Проект по теме теорема пифагора 8 класс кратко
Обновлено: 07.07.2024
Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о "пифагоровых штанах" - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора это её простота, красота, значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т. д., свидетельствует о её широком применении, однако не все знают о нём. Поэтому я заинтересовалась и решила провести исследование.
Объект исследования. Теорема Пифагора.
Гипотеза. Если теорема Пифагора так популярна и сегодня, то в ней заложены такие основы, которые позволяют использовать её в широком диапазоне.
Цели и задачи. Цель работы – показать значение теоремы Пифагора не только в математике, но и других отраслях нашей повседневной жизни.
Исходя из цели, были поставлены следующие задачи:
1. Найти в различных источниках и проанализировать найденную информацию о теореме и биографии Пифагора.
2. Изучить историю появления и развития теоремы Пифагора.
3. Провести опрос среди учащихся в виде анкетирования для выявления знаний о теореме Пифагора.
4. Установить какое значение имеет открытие теоремы в развитии математики.
5. Выяснить где может применяться теорема в повседневной жизни.
6. Обработать полученные данные и сделать вывод.
1. Интернет - источники.
2. Изучение дополнительной литературы по данному вопросу.
Глава I. Основное содержание
1.1 Биография Пифагора.
Пифагор – древнегреческий философ-идеалист, математик, основатель пифагореизма, политический, религиозный деятель. Его родиной был остров Самос (отсюда и прозвище - Самосский, где он появился на свет приблизительно в 570 г. до н. э. Его отцом был резчик по драгоценным камням. Согласно древним источникам, Пифагор с рождения отличался удивительной красотой; когда стал взрослым, носил длинную бороду и диадему из золота. Его одаренность также проявилась в раннем возрасте.
В Кротоне Пифагор выступил организатором собственной школы, которая была одновременно и политической структурой, и религиозно-монашеским орденом со своим уставом и очень строгими правилами.
Прокатившаяся в то время волна демократических восстаний в Греции и колониях докатилась и до Кротона. После победы демократии Пифагор с учениками переселяется в Тарент, позднее в Метапонт. Когда они прибыли в Метапонт, там бушевало народное восстание, и в одном из ночных побоищ Пифагор погиб. Тогда он был глубоким старцем, ему было около 80 лет. Вместе с ним прекратила существование и его школа, ученики рассредоточились по всей территории страны.
Поскольку Пифагор считал свое учение тайной и практиковал только устную передачу его ученикам, собрания сочинений после него не осталось. Некоторые сведения все-таки стали явными, однако разграничить истину и выдумки невероятно сложно.
1.2 История теоремы и её формулировка.
Глава II. Практическая часть.
2.1 Исследование знаний о теореме.
Знаете ли вы теорему Пифагора? Не слышал, не знаю Слышал, но теорему не знаю Знаю
1 человек 19 человек
Как Вы думаете, в какой области можно применять теорему Пифагора?
-при решении геометрических задач: 9 человек;
-в строительстве: 5 человек;
-в архитектуре: 3 человека;
-в инженерии: 2 человека;
-в искусстве: 1 человек;
-в информатике: 1 человек;
-не знают: 4 человека.
2.2 Применение теоремы в различных областях жизни
Теорема Пифагора по праву является одной из основных теорем математики. Ещё в древности возникла необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам, но ценность теоремы в современном мире также велика, поскольку она применяется во многих отраслях деятельности человека. Например, ее используют при производстве окон некоторых архитектурных стилей, при строительстве домов и коттеджей и даже при вычислении высоты антенн операторов мобильной связи. И это далеко не весь перечень практического применения данной теоремы. Вот почему очень важно знать теорему Пифагора и понимать ее значение.
2.2.1. При решении геометрических задач
Теорема Пифагора помогает нам найти длину стороны прямоугольного треугольника в том случае, когда известна длина двух других его сторон. Кроме того, она позволяет определить, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным, при условии, что длины всех трёх сторон заранее известны.
2.2.2. Строительство, архитектура
Теорема Пифагора нашла своё практическое применение в архитектуре и строительстве: в зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными рёбрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.
При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки определённой длины.
При строительстве дома необходимо рассчитать длину лестницы от пола до окна.
