Могут ли прямая и плоскость иметь две общие точки кратко
Обновлено: 01.07.2024
Примером пространственной фигуры может служить геометрическое тело – часть пространства, занимаемое предметом. Геометрическое тело отделяется от окружающего пространства поверхностью.
Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить так, чтобы они совпали всеми своими частями.
Предполагается, что при перемещении в пространстве геометрические фигуры не изменяются. Пространственные фигуры изображаются на чертеже в виде рисунков, которые выполняются по определённым правилам, основанным на геометрических свойствах фигур.
– через любые три точки пространства, которые не лежат на одной прямой, можно провести плоскость, и к тому же только одну ;
– если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, которая проходит через эту точку ;
– через прямую и точку, лежащую вне этой прямой, можно провести плоскость, и к тому же только одну ;
Множество плоскостей, которые проходят через некоторую прямую, называют пучком плоскостей, а прямую, через которую они проходят, – осью пучка. Плоскость на рисунку изображается в виде параллелограмма и обозначается одной буквой, например Р .
– две прямые лежат в одной плоскости, при этом они могут или иметь общую точку, то есть пересекаются, или не иметь общих точек, тогда их называют параллельными ;
– две прямые не лежат в одной плоскости и, следовательно, не имеют общих точек, тогда их называют скрещивающимися.
Условились считать, что угол между двумя скрещивающимися прямыми равняется углу, образованному двумя лучами, выходящими из одной точки и параллельными этим скрещивающимся прямым.
На рисунку прямые АВ и СD – скрещивающиеся, а лучи ОМ ∥ АВ и ОN ∥ СD ; угол между мимолетными прямыми считают таким, который равняется углу МОN .
Расстоянием между двумя параллельными прямыми считают длину заключенного между ними отрезка прямой, перпендикулярной к каждой из параллельных прямых и пересекающей их.
Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется длиной отрезка прямой, перпендикулярной к каждой из скрещивающихся прямых и пересекающей каждую из них в точках, являющихся концами этого отрезка. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми есть наименьшее расстояние между точками, лежащими на этих прямых.
АВ , лежащая в плоскости Р , и СD , пересекающая эту плоскость. Прямая МN перпендикулярна как к АВ , так и к СD . Тогда длина отрезка МN есть расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и СD .
– прямая и плоскость имеют одну общую точку, то есть прямая пересекает плоскость ; точку их пересечения называют следом прямой на данной плоскости;
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, которая лежит на этой плоскости.
Прямая, которая пересекает плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к этой плоскости.
Если прямая перпендикулярна до двух прямых, которые пересекаются и лежат в некоторой плоскости, то она перпендикулярна и к любой прямой, которая лежит в данной плоскости, то есть прямая перпендикулярна к плоскости.
Прямоугольной проекцией точки на плоскость называется след перпендикуляра, проведенного через эту точку к данной плоскости. След перпендикуляра на плоскости называется основанием перпендикуляра, а след наклонной – основанием наклонной.
Прямоугольной проекцией наклонной на плоскость называется отрезок прямой, соединяющий основание наклонной и основание перпендикуляра, опущенного из конца наклонной на эту плоскость.
На рисунку АВ , АС и АD – наклонные к плоскости Р , а АО – перпендикуляр к этой плоскости. Тогда, если проекция ОВ = ОС , то и наклонные АВ = АС ; если ОD , то и соответственно наклонные АD .
Если из одной и той же точки, лежащей вне плоскости, провести к этой плоскости перпендикуляр и наклонный, то :
Прямая, проведенная на плоскости перпендикулярно к наклонной, перпендикулярна к проекции этой наклонной на данную плоскость.
Прямая, проведенная на плоскости перпендикулярно к проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.
На рисунку АВ – наклонная, а АС – перпендикуляр к плоскости Р ; если MN ⊥ AB , то и MN ⊥ DC и, наоборот, если MN ⊥ CB , то и MN ⊥ AB .
Углом между прямой и плоскостью называют острый угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
На рисунку АВ – наклонная, а СD – её проекция на плоскость Р . Тогда угол между АВ и плоскостью Р равен ∠ АВС .
Угол между прямой и плоскостью наименьший из всех углов, образованных этой прямой с любой прямой, которая лежит в данной плоскости.
Из некоторой точки пространства проведены к данной плоскости две наклонные, каждая из которых равна а , угол между ними равен 60 ° , а угол между их проекциями на данную плоскость – прямой.
∆ АВС – равнобедренный с углом 60 ° при вершине, т. е. равносторонний, поэтому расстояние между основаниями наклонных
ВС = а .
∆ ВОС – равнобедренный прямоугольный (так как проекции ОВ и ОС равных наклонных АВ и АС равны ), гипотенуза которого
ВС = а ,
тогда проекция
∠ АСО = ∠ АВО = 45 ° , так как прямоугольные ∆ АВО и ∆ АОС равны между собою и одновременно являются равнобедренными треугольниками :
Если плоскость Р и прямая АВ , которая не лежит в плоскости Р , перпендикулярные к одной и той же прямой СD , то они параллельны.
Если прямая АВ параллельна к прямой СD , которая лежит в плоскости Р , то она параллельная к плоскости Р .
Если две плоскости Р и Q , что проходят соответственно через параллельные прямые АВ и СD , пересекаются, то линия их пересечения МN параллельна до обоих данных прямых АВ и СD.
Если плоскость проходит через прямую, параллельную к другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна к данной прямой.
Если прямая параллельна к каждой из двух плоскостей, которые пересекаются, то она параллельна к линии их пересечения.
Если одна из двух параллельных прямых параллельная к некоторой плоскости, то и вторая прямая параллельная к той же плоскости или лежит в ней.
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, и к тому же только одна, параллельная к другой прямой.
Правильный треугольник спроектирован на плоскость Р . Вершины треугольника отстоят от этой плоскости на 10, 15 и 17 дм. Найти расстояние от центра треугольника до плоскости Р.
Расстояние от центра правильного треугольника до некоторой плоскости равно среднему арифметическому расстояний от его вершин до этой плоскости.
– если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие две плоскости параллельные.
Если пересекающиеся прямые АВ м ВС , лежат в плоскости Р , а прями А 1 В 1 и В 1 С 1 – лежат в плоскости Q и
АВ ∥ А 1 В 1 , а
СВ ∥ C 1 B 1 , то
Р ∥ Q .
Если плоскости Р и Q параллельны и плоскость М их пересекает, то прямые пересечения этих плоскостей АВ и СD параллельны.
– если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и к другой плоскости ;
Отрезки двух прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны 51 см и 53 см, а их проекции на одну из этих плоскостей относятся, как 6 : 7 . Определить длину этих проекций и расстояние между данными плоскостями.
Требуется определить ВС , В 1 С 1 и АС. Обозначим
ВС = 6х, В 1 С 1 = 7х
и, учитывая, что АС = А 1 С 1 и з треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 получим
Определив ВС и, зная АВ , находим из треугольника АВС по теореме Пифагора расстояние между плоскостями :
Часть плоскости, лежащая по одну сторону какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости, называется полуплоскостью.
Двугранным углом называется геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями Р и Q , что выходят из одной прямой АВ .
Двугранный угол обозначают или двумя буквами, поставленными у ребра, например АВ , или четырьмя буквами РАВQ , из которых две средние означают ребро, а крайние – грани.
Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный двумя перпендикулярами, восстановленными к ребру из произвольной его точки и лежащими на гранях угла.
ОN лежит в плоскости Р , а ОМ – в плоскости Q , причём ОN ⊥ АВ и ОМ ⊥ АВ , тогда угол МОN называется линейным углом двугранного угла РАВQ .
Если совместить по одной грани два неравных двугранных угла, то больше считается тот из них, между гранями которого находится другая грань второго двугранного угла. На рисунку двугранный угол РАВQ больше за двугранного угла РАВМ .
Если два двугранных угла не равны, то большему двугранному углу соответствует и больший линейный угол.
Двугранные углы называются смежными, если у них одна грань общая, а две другие составляют одну плоскость.
Двугранный угол измеряется его линейным углом, т. е. за единицу измерения двугранных углов принимается такой двугранный угол, линейный угол которого содержит единицу измерения линейных углов. Так, двугранный угол в 1 ° есть угол, линейный угол которого содержит 1 ° , двугранный угол в 1 радиан есть угол, линейный угол которого содержит 1 радиан.
Если плоскость Р проходит через перпендикуляр АВ к плоскости Q , то плоскости Р и Q взаимно перпендикулярны.
Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то любая прямая, что лежите в одной из них и перпендикулярная к линии их пересечения, перпендикулярная другой плоскости.
Если две плоскости взаимно перпендикулярные и из какой-либо точки одной из них опущен перпендикуляр на другую, то этот перпендикуляр лежит в первой плоскости.
Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна ребру, образованного ими двугранного угла.
Катеты прямоугольного треугольника равны а і b . Определить расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол в 30 ° с плоскостью треугольника.
По теореме о трёх перпендикулярах ОD как проекция наклонной СD на плоскость Р перпендикулярна АВ . Тогда угол
СDО = 30 °
– линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью ∆ АВС и плоскостью Р . Из ∆ АВС находим
Все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве представлены в следующей таблице.
Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости.
Замечание . Для того, чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой плоскости.
Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку.
Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек. (они не пересекаются)
Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости.
Замечание . Для того, чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой плоскости.
Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку.
Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек. (они не пересекаются)
Утверждение 1 . Предположим, что прямая a и плоскость α параллельны, а плоскость β проходит через прямую a . Тогда возможны два случая:
- Плоскость β параллельна плоскости αПлоскость β параллельна плоскости α (рис.1);
- Плоскость β пересекает плоскость α . В этом случае прямая b , которая является линией пересечения плоскостей α и β , будет параллельна прямой aпрямая b , которая является линией пересечения плоскостей α и β , будет параллельна прямой a (рис.2).
 |
| Рис.1 |
 |
| Рис.2 |
Доказательство . Рассмотрим случай 2 и предположим противное. Предположим, что прямые a и b пересекаются в некоторой точке P (рис.3) .
Но тогда точка P оказывается точкой пересечения прямой a и плоскости α , и мы получаем противоречие с тем, что прямая a и плоскость α параллельны. Полученное противоречие и завершает доказательство утверждения 1.
Утверждение 2 (признак параллельности прямой и плоскости) . Если прямая a , не лежащая в плоскости α , параллельна некоторой прямой b , лежащей в плоскости α , то прямая a и плоскость α параллельны.
Доказательство. Докажем признак параллельности прямой и плоскости "от противного". Предположим, что прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке P . Проведем плоскость β через параллельные прямые a и b Проведем плоскость β через параллельные прямые a и b (рис. 4).
Точка P лежит на прямой a и принадлежит плоскости β. Но по предположению точка P принадлежит и плоскости α , следовательно точка P лежит на прямой b , по которой пересекаются плоскости α и β . Однако прямые a и b параллельны по условию и не могут иметь общих точек.
Полученное противоречие завершает доказательство признака параллельности прямой и плоскости.
Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.
Прямая на плоскости – понятие
Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.
Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.
Взаимное расположение прямой и точки
На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.
Точки обозначают как большими, так и маленькими латинскими буквами. Например, А и D или a и d .
Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.
Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.
Данное высказывание считается акисомой, поэтому не требует доказательств. Если рассмотреть это самостоятельно, видно, что при существующих двух точках имеется только один вариант их соединения. Если имеем две заданные точки А и В , то прямую, проходящую через них можно назвать данными буквами, например, прямая А В . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все остальные точки данной прямой принадлежат плоскости.
Множество точек, находящееся между двумя заданными, называют отрезком прямой. Он имеет начало и конец. Введено обозначение двумя буквами.
Краткая запись принадлежности включает в себя использование знаков ∈ и ∉ . Для того, чтобы зафиксировать расположение отрезка относительно заданной прямой, применяют ⊂ . Если в условии дано, что отрезок А Р принадлежит прямой b , значит, и запись будет выглядеть следующим образом: А Р ⊂ b .
Случай принадлежности одновременно трех точек одной прямой имеет место быть. Это верно, когда одна точка лежит между двумя другими. Данное утверждение принято считать аксиомой. Если даны точки А , В , С , которые принадлежат одной прямой, а точка В лежит между А и С , следует, что все заданные точки лежат на одной прямой, так как лежат по обе стороны относительно точки B .
Точка делит прямую на две части, называемые лучами. Имеем аксиому:
Любая точка O , находящаяся на прямой, делит ее на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону луча относительно точки O , а другие – по другую сторону луча.
Взаимное расположение прямых на плоскости
Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.
Две прямые на плоскости могут совпадать.
Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.
Две прямые на плоскости могут пересекаться.
Данный случай показывает, что имеется одна общая точка, которую называют пересечением прямых. Вводится обозначение пересечение знаком ∩ . Если имеется форма записи a ∩ b = M , то отсюда следует, что заданные прямые a и b пересекаются в точке M .
При пересечении прямых имеем дело образовавшимся углом. Отдельному рассмотрению подвергается раздел пересечения прямых на плоскости с образованием угла в 90 градусов, то есть прямого угла. Тогда прямые называют перпендикулярными. Форма записи двух перпендикулярных прямых такая: a ⊥ b , а это значит, что прямая a перпендикулярна прямой b .
Две прямые на плоскости могут быть параллельны.
Только в том случае, если две заданные прямые не имеют общих пересечений, а, значит, и точек, они параллельны. Используется обозначение, которое можно записать при заданной параллельности прямых a и b : a ∥ b .
Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.
Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.
Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.
Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:
- если две прямые параллельны третьей, тогда они все параллельны;
- если две прямые перпендикулярны третьей, тогда эти две прямые параллельны;
- если на плоскости прямая пересекла одну параллельную прямую, тогда пересечет и другую.
Рассмотрим это на рисунках.
Способы задания прямой на плоскости
Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.
Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.
Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки.
Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.
Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.
Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.
Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.
Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.
Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:
Через заданную точку, расположенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная заданной.
И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.
Раздаточный материал по геометрии 10 класс по теме " Паралледьность плоскостей".
| Вложение | Размер |
|---|---|
| test_10kl._ploskosti.docx | 11.75 КБ |
Предварительный просмотр:
1. Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
2. Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
3. Плоскости α и β параллельны , прямая m лежит в плоскости α. Верно ли , что прямая m параллельна плоскости β?
4. Верно ли , что если прямая m параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая mимеет только одну общую точку?
5. Верно ли, что боковые стороны трапеции параллельны плоскости α и плоскости трапеции?
6. Верно ли, что плоскости параллельны , если прямая лежащая в одной плоскости , параллельна другой плоскости?
7. Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей?
8. Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?
9. Верно ли , что если две стороны треугольника параллельны плоскости α, то и третья сторона параллельны плоскости α?
Читайте также: