_2х_2 + … + а_nx_n = 0$

Если векторы не выполняют условие линейно зависимых, то они относятся к линейно независимым.

Понятие линейной зависимости обобщено понятиями параллельных и компланарных векторов.

Два вектора являются линейно зависимыми, когда они параллельны. Три вектора являются линейно зависимыми, когда они компланарны.

Размерность пространства может быть как конечной, то есть пространство многочленов степени не выше $N$, а также бесконечной, то есть пространство всех многочленов. Оба случая могут быть применены на практике, но, как правило, в алгебре ограничиваются конечноразмерными пространствами.

Пусть имеются линейно зависимые векторы $х_1, х_2, … х_n$ и $n$ – размерность пространства. Тогда любой из векторов $х$ может быть записан в виде линейной комбинации $х_1, х_2, … х_n$ естественным способом. Коэффициенты, которые соответствуют линейной комбинации имеют название координат.

После введения основных понятий можно говорить о расширении фундаментальной линейной алгебры через понятия линейной комбинации и линейной зависимости.

В n-мерном линейном пространстве не может существовать более, чем n линейно зависимых векторов. Данный факт относится к краеугольным проблемам линейной алгебры.

Полезность линейной алгебры обусловлена практичностью динамических таблиц, которые позволяют решить любую задачу из реального мира. Сила линейной алгебры состоит в удобстве системы обозначения, позволяющей привести табличные вычисления в обычные математические уравнения.