На этой скамеечке хорошо отдохнуть в тени. Единственное условие – она должна быть прочной и удобной. Для этого подголовник и каркас соединяем планкой в виде прямоугольного треугольника. Размеры в мм.
Парник для огурцов.
Размер парника играет большую роль – от него зависит температура и влажность, а значит, сам процесс созревания урожая. Размеры в мм.
2.2.3. Дизайн одежды.
При изготовлении выкройки модели необходимо в зависимости от полноты фигуры рассчитать ширину и глубину выточек.
Меня обеспокоил женский вопрос: может ли в кулинарии быть использована теорема Пифагора? В качестве примера я взяла палку салями и решила проверить. Она имеет цилиндрическую форму. Отрезанные под углом куски представляют собой элипсы. Размер отрезанных кусочков определяется теоремой Пифагора, а их толщина, конечно, будет зависеть от того, насколько мы голодны.
2.2.5. Мобильная связь.
Кто в современном мире не пользуется сотовым телефоном? Каждый абонент мобильной связи заинтересован в её качестве. А качество, в свою очередь, зависит от высоты антенны мобильного оператора. Чтобы рассчитать, в каком радиусе можно принимать передачу, применяют теорему Пифагора.
2.2.6. В технике. Молниеотвод.
Молниеотвод, громоотвод, устройство для защиты зданий, промышленных, транспортных, коммунальных и других сооружений от ударов молнии. Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. Это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100 000 франков тому, кто первый установит связь с каким – нибудь обитателем другого небесного тела. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса световой сигнал в виде теоремы Пифагора.
Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.
2.8. Искусство, театр.
Изображение луны в живописи, в театре и даже в кино часто изображается луна, размер и расположение которой представлены ошибочно. Как правило, чем ниже луна находится к горизонту, тем больше она кажется. Правильные размеры можно определить с помощью простых расчетов с использованием прямоугольных треугольников.
В ходе работы над проектом я разрешила, поставленные перед собой задачи. Важность теоремы состоит, прежде всего, в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней. Теорема имеет огромное практическое значение : она применяется в нашей жизни буквально везде. В своём проекте я показала связь между теоремой Пифагора и другими дисциплинами; её практическую значимость. Попыталась собрать и обобщить информацию по данной теме. Мною было прочитано, изучено огромное количество литературы, посещено множество сайтов, кроме того, я пополнила свои знания о теореме Пифагора, убедилась, что значение теоремы Пифагора состоит в том, что с ее помощью можно решить множество интересных и важных задач как на уроках математики, так и практической жизни. Я считаю, что проведя такую большую работу, я достигла своей цели и думаю, что результаты моей работы будут полезны и интересны моим сверстникам и всем школьникам.
1. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др. Геометрия, 7-9кл. : Учебник для общеобразовательных учреждений - 3-е изд. – М. : Просвещение, 2014.
2. Еленьский Ш. По следам Пифагора. М., 1961.
3. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
4. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М. : Просвещение, 1981.
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 1
учитель геометрии
р. п Чунский
2018 года
Идея моего проекта возникла на уроке геометрии. Когда мы начали изучать теорему Пифагора мне показалось, что на уроке слишком мало времени было уделено ученому, который ее создал, истории создания, применению в обыкновенной жизни. Мне стало интересно, а много ли материала имеется на эту тему и оказалось, что очень много. Поэтому я решила изучить всю эту информацию и представить в виде презентации, которую можно будет использовать на уроках геометрии.
Цель работы
Изучение истории появления и развития теоремы Пифагора.
Изучение исторических сведений по использованию теоремы Пифагора.
Рассмотрение различных видов доказательств теоремы Пифагора.
Задачи работы
Собрать материал по истории появления и развития теоремы Пифагора.
Собрать материал по использованию теоремы Пифагора в Древние века.
Собрать материал по различным видам доказательств теоремы Пифагора.
Проанализировать и обработать собранную информацию.
Систематизировать изученную информацию в презентацию Microsoft Power Point .
В VI веке до нашей эры средоточием греческой науки и искусства стала Иония — группа островов Эгейского моря, расположенных у берегов Малой Азии. Там в семье золотых дел мастера, резчика печатей и гравера Мнесарха родился сын. По преданию, в Дельфах, куда приехали Мнесарх с женой Парфенисой, — то ли по делам, то ли в свадебное путешествие — оракул предрек им рождение сына, который прославится в веках своей мудростью, делами и красотой. Бог Аполлон, устами оракула, советует им плыть в Сирию. Пророчество чудесным образом сбывается — в Сидоне Парфениса родила мальчика. И тогда по древней традиции Парфениса принимает имя Пифиада, в честь Аполлона Пифийского, а сына нарекает Пифагором, то есть предсказанным пифией.
Прошло несколько лет, и по совету своего учителя Пифагор решает продолжить образование в Египте , у жрецов. Попасть в Египет в то время было трудно, потому что страну фактически закрыли для греков. Да и властитель Самоса тиран Поликрат тоже не поощрял подобные поездки. При помощи учителя Пифагору удается покинуть остров Самос. Но пока до Египта далеко. Он живет на острове Лесбос у своего родственника Зоила. Там происходит знакомство Пифагора с философом Ферекидом — другом Фалеса Милетского. У Ферекида Пифагор учится астрологии, предсказанию затмений, тайнам чисел, медицине и другим обязательным для того времени наукам. Пифагор прожил на Лесбосе несколько лет. Оттуда путь Пифагора лежит в Милет — к знаменитому Фалесу, основателю первой в истории философской школы. От него принято вести историю греческой философии. Пифагор внимательно слушает в Милете лекции Фалеса, тогда уже восьмидесятилетнего старца, и его более молодого коллегу и ученика Анаксимандра, выдающегося географа и астронома. Много важных знаний приобрел Пифагор за время своего пребывания в Милетской школе. Но Фалес тоже советует ему поехать в Египет, чтобы продолжить образование. И Пифагор отправляется в путь. Перед Египтом Пифагор на некоторое время останавливается в Финикии, где, по преданию, учится у знаменитых сидонских жрецов. Пока он живет в Финикии, его друзья добиваются того, что Поликрат — властитель Самоса, не только прощает беглеца, но даже посылает ему рекомендательное письмо для Амазиса — фараона Египта.
Согласно старинным легендам, в плену в Вавилоне Пифагор встречался с персидскими магами, приобщился к восточной астрологии и мистике, познакомился с учением халдейских мудрецов. Халдеи познакомили Пифагора со знаниями, накопленными восточными народами в течение многих веков: астрономией и астрологией, медициной и арифметикой. Эти науки у халдеев в значительной степени опирались на представления о магических и сверхъестественных силах, они придали определенное мистическое звучаний философии и математике Пифагора. Двенадцать лет пробыл в вавилонском плену Пифагор, пока его не освободил персидский царь Дарий Гистасп, прослышавший о знаменитом греке.
Пифагору уже шестьдесят, он решает вернуться на родину, чтобы приобщить к накопленным знаниям свой народ. С тех пор как Пифагор покинул Грецию, там произошли большие изменения. Лучшие умы, спасаясь от персидского ига, перебрались в Южную Италию , которую тогда называли Великой Грецией, и основали там города-колонии Сиракузы, Агригент, Кротон. Здесь и задумывает Пифагор создать собственную философскую школу.
Цель работы
Изучение истории появления и развития теоремы Пифагора.
Изучение исторических сведений о Пифагоре и его школе.
Изучение исторических сведений по использованию теоремы Пифагора.
Рассмотрение различных видов доказательств теоремы Пифагора.
Задачи:
1)Собрать материал о Пифагоре Самосском.
2)Узнать интересные факты о теореме Пифагора.
3) Собрать материал по различным видам доказательств теоремы Пифагора.
4) Проанализировать и обработать собранную информацию.
5) Сделать презентации.
6) Оформить материал.
«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический
Н.Е.Жуковский
Без преувеличения можно сказать, что это самая известная теорема геометрии, ибо о ней знает подавляющее большинство населения планеты, хотя доказать ее способна лишь очень незначительная его часть.
Знатоки утверждают, что причин здесь три:
Основная часть
ПИФАГОР И ЕГО ШКОЛА
Важные даты биографии Пифагора
570 год до нашей эры – рождение на Самосе.
546 год до нашей эры – создание собственной философской идеи.
510 год до нашей эры – основание школы Пифагора.
490 год до нашей эры – смерть.
Интересные факты из жизни Пифагора
Придумал специальную кружку, которая заставляла пить только в ограниченных количествах. Сегодня она продается на Родосе, Самосе и Крите как сувенир.
Согласно одной из легенд, знаменитую теорему Пифагор добыл как выигрыш: он поспорил с неизвестным математиком о том, кто кого перепьет, и выиграл. Математик отдал свиток с теоремой Пифагору и сказал, что человек, который владеет этим свитком, будет известным не одно тысячелетие
Одевался довольно необычно для своего времени и страны: носил штаны, широкие белые одежды и золотую диадему на голове. Пифагор утверждал, что в прошлой жизни он был одним из воинов, которые сражались за Трою
Увлекался спортом, побеждал в кулачном бою на Олимпийских играх.
Современные исследователи считают Пифагора выдающимся античным космологом и математиком, хотя авторы древности этого не подтверждают. Пожалуй, самое известное достижение Пифагора – теорема, согласно которой квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов.
Школа Пифагора
Пифагорейский союз, был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Здесь были соединены философия с жизненной практикой, указывающей человеку достойный путь к судьбе, ожидающей его после смерти. Школа жила общинами со строгой дисциплиной нравов, от учеников требовалось целомудрие и воздержание.
Первый этап приема в школу
Пифагор обычно отправлял кандидата обратно, советуя повременить и прийти вновь через три года.
Этот внешне очень суровый прием был исполнен глубокого смысла — ведь любой импульс, даже самый прекрасный и чистый, должен пройти испытание временем.
Второй этап приема в школу
Лишь после долгих трех лет напряженной работы акусматик становился настоящим пифагорейцем.
На занятиях, которые проводил сам Пифагор или его ближайшие ученики, математикам давалась целостная картина мира, раскрывалось устройство Природы и Человека.
Обучение математиков проходило в течение долгого времени, но и оно было только подготовкой.
Посвятить себя служению людям, обществу, всем, кто нуждается в помощи и защите — естественный шаг для зрелого философа.
И когда ученики-математики были готовы к этому, происходил выбор тех направлений и форм, в которых это служение будет осуществляться
Высшей же ступенью в Пифагорийской школе считалось обучение политиков — людей, способных управлять обществом.
Задача — руководить людьми исходя из общего блага, не идя на поводу ни собственных, ни других интересов.
Многие ученики Пифагора прославились как справедливые законодатели и справедливые хранители законов.
Не делай ничего постыдного ни в присутствии других, ни втайне. Первым твоим законом должно быть уважение к себе самому.
Не закрывай глаз, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за прошедший день.
КРУШЕНИ Е СОЮЗА
Шло время, пифагорейский союз пришел к политической власти. Но политическая власть предполагает и политических противников. Появилась зависть, обман, недовольство. Однажды во время собрания союза противники подожгли дом ,в котором оно проходило. Многие погибли в огне. Пифагору удалось спастись от преследователей. Оставшись один, он лишил себя жизни. Жизнь без продолжателей учения для Пифагора была лишена смысла.
История создания теоремы
Долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна. В настоящее время установлено, что эта величайшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Сегодня теорема Пифагора обнаружена в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета и в древнеиндийском трактате. В древнейшем китайском трактате, утверждается, что китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э.—и общий вид теоремы.
Не смотря на все это, сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов.
Формулировка теоремы
Во времена Пифагора теорема звучала так
:
Способы доказательства теоремы Пифагора
Существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и др.).
Самое простое доказательство
(a+b) 2 = c 2 +2ab
a 2 +2ab+b 2 = c 2 +2ab
Векторное доказательство
Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство:
b + c = a
откуда имеем
c = a - b
возводя обе части в квадрат, получим
c²=a²+b²-2ab
Так как a перпендикулярен b, то ab=0, откуда
c²=a²+b² или c²=a²+b²
Доказательство Басхары
Одно из самых простых доказательств теоремы - доказательство индийского математика Басхары. В пояснение к нему он написал только одну строчку: "Смотри!".
Ученые считают, что он выражал площадь квадрата,
построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь квадрата (a-b)². Следовательно:
Что и требовалось доказать.
Алгебраическое доказательство
Дано: ABC-прямоугольный треугольник
Доказать: AB 2 =AC 2 +BC 2
Доказательство:
1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.
2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следует
AB*AD=AC 2 .
3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значит
AB*BD=BC 2 .
4) Сложив полученные равенства почленно, получим:
AC 2 +BC 2 =АВ*(AD + DB)
AB 2 =AC 2 +BC 2 .
Доказательство Хоукинса
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).
SCAA'=b²/2, SCBB'=a²/2, SA'AB'B=(a²+b²)/2
Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому :
SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:
a²+b²=c², что и требовалось доказать.
Доказательство через подобные треугольники
Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC.
т.е. a 2 =c*HB , b 2 =c*AH
Следовательно a 2 +b 2 =c*(HB+AH)=c 2
Что и требовалось доказать.
Геометрическое доказательство
Дано: ABC-прямоугольный треугольник
Доказать: BC 2 =AB 2 +AC 2
Доказательство:
1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E.
2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников: SABED=2*AB*AC/2+BC 2 /2
3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:
SABED= (DE+AB)*AD/2.
4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:
AB*AC+BC 2 /2=(DE+AB)(CD+AC)/2
AB*AC+BC 2 /2= (AC+AB) 2 /2
AB*AC+BC 2 /2= AC 2 /2+AB 2 /2+AB*AC
BC 2 =AB 2 +AC 2 .
Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.
Доказательство через равнодополняемость
Доказательство Евклида
Все доказательство теоремы сводится к доказательству равенства площадей квадрата ABFH и прямоугольника BDJL (или квадрата ACKG и прямоугольника CJLE).
Треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:
FB = AB, BC = BD, FBC = D + ABC = ABD.
Также доказывается и SJCEL=SACKG
т.е. a 2 +b 2 =c 2 , что и требовалось доказать.
10. Доказательства методом разложения
Доказательство Доказательство Доказательство Перигаля
Доказательство Бертхера
Практическое применение
Теорема Пифагора используется практически везде: в строительстве: для проектирования чертежа крыши дома, создания некоторых видов окон; в астрономии, в работе мобильной связи и в других вещах, которыми мы пользуемся ежедневно.
Значение теоремы Пифагора
Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора была известна около 4000 лет назад, люди ещё находят новые способы её доказательства. Так что может быть и вы откроете ещё одно. Надо только захотеть.
3. СТАРИННЫЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА
№1. Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?
№2. У египтян была известна задача о лотосе:
"На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну". Попробуйте сами решить эту задачу. Естественно, при решении использовалась теорема Пифагора.
№3. Исторические задачи очень часто представляли в стихах
Задача Бхаскари
Задача древних древних индусов :
Над озером тихим,
С полфута размером, высился лотоса цвет.
Он рос одиноко. И ветер порывом
Отнес его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашел же рыбак его ранней весной
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
Как озера вода здесь глубока.
CD – глубина озера, обозначим ее x. Тогда по теореме Пифагора имеем: BD 2 – x 2 = BC 2 , то есть (x + 0,5) 2 – x 2 = 2 2 , x 2 + x + 0,25 – x 2 = 4, x= 3,75. Ответ: глубина озера равна 3,75 фута.
№4. Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"
Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).Какова высота бамбука после сгибания?
«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний
В процессе работы над индивидуальным проектом по математике "Теорема Пифагора" учеником 9 класса гимназии была поставлена и реализована цель рассмотреть практическое применения теоремы Пифагора в разных сферах деятельности человека и областях науки, помимо математики.
Подробнее о проекте:
В ученической исследовательской работе по математике "Теорема Пифагора" автор проводит анализ учебно-методической литературы и находит интересные сведения о Пифагоре. Также в проекте представлена правильная формулировка Теоремы Пифагора, приведено доказательство теоремы и представлены знаменитые философские высказывания Пифагора.
В готовом творческом и исследовательском проекте по математике "Теорема Пифагора" учащимся дано доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники, а также рассмотрено применение теоремы Пифагора в строительстве, в мобильной связи, в астрономии и в литературе. Школьник рассуждает над актуальностью применения теоремы Пифагора в повседневной жизни человека.
Оглавление
Введение
1. Это интересно знать.
2. Формулировка теоремы Пифагора.
3. Доказательство теоремы.
4. Философские высказывания Пифагора.
5. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.
6. Применение теоремы Пифагора. Строительство.
7. Мобильная связь.
8. Астрономия.
9. Литература.
10. Применение теоремы Пифагора.
Выводы и заключение
Список литературы
Введение
На уроках геометрии мы познакомились с одной из важнейших теорем геометрии для прямоугольного треугольника, известной с древних времен – теоремой Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Кратко познакомились с историей этой теоремы, рассмотрели одно из ее доказательств, также узнали, что существуют и другие способы доказательства.
Причина такой популярности теоремы Пифагора очевидна: простота, красота и широкая значимость. Однако теорема Пифагора проста, но не так очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Кроме этого, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.) свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Зная теорему Пифагора, можно находить ее новые применения и способы доказательств.
С одной стороны – теорема Пифагора изучается и доказывается в школьном курсе геометрии, а с другой стороны - школьного материала явно недостаточно для того, чтобы показать ее практическую значимость в различных, в том числе и современных сферах деятельности человека.
Цель работы: Изучение практического применения теоремы Пифагора.
- Изучение биографии Пифагора.
- Изучение истории появления и развития теоремы Пифагора.
- Рассмотрение доказательства теоремы Пифагора.
- Подобрать интересные задачи, решаемые с помощью теоремы Пифагора.
Основные методы исследования: Метод исследования, систематизации и обработки данных.
Гипотеза: если теорема Пифагора так популярна и сегодня, то в ней заложены такие основы, которые позволяют использовать ее в различных, в том числе и современных сферах деятельности человека.
Объект исследования: практическое применение теоремы Пифагора в современной деятельности человека.
Предмет исследования: теорема Пифагора.
Это интересно знать
В течение 22 лет он проходил обучение в храмах Мемфиса и получил посвящение высшей степени. Здесь же он глубоко изучил математику, науку чисел или всемирных принципов, из которой впоследствии сделал центр своей системы. Кроме того, что Пифагор был математиком, он также имел отношение к литературе и философии.
Пифагора можно отнести и к великим мыслителям своего времени. Одна из самых главных заслуг Пифагора-это доказательство теоремы, которая носит его имя. Существует около 500 способов её доказательства, и это одна из теорем, которая доказывает большую часть математических теорем.
Формулировка теоремы Пифагора
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника:
Сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.a²+b²=c²
Нужно знать зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике. Эту зависимость подметили еще в глубокой древности и доказали теорему, которую знают теперь почти все школьники. Эта теорема носит имя Пифагора.
Квадраты, построенные на катетах, состоят из 2-х одинаковых треугольников. А квадрат, построенный на гипотенузе, состоит из 4-х таких треугольников. Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, сначала был дан для равнобедренных треугольников. Таким образом, площадь квадрата построенного на стороне С, равна сумме площадей квадратов, построенных на сторонах А и В.
Доказательство теоремы
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. И в этом случае так же площадь квадрата построенного на гипотенузе С, будет равна сумме площадей квадратов, построенных на сторонах А и В.
Задача
Древние египтяне для построения прямоугольных треугольников пользовались веревкой с завязанными на ней на одинаковых расстояниях узелками. По одной стороне они откладывали 3 отрезка, на другой 4, а на третьей 5. Правильно ли они поступали?
Треугольник со сторонами 3, 4, 5 теперь мы называем египетским.
Философские высказывания Пифагора
- Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не заставит раскаиваться.
- Статуя формой своей хороша, а человека украсят дела.
- Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает.
Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники
Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание высоты обозначим как H.
Прямоугольный треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам (∠ACB=∠CHA=90%, ∠A- общий). Аналогично, треугольник CBH подобен ABC.
из подобия треугольников получаем, что
Отсюда имеем, что
Сложив полученные равенства, получаем
Что и требовалось доказать.
Применение теоремы Пифагора. Строительство
Задача 1
От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте
3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 8 м. Вычислите длину провода.
Решение задачи
Изобразим рисунок схематично. Проведем отрезок СЕ, параллельный AD. AECD - прямоугольник, т.к. все углы прямые. Следовательно, СЕ=AD.
По теореме Пифагора
Задача 2
Длина стремянки в сложенном виде равна 1,85 м, а её высота в разложенном виде составляет 1,48 м. Найдите расстояние (в метрах) между основаниями стремянки в разложенном виде.
Решение задачи
Данная задача сводится к нахождению катета прямоугольного треугольника. Пусть х — искомое расстояние, тогда:
Задача 3
Девочка прошла от дома по направлению на запад 880 м. Затем повернула на север и прошла 900 м. После этого она повернула на восток и прошла ещё 400 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка?
Решение задачи
Восток и запад — противоположные направления, поэтому девочка прошла 880 − 400 = 480 м на запад. Пусть — гипотенуза прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора, гипотенуза ищется следующим образом:
Мобильная связь
Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)
Решение задачи
Пусть AB=x, BC=R=200 км, OC=r=6380 км.
Используя теорему Пифагора, получим 23 км
Астрономия
Задача 6
На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой. Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равно расстояние между точками?
Решение задачи
На этом рисунке показан путь светового луча только с другой точки зрения, например из космического корабля. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми движется световой луч, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока луч пробегает свой путь, исходная точка A смещается, и луч возвращается уже в новую точку C.
Вконце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.
Литература
Теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:
Свет истины рассеется не скоро,
Но, воссияв, рассеется навряд
И, как тысячелетия назад,
Не вызовет сомнения и спора.
Мудрейшие, когда коснется взора
Свет истины, богов благодарят;
И сто быков, заколоты, лежат –
Ответный дар счастливца Пифагора.
С тех пор быки отчаянно ревут:
Навеки всполошило бычье племя
Событие, помянутое тут.
Им кажется: вот-вот настанет время,
И сызнова их в жертву принесут
Какой-нибудь великой теореме…
Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим И таким простым путём К результату мы придём.
Применение теоремы Пифагора
Успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой. Теорема Пифагора применяется в строительстве, астрономии, мобильной связи, литературе и т.д.
Заключение
В научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).
Теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Теорема Пифагора триедина: это простота – красота – значимость. Мы познакомились с некоторыми доказательствами теоремы Пифагора.
Есть доказательства, которые рассчитаны на то, что по готовым рисункам, можно воспроизвести доказательство самостоятельно. А это воспитывает познавательный интерес и логическое мышление. До сих пор вызывают интерес древние практические задачи, говорящие об уровне развития прикладной математики в древние века.
Факты биографии Пифагора достоверно не известны. О его жизненном пути можно судить лишь по произведениям других древнегреческих философов. По их мнению, математик Пифагор общался с известнейшими мудрецами, учёными того времени.
Известно, что долгое время Пифагор пробыл в Египте, изучая местные таинства.
Философия Пифагора, его образ жизни привлекли многих последователей, но у философа и учёного было и много противников.
Как математик Пифагор достиг больших успехов. Одна из самых известных геометрических теорем — теорема Пифагора , ему приписывают открытие и доказательство теоремы, создание таблицы Пифагора.
Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.
В истории математики находим утверждения, что эту теорему знали за много лет до Пифагора, например, древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами \(3\), \(4\) и \(5\) является прямоугольным.
В наше время теорема звучит так (подразумевая не только площади, но и длины сторон прямоугольного треугольника):
Известны очень многие доказательства теоремы разными математическими методами, но одни из самых наглядных связаны с площадями.
1. Построим квадрат, сторона которого равна сумме катетов данного треугольника a + b . Площадь квадрата равна a + b 2 :
2. Если провести гипотенузы \(c\), очевидно, что они образовали квадрат внутри построенного квадрата.
Стороны четырёхугольника равны \(c\), а углы — прямые, так как острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90 ° , то угол четырёхугольника также равен 90 ° , потому что вместе все три угла дают 180 ° .
Следовательно, площадь квадрата состоит из четырёх площадей равных прямоугольных треугольников и площади квадрата, образованного гипотенузами.
3. На двух сторонах квадрата поменяем местами отрезки \(a\) и \(b\), при этом длина стороны квадрата не меняется.
Теперь площадь квадрата можем сложить из двух площадей квадратов, образованных катетами \(a\) и \(b\), и двух площадей прямоугольников:
Читайте также: