В чем специфика изучения числовых и буквенных выражений в начальной школе

Обновлено: 05.07.2024

История возникновения и этапы развития алгебры. Методика изучения числовых и буквенных выражений, числовых равенств и неравенств. Характеристика качества умения решать простые арифметические задачи алгебраическим способом в традиционной системе обучения.

Рубрика	Педагогика
Вид	контрольная работа
Язык	русский
Дата добавления	20.03.2015
Размер файла	53,1 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

1. Из истории возникновения алгебры

алгебра неравенство числовой обучение

Начало нового века внесло существенные коррективы в преподавание алгебры. Передовая педагогическая мысль признала, что в курс алгебры должны быть включены идеи переменной величины, понятие функции [3, 4, 5].

В последующих параграфах первой главы и пойдет речь о методике изучения алгебраического материала в условиях традиционной школы.

2. Методика изучения числовых выражений

В методической литературе методике изучения числовых выражений уделяется достаточно внимания [1, 5, 6, 9, 20, 21,48, 50].

В математике под выражением понимают построенную по определённым правилам последовательность математических символов, обозначающих числа и действия над ними.

Задачи изучения темы

1) Научить учащихся читать и записывать выражения, предусмотренные программой.

2) Ознакомить учащихся с правилами порядка выполнения арифметических действий.

3) Научить находить числовые значения выражений.

4) Ознакомить с тождественными преобразованиями выражений на основе свойств арифметических действий.

Решение поставленных задач осуществляется на протяжении всех лет обучения в начальных классах, начиная с первых дней пребывания ребёнка в школе.

В методике работы над числовыми выражениями методисты [1, 2, 6,46, 50] выделяют три этапа: на первом этапе - формирование понятий о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел); на втором этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия одной ступени; на третьем этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия разных ступеней.

Рассмотрим методику изучения числовых выражений.

Умение читать и записывать выражения, находить их значения с помощью соответствующего арифметического действия вырабатывается с помощью многократных упражнений.

Рассмотрим фрагмент урока (2 кл.).

На доску с помощью воды прикрепить 5 красных и 2 жёлтых круга:

- Сколько красных кругов? (Записать число 5.)

- Сколько жёлтых кругов? (Записать число 2.)

- Какое действие над записанными числами 5 и 2 нужно выполнить, чтобы узнать, сколько красных и сколько жёлтых кругов вместе? (появляется запись: 5+2).

- Скажите, не считая, сколько всего кругов?

- А теперь узнаем, чему же равна сумма чисел 5 и 2 (дают полный ответ).

Аналогично про разность.

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из 3 и более чисел, соединённых одинаковыми и разными знаками арифметических действий: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 и т.д. Раскрывая смысл таких выражений, учитель показывает способ их чтения. Вычисляя значения этих выражений, дети практически овладевают правилом о порядке арифметических действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его: 10-3+2=7+2=9. Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований.

Методика ознакомления с выражениями со скобками может быть различной.

Представляет интерес вид работы, предложенный латвийским методистом Я.Я. Менцисом.

а) составить все виды выражений по этому тексту и объяснить, что они показывают;

б) объяснить, что показывают выражения:

24-2 24 - (6+2) 24:6 24-6*3

1) Установлю, какое действие выполняется последним.

2) Подумаю, как называются числа при выполнении это действия.

3) Прочитаю, чем выражены эти числа.

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются в 3 классе, но практически некоторые из них дети используют в первом и втором классах.

Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо умножение и деление (3 кл.). Цель работы на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, приобретённые ранее, обратить внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать правило.

Подведение детей к формулировке правила, осознание его может быть различным. Главная опора на имеющийся опыт, максимально возможная самостоятельность, создание ситуации поиска и открытия, доказательности.

Например. Учитель сообщает, что при нахождении значения следующих выражений у него получились ответы, в правильности которых он уверен (ответы закрыты).

Предлагает детям самим найти значения выражений, а затем сопоставить ответы с ответами, полученными учителем (к этому моменту результаты арифметических действий открываются). Дети доказывают, что учителем допущены ошибки и на основе изучения частных фактов формулируют правило (см. учебник математики, 3 кл.).

Аналогично можно ввести остальные правила порядка выполнения действий: когда в выражениях без скобок содержатся действия 1 и 2 ступени, в выражениях со скобками. Важно, чтобы дети осознали, что изменение порядка выполнения арифметических действий приводит к изменению результата, в связи с чем математики решили договориться и сформулировали правила, которые необходимо строго соблюдать.

Преобразование выражения - замена данного выражения другим с тем же числовым значением. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия из них ([1], с. 249-250).

76 - (20 + 4) =76-20… (10 + 7) -5= 10-5…

Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 76 вычитают сумму чисел 20 и 4, справа из 76 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо справа еще вычесть 4. Аналогично преобразуются другие выражения, т.е., прочитав выражение, ученик вспоминает соответствующее правило. И, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобразованного выражений и сравнивают их.

Применяя знания свойств действий для обоснования приемов вычислений, учащиеся I-IV классов выполняют преобразования выражений вида:

Учащиеся II-IV классов выполняют преобразование выражений не только на основе свойств действии, но и на основе их конкретного смысла. Например, сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением: (6+ 6 + 6 = 6*3, и наоборот: 9*4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8*4 + 8 = 8*5, 7*6-7=7 *5.

На основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся IV класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок [46]. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились:

(65 + 30) - 20 (20 + 4) *3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Так, первое из заданных выражений дети заменяют выражениями: 65 + 30-20, 65-20+30, поясняя порядок выполнения действий в них. Таким образом, учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка действий только в том случае, если при этом применяются свойства действий.

3. Изучение буквенных выражений

Работа по раскрытию смысла переменной ведётся в тесной связи с изучением арифметических действий.

В процессе обучения дети должны научиться читать и записывать выражения с одной и двумя переменными вида: а+27, а+в, с-12, с-d, 3*в, 15:с, в:с и т.д., научиться находить значения этих выражений при заданных значениях букв.

В качестве примера рассмотрим фрагмент урока по ознакомлению с выражениями с переменной [1, 46].

1. Нахождение числовых значений буквенных выражений при данных значениях букв.

2. Подбор самими учащимися числовых значений букв, входящих в выражение, и нахождение его числового значения.

4. Изучение числовых равенств и неравенств

Понятия о равенствах, неравенствах и уравнениях раскрываются во взаимосвязи. Работа над ними ведется с I класса, органически сочетаясь с изучением арифметического материала [1, 7, 8, 46].

Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Сравнение величин вызывает трудности у учащихся, поэтому, чтобы научить этой операции, надо систематически в 1-4 классах предлагать разнообразные задания, например:

1) подберите равную величину: 7 км 500 м =… м, 3080 кг = … т … кг.

2) Подберите числовые значения величин так, чтобы запись была верной: … ч 16…. 17 т 5 ц=17500…

4) Проверьте, верные или неверные равенства даны, исправьте знак, если равенства неверны: 4 т 8 ц=480 кг, 100 мин =1 ч, 2 м 5 см =250 см.

Подобные задания помогают детям усвоить не только понятия равных и неравных величин, но и отношения единиц измерения.

Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 дети длительное время упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения). Первые неравенства вида 3+1 >3, 3-1 3), значит, можно записать: 3+1>3 (три плюс один больше, чем три). Аналогичная работа ведется над неравенством 3-1 5 2 5 2 b, то b 3), а других меньше (3 6+3 7-5 9 2

Разработала методику для изучения выражений в начальных классах.

1. Методика изучения алгебраического материала в начальных классах школы

1.1. Общие вопросы методики изучения алгебраического материала.

1.2. Методика изучения числовых выражений.

1.3. Изучение буквенных выражений.

1.4. Изучение числовых равенств и неравенств.

1.5. Методика изучения уравнений.

1.6. Решение простых арифметических задач с помощью составления уравнений.

1.1. Общие вопросы методики изучения алгебраического материала

Введение алгебраического материала в начальный курс математики позволяет подготовить учащихся к изучению основных понятий современной математики (переменная, уравнение, равенство, неравенство и др.), способствует обобщению арифметических знаний, формированию у детей функционального мышления.

Учащиеся начальных классов должны получить первоначальные сведения о математических выражениях, числовых равенствах и неравенствах, научиться решать уравнения, предусмотренные учебной программой и простые арифметические задачи с помощью составления уравнения (теоретическая основа выбора арифметического действия в которых связь между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия0.

Изучение алгебраического материала ведётся в тесной связи с арифметическим материалом.

1.2. Методика изучения числовых выражений

Задачи изучения темы

1) Научить учащихся читать и записывать выражения, предусмотренные программой.

2) Ознакомить учащихся с правилами порядка выполнения арифметических действий.

3) Научить находить числовые значения выражений.

4) Ознакомить с тождественными преобразованиями выражений на основе свойств арифметических действий.

В методике работы над числовыми выражениями предусматривается три этапа: на первом этапе - формирование понятий о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел); на втором этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия одной ступени; на третьем этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия разных ступеней.

С простейшими выражениями - суммой и разностью - учащихся знакомят в первом классе (по программе 1-4) с произведением и частным - во втором классе.

Рассмотрим методику изучения числовых выражений.

Рассмотрим фрагмент урока (2 кл.).

На доску выложить 4 красных и 3 жёлтых круга:

- Сколько красных кругов? (Записать число 4.)

- Сколько жёлтых кругов? (Записать число 3.)

- Какое действие над числами 3 и 4 нужно выполнить, чтобы узнать, сколько красных и сколько жёлтых кругов вместе? (появляется запись: 4+3).

- Скажите, не считая, сколько всего кругов?

- А теперь узнаем, чему же равна сумма чисел 4 и 3 (даём полный ответ).

Аналогично про разность.

1) Установлю, какое действие выполняется последним.

2) Подумаю, как называются числа при выполнении это действия.

3) Прочитаю, чем выражены эти числа.

Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо умножение и деление (3 кл). Цель работы на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, приобретённые ранее, обратить внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать правило.

Преобразование выражения - замена данного выражения другим с тем же числовым значением. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия из них

76-(20 + 4) =76-20. (10 + 7) -5= 10-5.

Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 76 вычитают сумму чисел 20 и 4, справа из 76 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо справа еще вычесть 4. Аналогично преобразуются другие выражения, т. е., прочитав выражение, ученик вспоминает соответствующее правило. И, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобразованного выражений и сравнивают их.

Применяя знания свойств действий для обоснования приемов вычислений, учащиеся I—IV классов выполняют преобразования выражений вида:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 1830= 18(310) = (183) 10=540

Это предупреждает ошибки вида:

75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24•12= (10 + 2) =24•10+24•2 = 288.

Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8•4 + 8 = 8•5, 7•6-7=7 •5.

На основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся IV класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились:

(65 + 30)-20 (20 + 4) •3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

1.3. Изучение буквенных выражений

В качестве примера рассмотрим фрагмент урока по ознакомлению с выражениями с переменной.

Усвоению буквенной символики помогают следующие упражнения:

Подбор самими учащимися числовых значений букв, входящих в выражение, и нахождение числовых значений этих выражений. Например, заполните таблицу

Полезно обращать внимание учащихся на то, какие значения можно придавать букве в заданном выражении. Например, рассматривается выражение 37—k. Учитель предлагает учащимся придать букве к два значения и найти значение разности. Учащиеся выполняют задание в тетрадях. При проверке работы учитель записывает на доске числовые значения буквы k, которые придали ей учащиеся, а также выясняет, можно ли придать букве k другие значения, можно ли ей придать значение 38, 40, 100, какое наименьшее значение она может принимать, какое у нее здесь может быть самое большое значение. Значит (сделает обобщение учитель), букве k можно придавать любые числовые значения от 0 до 37.

Когда уч-ся уяснят смысл буквенной символики, можно использовать буквы в качестве средства обобщения формируемых у них знаний. Конкретной базой для использования буквенной символики как средства обобщения служат знания об арифметических действиях.

Вся система упражнений здесь строится в соответствии с принципом от конкретного к абстрактному. Буквенная символика будет являться средством обобщения только тогда, когда уч-ся много раз наблюдали на числовых примерах определенные связи, зависимости, отношения, свойства и т. п., формулировали соответствующие выводы, правила или свойства и пользовались ими при выполнении различных упражнений.

На этом этапе уч-ся, выполняя специальные упражнения, овладевают следующими умениями:

1.Записать при помощи букв свойства арифметических действий, связь между компонентами и результатами арифметических действий и т. п. Например, во II классе действие умножения вводится как нахождение суммы одинаковых слагаемых. Обобщая это знание связи между суммой одинаковых слагаемых и произведением, важно показать, что сумму любых одинаковых слагаемых можно заменить произведением и, наоборот, произведение двух чисел, если второй множитель больше единицы, можно представить в виде суммы одинаковых слагаемых. С этой целью предлагаются задания: заменить сумму а+а+а+а произведением.

Уч-ся заменяют сумму а+а+а+а произведением а*4, рассуждая так: здесь слагаемые одинаковые (а), значит,можно заменить сумму произведением, первым множителем будет а, а вторым множителем число 4, так как четыре слагаемых.

Выполняя обратное упражнение: заменить произведение с*3 суммой, уч-ся рассуждают так: с умножить на 3 — значит с взять слагаемым три раза, можно записать: с-3 = с+с+с.

4.Доказать справедливость заданных равенств или неравенств при помощи числовой подстановки. Например, предлагается показать, что при любых значениях буквы с верны следующие равенства и неравенства: с+5=5+с, с+17с+15. Уч-ся сами придают букве с числовые значения, записывают несколько числовых равенств и неравенств, вычисляют значения выражений и, сравнивая их, убеждаются в том, что полученные равенства и неравенства верны. Выполненная работа помогает учащимся обобщить свои наблюдения и воспроизвести соответствующие формулировки свойств и зависимостей арифметических действий и применить их к заданным равенствам и неравенствам.

Таким образом, использование буквенной символики способствует повышению уровня обобщения знаний, приобретаемых учащимися начальных классов, и готовит их к изучению систематического курса алгебры в следующих классах

2. В чем специфика изучения числовых и буквенных выражений в начальной школе?
Одной из целей изучения алгебраического материала в начальных классах является получение младшими школьниками первоначальных сведений о математических выражениях (числовых и буквенных).

Изучение алгебраического материала в начальных классах способствует обобщению понятий о числах, арифметических действиях и их свойствах, является подготовкой к изучению алгебры в старших классах.

Понятия о простейших выражениях формируются в связи с изучением арифметических действий, затем вводятся сложные выражения и выражения с переменной. Младшие школьники учатся вычислять значения сложных числовых выражений, используя правила порядка действий. Они учатся также находить значения выражений с переменной при заданных значениях букв.

В настоящее время наблюдаются две кардинально противоположные тенденции в определении объёма содержания алгебраического материала в курсе математики начальной школы.

Одна тенденция связана с ранней алгебраизацией курса математики начальных классов. Представителями этой тенденции являются И.И.Аргинская, Э.И.Александрова, Л.Г.Петерсон, В.Н.Рудницкая и др.

Другая тенденция связана с введением алгебраического материала в курс математики начальной школы на его завершающем этапе, в конце 4 класса (Н.Б.Истомина).

Числовое равенство – это запись, состоящая из двух числовых выражений, соединённых знаком равенства (5=5, 5+6=7+4, (4:2+5)*3=21).

Числовое неравенство – это запись, состоящая из двух числовых выражений, соединённых знаками (5 4, 4 4. Как понимают уравнение в контексте начального курса математики?

Проанализировав современные программы можно сделать вывод о том, что знакомство учащихся с уравнениями обычно начинается на уроках математики во 2 классе.

Также раскрывают понятия, что значит решить уравнение и что является корнем уравнения. Решить уравнение – значит найти такое числовое значение переменной, при котором равенство будет верным.

Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.

х = 14 – корень, так как 14 + 7 = 21

5. Какие этапы выделяют методисты в процессе изучения уравнений в начальной школе?
Методика изучения уравнений в начальной школе

Какое число нужно вставить в окошко, чтобы получилось верное равенство?

Объясни, почему числа 1, 2, 3, 5 нельзя вставить в окошко.

Какое равенство получим, если вставим в окошко число 6?

Ознакомление с уравнением и овладение способами его решения.

Решить уравнение – это значит найти такое значение неизвестного, при котором получается верное числовое равенство.

Для постановки учебной задачи, связанной с формированием умения решать уравнения, можно использовать правила, в которых раскрывается взаимосвязь компонентов и результатов арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления.

Ученикам предлагается уравнение, которое они не могут быстро решить способом подбора. Например, x+ 17 = 71. Самостоятельно / с помощью учителя дети приходят к выводу о целесообразности решения некоторых уравнений другим способом, а именно на основании правила. Можно для этого использовать алгоритм:

– Прочитай уравнение различными способами.

– Назови, что известно и что не известно в уравнении.

– Вспомни, как найти это неизвестное число.

– Найди неизвестное число, выполнив соответствующее арифметическое действие.

– Запиши, чему равен x.

Закрепление. Для закрепления умения необходимо выполнять разнообразные задания:

– Нахождение задуманного числа (Неизвестное число увеличили на 60. Получили 130. Чему равно неизвестное число?).

– Составление уравнений к схеме.

– Выбор уравнений к схеме.

– Выбор схемы к уравнению.

– Составление уравнений из данных чисел и переменных.

– Сравнение решений уравнений.

– Составление из одного уравнения нескольких, используя его компоненты.

Назовите геометрические понятия, которые изучаются в начальной школе. Почему именно они являются предметом изучения?

Раскрывая геометрический материал младшим школьникам, надо учитывать, что первые представления о форме, размерах и взаимном положении предметов в пространстве дети накапливают еще в дошкольный период. В процессе игр и практической деятельности они манипулируют предметами, рассматривают, ощупывают их, рисуют, лепят, конструируют и постепенно вычленяют среди других свойств их форму. К 6–7 годам многие дошкольники правильно показывают предметы, имеющие форму шара, куба, круга, квадрата, треугольника, прямоугольника.

При обучении в школе необходимо опираться на имеющийся опыт детей, уточнять и обогащать их представления.

Приведите примеры, иллюстрирующие вспомогательную функцию элементов геометрии в начальном курсе математики.

Учитывая задачи, намеченные программой, при изучении геометрического материала следует широко использовать разнообразные наглядные пособия. Это демонстрационные модели геометрических фигур, изготовленные из цветного картона или плотной бумаги, плакаты с изображениями фигур, предметов различной формы, а также геометрических фигур, чертежи на доске, диафильмы. Кроме того, требуются индивидуальные наглядные пособия — такой раздаточный материал, как полоски бумаги, палочки различной длины, вырезанные из бумаги фигуры и части фигур.

В классе необходимо иметь набор чертежно-измерительных инструментов для выполнения чертежей на доске: линейку, чертежный треугольник, циркуль.

Ведущую роль при изучении геометрического материала играют систематически проводимые практические работы по формированию умений и навыков, связанных с применением чертежных и измерительных инструментов, с выполнением простейших чертежей с построением геометрической фигур. При этом необходимо формировать умение давать словесно описание выполняемых действий, умение применять символику и терминологию.

Таким образом вспомогательной функцией геометрии в начальной школе являются наглядный материал, рисунки, зарисовки условий, картинки, позволяющие детям лучше воспринимать материал.

3.Опишите методику формирования у учащихся геометрических понятий, предусмотренных программой.
Система упражнений и задач геометрического содержания и методика работы над ними должны способствовать развитию пространственных представлений и умения оперировать ими у детей, умений наблюдать, сравнивать, абстрагировать и обобщать.

Для формирования геометрических представлений работа должна проводится следующим образом: свойства фигур учащиеся выявляют экспериментально, одновременно усваивают необходимую терминологию и навыки; основное место в обучении должны занимать практические работы учеников, наблюдения и работы с геометрическими объектами.

выявление знаний учащихся о геометрических фигурах;
первичное знакомство с геометрической фигурой на основе наблюдений и практической работы;
выделение существенных признаков геометрической фигуры;
конструирование и моделирование геометрической фигуры из определенного количества палочек, полосок (одинаковых и неодинаковых), бумаги, проволоки, пластилина;
выделение знакомого образа геометрической фигуры в контурах предметов окружающей обстановки, на чертеже;
разбиение множества геометрических фигур на группы, классификация фигур;
построение простейших геометрических фигур на клетчатой бумаге;
привитие навыков измерения длины отрезков, углов (с помощью линейки, транспортира);
вычленение знакомого образа геометрической фигуры из совокупности фигур по существенным признакам;
формирование элементарных навыков чтения геометрических чертежей с использованием буквенных обозначений;
формирование навыков определения периметра, площади прямоугольника (квадрата), величины угла;
знакомство с отдельными стереометрическими телами.

Дети учатся находить отрезки на окружающих их предметах (край, доски, стола и т.д.) и на геометрических фигурах (стороны треугольников и.т.п.). При этом важно научить детей правильно показывать точки и отрезки.

Отмечая особенности изучения геометрических фигур в начальных классах, следует обратить внимание на то обстоятельство, что свойства всех изучаемых фигур выявляются экспериментальным путем.

Целенаправленная деятельность учителя по формированию геометрических представлений создает благоприятные условия как для успешного усвоения курса математики, так и для овладения основами знаний по другим предметам: физике, рисованию, географии, технологии, а также содействует формированию приемов мыслительной деятельности, умению самостоятельно решать сложные задачи, активизирует познавательную деятельность детей в обучении.
4.Какие возможности для развития логического мышления учащихся предоставляет изучение геометрического материала? Приведите конкретные примеры .
Принципы изучения геометрического материала в контексте развития логического мышления младших школьников.

Основой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является способность их к восприятию формы. Эта способность позволяет ребенку узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры: точку, прямую, кривую, ломанную, отрезок, угол, многоугольник, квадрат, прямоугольник и т.д. Для этого достаточно показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать ее соответствующим термином.

Например: отрезки, квадраты, прямоугольники, круги. Аналогично можно поступить с геометрическими телами, показ их моделей: это цилиндр (куб, конус и т.д.).

Такое знакомство учащихся с геометрическими фигурами позволяет им воспринимать их как целостный образ, поэтому, если изменить расположение или размер тех фигур, которые были предложены в образце, дети могут допускать ошибки.

Например, в фигурах, изображенных на рисунке. Важное место занимает при изучении геометрического материала наглядность. Цель метода наглядности в начальной школе обогащение и расширение непосредственного, чувственного опыта детей, развитие наглядности, изучение конкретных свойств предметов, создание условий для перехода к абстрактному мышлению, опоры для самостоятельного учения и систематизации изученного.

В начальных классах применяется естественная, рисунковая, объемная, звуковая и графическая наглядность. Средство наглядности разнообразны: предметы и явления окружающей действительности, действие учителя и учеников изображения реальных предметов, процессов (рисунков, картины), модели предметов (игрушки, вырезки из картона), символические изображения (карты, таблицы, схемы). Наглядные методы применяются на всех этапах педагогического процесса. Их роль обеспечение всесторонних, образное восприятие, дать опору на мышление. Постоянно должна проводиться работа, связанная с наблюдением, сравниванием групп предметов. Широко должна использоваться наглядность, дидактический материал.

5. С какими отношениями знакомятся младшие школьники при изучении геометрического материала?

У учащихся I–IV классов надо формировать четкие образы точки, прямой и кривой линий, отрезка прямой. Задача учителя — научить вычленять, называть и правильно показывать эти фигуры, изображать их на бумаге и на доске, а начиная со II класса обозначать с помощью букв.

С точкой учащиеся знакомятся с первых шагов обучения в I классе.

После знакомства с прямой линией дети учатся ставить точки на прямой, проводить прямые линии через 1, 2, 3 заданные точки, устанавливать положение точки относительно прямой линии (лежит на прямой, не лежит на прямой). После знакомства с отрезком прямой аналогичные задания выполняются с точкой и отрезком, при этом дети убеждаются, что точка, лежащая на отрезке (т.е. между концами отрезка), делит его на два отрезка.

Когда происходит знакомство с элементами многоугольника, учащиеся узнают о том, что вершины многоугольников — это точки. Например, учитель предлагает детям поставить 3 точки так, как показано на доске (точки не лежат на одной прямой), соединить их отрезками и сказать, какая фигура получилась; затем сосчитать, сколько у нее вершин.

Формирование у первоклассников представления о прямой линии происходит в процессе выполнения ими разнообразных практических упражнений. При этом прямую линию сопоставляют с кривой.

В процессе выполнения упражнений дети знакомятся с некоторыми свойствами прямой. Например, упражняясь в проведении линий через точки, дети обобщают свои наблюдения: через одну точку можно провести сколько угодно прямых или кривых линий; через две точки можно провести только одну прямую, а кривых сколько угодно.

Постепенно учащиеся убеждаются, что равные отрезки содержат одинаковое число выбранных единиц длины, а неравные — неодинаковое число: в том отрезке содержится больше единиц, который длиннее. Таким образом, становится возможным судить о равенстве и неравенстве отрезков на основе сравнения чисел, выражающих длину этих отрезков.

Выделяя элементы многоугольников, учащиеся устанавливают, что стороны многоугольников — отрезки. Упражнения на выделение отрезков необходимо усложнять постепенно, чтобы они были посильны учащимся.

Постепенно учащиеся осознают, что отрезок может быть общей стороной нескольких многоугольников, и, опираясь на это, во II–III классах выполняют упражнения на построение отрезков внутри многоугольников, так чтобы при этом образовывались новые фигуры; например, провести внутри пятиугольника один отрезок так, чтобы при разрезании получились треугольник и четырехугольник или два четырехугольника, или треугольник и шестиугольник.

Многоугольник, угол, круг

Понятия об этих фигурах формируются у детей постепенно в течение всего начального обучения и в последующих классах. Первоначально, при изучении первого десятка, геометрические фигуры используются как дидактический материал. Опираясь на него, дети учатся считать, решать задачи, вычислять, составлять орнаменты, сравнивать, классифицировать и др. Попутно уточняются представления отдельных фигур, запоминаются их названия: круг, треугольник, квадрат.

Далее приступают к изучению отдельных видов многоугольников. На этом этапе вычленяют элементы многоугольников; стороны, углы, вершины. Так, при изучении числа 3 рассматривают различные треугольники. На моделях треугольников, изготовленных из цветной плотной бумаги, пластмассы, дерева и т.п., учащиеся показывают три стороны, три угла и три вершины в каждой фигуре

Учитель должен позаботиться, чтобы учащиеся рассматривали различные виды треугольников (равносторонние и разносторонние, прямоугольные, тупоугольные и остроугольные). Это поможет формированию правильного представления о треугольнике.

Далее в таком же плане рассматривают четырехугольники, пятиугольники и т.д., приурочивая эту работу к изучению соответствующих чисел в пределах первого десятка. Выделяя элементы многоугольников, учащиеся подмечают связь между числом элементов и названием фигуры (три стороны, три вершины, три угла — треугольник; четыре стороны, четыре вершины, четыре угла— четырехугольник и т.д.

В процессе работы над многоугольниками учащиеся получают первые сведения об углах (угол образуют две стороны многоугольника, выходящие из одной его вершины), учатся показывать углы многоугольника.

Понятие угла закрепляется у учащихся в дальнейшем в процессе изучения многоугольников, например при рассмотрении прямоугольника. Среди нескольких четырехугольников первоклассники с помощью модели прямого угла находят четырехугольники с одним-двумя прямыми углами, а также четырехугольники, у которых все углы прямые

На следующем этапе работы учащиеся второго класса знакомятся с одним из свойств прямоугольника: противоположные стороны прямоугольника равны между собой. После того как учащиеся второго класса усвоят свойство противоположных сторон прямоугольника, из множества прямоугольников вычленяют квадраты — прямоугольники с равными сторонами.

Работа на уроке так и организуется, чтобы учащиеся увидели, что квадрат — это частный случай прямоугольника. Детям предлагается, например, измерить стороны у нескольких прямоугольников, начерченных на доске или вырезанных из бумаги. Среди них обнаруживаются такие прямоугольники, у каждого из которых стороны равны между собой. Дети сами вспоминают их название — квадраты.

Большое значение для закрепления представлений о многоугольниках, а также для развития пространственных представлений в целом имеют задачи с геометрическим содержанием, которые включаются систематически начиная с I класса. Это задачи на деление заданных фигур так, чтобы получившиеся части имели указанную форму; задачи на составление новых фигур из данных многоугольников (т.е. конструирование целого из частей), а также задачи на распознавание (вычленение) всевозможных геометрических фигур на заданном чертеже. Все эти задачи взаимосвязаны друг с другом. Решение задач каждого вида помогает при решении задач других видов.

Во IV классе учащиеся знакомятся с окружностью, учатся чертить окружности с помощью циркуля, знакомятся с элементами окружности и круга — центром и радиусом. Все эти сведения усваиваются детьми в процессе практических упражнений. Например, соединив точки, лежащие на окружности, с центром и сравнив полученные отрезки, дети убеждаются в равенстве этих отрезков. Вводится название таких отрезков — радиус круга или окружности.

Сопоставив круг с многоугольником, учащиеся устанавливают, что границей многоугольника является замкнутая ломаная линия, а границей круга — замкнутая кривая линия — окружность.

Ломаная линия, длина ломаной линии, периметр многоугольника

Опираясь на понятие отрезка, учащихся II класса знакомят с ломаной линией.

В процессе упражнений устанавливают связь между замкнутой ломаной линией и многоугольником, для которого ломаная линия является границей: замкнутая ломаная линия из трех звеньев ограничивает треугольник, из четырех звеньев — четырехугольник и т.д.

К алгебраическим понятиям, которые изучают в начальных классах, относят: числовые и буквенные выражения, числовые равенства и неравенства, уравнения.

Этот материал включен в курс математики с целью:

1) более осознанного усвоения математических понятий;

2) для установления преемственности с курсом математики в средней школе.

С начала 1 класса учащихся знакомят с понятиями: числовое выражение, равенство и неравенство.

Числовым выражением называют запись, состоящую из чисел, знаков действий и скобок. Например, 2+(6+4).

Числовым равенством называют запись, состоящую из чисел, знаков действий и знака равно (или: два выражения, соединенные знаком равно называют равенством). Например, 2+5=3+4.

Сравним результат, который получился при устном выполнении и при записи. Видим противоречие. Учитель сообщает, что в математике есть специальный знак, показывающий, что это действие надо выполнить в первую очередь. (Найти в учебниках правила выполнения порядка действий).

В начальных классах эта терминология не вводится, хотя тождественные преобразования выполняются. В начальных классах их выполняют на основе:

1) правил порядка действий в выражениях;

2) использования свойств действий. Например, (5+2)+3=5+(2+3);

3) вычислительных приемов. Например, 15•3=(10+5)•3=10•3+5•3=30+15=45.

Таким образом, к концу 4 класса, учащиеся должны уметь находить значение числовых выражений в несколько действий (4-6 действий).

Кроме числовых, изучают буквенные выражения, равенства и неравенства.

Буквенным называют выражение, содержащее букву.

Смысл буквы двоякий, с одной стороны – это неизвестное число, но с другой стороны – переменная величина.

В соответствии со стандартом начальной математической подготовки должны рассматривать только простейшие буквенные выражения, содержащие одну букву. Например, а+5, 8•с. Позднее в 3-4 классах рассматривают буквенные выражения, содержащие две буквы в 1-3 действия. а:3+в:2

Для закрепления предлагают такие упражнения.

1. Найдите значение буквенного выражения при следующих значениях буквы. Например, 8 – b, при b=2,3,4.

2. Самостоятельно подберите несколько значений буквы и найдите значение буквенного выражения. Например, 8 – b. В этом случае обсуждаем, что b не может быть больше 8.

3. Часто в этом случае используется таблица.

Особое внимание в начальных классах уделяют решению уравнений, хотя решение уравнений является основным лишь в средней школе. В начальной школе осуществляется первичное ознакомление с уравнениями и способами их решения. Поэтому в учебнике И.Б. Истоминой эта тема вводится в конце 4 класса, а по программе М.И. Моро – во 2 классе ч.1 с.80.

В курсе математики начальных классовуравнение рассматривается как истинное равенство, содержащее неизвестное число.

Ответ на вопрос когда целесообразно знакомить детей с уравнением – в первом, во втором или третьем классе, неоднозначен.

Одна точка зрения – познакомить с уравнениями как можно раньше и в процессе их решения осуществлять работу по усвоению детьми правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий. (Моро М.И.)

Другая точка зрения – приступать к решению уравнений после того, как учащиеся усвоят необходимую терминологию и те правила, которыми они будут пользоваться для решения уравнений.

Н. Б. Истомина разделяет вторую точку зрения. Это обусловлено тем, что для осознания связи между компонентами и результатами действий необходимо опираться на предметную деятельность.

В противном случае при решении уравнений мы вынуждены идти через образец и большое количество тренировочных упражнений. Это приводит к тому, что учащиеся, решая уравнения, часто руководствуются не общим способом действий (правилом), а внешними признаками.

Методика обучения решению уравнений проходит в несколько этапов.

Дети находят число либо подбором, либо на основе знаний состава числа, либо на основе зависимости между компонентами и результатом действия.

На данном этапе учителю необходимо включать в устные упражнения следующие задания:

- Сколько надо вычесть из 3, чтобы получилось 2?

- Сколько надо прибавить к 2, чтобы получилось 4?

- Подготовительную работу к решению уравнений мы можем наблюдать при выполнении действий с предметами.

М1М,ч1,с 39

Так же действия с окошечками используются и при решении задач.

М1М,ч1,с50

При введении используется такой прием.

Предлагаем карточку, на которой записано равенство с окошком.

Дети подбирают число, которое нужно прибавить к 4, чтобы получить 12. Так как число мы меняли, то смысл окошка в данном случае в том, что это переменная величина.

Поясняем, что вместо окошка для обозначения неизвестного числа используют латинские буквы. Получаем запись:

Уравнение– это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Решить уравнение – значит найти все такие значения х (если они есть), при которых равенство будет верным.

Этот материал включен в курс математики с целью:

1) более осознанного усвоения математических понятий;

2) для установления преемственности с курсом математики в средней школе.

С начала 1 класса учащихся знакомят с понятиями: числовое выражение, равенство и неравенство.

Числовым выражением называют запись, состоящую из чисел, знаков действий и скобок. Например, 2+(6+4).

М1М,ч1,с50

При введении используется такой прием.

Предлагаем карточку, на которой записано равенство с окошком.

Поясняем, что вместо окошка для обозначения неизвестного числа используют латинские буквы. Получаем запись:

В качестве примера рассмотрим фрагмент урока по ознакомлению с выражениями с переменной.

Усвоению буквенной символики помогают следующие упражнения:

Полезно обращать внимание учащихся на то, какие значения можно придавать букве в заданном выражении. Например, рассматривается выражение 37—k. Учитель предлагает учащимся придать букве кдва значения и найти значение разности. Учащиеся выполняют задание в тетрадях. При проверке работы учитель записывает на доске числовые значения буквы k, которые придали ей учащиеся, а также выясняет, можно ли придать букве kдругие значения, можно ли ей придать значение 38, 40, 100, какое наименьшее значение она может принимать, какое у нее здесь может быть самое большое значение. Значит (сделает обобщение учитель), букве kможно придавать любые числовые значения от 0 до 37.

На этом этапе уч-ся, выполняя специальные упражнения, овладевают следующими умениями:

Особую группу общеучебных универсальных действий составляют знаково-символические действия:

моделирование — преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта (пространственно-графическая или знаково-символическая);

преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область.

Поэтому чуть подробнее хотела бы остановиться на формировании знаково-символических УУД, которые обеспечивают универсальные действия конкретным способом преобразования учебного материала и представляют собой действие моделирования.

Перевод текста на знаково-символический язык нужен не сам по себе, а для получения новой информации. У младших школьников, в силу возрастных особенностей, лучше развито наглядно–образное мышление, поэтому наиболее доступными для них являются предметный и графический языки. На уроках математики в начальных классах предпочтительней использовать графический язык, так как с его помощью можно ярко выделить изучаемые отношения, от которых при использовании предметного языка отвлекают многочисленные свойства предметов.

Начиная с первого класса, вводится символика для обозначения форм работы (выполни индивидуально, в парах, коллективно), формулировки заданий (проведи линию, впиши цифры, обведи, раскрась и т.п.); введение рисунков для выделения объектов и отношений между ними, иллюстрации понятий, обозначения объектов, использование социально принятой символики (стрелки, схемы, графы, таблицы). Указанные символы применяются в основном для сокращения текста заданий и лучшего их понимания.

Для того чтобы вооружить учащихся моделированием как способом познания, нужно, чтобы школьники сами строили модели, сами изучали какие-либо объекты, явления с помощью моделирования. Широкое использование в процессе обучения получили следующие модели: фишки, цветные фигуры, графы, цветные палочки.

Одним из наиболее эффективных для формирования действия моделирования типов заданий являются текстовые задачи. Чтобы решить задачу, надо построить её математическую модель.

Использование фишек при формировании умения описывать предметные ситуации и переводить их на язык схем и математических символов.

Учащиеся учатся при помощи цветных фишек воспринимать и моделировать полученную информацию. Первый этап подготовки к решению

Рис.1. Математика, 1 класс

Использование фишек при выяснении представления о смысле математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление).

При помощи фишек учащиеся знакомятся с понятиями: сложение - объединение двух множеств, вычитание – это разбиение на две группы (удаление одной из групп), а умножение - действие, заменяющее сложение одинакового количества фишек в ряду или столбце (сложение одинаковых слагаемых).

Рис.2. Математика, 1 класс

Использование фишек при решении простых задач.

После прочтения задачи учителем или хорошо читающим учеником, учащиеся в классе выкладывают фишками (наборы имеются у всех детей) данные задачи, двигают ими в зависимости от условия (удаляя фишки или добавляя их). Затем при помощи фишек с цифрами, выкладывают решение задачи. Таким образом, каждый учащийся не только воспринимает на слух задачу, но и сам моделирует ее.

Рис. 3. Математика, 1 класс

Рис.4 Математика, 1 класс

Использование цветных фигур при знакомстве с геометрическим материалом.

При работе с геометрическим материалом учащиеся на уроке выкладывают фигуры по заданию, составляют из геометрических фигур новые, изменяют цвет, форму, размер, распределяют геометрические фигуры на группы по разным признакам.

Рис.5 Математика, 1 класс Рис.6 Математика, 1 класс

Использование графов при решении задач, выражений, неравенств.

После завершения этапа работы с фишками (конец 1 класса, начало второго класса) учащиеся переходят к моделированию математической информации через схемы и графы.

Рис.7 Математика, 1 класс

Рис.8.Математика, 1-2 класс

Использование цветных палочек при знакомстве с двузначными, трехзначными числами

Цветные палочки используются в третьем классе при моделировании двузначных и трехзначных чисел. При использовании данного вида моделирования лучше усваиваются названия разрядов: единицы, десятки, сотни.

Рис.9 Математика, 3класс

Широкое использование знаково-символических средств направлено на оптимизацию процесса обучения математике. В частности, использование знаков позволяет отражать учебную информацию в более удобном и легко воспринимаемом виде. Между тем, знаки являются теми объектами, которые могут значительно усложнить понимание учебного материала, если оперировать ими без должной подготовки, сводя деятельность учеников к формальному заучиванию правил действий с ними без выяснения смысловой стороны знаков.

Таким образом, моделирование является необходимым компонентом учебной деятельности. В процессе моделирования выделяются и фиксируются существенные особенности и отношения изучаемых явлений, активизируется творческая деятельность учащихся благодаря устойчивой мотивации учения, отражается предметная сторона учебной деятельности.

Читайте также: