Какой многогранник называется правильным кратко

Обновлено: 04.07.2024

Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник , состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Существует всего пять правильных многогранников:

Изображение	Правильный многогранник	Число сторон у грани	Число рёбер, примыкающих к вершине	Число вершин	Число рёбер	Число граней
Тетраэдр	3	3	4	6	4	T_h
Октаэдр	3	4	6	12	8	O_h
Икосаэдр	3	5	12	30	20	I_h
Гексаэдр или куб	4	3	8	12	6	O_h
Додекаэдр	5	3	20	30	12	I_h

Название каждого многогранника происходит от греческого названия количества его граней и слова "грань".

Комбинаторные свойства

Геометрические свойства Углы

С каждым правильным многогранником связаны определённые углы , характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника задаётся формулой:

$\sin<\theta\over 2> = \frac<\cos(\pi/q)><\sin(\pi/p)>.$

Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс :

$\operatorname<tg> \,\frac = \frac<\cos(\pi/q)><\sin(\pi/h)>,$

где принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

$\delta$

Угловой дефект при вершине многогранника – это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект при любой вершине правильного многогранника:

$\delta = 2\pi - q\pi\left(1-<2\over p> \right).$

По теореме Декарта , он равен делённым на число вершин (т.е. суммарный дефект при всех вершинах равен ).

Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол . Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:

$\Omega = q\theta - (q-2)\pi.\,$

$4\pi$

Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы ( стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.

$\varphi=\tfrac<1+\sqrt<5> Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах . Константа >$
– золотое сечение .

Радиусы, площади и объёмы

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной () и вписанной () сфер задаются формулами:

\cdot\operatorname\frac<\pi>\cdot\operatorname\frac" />
\cdot\operatorname\frac<\pi>

\cdot\operatorname\frac," />

где θ - двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

где h - величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

$<R\over r> = \operatorname\frac<\pi>\cdot\operatorname\frac<\pi>.$

Площадь поверхности S правильного многогранника вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды , основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

$V = <1\over 3> rS.$

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.

Многогранник (a = 2)	Радиус вписанной сферы (r)	Радиус срединной сферы (ρ)	Радиус описанной сферы (R)	Площадь поверхности (S)	Объём (V)
тетраэдр	$1\over <\sqrt 6>$	$1\over <\sqrt 2>$	$\sqrt<3\over 2>$	$4\sqrt 3$	$\frac<2\sqrt 2>$
куб	$1\,$	$\sqrt 2$	$\sqrt 3$	$24\,$	$8\,$
октаэдр	$\sqrt<2\over 3>$	$1\,$	$\sqrt 2$	$8\sqrt 3$	$\frac<8\sqrt 2>$
додекаэдр	$\frac<\varphi^2><\xi>$	$\varphi^2$	$\sqrt 3\,\varphi$	$60\frac<\varphi><\xi>$	$20\frac<\varphi^3><\xi^2>$
икосаэдр	$\frac<\varphi^2>$	$\varphi$	$\xi\varphi$	$20\sqrt 3$	$\frac<20\varphi^2>$

Константы φ и ξ задаются выражениями

$\varphi = 2\cos<\pi\over 5> = \frac\qquad\xi = 2\sin <\pi\over 5>= \sqrt> = 5^\varphi^.$

Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.

Правильный многогранник – выпуклый многогранник, все грани которого равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из четырех равносторонних треугольников.

Правильный октаэдр – многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников.

Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из двадцати равносторонних треугольников.

Куб (гексаэдр) – многогранник, составленный из шести квадратов.

Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников.

Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1.

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.

Точки Аи А1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Основная литература:

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (128 с. – 131 с.)

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. (68 с. – 73 с.)

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Отметим, что поскольку все грани - равные правильные многоугольники, то все ребра правильного многогранника равны.

Вам уже известны примеры некоторых правильных многогранников. Например, куб. Все его грани - равные квадраты и к каждой вершине сходится три ребра.

Также нам уже знаком правильный тетраэдр.

Заметьте, что правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида – это различные многогранники!

Напомним, что пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром многоугольника. Таким образом, в правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны друг другу, но могут быть не равны ребрам основания пирамиды, а в правильном тетраэдре все ребра равны.

Правильных многогранников существует всего 5. Перечислим их.

Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников, значит сумма плоских углов при каждой вершине равна 180.

Рисунок 1 - Правильный тетраэдр

Правильный октаэдр – многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников, значит, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240.

Рисунок 2 - Правильный октаэдр

Куб (гексаэдр) – многогранник, составленный из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов, значит, сумма плоских углов при

каждой вершине равна 270.

Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников, значит, сумма плоских углов при каждой равна 300.

Рисунок 4 – Правильный икосаэдр

Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников, значит, сумма плоских углов при каждой равна 324.

Рисунок 5 – Правильный додекаэдр

Докажем, что правильных многогранников существует ровно 5, то есть что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n≥6.

Действительно, угол правильного n-угольника при n≥6 не меньше 120 0 . С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани - правильные n-угольники при n≥6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше 360 0 . Но это не возможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 0 .

По этой причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, либо четырех, либо пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников.

Симметрия в пространстве

Одно из интересных свойств правильных многогранников – это элементы симметрии.

Прежде чем мы их выделим давайте определим симметрию в пространстве.

Вам уже знакома симметрия из курса планиметрии. Там мы рассматривали фигуры симметричные относительно прямой и точки. В стереометрии же рассматривают симметрию относительно точки, прямой и плоскости.

Будем говорить, что точки А и А1 симметричны относительно точки О (рис. 6), если О – середина отрезка АА1. В таком случае О будет являться центром симметрии и будет симметрична сама себе.

Рисунок 6 – Центральная симметрия

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этом отрезку (рис. 7). Прямая а называется осью симметрии, а каждая ее точка считается симметричной самой себе.

Рисунок 7 – Осевая симметрия

Точки АА1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку (рис. 8). Плоскость α называется плоскостью симметрии, а каждая ее точка считается симметричной самой себе.

Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией.

Рисунок 8 – Зеркальная симметрия

Рисунок 9 – Элементы симметрии куба

Примером фигуры, обладающей и центральной, и осевой и зеркальной симметрией является куб (рис. 9).

Фигура может иметь один или несколько центров (осей, плоскостей) симметрии. Так, например, у куба один центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии.

В геометрии центр, ось и плоскость симметрии многогранника называют элементами симметрии многогранников.

С симметрией мы часто можем встретиться в природе, архитектуре, быту.

Например, многие кристаллы имеют центр ось или плоскость симметрии.

Многие здания симметричны относительно плоскости. Примером такого здания является здание Московского государственного университета.

Рисунок 10 – Здание Московского государственного университета

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1 Выберите неверные утверждения

1) правильный додекаэдр состоит из 8 правильных треугольников

2) тетраэдр имеет 4 грани

3) гексаэдр состоит из шести параллелограммов

4) правильный октаэдр состоит из правильных пятиугольников

Утверждение 2 верно. Тетраэдр с греческого означает 4 грани и состоит тетраэдр из 4-х треугольников.

Гексаэдр, он же куб состоит из квадратов, которые в свою очередь являются параллелограммами, поэтому утверждение 3 верно.

№ 2 Установите соответствие между правильными многогранниками и их развертками.

1) 2) 3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Для выполнения этого задания необходимо понять, из каких многоугольников составлен многогранник.

Итак, куб состоит из квадратов. Единственная развертка, состоящая из квадратов это развертка под номером 6. Проверить себя можно и мысленно сложив из развертки кубик.

Многогранник под номером 2 – тетраэдр, состоит из четырех треугольников. Поэтому ему будет соответствовать развертка под номером 7. Мысленно сложите из развертки тетраэдр.

Октаэдр состоит из 8 треугольников, в этом несложно убедиться исходя из изображения. Развертка под номером 8 как раз состоит из 8 треугольников.

Многогранник под номером 4 состоит также из треугольников, а единственная развертка, состоящая из треугольников, осталась под номером 10. Попробуйте вырезать такую развертку из бумаги и собрать свой икосаэдр!

Многогранник под номером 5 состоит из пятиугольников. Оставшаяся развертка 9 тоже состоит из пятиугольников. Осталось проверить, что количество совпадает.

Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Правильный гексаэдр (куб)

Содержание

Определение

Многогранник называется правильным, если:

он выпуклый;
все его грани являются равными правильными многоугольниками;
в каждой его Список правильных многогранников

Существует всего пять правильных многогранников:

Геометрические свойства

$<\displaystyle \sin <\theta \over 2> =<\sin(\pi /p)>>.>$

Иногда удобнее пользоваться выражением через

$<\displaystyle h> где$
принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

$<\displaystyle \delta > Угловой дефект при вершине многогранника – это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект$
при любой вершине правильного многогранника:

$<\displaystyle \delta =2\pi -q\pi \left(1-<2 \over p> \right).>$

По теореме Декарта, он равен " width="" height="" />
делённым на число вершин (т.е. суммарный дефект при всех вершинах равен " width="" height="" />
).

Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:

$<\displaystyle \Omega =q\theta -(q-2)\pi .\,> $

$<\displaystyle 4\pi > Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы ($
стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.

$<\displaystyle \varphi =<\tfrac <1+<\sqrt <5> Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах. Константа >>>>$
– золотое сечение.

Радиусы, площади и объёмы

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

$<\displaystyle R> Радиусы описанной ($
) и вписанной ( " width="" height="" />
) сфер задаются формулами:

где θ - двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

$<\displaystyle <R \over r> =\operatorname >\cdot \operatorname >.>$

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

$<\displaystyle V=<1 \over 3> rS.>$

Многогранник (a = 2)	Радиус вписанной сферы (r)	Радиус срединной сферы (ρ)	Радиус описанной сферы (R)	Площадь поверхности (S)	Объём (V)
тетраэдр	$<\displaystyle 1 \over <\sqrt <6>>>$	$<\displaystyle 1 \over <\sqrt <2>>>$	$<\displaystyle <\sqrt <3 \over 2>>>$	$<\displaystyle 4<\sqrt >>$	$<\displaystyle <\frac <2<\sqrt <2>>>>>$
куб	$<\displaystyle 1\,>$	$<\displaystyle <\sqrt <2>>>$	$<\displaystyle <\sqrt >>$	$<\displaystyle 24\,>$	$<\displaystyle 8\,>$
$<\displaystyle 1\,>$	$<\displaystyle <\sqrt <2>>>$	$<\displaystyle 8<\sqrt >>$	$<\displaystyle <\frac <8<\sqrt <2>>>>>$
$<\displaystyle \varphi ^<2>>$	$<\displaystyle <\sqrt >\,\varphi >$	$<\displaystyle 60<\frac <\varphi ><\xi >>>$	$<\displaystyle 20<\frac <\varphi ^><\xi ^<2>>>>$
$<\displaystyle \varphi >$	$<\displaystyle \xi \varphi >$	$<\displaystyle 20<\sqrt >>$	$<\displaystyle <\frac <20\varphi ^<2>>>>$

Константы φ и ξ задаются выражениями

$<\displaystyle \varphi =2\cos <\pi \over 5> =>>>\qquad \xi =2\sin <\pi \over 5>=>>>>=5^\varphi ^.>$

История

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах , созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

Все рёбра правильного многогранника равны, а также равны все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные многоугольники, если число их сторон $6$ или больше, то есть правильные $n$-угольники, если n ≥ 6 .

Следовательно, не существует правильного многогранника, гранями которого являлись бы правильные $n$- угольники , если n ≥ 6 .

Только правильные треугольники, четырёхугольники (квадраты) и пятиугольники могут быть гранями правильного многогранника.

Существуют ли правильные многогранники с такими гранями, и сколько граней они имеют? Очевидно, меньшее возможное число граней — четыре.

1. Пусть количество рёбер правильного многогранника, выходящих из одной вершины, равно $m$, а гранями являются правильные $n$-угольники.

$Р$ (рёбра), $m$, $n$, где $n$ и $m$ — целые числа, и $m ≥ 3$, $n =$ $3$, $4$ или $5$.

3. Так как каждое ребро соединяет две вершины, и в каждой вершине сходятся $m$ рёбер, то $2Р=Вm$.

7. Решим это уравнение при полученном в предыдущем доказательстве значении $n =$ $3$ и найдём допустимые значения $m$.

Таким образом, теорема Эйлера разрешает существование следующих правильных многогранников:
1. $m=3, n=3, P=6, Г=4$ — тетраэдр;
2. $m=3, n=4, P=12, Г=6$ — куб;

3. $m=3, n=5, P=30, Г=12$ — додекаэдр;
4. $m=4, n=3, P=12, Г=8$ — октаэдр;
5. $m=5, n=3, P=30, Г=20$ — икосаэдр.

Читайте также: