Число е в математике доклад

Обновлено: 03.07.2024

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Таким образом, константа e означает максимально возможную годовую прибыль при 100 % годовых и максимальной частоте капитализации процентов.

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

В языках программирования символу e в экспоненциальной записи чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка FORTRAN для математических вычислений.

Применение числа е

Имея огромное применения в математике, остается неотмеченным вопрос: как же его используют в реальной жизни, то есть каково практическое применение числа Эйлера. Ответ на него столь же прост, как и на вопрос о математическом его применении. Главным образом оно проявляет себя при росте какой — либо величины, будь то рост клетки или банковского счета.

Предположим, что в банке, выплачивающем простой процент, один рубль через какой-то промежуток времени удваивается. При непрерывном начислении прибыли рубль за то же время превратился бы в е рублей независимо от того, сколько простых процентов прибыли выплачивает в действительности банк. Однако за очень большой промежуток времени даже очень маленькая ежегодная прибыль может увеличить первоначальный капитал до гигантской суммы. Если бы в первом году нашей эры кто-то положил один рубль в банк, выплачивающий 4% годовых, то к 1970 году на его счету было бы уже (1,04)1970 рублей, то есть сумма вклада выражалась бы примерно тридцатипятизначным числом.

Однако не все величины возрастают так, как растет капитал в рассмотренных выше примерах. Тип роста, о котором шла речь, обладает одной весьма важной особенностью: в каждый момент времени скорость роста пропорциональна величине того, что возрастает. Иначе, говоря, отношение приращения изменяющейся величины к ее текущему значению всегда одно и то же. Величины такого типа изменяются подобно снежному кому, несущемуся с вершины горы: чем больше становится ком, тем быстрее налипает на него снег. Этот тип роста свойствен многим процессам в живой и неживой природе. Все они описываются формулами, в которые входит экспоненциальная функция. И хотя при расчетах в строительном конструировании инженеры чаще пользуются десятичными логарифмами, в математическом анализе встречаются почти исключительно натуральные логарифмы с основанием, равным числу е.

Если держать гибкую цепь за оба конца, то она провиснет по кривой, которая так и называется — цепная линия (приложение 4). В уравнение этой кривой, записанное в декартовых координатах, также входит число е и уравнение этой кривой имеет вид

Тем же уравнением описывается сечение паруса, надутого ветром: если вертикальная составляющая скорости ветра равна нулю, то он выгибает парус так же, как направленная по вертикали сила земного тяготения изгибает цепь. Маршалловы и Каролинские острова, а также острова Гилберта — это вершины потухших подводных вулканов, в сечении вертикальной плоскостью они имеют форму цепной линии. Цепная линия не принадлежит к числу кривых, называемых коническими сечениями (эллипс, гиперболу и параболу называют коническими сечениями, так как их можно получить на поверхности конуса в пересечении с плоскостью Р, не проходящей через вершину конуса; при этом поверхность конуса мыслится неограниченно продолженной в обе стороны от вершины) (приложение 5), хотя по виду очень напоминает параболу.

Например:

Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начисление процентов по номинальной ставке 20%?

Задача
Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Во сколько раз уменьшится первоначальная сумма через полгода?

Т.о. инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.

Число е находит применение в интегральном и дифференциальном исчислении, а так же в естественных науках.

Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e–kt, где k – число, характеризующее скорость распада данного вещества. Затухание электрического тока I в простом контуре с последовательным соединением, сопротивлением R и индуктивностью L происходит по закону I = I0e–kt, где k = R/L, I0 – сила тока в момент времени t = 0. Аналогичные формулы описывают релаксацию напряжений в вязкой жидкости и затухание магнитного поля.

Аналогично, если бактерии в питательной среде размножаются со скоростью, пропорциональной их числу в настоящий момент, то по истечении времени t начальное количество бактерий N превращается в Nekt.

Интересные факты

В опросе участвовали 20 человек

Вы слышали о числе е? 15%-ранее не слышали о числе е

Назовите численное значение числа е.на этот вопрос правильно ответили 80% опрошенных

Только ли в математике встречается число е? нет ответили 60%

Вывод по опросу:Участниками опроса стали студенты первого курса.В резудьтате опросы выявлено, что 15%-ранее не слышали о числе е. 35% опрошенных о областях применения числа е

Хронология событий:

Презентация:

Удивительно, но число е настолько многогранно, что к нему можно прийти, рассматривая самые разные математические задачи.Число е играет огромную роль в математике и прикладных науках.В банковском деле оно позволяет определять прирост денег при непрерывном начислении процентов.

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Министерство образования и науки Саратовской области

Учитель: Заико И. В.

Глава 1 Леонардо Эйлер как великий математик 5

Глава 2 Определение числа e, вычисление его приближенного значения и его трансцендентность 11

2.1 Определение числа e 11

2.2 Приближенное вычисление значения числа e 12

2.3 Трансцендентность числа e 14

Глава 3 Экспоненциальная функция (экспонента) 16

Глава 4 Проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение 19

Глава 5 Применение числа e в математических задачах 22

Список использованной литературы 26

Приложение 1 27

Приложение 2 28

Приложение 3 29

Приложение 4 30

Приложение 5 31

Приложение 6 32

Это малое е

Так не нравится мне:

Если честно сказать,

Можно только назвать

Неприличным его поведенье

Под числом e понимают предел , который невозможно указать точным числом, но всегда можно определить приближенно с учетом требуемой точности с помощью формулы (y_n является (n+1)-ой частичной суммой для бесконечного ряда ) к числу

Глава 2 Определение числа e, приближенное вычисление его значения и его трансцендентность

2.1 Определение числа e

Рассмотрим числовую последовательность (x_n), заданную формулой .

Отсюда, используя неравенство Бернулли, получим . Таким образом,

Если фиксировать k и, считав n>k, отбросить все члены последней части, следующие за (k+1)-м, то получим следующее неравенство:

, и записанное только что предельное соотношение показывает, что e является его суммой, а так же говорят, что число e разлагается в этот ряд, то есть

Если в скобках [] заменить все множители в знаменателях дробей на n+2, то получим неравенство: , а так как , то к числу . Заменяя здесь y_n его развернутым выражением, мы и придем к формуле, которая послужит начальной точной для вычисления e:

0,000 000 03, поэтому, отбрасывая его, мы получаем погрешность, значительно меньшую поставленной границы. Каждый из остальных членов обратим в десятичную дробь, округляя (в запас точности) на восьмом знаке так, чтобы погрешность по абсолютной величине была меньше половины единицы на восьмом месте, то есть меньше 1/2,10 8 (приложение 2). Таким образом, очевидно, что поправка на отбрасывание дополнительного члена меньше 3/10 8 . Если учитывать теперь ещё и поправки на округление, то становиться понятным, что суммарная поправка к полученному приближенному значению числа е лежит между числами и. . Тогда для этого n справедливо равенство

Предположим, что неравенство (1) верно при n=k, то есть, предположим, что .

Докажем его справедливость при n = k+1, то есть докажем, что .

Для этого образуем вспомогательную функцию ? – разность левой и правой частей неравенства , то есть

При х=0 эта функция обращается в нуль: ?(х)=0. Её производная имеет вид: .

Таким образом мы доказали справедливость при n = k+1 неравенства , для этого образуем вспомогательную функцию ? – разность левой и правой частей неравенства , то есть .

По предположению индукции для всех х>0 имеем .

Таким образом мы доказали справедливость неравенства при n=k+1 в предположении его справедливости при n = k, а так как оно верно и при n = 1, то оно выполняется для всех натуральных n

То есть мы доказали, что при x>0 и n, а значит , отсюда e -0,5 ?0,607; более точные вычисления дают результат 0,6065…

Теперь вычислим приближенное значение e 0,5 с точностью 0,01. Найдем такое n, чтобы выполнялось неравенство , где п — число начислений прибыли. При п, стремящемся к бесконечности, это выражение стремится к пределу, равному 2,718 (e), что всего на 3 цента больше той суммы, которая получилась бы, если бы прибыль начислялась лишь раз в полгода. Этот предел и является числом е.

Предположим, что в банке, выплачивающем простой процент, один рубль через какой-то промежуток времени удваивается. При непрерывном начислении прибыли рубль за то же время превратился бы в е рублей независимо от того, сколько простых процентов прибыли выплачивает в действительности банк. Однако за очень большой промежуток времени даже очень маленькая ежегодная прибыль может увеличить первоначальный капитал до гигантской суммы. Если бы в первом году нашей эры кто-то положил один рубль в банк, выплачивающий 4% годовых, то к 1970 году на его счету было бы уже (1,04) 1970 рублей, то есть сумма вклада выражалась бы примерно тридцатипятизначным числом.

1. Леонард Эйлер

2. Леонард Эйлер, портрет 1753 г., выполненный Эмануелем Гандманном (Kunstmuseum, г. Базель)

Число "пи" знают все, число е - гораздо меньшее число людей. Однако, оно является не менее замечательным.

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

Учитель Математики Высшей категории

Число впервые появилось в математике как нечто незначительное. Это случилось в 1618 г. В приложении к работе Непера (Napier) по логарифмам была дана таблица натуральных логарифмов различных чисел. Однако никто не понял, что это логарифмы по основанию , так как в понятие логарифма того времени такая вещь как основание не входила. Это сейчас мы называем логарифмом степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить требуемое число. Мы еще вернемся к этому позже. Таблица в приложении скорее всего была сделана Отредом (Ougthred), хотя автор ее не был указан. Через несколько лет, в 1624 г., в математической литературе снова появляется , но опять-таки завуалированно. В этом году Бриггс (Briggs) дал численное приближение десятичного логарифма , но само число в его работе не упоминается.

Следующее появление числа снова cомнительно. В 1647 г. Сен-Винсент (Saint-Vincent) вычислил площадь сектора гиперболы. Понимал ли он связь с логарифмами, остается только догадываться, но даже если понимал, то вряд ли он мог прийти к самому числу . Только к 1661 г. Гюйгенс (Huygens) понял связь между равнобочной гиперболой и логарифмами. Он доказал, что площадь под графиком равнобочной гиперболы равнобочной гиперболы на промежутке от 1 до равна 1. Это свойство делает основанием натуральных логарифмов, но это не понимали математики того времени, однако они медленно приближались к этому пониманию.

Гюйгенс сделал следующий шаг в 1661 г. Он определил кривую, которую назвал логарифмической (в нашей терминологии мы будем называть ее экспоненциальной). Это кривая вида . И снова появляется десятичный логарифм , который Гюйгенс находит с точностью до 17 десятичных цифр. Однако он возник у Гюйгенса как некая константа и не был связан с логарифмом числа (итак, снова подошли вплотную к , но само число остается неузнанным).

В дальнейших работах по логарифмам опять-таки число не появляется в явном виде. Однако изучение логарифмов продолжается. В 1668 г. Никола Меркатор (Nicolaus Mercator) опубликовал работуLogarithmotechnia, которая содержит разложение в ряд . В этой работе Меркатор впервые использует название “натуральный логарифм” для логарифма по основанию . Число явно опять не появляется, а остается неуловимым где-то в стороне.

Удивительно, что число в явном виде впервые возникает не в связи с логарифмами, а в связи с бесконечными произведениями. В 1683 г. Якоб Бернулли пытается найти

Он использует биномиальную теорему для доказательства того, что этот предел находится между 2 и 3, и это мы можем рассматривать как первое приближение числа . Хотя мы принимаем это за определение , это первый случай, когда число определяется как предел. Бернулли, конечно, не понял связи между своей работой и работами по логарифмам.

Ранее упоминалось, что логарифмы в начале их изучения никак не связывались с экспонентами. Конечно, из уравнения мы находим, что , но это гораздо более поздний способ восприятия. Здесь мы в самом деле подразумеваем под логарифмом функцию, тогда как сначала логарифм рассматривался только как число, которое помогало в вычислениях. Возможно, Якоб Бернулли первым понял, что логарифмическая функция является обратной показательной. С другой стороны, первым, кто связал логарифмы и степени, мог быть Джеймс Грегори (Games Gregory). В 1684 г. он определенно осознал связь между логарифмами и степенями, но, возможно, он был не первым.

Мы знаем, что число появилось в том виде, как сейчас, в 1690 г. Лейбниц в письме к Гюйгенсу использовал для него обозначение . Наконец у появилось обозначение (хотя оно не совпадало с современным), и это обозначение было признано.

В 1697 г. Иоганн Бернулли начинает изучение показательной функции и публикует Principia calculi exponentialum seu percurrentium. В этой работе вычисляются суммы различных экспоненциальных рядов, и получены некоторые результаты их почленным интегрированием.

Эйлер (Euler) ввел так много математических обозначений, что
неудивительно, что обозначение также принадлежит ему. Кажется смешным утверждение, что он использовал букву из-за того, что это первая буква его имени. Вероятно, это даже не потому, что взято от слова “exponential”, а просто это следующая гласная за “a”, а Эйлер уже использовал обозначение “a” в своей работе. Независимо от причины, обозначение впервые появляется в письме Эйлера Гольдбаху (Goldbach) в 1731 г. Он сделал много открытий, изучая в дальнейшем, но только в 1748 г. в Introductio in Analysin infinitorum он дал полное обоснование всем идеям, связанным с . Он показал, что

Эйлер также нашел первые 18 десятичных знаков числа :

правда, не объясняя, как он их получил. Похоже, что он вычислил это значение сам. На самом деле, если взять около 20 членов ряда (1), то получится точность, которую получил Эйлер. Среди других интересных результатов в его работе приведена связь между функциями синус и косинус и комплексной показательной функцией, которую Эйлер вывел из формулы Муавра.

Интересно, что Эйлер нашел даже разложение числа в непрерывные дроби и привел образцы такого разложения. В частности, он получил

Эйлер не привел доказательства, что эти дроби так же продолжаются, однако он знал, что если бы такое доказательство было, то оно доказывало бы иррациональность . Действительно, если бы непрерывная дробь для , продолжалась так же, как в приведенном образце, 6,10,14,18,22,26, (каждый раз прибавляем по 4), то она никогда бы не прервалась, и (а значит, и ) не могло бы быть рациональным. Очевидно, это первая попытка доказать иррациональность .

Первым, кто вычислил довольно большое число десятичных знаков числа , был Шенкс (Shanks) в 1854 г. Глейшер (Glaisher) показал, что первые 137 знаков, вычисленные Шенксом, были верными, однако далее нашел ошибку. Шенкс ее исправил, и было получено 205 десятичных знаков числа . В действительности, нужно около
120 членов разложения (1), чтобы получить 200 верных знаков числа .

В 1864 г. Бенджамен Пирс (Peirce) стоял у доски, на которой было написано

В своих лекциях он мог бы сказать своим студентам: “Джентльмены, мы не имеем ни малейшего представления, что бы это значило, но мы можем быть уверены, что это значит что-то очень важное”.

Большинство считает, что Эйлер доказал иррациональность числа . Однако это сделал Эрмит (Hermite) в 1873 г. До сих пор остается открытым вопрос, является ли число алгебраическим. Последний результат в этом направлении — это то, что по крайней мере одно из чисел и является трансцендентным.

Далее вычисляли следующие десятичные знаки числа . В 1884 г. Бурман (Boorman) вычислил 346 знаков числа , из которых первые 187 совпали со знаками Шенкса, но последующие различались. В 1887 г. Адамс (Adams) вычислил 272 цифры десятичного логарифма .

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики.

Система счисления

Оценка числа

2; 43 05 48 52 29 48 35 …

(перечислено в порядке увеличения точности)

[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …]

(Эта непрерывная дробь не периодическая. Записана в линейной нотации)

2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354

Первые 1000 знаков после запятой числа e

Число e может быть определено несколькими способами.

$e = \lim_<x\to\infty> \left(1+\frac\right)^x$
(второй замечательный предел).

$e=\lim \limits_<n \to \infty> n \cdot \bigg (\frac> \bigg )^$
(формула Стирлинга).

^<\infty>>" width="86" height="47" />
или > = \sum_^<\infty>>>" width="120" height="49" />
.

$e = 2 + \sum \limits _<n=1> ^ <\infty>\frac$

Как единственное число a , для которого выполняется

$\int\limits_<1> ^ \frac = 1.$

Как единственное положительное число a , для которого верно

$\frac d <dt> a^t = a^t.$

= e^x." width="79" height="41" />

Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения = f(x)" width="110" height="42" />
является функция , где c — произвольная константа.

Число e иррационально и даже трансцендентно. Его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.

Доказательство иррациональности

Предположим, что рационально. Тогда , где — целое, а — натуральное.

Умножая обе части уравнения на , получаем

$p(q-1)! = eq! = q!\sum_ ^\infty <1\over n!>= \sum_^\infty <q!\over n!>= \sum_^q<q!\over n!>+\sum_^\infty<q!\over n!>$

$\sum_<n=0> Переносим ^q<q!\over n!>$
в левую часть:

$\sum_<n=q+1> ^\infty <q!\over n!>= p(q-1)! - \sum_^q<q!\over n!>$

Все слагаемые правой части целые, следовательно, и сумма в левой части — целая. Но эта сумма и положительна, значит, она не меньше 1.

С другой стороны,

Суммируя геометрическую прогрессию в правой части, получаем:

Поскольку ,

Число e является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.

$\!e^<ix> = \cos(x) + i \sin(x)$
, см. формула Эйлера, в частности

$e^<i\pi> + 1 = 0. \,\!$

$e=\cos(i) - i \sin(i)=\sinh(1) + \cosh(1)$

Ещё формулы, связывающие числа e и π :

$\int\limits_<-\infty> ^<\infty>\ e^ = \sqrt<\pi>$

$e=\lim \limits_<n \to \infty> n \cdot \bigg (\frac> \bigg )^$

Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:

$e^z=\sum_<n=0> ^\infty \fracz^n=\lim_<n\to\infty>\left(1+\frac\right)^n.$

Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:

$e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] \,$

, то есть

$e = 2+\cfrac<1> >>>>>>>>>>>>>>$

Или эквивалентным ему:

$e = 2+\cfrac<1> <\ldots>>>>>$

Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать другое разложение:

$\frac<e+1> =2 + \cfrac<6 + \cfrac<10 + \cfrac<14 + \cfrac<\ldots>>>>$

$e = \lim_<n\to\infty> \frac>.$

$e=2\cdot\sqrt<\frac<4> >\cdot\sqrt[4]>\cdot\sqrt[8]>\cdot\sqrt[16]>\cdots$

$e=\sqrt<3> \cdot \prod \limits_^<\infty>\frac<\left ( 2k+3 \right )^<k+\frac 12>\left ( 2k-1 \right )^><\left (2k+1 \right )^<2k>>$

$e = \frac<1> \sum_^\infty \frac$

Мера иррациональности числа e равна 2 (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел).

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

$\lim_<n\to\infty> Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Он обнаружил, что если исходная сумма $1 и начисляется 100 % годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет $2. Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то $1 умножается на 1.5 дважды, получая $1.00×1.5² = $2.25. Начисления процентов раз в квартал приводит к $1.00×1.25 4 = $2.44140625, и так далее. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел: \left(1+\frac\right)^n.$
и этот предел равен 2,71828…

$1.00×(1+1/12) 12 = $2.613035…

$1.00×(1+1/365) 365 = $2.714568…

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b , встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

Число можно запомнить как 2, 7 и повторяющиеся 18, 28, 18, 28.

Мнемоническое стихотворение, позволяющее запомнить первые 12 знаков после запятой (длины слов кодируют цифры числа e): Мы порхали и блистали, / Но застряли в перевале: / Не признали наши крали / Авторалли .

Правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — равнобедренный прямоугольный треугольник.

$\frac<666> Запоминание e как - 13>$
(с точностью менее 0.001).

$\pi \cdot \cos <\pi \over 6> Грубое (с точностью до 0,001) приближение полагает e равным$
. Совсем грубое (с точностью 0,01) приближение даётся выражением .

С точностью до " width="37" height="19" />
: > \,\,\, ," width="131" height="51" />
с точностью \to e \approx 2,7 + \frac ," width="213" height="41" />
а с точностью \,\, \to \,\,e \, \approx \, 3 - \frac \sqrt < \frac >" width="281" height="51" />

$1/e \approx (1-\frac<1> )^$
, с точностью 0.000001;

Число 19/7 превосходит число e менее чем на 0,004;

Число 87/32 превосходит число e менее чем на 0,0005;

Число 193/71 превосходит число e менее чем на 0,00003;

Число 1264/465 превосходит число e менее чем на 0,000003;

Число 2721/1001 превосходит число e менее чем на 0,0000002;

Число 23225/8544 превосходит число e менее чем на 0,00000001.

Неизвестно, является ли число элементом кольца периодов.

Неизвестно, являются ли числа и алгебраически независимыми.

$\pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac<\pi> Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: , \pi ^ e, e^<\pi^2>, e^e, 2^e.$
Ни для одного из них не известно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

целым числом.

В IPO компании Google в 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долл. Заявленное число представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.

Теоретически считается, что наиболее производительные компьютеры должны иметь разрядность . Троичные ЭВМ ближе к данному значению, но из-за технических сложностей распространение получили двоичные компьютеры, в которых используются 1 и 0.

В языках программирования символу в экспоненциальной записи чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка FORTRAN для математических вычислений.

Ссылки

Горобец Б. С. Мировые константы в основных законах физики и физиологии // Наука и жизнь . — 2004. — № 2. (статья с примерами физического смысла констант и )

J. J. O'Connor, E. F. Robertson. История числа e . MacTutor History of Mathematics archive . School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland ( сентябрь 2001). (англ.)

Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение без использования чисел. История чисел увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах – математики – немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё не разгаданного!

Все знают геометрический смысл числа π — это длина окружности с единичным диаметром. А вот смысл другой важной константы, e, имеет свойство быстро забываться. Чем же так замечательно это число, равное 2,7182818284590.

Вложение	Размер
gayfetdinova_railya.docx	752.22 КБ

Предварительный просмотр:

Общая характеристика работы ………………………………………

Основное содержание работы…………………………………………

Экспериментальная часть работы………………………………….

Список использованной литературы………………………………..

Число е в реальной жизни.

Общая характеристика работы

английский поэт Элмер Брил .

Актуальность Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение без использования чисел. История чисел увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах – математики – немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё не разгаданного!

Все знают геометрический смысл числа π — это длина окружности с единичным диаметром. А вот смысл другой важной константы, e , имеет свойство быстро забываться. Чем же так замечательно это число, равное 2,7182818284590.

Цель константа е - это фундаментальная константа, которая отражается в темпах роста .

Объект исследования: найти невидимую связь между математикой и жизнью!

Предмет исследования: Фундаментальный характер числа е появляется при изучении роста какой-нибудь величины.

Гипотеза в окружающей нас действительности всё построено по удивительно гармоничным законам с математической точностью.

Цель и гипотеза исследования определили его задачи:

Методами исследовательской работы стали :

II этап. Разработка вопросов для опросника, проведение опроса с учащимися и учителями. Анализ результатов опроса, выявление первичных результатов;

III этап. Практическая работа – сделать буклет по данной теме и выступить перед одноклассниками , подвести итоги исследовательской работы.

Основное содержание работы

В своей жизни каждый из нас стакивается с числами. Курс школьной программы, да и дальнейшую жизнь, трудно представить без них.

e = 2,7 1828 1828 459045235360287471352662497757…,

где 1828 – это… год рождения Л. Н. Толстого (гениального русского писателя и мыслителя), что позволяет легко запомнить 9 цифр после запятой в значении числа е .

Число е – трансцендентное число (доказал Ш. Эрмит в 1873 г.), то есть оно не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами, и не существует закона, по которому чередуются цифры после запятой в значении числа е (ещё в 1961 г. с помощью ЭВМ было получено 100265 десятичных знаков). Предполагается, что e – это нормальное число , то есть вероятность появления разных цифр в его (бесконечной!) записи одинакова.

Иногда число е малообоснованно называют неперовым числом , по имени изобретателя логарифмов Джона Непера (1550–1617).

Число e может быть определено несколькими способами .

(1 + 1 / 1000) 1000

Число е – это сумма бесконечного ряда : е = 1/0! + 1/1! +1/2! +1/3! +1/4! + 1/5! + … (в знаменателе стоят натуральные числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, идущие до бесконечности).
Число е – это единственное число, для которого выполняется следующее условие: площадь области под графиком y = 1/ x на интервале от х = 1 до x = e равна 1.

Число е можно представить в виде бесконечной цепной дроби (её открыл Эйлер):

Как и число π, е- трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Подобно тому, как с помощью циркуля и линейки невозможно построить отрезок прямой, длина которого в соответствующих единицах в точности равна π, не существует и способа построения отрезка, длина которого выражалась бы числом е.

Имея огромное применения в математике, остается неотмеченным вопрос: как же его используют в реальной жизни, то есть каково практическое применение числа Эйлера .Число е встречается буквально на каждом шагу в высшей математике, в особенности в задачах теории вероятностей, в реальной жизни оно проявляет себя ярче всего при росте какой – либо величины, будь то рост клетки или банковского счета.

В рекламных проспектах банков их составители особо подчеркивают, сколько раз в год производится начисление прибыли. Непосвященному может показаться, что при достаточно частом начислении процентов (например, если производит пересчет миллион раз в год) за 25 лет доллар превратится в весьма ощутимую сумму. В действительности ничего подобного не произойдет. Через 25 лет один доллар вырос бы до величины (1+1/n) n , где n- число начисленной прибыли. При n, стремящемся к бесконечности, это выражение стремится к пределу, равному 2,718 , что всего на 3 цента больше той суммы, которая получилась бы, если бы прибыль начислялась лишь раз в полгода. Этот предел и называется числом е .

Предположим, что в банке, выплачивающем простой процент, один доллар через какой-то промежуток времени удваивается. При непрерывном начислении прибыли доллар за то же время превратился бы в е долларов независимо от того, сколько простых процентов прибыли выплачивает в действительности банк. Однако за очень большой промежуток времени даже очень маленькая ежегодная прибыль может увеличить первоначальный капитал до гигантской суммы. Если бы в первом году нашей эры кто-то положил один доллар в банк, выплачивающий 4% годовых, то к 2015 году на его счету было бы уже (1,04) 2015 долларов, то есть сумма вклада выражалась бы огромным числом!

Не все величины возрастают так, как растет капитал в рассмотренных нами примерах. Тип роста, о котором шла речь, обладает одной весьма важной особенностью: в каждый момент времени скорость роста пропорциональна величине того, что возрастет. Иначе говоря, отношение приращения изменяющейся величины к ее текущему значению всегда одно и то же. Величины такого типа изменяются подобно снежному кому, несущемуся с вершины горы: чем больше становится ком, тем быстрее налипает на него снег. Этот тип роста свойствен многим процессам в живой и неживой природе. Все они описываются формулами, в которые входит функция y=е х . Эта функция настолько важна, что она в отличие от других показательных функций, у=а х, где а ≠ е (например, у=2 х ), получила особое название. Её называют экспоненциальной функцией или кратко экспонентой. Экспонента с точностью совпадает со своей производной. Именно этим и объясняется причина столь частого появления экспоненты в формулах математического анализа. Инженеры чаще пользуются десятичными логарифмами, в математическом анализе встречаются исключительно натуральные логарифмы с основанием, равным числу е.

Если держать гибкую цепь за оба конца, то она провиснет по кривой, которая так и называется - цепная линия. В уравнение этой кривой, записанное в декартовых координатах, также входит число е. Висящая цепь образует цепную линию.

Тем же уравнением описывается сечение паруса, надутого ветром (рис 1): если вертикальная составляющая скорости ветра равна нулю, то она выгибает парус так же, как направленная по вертикали сила земного тяготения изгибает цепь. Маршалловы и Каролинские острова, а также острова Гильберта (рис 2)- это вершины потухших подводных вулканов. В сечении вертикальной плоскости они имеют форму цепной линии.

Из вышеизложенного следует вывод, что число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного. Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад (рис5), подсчет процентов. Число смертей от опухолевых заболеваний увеличивается с возрастом тоже по экспоненте. Высыхание почвы после дождя - закон изменения влажности, это спадающая экспонента (рис4). Нарастание численности особей биологического вида, размножение бацилл в теле происходит по нарастающей экспоненте. Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Все природные процессы экспоненциальны !

Экспериментальная часть работы.

Для разработки вопросов опросника мы использовали выше предложенные рисунки и фото. Основной идеей при разработке вопросов стали следующие вопросы: что может объединять предложенные рисунки?

Таким образом, опросник включал следующие вопросы:

Не думаю, что эта работа раскрыла в полной мере все секреты, но я вместе с учителем для себя раскрыла новые горизонты. Я точно знаю, что я не стану великим математиком, но уверена, что полученные знания в данной области помогут мне стать гармоничной личностью.

Читайте также: