Какой отрезок называется средней линией трапеции кратко
Обновлено: 05.07.2024
В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии трапеции, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания изложенного материала.
Определение средней линии трапеции
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией.
- LM – средняя линия трапеции ABCD
- L – середина стороны AB, т.е. AL = LB
- M – середина стороны CD, т.е. CM = MD
Свойства средней линии трапеции
Свойство 1
Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равняется их полусумме.
Для рисунка выше:
Свойство 2
Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, концы которого лежат на основаниях данной трапеции.
Свойство 3
Средняя линия трапеции делит ее на две другие трапеции, площади которых соотносятся следующим образом (см. первый чертеж публикации):
Признак средней линии трапеции
Если отрезок, выходящий из середины боковой стороны трапеции, пересекает ее вторую боковую сторону и, при этом, параллелен основаниям фигуры, то он является средней линией этой трапеции.
Вторая средняя линия
Иногда дополнительно выделяют вторую среднюю линию трапеции – отрезок, соединяющий середины ее оснований. При этом следует помнить, что к ней не применимы Свойства 1-3 и Признак, рассмотренные выше.
Вторая средняя линия равнобедренной трапеции одновременно является ее высотой.
Пример задачи
Средняя линия трапеции равняется 25 см, а ее высота – 7 см. Найдите площадь фигуры.
Как мы знаем, площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту h: S = (a+b) /2 ⋅ h
В данном случае полусумма оснований – это и есть средняя линия. Обозначим ее буквой m. То есть m = (a+b) /2.
Определение . Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (рис. 1).
На рисунке 1 средней линией является отрезок DE .
Утверждение 1 . Средняя линия треугольника параллельна не пересекающейся с ней стороне треугольника и равна половине этой стороны.
Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и обозначим буквой D середину стороны AB (рис. 2). Проведем через точку D до пересечения с прямой BC прямую, параллельную прямой AC . Обозначим буквой E точку пересечения прямых DE и BC .
Поскольку AD = DB , а прямые AC и DE параллельны, то выполнены все условия теоремы Фалеса, и можно заключить, что выполнено равенство: CE = EB . Отсюда вытекает, что точка E является серединой стороны CB , а отрезок DE является средней линией треугольника.
Первую часть утверждения 1 мы доказали.
Для того, чтобы доказать вторую часть утверждения 1, заметим, что в любом треугольнике можно провести три средних линии – отрезки DE , EF и FD (рис.3).
Но поскольку AF = FC , то отсюда вытекает равенство
что и требуется доказать.
Доказательство утверждения 1 закончено.
- Три средних линии делят треугольник на 4 равных треугольника ADF , DBE , ECF , DEF (рис. 4).
- Каждый из четырёх треугольников ADF , DBE , ECF , DEF подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 0,5 .
Средняя линия трапеции
Напомним, что трапецией трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называют основаниями , а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции.
Отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции, называют диагоналями трапеции.
Определение . Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 5).
На рисунке 5 средней линией трапеции является отрезок EF .
Утверждение 2 . Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы этих оснований.
что и требовалось доказать.
Задача 1 . Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами на основаниях трапеции.
Решение . Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, LM – указанный отрезок (рис.7). Поскольку AE = EB , то, в силу теоремы Фалеса, выполнено равенство: LN = NM , что и требовалось доказать.
Задача 2 . Доказать, что отрезок, который диагонали трапеции высекают на средней линии трапеции, равен половине разности оснований трапеции.
Решение . Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, KL – указанный отрезок (рис.8). В соответствии с задачей 1 можем заключить, что точка K – середина отрезка AC , а точка L – середина отрезка BD . Поэтому отрезок EK – средняя линия треугольника BAC , а отрезок EL – средняя линия треугольника ABD . В силу утверждения 1 выполнены равенства:
что и требовалось доказать.
Утверждение 3 . Прямая, проходящая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения боковых сторон трапеции.
Доказательство . Пусть K и L – середины оснований BC и AD трапеции ABCD соответственно (рис.9). Обозначим буквой M точку пересечения боковых сторон AB и CD . Проведем через точки M и K прямую и обозначим точку пересечения этой прямой с основанием AD символом N . Докажем, что точки N и L совпадают. Для этого заметим, что треугольник BMK подобен треугольнику AMN . Следовательно, выполнено равенство:
Из этих соотношений получаем:
откуда вытекает, что точки N и L совпадают. Доказательство завершено.
Почти те же рассуждения позволяют доказать следующий факт, который мы предоставляем читателю в качестве упражнения.
Утверждение 4 . Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину одного из оснований трапеции, проходит через середину другого основания трапеции.
Следствие . Точка пересечения диагоналей, середины оснований и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.
Средние линии четырехугольника. Теорема Вариньона
Определение . Средней линией четырехугольника называют отрезок, соединяющий середины непересекающихся сторон четырёхугольника.
Поскольку у каждого четырехугольника имеются две пары непересекающихся сторон, то у каждого четырехугольника имеются две средних линии (рис.10).
На рисунке 10 средние линии – это отрезки EF и GH .
Замечание 2 . Несмотря на то, что трапеция является четырехугольником, принято средней линией трапеции называть только отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
Замечание 3 . В данном разделе справочника не рассматриваются невыпуклые четырёхугольники и четырёхугольники с самопересечениями.
Доказательство . Рассмотрим плоский четырёхугольник ABCD , изображенный на рисунке 12. Точки E, G, F, H – середины сторон, отрезок AC – диагональ четырёхугольника.
Поскольку отрезок EG – средняя линия треугольника ABC , то отрезок EG параллелен диагонали AC и равен её половине. Поскольку отрезок FH – средняя линия треугольника CDA , то отрезок FH параллелен диагонали AC и равен её половине. Таким образом, в четырёхугольнике EGFH противоположные стороны EG и FH равны и параллельны. В силу признака параллелограмма признака параллелограмма признака параллелограмма отсюда вытекает, что четырёхугольник EGFH – параллелограмм, что и требовалось доказать.
Утверждение 5 . Средние линии произвольного четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам (рис. 14).
что и требовалось доказать.
Следствие . Средняя линия четырёхугольника меньше или равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника, причём равенство достигается лишь в том случае, когда указанные стороны четырёхугольника параллельны.
Другими словами, средняя линия четырёхугольника равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника лишь в том случае, когда этот четырехугольник является трапецией трапецией , а не пересекающие среднюю линию стороны четырёхугольника – основания трапеции.
Средние линии тетраэдра
Тетраэдром называют произвольную треугольную пирамиду (рис.17).
У каждого тетраэдра имеется 4 вершины, 4 грани и 6 рёбер, причем все рёбра делятся на 3 пары непересекающихся рёбер . На рисунке 17 каждая пара непересекающихся рёбер выделена отдельным цветом. Каждые два непересекающихся ребра тетраэдра лежат на скрещивающихся прямых скрещивающихся прямых .
Определение . Средней линией (бимедианой) тетраэдра называют отрезок, соединяющий середины двух непересекающихся рёбер тетраэдра.
У каждого тетраэдра имеется 3 средних линии. Изображённый на рисунке 18 отрезок EF является одной из средних линий тетраэдра.
Утверждение 7 . Все средние линии тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Доказательство . Выберем какую-нибудь среднюю линию тетраэдра, например, EF и докажем, что любая другая средняя линия тетраэдра проходит через середину отрезка EF . Для этого рассмотрим, например, среднюю линию GH , соединяющую середины рёбер AC и BD , и соединим отрезками точки E, H, F, G (рис.19).
Заметим, что отрезок EH является средней линией треугольника ADB , поэтому
Определение . Точку пересечения средних линий тетраэдра называют центроидом тетраэдра .
Утверждение 8 . Рассмотрим в пространстве декартову систему координат с началом в точке O и произвольный тетраэдр ABCD . Если обозначить буквой M центроид этого тетраэдра (рис. 20), то будет выполнено векторное равенство:
Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований:
Как видим, теория очень проста. А задачи, в которых применяются свойства трапеции, весьма разнообразны. В этой статье разобраны и стандартные задачи (номер и ), и более интересные.
. Найдите высоту трапеции , опущенную из вершины , если стороны квадратных клеток равны .
Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины .
. Основания трапеции равны и , боковая сторона, равная , образует с одним из оснований трапеции угол . Найдите площадь трапеции.
Это стандартная задача. Углы и — односторонние, значит, их сумма равна , и тогда угол равен . Из треугольника найдем высоту . Катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы. Получаем, что и площадь трапеции равна .
. Основания трапеции равны и . Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция , и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, и , в которых проведены средние линии.
Мы помним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.
Из треугольника находим: .
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
В следующей задаче мы тоже воспользуемся свойством средней линии треугольника.
. Основания трапеции равны и . Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Проведем — среднюю линию трапеции, . Легко доказать, что отрезок , соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии. Дальше все просто. Найдем отрезки и , являющиеся средними линиями треугольников и , а затем отрезок . Он равен .
. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного , отсекает треугольник, периметр которого равен . Найдите периметр трапеции.
Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть .
Периметр трапеции равен .
Заметим, что периметр трапеции на 8 больше, чем периметр треугольника. Значит, он равен 15 + 8 = 23.
Определение . Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (рис. 1).
На рисунке 1 средней линией является отрезок DE .
Утверждение 1 . Средняя линия треугольника параллельна не пересекающейся с ней стороне треугольника и равна половине этой стороны.
Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и обозначим буквой D середину стороны AB (рис. 2). Проведем через точку D до пересечения с прямой BC прямую, параллельную прямой AC . Обозначим буквой E точку пересечения прямых DE и BC .
Поскольку AD = DB , а прямые AC и DE параллельны, то выполнены все условия теоремы Фалеса, и можно заключить, что выполнено равенство: CE = EB . Отсюда вытекает, что точка E является серединой стороны CB , а отрезок DE является средней линией треугольника.
Первую часть утверждения 1 мы доказали.
Для того, чтобы доказать вторую часть утверждения 1, заметим, что в любом треугольнике можно провести три средних линии – отрезки DE , EF и FD (рис.3).
Но поскольку AF = FC , то отсюда вытекает равенство
что и требуется доказать.
Доказательство утверждения 1 закончено.
- Три средних линии делят треугольник на 4 равных треугольника ADF , DBE , ECF , DEF (рис. 4).
- Каждый из четырёх треугольников ADF , DBE , ECF , DEF подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 0,5 .
Средняя линия трапеции
Напомним, что трапецией трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называют основаниями , а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции.
Отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции, называют диагоналями трапеции.
Определение . Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 5).
На рисунке 5 средней линией трапеции является отрезок EF .
Утверждение 2 . Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы этих оснований.
что и требовалось доказать.
Задача 1 . Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами на основаниях трапеции.
Решение . Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, LM – указанный отрезок (рис.7). Поскольку AE = EB , то, в силу теоремы Фалеса, выполнено равенство: LN = NM , что и требовалось доказать.
Задача 2 . Доказать, что отрезок, который диагонали трапеции высекают на средней линии трапеции, равен половине разности оснований трапеции.
Решение . Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, KL – указанный отрезок (рис.8). В соответствии с задачей 1 можем заключить, что точка K – середина отрезка AC , а точка L – середина отрезка BD . Поэтому отрезок EK – средняя линия треугольника BAC , а отрезок EL – средняя линия треугольника ABD . В силу утверждения 1 выполнены равенства:
что и требовалось доказать.
Утверждение 3 . Прямая, проходящая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения боковых сторон трапеции.
Доказательство . Пусть K и L – середины оснований BC и AD трапеции ABCD соответственно (рис.9). Обозначим буквой M точку пересечения боковых сторон AB и CD . Проведем через точки M и K прямую и обозначим точку пересечения этой прямой с основанием AD символом N . Докажем, что точки N и L совпадают. Для этого заметим, что треугольник BMK подобен треугольнику AMN . Следовательно, выполнено равенство:
Из этих соотношений получаем:
откуда вытекает, что точки N и L совпадают. Доказательство завершено.
Почти те же рассуждения позволяют доказать следующий факт, который мы предоставляем читателю в качестве упражнения.
Утверждение 4 . Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину одного из оснований трапеции, проходит через середину другого основания трапеции.
Следствие . Точка пересечения диагоналей, середины оснований и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.
Средние линии четырехугольника. Теорема Вариньона
Определение . Средней линией четырехугольника называют отрезок, соединяющий середины непересекающихся сторон четырёхугольника.
Поскольку у каждого четырехугольника имеются две пары непересекающихся сторон, то у каждого четырехугольника имеются две средних линии (рис.10).
На рисунке 10 средние линии – это отрезки EF и GH .
Замечание 2 . Несмотря на то, что трапеция является четырехугольником, принято средней линией трапеции называть только отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
Замечание 3 . В данном разделе справочника не рассматриваются невыпуклые четырёхугольники и четырёхугольники с самопересечениями.
Доказательство . Рассмотрим плоский четырёхугольник ABCD , изображенный на рисунке 12. Точки E, G, F, H – середины сторон, отрезок AC – диагональ четырёхугольника.
Поскольку отрезок EG – средняя линия треугольника ABC , то отрезок EG параллелен диагонали AC и равен её половине. Поскольку отрезок FH – средняя линия треугольника CDA , то отрезок FH параллелен диагонали AC и равен её половине. Таким образом, в четырёхугольнике EGFH противоположные стороны EG и FH равны и параллельны. В силу признака параллелограмма признака параллелограмма признака параллелограмма отсюда вытекает, что четырёхугольник EGFH – параллелограмм, что и требовалось доказать.
Утверждение 5 . Средние линии произвольного четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам (рис. 14).
что и требовалось доказать.
Следствие . Средняя линия четырёхугольника меньше или равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника, причём равенство достигается лишь в том случае, когда указанные стороны четырёхугольника параллельны.
Другими словами, средняя линия четырёхугольника равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника лишь в том случае, когда этот четырехугольник является трапецией трапецией , а не пересекающие среднюю линию стороны четырёхугольника – основания трапеции.
Средние линии тетраэдра
Тетраэдром называют произвольную треугольную пирамиду (рис.17).
У каждого тетраэдра имеется 4 вершины, 4 грани и 6 рёбер, причем все рёбра делятся на 3 пары непересекающихся рёбер . На рисунке 17 каждая пара непересекающихся рёбер выделена отдельным цветом. Каждые два непересекающихся ребра тетраэдра лежат на скрещивающихся прямых скрещивающихся прямых .
Определение . Средней линией (бимедианой) тетраэдра называют отрезок, соединяющий середины двух непересекающихся рёбер тетраэдра.
У каждого тетраэдра имеется 3 средних линии. Изображённый на рисунке 18 отрезок EF является одной из средних линий тетраэдра.
Утверждение 7 . Все средние линии тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Доказательство . Выберем какую-нибудь среднюю линию тетраэдра, например, EF и докажем, что любая другая средняя линия тетраэдра проходит через середину отрезка EF . Для этого рассмотрим, например, среднюю линию GH , соединяющую середины рёбер AC и BD , и соединим отрезками точки E, H, F, G (рис.19).
Заметим, что отрезок EH является средней линией треугольника ADB , поэтому
Определение . Точку пересечения средних линий тетраэдра называют центроидом тетраэдра .
Утверждение 8 . Рассмотрим в пространстве декартову систему координат с началом в точке O и произвольный тетраэдр ABCD . Если обозначить буквой M центроид этого тетраэдра (рис. 20), то будет выполнено векторное равенство:
Читайте также: