Алгебра доклад 11 класс
Обновлено: 05.07.2024
Математику называют царицей наук. Действительно без знаний в этой области сложно проводить расчеты, моделировать ситуации, конструировать здания и объекты. Бесплатные рефераты раздела пригодятся всем технарям – будущим архитекторам, программистам, инженерам-конструкторам.
Собранные в базе рефераты по математике касаются математического моделирования, теории чисел, алгебры, развития науки. В работах содержатся формулы, расчеты, схемы для лучшего понимания темы.
Каталог готовых рефератов
Выберите предмет
- Четко определите цель работы в рамках заданной темы.
- Исходя из цели, определите в общих чертах содержание будущего реферата, составив предварительный план.
- Составьте список литературы или других источников, соответствующих теме реферата.
- Изучая литературу (другие источники), отмечайте все, что войдет в работу.
- Составьте окончательный подробный план, указывая для каждого пункта источник, из которого будет взят материал.
- Во вступлении реферата раскройте значимость его темы, укажите цель реферата.
- Раскройте все пункты плана, используя конкретные факты, примеры, цитаты из первоисточников.
- Сделайте промежуточные выводы по каждой смысловой части работы.
- Выразите собственное аргументированное мнение по теме реферата (факультативный пункт).
- В подстрочных сносках укажите источники цитат, фактов.
- Сделайте обобщающий вывод.
- Перечитайте реферат, проверьте логичность деления текста на абзацы; если нужно, удалите повторы информации; убедитесь в том, что тема раскрыта, а цель работы достигнута.
- Обзорный реферат (или сводный) – это обобщающая характеристика нескольких первоисточников, касающихся определенной темы.
- Реферат-экстракт – составляется из наиболее важных в смысловом отношении фраз, взятых из анализируемого текста. Отобранные и в случае необходимости отредактированные предложения должны точно передавать общее содержание первоисточника. Чаще всего используется в информационных службах и библиотеках при составлении каталогов.
Любое использование материалов сайта допускается исключительно с согласия редакции при установке активной ссылки на первоисточник. Информация, представленная на сайте, получена из открытых и общедоступных материалов. Ее достоверность подлежит проверке у первоисточника. Редакция не несет ответственности за какие-либо действия, либо за возможный ущерб (как материальный, так и моральный), полученный в результате прочтения материалов. Пользователь сайта принимает решения самостоятельно и несет за них полную ответственность.
Например, , потому что .
1. Вещественный логарифм
Логарифм вещественного числа log a b имеет смысл при . Как известно, показательная функция y = a x монотонна и каждое значение принимает только один раз, причём диапазон её значений содержит все положительные вещественные числа. Отсюда следует, что значение вещественного логарифма положительного числа вcегда существует и определено однозначно.
Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.
- Натуральные: , основание: e (число Эйлера).
- Десятичные: , основание: число 10.
- Двоичные: или , основание: число 2. Они применяются в теории информации и информатике.
- Основное логарифмическое тождество:
- Логарифм произведения:
(так как по условию bc > 0). ■
(так как по условию ■
Используем для доказательства тождество . Логарифмируем обе части тождества по основанию c. Получаем:
(так как b p > 0 по условию). ■
- Логарифм корня:
- Логарифм со степенным основанием:
Логарифмируем левую и правую части по основанию c :
Равенство выражений очевидно. Т. к. логарифмы равны, то в силу монотонности логарифмической функции равны и сами выражения. ■
1.2. Логарифмическая функция
Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию y = log a x (см. рис. 1). Она определена при . Область значений: .
Функция является строго возрастающей при a > 1 и строго убывающей при 0 a
Прямая x = 0 является левой вертикальной асимптотой, поскольку при a > 1 и при 0 a
Производная логарифмической функции равна:
Запишем тождество e ln x = x и продифференцируем его левую и правую части
Получаем, что , откуда следует, что
Логарифмическая функция осуществляет изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел.
1.3. Натуральные логарифмы
Связь с десятичным логарифмом: .
Как указано выше, для производной натурального логарифма справедлива простая формула:
По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.
Неопределенный интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:
Разложение в ряд Тейлора может быть представлено следующим образом:
при справедливо равенство
Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится и значение x ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:
Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.
1.4. Десятичные логарифмы
Рис. 2а. Логарифмическая шкала
Рис. 2б. Логарифмическая шкала с обозначениями
Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a ) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала используется во многих областях науки, например:
- Физика — интенсивность звука (децибелы).
- Астрономия — шкала яркости звёзд.
- Химия — активность водородных ионов (pH).
- Сейсмология — шкала Рихтера.
- Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
- История — логарифмическая шкала времени.
Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.
2. Комплексный логарифм
2.1. Определение и свойства
Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. На практике используется почти исключительно натуральный комплексный логарифм, который обозначим и определим как множество всех комплексных чисел z таких, что e z = w . Комплексный логарифм существует для любого , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить w в показательной форме:
то логарифм находится по формуле:
Здесь — вещественный логарифм, r = | w | , k — произвольное целое число. Значение, получаемое при k = 0, называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента в интервале ( − π,π]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается . Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.
Из формулы следует:
- Вещественная часть логарифма определяется по формуле:
- Логарифм отрицательного числа находится по формуле:
Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой (формула Эйлера), то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциями. Пример такой связи:
Приведём главное значение логарифма для некоторых аргументов:
Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:
i π = ln( − 1) = ln(( − i ) 2 ) = 2ln( − i ) = 2( − i π / 2) = − i π — явная нелепость.
Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви ( k = − 1). Причина ошибки — неосторожное использования свойства , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.
2.3. Аналитическое продолжение
Рис. 3. Комплексный логарифм (мнимая часть)
Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. Пусть кривая Γ начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке w кривой Γ можно определить по формуле:
Если Γ — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например
Если разрешить кривой Γ пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции (см. рисунок).
Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма
Для любой окружности S , охватывающей точку 0:
Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.
Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью вышеприведенного ряда (1), обобщённого на случай комплексного аргумента. Однако из вида разложения следует, что в единице он равен нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма.
2.4. Риманова поверхность
Комплексная логарифмическая функция — пример римановой поверхности; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали. Эта поверхность односвязна; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1, особые точки: z = 0 и (точки разветвления бесконечного порядка).
Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0.
3. Исторический очерк
3.1. Вещественный логарифм
Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом [3] :
Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.
В современных обозначениях кинематическую модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M , где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.
Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом следующим образом:
Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.
Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) — LogNap(1) .
В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.
Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.
3.2. Комплексный логарифм
Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log(-x) = log(x) . Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной.
4. Логарифмические таблицы
При переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n . Например, lg8314,63 = lg8,31463 + 3. Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10.
Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг Кеплера (1620). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже — с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).
В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.
- Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М., 1973.
Таблицы Брадиса (1921) использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
- Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М., 1971.
Профессиональный сборник для точных вычислений.
- Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М.: Наука, 1972.
- Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.
В настоящее время с распространением калькуляторов необходимость в использовании таблиц логарифмов отпала.
История появления алгебры как науки уходит в далекие недра древности. Именно тогда была заложена база проведения обобщающих арифметических операций. Этот раздел можно охарактеризовать как продолжение арифметики, когда числовые значения заменяются буквенными символами. Происходит работа с элементами множеств для обобщения обычных операций сложения и вычитания.
Классификация раздела
Алгебра является разделом математики. Она классифицируется на несколько видов:
- Элементарная. В этом разделе все числовые значения (как постоянные, так и переменные) обозначаются буквами.
- Общая. Занимается изучением целых систем, которые включают в себя алгебраические структуры в виде полей.
- Универсальная. Является только подразделом науки. Занимается изучением общих свойств алгебраических систем.
- Линейная. В этот раздел входят векторные и линейные пространства.
Каждый из этих разделов решает определенные задачи. При этом наука не стоит на месте и продолжает развитие.
Древняя история
Информация об истории возникновения алгебры связывается с древними рукописями. В те времена появилось понятие о натуральных числах, с которыми можно было проводить арифметические операции. Такая потребность возникла в связи с проведением астрономических и других видов расчетов. Изучая историю алгебры, становится понятно, что ее зарождение произошло в античной Греции.
Информация об ученом содержится только в одном историческом труде, поэтому сказать точно, что математик создал алгебру, невозможно. К тому же этот источник дошел до нынешних времен не в полном объеме.
Продвижение на Восток
При этом существуют гипотезы, что мусульманский мир опирался в своих изучениях на европейские достижения. В некоторых их летописях присутствуют фамилии греческих последователей Диофанта, приводятся их высказывания относительно этой науки.
Вклад других стран
Основателем алгебры считается Ала-Хорезми, но особого развития она у арабов она получила. Однако именно они изобрели на своем языке арабские цифры, которые применяются в современном мире. Существенный вклад в развитие науки внесли представители и других стран. Кратко их достижения выражаются в следующем:
- Индия. Вклад индийцев заключается в том, что они ввели такое понятие, как ноль, который стал впоследствии использоваться арабами и европейцами.
- Китай. Эта страна внесла весомый вклад в раздел математики тем, что научилась проводить операции с отрицательными и иррациональными числами.
- Вавилон. Хоть местные математики не умели обращаться с отрицательными числами, они научились решать квадратные уравнения.
Таким образом, в развитии этого раздела принимали участие многие страны мира. Их исследовательские работы вносили общий вклад в становление алгебры.
Под конец XVI века эта часть математики снова возвращается в Европу, откуда она взяла свое начало. Этому способствовало купечество, разъезжающее по всему свету и знакомившееся с математикой. Дальнейший толчок произошел после распада феодальной системы. Страны, ставшие на капиталистический путь развития, уже не могли обойтись без алгебраических действий.
Алгебра относится к наиболее интересным наукам, которые изучаются учениками школ и студентами вузов. Учащиеся постоянно пишут рефераты и готовят доклады на различные темы, относящиеся к этому разделу математики. В дальнейшем они зачитывают свои работы на уроках.
Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.
Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов
Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит
Бесплатные доработки и консультации
Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки
Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа
Техподдержка 7 дней в неделю
Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему
Строгий отбор экспертов
Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы ![]()
Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован
Очень приятно работать с таким человеком. Работа выполнена без замечаний, все критерии были выполнены.
Последние размещённые задания
Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн
Поиск информации, Экономика
Срок сдачи к 5 мар.
Срок сдачи к 20 мар.
Срок сдачи к 2 мар.
Срок сдачи к 7 мар.
Выполнить три лр. вариант ко всем лр только один.
Лабораторная, Базы данных и экспертные системы
Срок сдачи к 7 мар.
Национальный проект "Образование"
Презентация, Стратегическое прогнозирование и планирование в РФ и ее регионах
Срок сдачи к 2 мар.
Разработка центробежного насоса производства серной кислоты
Курсовая, Технологические машины и оборудование
Срок сдачи к 11 мар.
Олово, 20-30 страниц,
Реферат, Научно-исследовательская работа
Срок сдачи к 31 мар.
решить в excel, Вариант 1 Вариант 1 Пусть дана экзаменационная.
Решение задач, Информационные технологии
Срок сдачи к 6 мар.
Задание по ассемблеру
Решение задач, Программирование на языках высокого уровня
Срок сдачи к 2 мар.
Произвести оценку конфигурации сети
Срок сдачи к 7 мар.
Контрольная, теоретическая механика
Срок сдачи к 2 мар.
проблемы источников гражданского права
Срок сдачи к 29 апр.
выполнить задание по дисциплине "Карьерное консультирование" психология
Срок сдачи к 7 мар.
Контрольная, Документационное обеспечение управления
Срок сдачи к 4 мар.
Презентация на английском языке
Презентация, Английский язык
Срок сдачи к 2 мар.
Имеются чертежи производственного здания. Сделано немного неправильно
Другое, Чертеж, сметы
Срок сдачи к 14 мар.
Тема: Операции по переработке на таможенной территории.
Реферат, Таможенные операции и таможенные процедуры
Срок сдачи к 9 мар.
Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.
Читайте также: