Аксиомы постулаты следствия доклад

Обновлено: 04.07.2024

«Совершенно ясное и строгое понимание дедуктивных схем пришло лишь в начале XX столетия. В основном это заслуга великого немецкого математика Гильберта . В несколько огрублённой и упрощённой форме дело обстоит примерно так. Мы ограничимся дальше, конкретным случаем геометрии, чтобы не слишком увлекаться абстракциями.

Этап № 1. Перечисление Основных Понятий.

Итак. Основные Понятия. Математики говорят прелестно: это элементарные объекты, которые не определяются, а лишь называются. Впрочем, маленькое добавление есть.

В современной аксиоматике геометрии Основные Понятия делятся на две группы:

а) Основные Образы;
б) Основные Соотношения.

Вообще говоря, сейчас есть по меньшей мере две существенно различные аксиоматические схемы. Дальше мы будем пользоваться той, в которой Основные Образы таковы:

1) точка;
2) прямая;
3) плоскость.

Теперь посмотрим, что представляют собой Основные Соотношения. Они формулируются так:

1) принадлежать;
2) лежать между;
3) движение.

Основные Понятия установлены. Теперь можно перейти ко второму этапу.

Этап № 2. Основные Аксиомы.

Всего в евклидовой геометрии сейчас различают пять групп аксиом. Это:

1) аксиомы соединения;
2) аксиомы порядка;
3) аксиомы движения;
4) аксиома непрерывности;
5) аксиома о параллельных.

Вряд ли стоит сейчас перечислять все эти аксиомы, мы поместим их в приложении, памятуя слова Геродота , что ничто не придаёт книге такой вес и солидность, как приложения. К аксиомам мы ещё не раз вернёмся, а пока укажем.

Этап № 3. Перечисление Основных Определений.

Если бы оказалось, что, используя Основные Понятия, невозможно определить, что такое луч, тогда пришлось бы это понятие отнести к Основным.

В общем все остальные понятия и определения вводятся при помощи Основных, а также (внимание!) тех аксиом, которые установлены нами для Основных Понятий. Нам остался последний.

Этап № 4. формулировка теорем. Доказательство теорем.

Для наших понятий (Основных и неосновных) мы высказываем утверждения-теоремы, которые и доказываем. Это, собственно, и есть предмет геометрии. Я сейчас ещё раз хотел бы повторить, что в такой постановке геометрия превращается в совершенно абстрактную игру наподобие шашек либо, ещё лучше, шахмат.

Там также есть Основные Понятия - фигуры. Есть аксиомы - совокупность правил игры. И наконец, есть теоремы. Собственно, одна теорема: как поставить противнику мат.

Или мы допустили ошибку в нашем рассуждении, или теорема, которую мы вновь сформулировали, ошибочна.

Первая возможность малоинтересна для науки; она показывает лишь то, что мы плохо владеем математикой.

Зато во второй содержится определённый и часто очень важный результат. Если мы убедились, что наша гипотеза (теорема) неверна, следовательно, верны другие теоремы, именно те, что противоречат нашей. Если таких противоречащих теорем лишь одна, то вашим рассуждением мы её доказали.

Если публикация Вас заинтересовала - поставьте лайк или напишите об этом комментарий внизу страницы.

+ Ваши дополнительные возможности:

ФСА – Функционально-стоимостной анализ;
РТВ – Развитие Творческого Воображения;
ЖСТЛ – Жизненная Стратегия Творческой Личности;

ТРИЗ- педагогика ;
ТРИЗ- бизнес ;
Новые разработки по ТРИЗ?

Понятия " аксиом а" и " постул ат" появились очень давно, до нашей эры, в эпоху господства философии, заменяющей все науки. Тот смысл , который закладывался первоначально, по мере развития научной методолог ии и, в частности, аксиом атического метода, не мог не меняться существенно, и сегодня в нем присутствуют представления о доказательствах, об очевидности, о том, как и почему возникает убеждение ученого в истинности сначала предположительных утверждений.
Все эти смысл овые дополнения требуют понимания сути психи ки и ее законов, представления, которые до сих пор не является общепринятыми. На этом сайте, в рамках целостной модели организации психи ки этой статьей формируется контекст для понимания понятий " аксиом ы" и " постул аты". Формализация этих представлений принимается как терминологическое определение для материалов сайта.

Аксиомы - это выверенные между передовыми носителями данной предметной области науки объективные истины. Они не опровержимы в своем принципе потому, что непосредственно описывают систему причинно-следственных зависимостей в определенных условиях, а такие зависимости не меняются, если не изменились условия. Т.е. аксиом ы - не субъективные выводы, а объективные данные о реальности.

Психофизиологический коррелят абстракции " аксиом а" - очевидная убежденность, на которую можно полагаться в дальнейшем развитии представлений, слова " постул ат" - пробное предположение ( гипотез а), которое может быть опровергнуто опытом.

В математике в начальных построениях, в силу того, что буквально все может переопределяться, постул ат может выполнять роль предположительной аксиом ы, но после становления данного раздела математики он становится аксиом ой. Это характерно только для математики потому, что в науках, описывающих объективную действительность, нет подобных предположительных фактических образований. Предположения или гипотез ы используются исследователями субъективно - для развития следующего этапа исследования, расширяющего представления.
Субъективное убеждение может оказаться иллюзией, но научная методолог ия предоставляет способы определения, исключающие иллюзии: так, если в каких-то условиях что-то фактически и постоянно воспроизводится, то это можно считать аксиом ой с заданными граничными условиями применения, включая ошибки проведения эксперимента.

Сначала коротко и по существу. Аксиомы и постул аты - не синонимы, хотя различия смысл а для неискушенного бывают не заметны.
Самые принципиальные различия:
1. В отличие от аксиом ы постул ат может быть опровергнут опытом.
2. Если постул ат может быть принят как совершенно произвольное утверждение, то аксиом а - то, истинность чего очевидна (см. доказательные свойства очевидности).
И аксиом а и постул ат не требуют доказательств, они принимаются в виде утверждения, не использующего условий кроме границы применимости данного утверждения.
Существует заблуждение о том, что аксиом а и постул ат будто бы - синонимы. Это проистекает от непонимания их сути и особенностей использования, что проясняют многие популярные статьи об этом, например: эта и эта.
Динамика развития убежденности в верности утверждений начинается с предположительного постул ирования, теор етического развития на этой основе, проверке на опыте в корректном эксперименте, получение очевидной убежденности в истинности утверждения после которого постул ат принимает качество аксиом ы как уже надежной основы для дальнейшего развития представлений.

Самой характерной и обязательной чертой научного метода является базирование области научного описания мира (абстракции) на факте (или системе фактов), который всегда воспроизводится в условиях, ограничивающих эту область. Таким фактом должно быть описание ( формализ ация) взаимоотношений, взаимосвязей некоторых выделенных процессов в мире или - закон природы, описывающий эти взаимосвязи. Он может описываться математически, как законы Ньютона, или иметь нематематическую, но не менее строго определенную терминологию.

В аксиом ы никогда не включаются логические цепочки и условия, доказательства и построения. Аксиомы - описание в форме утверждения тех фактических причинно-следственных закономерностей, существование которых имеется основание считать доказанными, для чего имеются описание опыта и методика проведения этого опыта, в котором это всегда подтверждается. Подтверждение соотвествия утверждения аксимы действительности независимыми специалистами увеличивает вес аксиом ы и делает ее все более общепризнаваемой.
Поэтому в аксиом ах (естественно, в их описаниях) никогда не фигурируют абстракции как чисто субъективные образования, не имеющие прямого соответствия с объективным.
Поэтому в аксиом ы не включаются понятия, зависящие от условий - границ абстракций, созданных человеком, в отличие от строгих терминов (см. подробнее ниже). Аксиомы не зависят от того, какими границами наделил абстракцию человек, но должны включать в себя область корректности их описаний, которая и оказывается граничными условиями применимости аксиом ы. Так, законы Ньютона являются абстракциями, область корректного описания действительности которых - не релятиви стские скорости. Для каждого из значений взаимных скоростей существует возможность определить точность (погрешность) описания аксиом ы.

Если считать, что вообще все, что изрекает человек в символьной форме является абстракциями (а это, конечно же, в пределе так), то любая аксиом а состоит из абстракций. Но такие абстракции как точка, прямая, плоскость имеют совершенно четкие соответствия со свойствами действительности. Из любой воспринимаемой картины действительности можно выделить составляющие ее более элементарные признаки: линии, точки, круги, полосы. Именно это и делает наш зрительный анализатор, формируя модель воспринимаемого. И абстракции, выраженные в виде символов соответствующих этим выделенным признакам, имеют четкую корреляцию с действительностью. Но есть абстракции, которых нет в действительности, точнее, которые невозможно выделить как наблюдаемые признаки действительности. Это: время, пространство, силовые линии, меридианы, и, конечно же, объекты и формы. В одной и той же действительности мы можем совершенно произвольно выделить бесконечный ряд объектов и форм - смотря чем и как ограничивать их.
Однако, закономерности, связанные с такими абстракциями, объективны потому, что эти абстракции отражают некие объективные причинно-следственные зависимости.

Аксиомы - объективно наблюдаемые причинно-следственные явления, группируемые субъективно (ну прямо как операция группировки в базе данных) в символьной формулировке описания аксиом . Т.е. сознание выделяет нечто из реальности, соответствующее объективно наблюдаемой многими закономерности, отсеивает второстепенное при сопоставлении схожих явлений, обобщает системную составляющую и условия, в которых это всегда выполняется, формулирует закономерность в виду условных символов. Получается аксиом а. Аксиома - не описание чего-то как сущности, а описание причинно-следственных закономерностей.
Аксиома не описывает понятие круга (меридианы, пространство и т.п.), но может описывать то, какими свойствами обладают круглые тела, если это достаточно значим о как основы какой-то предметной области.
Аксиомы могут описывать то объективное, что составляет продукты психи ки, например, математические представления - как отражение определенной логики, не обязательно отражающей логику причин и следствий реального мира. Такая логика, выраженная формальных в символах, доступной для других людей, тем самым, становится объективной, выражая некие свойства абстракций.
У аксиом ы нет самоцелью быть аксиом ой, а есть только одно оправдывающее ее существование предназначение - составить основу выверенных закономерностей в какой-то предметной области, т.е. использоваться как доказанная закономерность, на которую можно полагаться в дальнейшем развитии представлений.

Конечно, в выдуманном мире мы можем сами придумывать любые свойства и любые аксиом ы для развития наших предположений. Но сам принцип аксиом атики при этом вырождается, т.к. в реальности, как правило, нет такого места, где такие аксиом ы могут быть корректно проверены эмпирическ и. Поэтому в таком случае говорят о постул атах.
Дух аксиом . Аксиома - это описание некоего закона действительности, в котором мы можем всегда убедиться эмпирическ и. Описание закона взаимодействия, описание свойств и условий развития закона. В аксиом у нельзя безнаказанно включать такие абстракции как "силовая линия", " энерги я", "истина", "красота", "объект" и т.п. Потому, что такая аксиом а окажется зависимой не только от определения самой абстракции, но от того, какими границами мы ее наделяем.

Почему же некорректно называть аксиом ой абстракции, порожденные человеческим умом? Потому, что границы (формы) этих абстракций определяются произвольно и эти абстракции не существуют сами по себе в действительности. Аксиома это, в первую очередь, то, что можно воспроизводимо и однозначно показать эмпирическ и.

Однажды случился затяжной спор с человеком, который утверждал, что мысль материальна. Потому, что когда мыслим, то вот же электроны особым образом в нейрон ах циркулируют и .т.п. То, что само понятие "мысль" - это придуманная человеком абстракция, имеющая свои условные и довольно произвольные формы, он никак не хотел понять. Не помогал пример меридианов, которых на самом деле нет, но которые, конечно же, человек может выделить на земном шаре (в отличие от мысли, которую не выделишь вообще принципиально). Меридианы тоже оказывались материальными, потому, что мы реально имеем с ними дело.

Аксиома - это базовая формализ ация (не утверждение, требующее обоснования) эмпирическ и достоверного факта в рамках данной теор ии (в граничных условиях использования).

Пример аксиом ы, где ее достоверность не зависит от субъективной оценки: это - любая формализ ация закона природы, которая воспроизводится у любых исследователей в данных условиях. Например все три закона Ньютона - аксиом ы, описывающие фундаментальные законы природы, суть которых пока неизвестна. Эти аксиом ы объективно достоверны в рамках условий теор ии классической механики и не зависят от оценки субъектом. Суть этих аксиом - формализ ация эмпирическ и достоверного закона природы.

Постулат можно было бы считать равноценным аксиом е, но на самом деле есть отличие: само слово означает, что это - предположительное утверждение (при постул ировании), базовое утверждение для какой-то гипотез ы. Это отличие - общепринятое обозначение тех утверждений, которые пока еще не очевидны эмпирическ и, но, в отличие от гипотез ы постул ирование характерно для математики, когда постул ат предположительно используется в качестве аксиом ы. Если на основе постул ата строится непротиворечивая теор ия, описывающая свою абстракцию реальности, то есть основания попытаться найти такие условия в действительности, в которых этот постул ат окажется равноценным аксиом е: т.е. можно будет доказать его объективную достоверность. Не раз случалось, что постул ированное оказывалось не адекватн ым развиваемой теор ии, и от такого постул ата отказывались.

Все, что еще не познано можно правдоподобно объяснить бесконечным числом вариантов различных предположений. Но к науке это не имеет отношения и гипотез ами не назовешь потому, что наука никогда не сможет проверить бесконечное число вариантов и никогда не исследует явление, начиная от полностью непознанного. Гипотеза это - такое предположение, которое уже хорошо обосновано из существующих известных и проверенных фактов - аксиом , это - экстрапол яция от известного - в неизвестное и лишь только один ближайший шаг такой экстрапол яции.

Зачем обязательно нужно, чтобы теор ия базировалась на аксиом е? Аристотель придумал метод, названный его именем, с помощью которого он объяснял явления. Он использовал для этого "виртуальные шаблоны понятий".
Для примера предложу одну очень коротенькую " теор ию":
"Сосиска это - специфический вид астральной сущности."
Пока ничего не сказано. Все зависит от перевода терминов астральный и сущность. Мы имеем лишь виртуальный шаблон понятия, в который можно поместить любой смысл .
Все мист ические и религиозные теор ии обязательно используют эти шаблоны таким образом, как если бы это были уже определенные понятия. Создается иллюзия целостной и убедительной картины. Этим эксплуатируется свойство психи ки использовать вербальны е символы как эквивалент субъективных понятий. Причем возможно использовать эти символы даже в том случае, если еще нет почти никаких понятий. Например ребенок, на панический возглас: "Туда не ходи, там иксирикс!" прореагирует вполне адекватн о и вряд ли пойдет "туда" (во всяком случае, сразу), несмотря на то, что совершенно не представляет себе, что такое иксирикс, который может быть как опасностью, так и источником удовольствия. Причем просто возглас: "Туда не ходи!" возымел бы намного меньшее действие.
Порочность всех мист ических теор ий в том, что они пытаются описать картину мира, начиная с "самого начала", т.е. с сотворения, вводя при этом самый первый виртуальный шаблон - понятие Бога. Любые отдельные мист ические суб теор ии так же, как правило, начинают с определения базовых понятий как виртуальных шаблонов.
Теория, основанная на неопределенных понятиях, принципиально не может развиваться в описании действительности окружающего мира, используя логику. Потому, что сама логика - это есть описание, формализ ация законов взаимодействия, которые стали бесспорными для того, кто использует эту логику. И если базовая логика окажется неопределенной, то всегда можно будет указать условия, в которых она перестанет соответствовать реальности.
Что такое реальность - в статье Яйцо или курица.
Что такое истина (которая является результатом сравнения логики и ее соотвествия реальности) - в статье Что такое истина?

В статье ученый:
. в какой бы форме ни проводились исследования, основа научной методолог ии любой предметной области это - формализ ация той аксиом атики, на которой основываются обобщения этой предметной области, призванные сделать наиболее правдоподобное предположение ( гипотез ы) о закономерностях и фактических вытекающих отсюда проявлениях - основы аксиом атики следующего уровня. Эти предположения становятся личной аксиом атикой для носителей методолог ии и становятся общепризнанной аксиом атикой, когда их сообщество предметной области признает, что опытные проверки предположений бесспорны в рамках, определенных для их описания (вне этих рамок использования описаний может быть иное).
Так, Ньютон предложил сообществу свои 3 знаменитых закона и сегодня они признаны как аксиом атика, хотя для него это были гипотез ы, которые он сделал на основе убедительных для себя фактических наблюдений и исследований.
Всегда есть кто-то первый, кто предложит факты исследования или обобщения, которые потом или признаются или находится их порочность. Бывает, что аксиом атика присутствует как негласное, подчас невербальное признание некоей "очевидной" истины. "Земля очень большая и плоская" - вполне верная аксиом атика в определенных рамках ее использования (что можно сказать про любую аксиом атику), но без таких рамок может быть неверна или даже просто теряет определенный смысл . Как и личная аксиом атика, так и признанная сообществом, не может быть гарантией истины, поэтому из нее не стоит делаеть догмы и всякий раз когда появляется возможности проверки нового качества приближения, они проводятся.
Напротив, стоит только остановиться на некоей гипотез е или даже на аксиом атически убедительном утверждении, как это означает, что исследователь остановился на уровне мист ического восприятия. Ведь, делая следующий уровень предположений на основе пока не проверенных гипотез , увеличивается неопределенность, вероятность не адекватн ости. И через несколько ступеней появляется Бог. Главная задача ученых - обобщение достоверно известных фактов в наиболее правдоподобно описывающую явление гипотез у, определить границы использования этого описания, в которых оно будет всегда истинно (давать результат "истина" в операции сопоставления предположения и соответствующими предмету исследования проявлениями реальности, см. Истина и ее критерий).
В случае же не всего сообщества, а только одного ученого, все сказанное об аксиом атике, обобщающих предположениях и их проверке - соответственно, относится к нему одному: аксиом атикой он принимает не вызывающие у него возражений в достоверности факты, на их основе делает обобщения и предлагает все это научному сообществу предметной области, после чего его субъективизм корректируется личностным восприятием и пониманием всех заинтересовавшихся в сообществе. Сопоставляя предоставленные данные с реальным проявлением предмета исследования, они находят, в каких границах есть соответствие ( адекватн ость) - результат сопоставления - истина, а в каких условиях - ложь.
.
На этом сайте любому предоставлена техническая возможность построить собственную систему обоснований. Для этого в марте 2008г. создана Система ведения личной аксиом атики, которая позволяет не просто оформить верифицируемые открыто обоснования своим теор етическим утверждениям, но и предоставить возможность оптимизировать обобщение с помощью корректировки мнением сообщества, конечно при условии, что его работа вообще кого-то заинтересует.
Для того, чтобы можно было посмотреть результат, предлагается пример реализации системы личной аксиом атики. В тексте обобщения становится возможным делать ссылки на фактические источники и автоматически выводить их список низу в стиле использованной литературы.

Чтобы щелкать задачки по геометрии, важно рассуждать логически. Это качество поможет быстрее запомнить все правила и перейти к решению задач и доказательствам. В этой статье узнаем про аксиомы, теоремы и доказательства теорем.

О чем эта статья:

Понятие аксиомы

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Через любые две точки проходит единственная прямая.
Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки. А точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки.
На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.
Отрезки, полученные сложением или вычитанием соответственно равных отрезков — равны.
Каждая прямая на плоскости разбивает эту плоскость на две полуплоскости. При этом если две точки принадлежат разным частям, то отрезок, который соединяет эти две точки, пересекается с прямой. Если две точки принадлежат одной части, то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с прямой.
От любого луча на плоскости в заданную сторону можно отложить только один угол, который равен данному. Все развернутые углы равны.
Углы равны, если они получились путем сложения или вычитания соответственно равных углов.

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Синтетический или синтез — метод, при котором данное предложение выступает, как необходимое следствие другого, уже доказанного.
Аналитический или анализ — обратный синтезу способ. Рассуждения всегда начинаются с доказываемой теоремы и закачиваются другой известной истиной.

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Способ наложения — когда одну геометрическую величину накладывают на другую. Этим способом убеждаются в равенстве или неравенстве геометрических протяжений в зависимости от того, совмещаются они или нет при наложении.
Способ пропорциональности — применение свойств пропорций. Этот способ пригодится для доказательства теорем про подобные фигуры и пропорциональные отрезки.
Способ пределов — когда вместо данной величины берут свойства другой, близкой к ней. А потом перекладывают эти выводы на исходные данные.

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

прямая теорема: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
обратная теорема: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

Прямая: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
Обратная: если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей, соответственные углы равны.
Противоположная: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.
Обратная противоположной: если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол, противолежащий стороне а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

2. аксиомы и постулаты. В математике , механике, теоретической физике, математической логике и других науках кроме определений вводят аксиомы.

Аксиомы – это суждения, которые принимаются в качестве аргументов без доказательства, т.к. они уже подтверждены многовековой практикой людей.

3. раннее доказанные законы науки и теоремы как аргументы доказательства. В качестве аргументов доказательства могут выступать ранее доказанные законы физики, химии, биологии и др. научные теоремы математики. Юридические законы являются аргументами в ходе судебного доказательства.

В ходе доказательства какого- либо тезиса может использоваться не один, а несколько из перечисленных видов аргументов. И наконец, следует еще раз подчеркнуть, что критерии истинности является практика. Если практика подтвердила истинность суждения, то дальнейшее доказательство не нужно.

Итак, роль доказательства очень важна, т.к. в современном мире нам часто приходится доказывать, обосновывать высказанные нами суждения. Особенно важно доказательство в научной деятельности.

Правила доказательного рассуждения

I. правила, относящиеся к тезису.

1. тезис должен быть логически определенным, ясным и точным.

1. подмена тезиса- суть ее в том, что один тезис умышленно или не умышленно подменяют другим и этот новый тезис начинают доказывать или опровергать. Это часто случается во время спора, дискуссии.

а) кто слишком много доказывает, тот ничего не доказывает;

б) кто слишком мало доказывает, тот ничего не доказывает.

II. Правила по отношению к аргументам.

1. аргументы, приводимые в подтверждение тезиса, должны быть истинными и не противоречащими друг – другу.

2. аргументы должны быть достаточным основанием для подтверждения тезиса.

3. аргументы должны быть суждениями, истинность которых доказана самостоятельно независимо от тезиса.

1. ложность оснований. В качестве аргументов берутся не истинные, а ложные суждения, которые выдают или пытаются выдать за истинные.

Итак, если будет нарушено хотя бы одно из перечисленных правил, то могут произойти ошибки, относящиеся к доказываемому тезису, аргументом или к самой форме доказательства.

Опровержение, его структура и способы.

Суждение, которое надо опровергнуть, называется тезисом опровержения. Суждения, с помощью которых опровергается тезис, называется аргументами опровержения.

Существуют 3 способа опровержения:

1. опровержение тезиса (прямое и косвенное)

2. критика аргументов

3. выявление несостоятельности демонстрации.

I. Опровержение тезиса.

. Опровержение тезиса осуществляется с помощью следующих 3 способов:

Как уже отмечалось в классической двузначной логике метод сведения к абсурду – выражается в виде формулы а=а- , где противоречие или ложь.

К более обшей форме принцип сведения к абсурду выражается такой формулой:

4) опровержение тезиса через доказательство антитезиса. По отношению к опровергаемому тезису (суждению а) выдвигается противоречащее ему суждение (т.е.не-а) и суждение не –а (антитезис) доказывается. Если антитезис истинен, то тезис ложен, третьего не дано.

Итак, доказано суждение О. в силу закона исключенного третьего если О истинно, то А ложно. – тезис опровергнут

II. Критика аргументов.

Подвергаются критике аргументы, которые были выдвинуты оппонентом в обоснование его тезиса. Доказывается ложность или несостоятельность этих аргументов.

Ложность аргументов не означает ложности тезиса: тезис может оставаться истинным.

Нельзя достоверно умозаключать отрицания основания к отрицанию следствия. Но достаточно бывает показать, что тезис не доказан. Иногда бывает, что тезис истинен, но человек не может подобрать для его доказательства истинные аргументы. Случается и так, что человек не виновен, но не имеет достаточных аргументов для доказательства этого.

III. Выявление несостоятельности демонстрации.

Обнаружив ошибки в ходе демонстрации, мы опровергаем ее ход, но не опровергаем сам тезис. Доказательство же истинности тезиса обязан дать тот, кто его выдвинул.

Итак, все перечисленные способы опровержения тезиса, аргументов, хода доказательства применяются, не изолировано, а в сочетании друг с другом.

Умозаключения по аналогии, их виды

Аналогия – умозаключение о принадлежности предмету определенного признака на основе сходства в существенных признаках с другим предметом. В форме такого умозаключения осуществляется приписывание предмету свойства или перенос отношений.

В зависимости от характера информации переносимой с одного предмета на другой (с модели на прототип), аналогия делится на 2 вида:

1.Аналогия свойств 2. аналогия отношений.

В аналогии свойств рассматриваются 2 единичных предмета, а переносимыми признаками являются свойства этих предметов.

Схема аналогии свойств в традиционной логике такова:

Предмет А обладает свойствами а, в, с, д, е, ф.

Предмет В обладает свойствами а, в, с, д.

Вероятно, предмет В обладает свойствами е, ф.

Примером аналогии свойств служит аналогия симптомов протекания той или иной болезни у 2 разных людей (2 единичных предмета) или 2-х групп людей ( взрослых и детей). Исходя из сходства признаков болезни (симптомов) врач по аналогии ставит диагноз.

В аналогии отношений информация, переносимая с модели на прототип, характеризует отношения между 2- мя предметами.

Кроме деления на 2 вида –аналогия свойств и аналогия отношений- по характеру выводного знания умозаключения по аналогии можно разделить на 3 вида:

1. строгая аналогия, дающая достоверное заключение;

2. нестрогая аналогия, дающая вероятное заключение

3. ложная аналогия, дающая ложное заключение.

Строгая аналогия. Характерным признаком, отличающим строгую аналогию от нестрогой и ложной, является наличие необходимой связи признаков сходства с переносимым признаком.. Схема строгой аналогии такова:

Предмет А обладает признаками а, в, с, д, е.

Предмет В обладает признаками а, в, с, д.

Из совокупности признаков а, в, с, д, необходимо следует е.

Предмет В обязательно обладает признаком е.

Если из совокупности признаков М= а, в, с, д, закономерно, необходимо следует признак е, то в виде формулы алгебры логики эту зависимость записывают так:

Последняя формула является законом логики, т.к. по определению логическое следствие Е не может быть ложным (т.е признак е отсутствует) когда посылки истинны. Структура строгой аналогии подобна структуре правила условно категорического умозаключения и поэтому дает достоверный вывод. Деление их в том, что в всего одно основание и одно следствие, а в строгой аналоги единая совокупность оснований (сходных признаков), взятая как единое множество (не пустое и не единичное). Если бы множество было пустым, т.е. не было бы сходных признаков, то аналогия была бы невозможна, а если бы множество было единичным, то это был бы , который выражается формулой

Строгая аналогия применяется в научных исследованиях, в математических доказательствах.

В отличие от строгой аналогии нестрогая аналогия дает не достоверное, а лишь вероятное заключение. Если ложное суждение обозначить через О, а истину через 1, тот степень вероятности заключений по нестрогой аналогии лежит в интервале от 1 до 0, т.е. 1>Р>0, где Р- обозначение вероятности заключения по нестрогой аналогии.

Примерами нестрогой аналогии является следующие: испытание модели корабля в бассейне и заключение о том, что настоящий корабль будет обладать теми же характеристиками, испытание прочности моста на модели, затем построение настоящего моста.

Для повышения степени вероятности заключений по нестрогой аналогии следует выполнить ряд условий:

Раздел: Философия
Количество знаков с пробелами: 122875
Количество таблиц: 5
Количество изображений: 0

Постулаты и аксиомы – свойства, принимаемые без доказательства. Все остальные предложения должны быть логически выводимы из определений, постулатов и аксиом. Различные авторы выдвигали различные требования к постулатам и аксиомам: так, Аристотель считал характерным свойством аксиом общепризнанность, Декарт – очевидность, Паскаль – недоказуемость.

Вот список постулатов Евклида.

1.	От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2.	Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3.	Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
4.	Все прямые углы равны между собой.
5.	Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых.

Математики многократно обращались к системе постулатов и аксиом Евклида, пытаясь улучшить ее. Так, в XVIII в. было осознано, что постулат 4 является лишним, поскольку вытекает из других постулатов и аксиом.

1.	Равные одному и тому же равны и между собой.
2.	И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3.	И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4.	И если к неравным прибавляются равные, то и целые не будут равны.
5.	И удвоенные одного и того же равны между собой.
6.	И половины одного и того же равны между собой.
7.	И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8.	И целое больше части.
9.	И две прямые не содержат пространства.

Естественный вопрос, который возникает при знакомстве с постулатами и аксиомами Евклида, – чем постулаты отличаются от аксиом. В целом представляется, что аксиомы, в отличие от постулатов, касаются очень общих свойств величин самой разной природы, в т. ч., например, чисел, а не только геометрических объектов. Тем не менее, аксиома 9 противоречит такой интерпретации. Смысл этой аксиомы – в том, что два отрезка не могут сходиться в двух различных точках – то есть ограничивать некоторую фигуру конечной площади.

Постулат 1 утверждает существование по крайней мере одного отрезка с концами в двух данных точках, а аксиома 9 – то, что таких отрезков не более одного.

В целом, выбор постулатов и аксиом у Евклида удачен, но его система не является полной: в ней отсутствуют многие важные аксиомы (например, стереометрические). Впрочем, еще Аристотель полагал, что иногда изложения той или иной науки обходят молчанием некоторые свойства и положения вследствие их очевидности. Вполне возможно, что Евклид не ставил себе целью дать полный список утверждений, необходимых для дальнейших доказательств. Эту задачу он оставил последующим математикам.

Читайте также: