Какие выражения называют одночленами кратко

Обновлено: 02.07.2024

Одночлен – это произведение чисел, переменных и их степеней, а также сами числа, переменные и их степени.

Одночленом называется выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения, и при этом не содержит никаких других действий с этими числами и переменными.

Одночлен – это такое выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения и не содержит никаких других действий над числами и переменными.

3а(2,5а³), (5ab²) ∙ (0,4c³d) ∙ 3/4 – это одночлены, а выражение a + b одночленом не является, т.к. содержит в себе операцию сложения.

Стандартный вид одночлена: числовой множитель + переменная (например, 5а), где числовой множитель называется коэффициентом одночлена, т.е. в одночлене 5а 5 является коэффициентом одночлена.

Одночлен — это произведение числовых и буквенных множителей, а также их степеней.

3ab ; 1 5 a 2 x y 3 ; a 2 x y 3 7 ; − 3x y 2 ⋅ 2 3 4 x 3 a b 4 ; 1,9 a n b n n ∈ ℕ .

Одночленами являются также все числа, любые переменные и степени переменных.

Среди множества алгебраических выражений можно найти также такие, которые не могут быть названы одночленами.

a + b ; c 2 x − 5d 2 y + 3 ; b 3 d — так как эти выражения представляют собой не произведение, а сумму или частное.

1. на первое место записать результат произведения всех числовых множителей;

2. сгруппировать степени с одинаковым буквенным основанием и перемножить их;

3. сгруппировать степени с другим одинаковым буквенным основанием, перемножить их и т. д.

Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, который записан в стандартном виде.

3 x 2 yz ⋅ − 2 3 x y 2 z 3 = − 3 ⋅ 2 3 x 3 y 3 z 4 = − 2 x 3 y 3 z 4 .

5 a 2 b 3 ⋅ 1 5 ac = 5 ⋅ 1 5 ⋅ a 3 b 3 c = 1 ⋅ a 3 b 3 c = a 3 b 3 c .

Коэффициент равен \(1\), и этот коэффициент обычно не пишут, но подразумевают.

− 7 x 2 y 3 z ⋅ 1 7 x 5 y 2 z 2 = − 7 ⋅ 1 7 ⋅ x 7 y 5 z 3 = − 1 ⋅ x 7 y 5 z 3 = − x 7 y 5 z 3 .

Коэффициент равен \(-1\), и этот коэффициент тоже обычно не пишут, но подразумевают.

В этом уроке мы дадим строгое определение одночлена, рассмотрим различные примеры из учебника. Вспомним правила умножения степеней с одинаковыми основаниями. Дадим определение стандартного вида одночлена, коэффициента одночлена и его буквенной части. Рассмотрим два основных типовых действия над одночленами, а именно приведение к стандартному виду и вычисление конкретного численного значения одночлена при заданных значениях входящих в него буквенных переменных. Сформулируем правило приведения одночлена к стандартному виду. Научимся решать типовые задачи с любыми одночленами.

Простое математическое выражение, состоящее из произведения буквенного и численного множителя, называют одночленом. В его состав могут входить как натуральные, так и рациональные числа. По отношению к нему справедливы все алгебраические операции. Существует стандарт записи, согласно которому на первом месте пишется число, а за ним уже переменные. При этом основным параметром является коэффициент умножения.

Важность понятия
Общие сведения
Действия над выражениями
Принцип преобразования
Решения одночленов
Упрощение на онлайн-калькуляторе

Важность понятия

Пик развития математики пришёлся на XVI век, когда учёные разных стран начали обобщать известные сведения и формулировать различные теоремы и доказательства. Но перед этим появились такие понятия, как одночлен и многочлен. Запись уравнения или любой другой формулы, в которой не использовалось сложение или вычитание, получило название одночлен. А суммирование нескольких таких выражений или их разность назвали многочленом.

Карл Фридрих Гаусс, считающийся королём математиков, утверждал, что коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными. Свои доказательства этому он привёл в основной теореме алгебры. Из-за этого роль неизвестных в выражениях начала меняться. Буквенные обозначения стали не только символами, подменяющими числовые значения, но и начали заменять функции.

Таким образом, было принято, что любое математическое выражение состоит из совокупности одночленов. Ими могут быть:

единственные числа;
буквы;
буквенно-числовые произведения.

Изучение уравнений и равенств, состоящих из нескольких одночленов, стало главным объектом в развитии классической алгебры. С их преобразованием связаны такие разделы, как теория групп, анализ функций, изучение комплексных чисел, алгебраическая геометрия.

Над одночленами можно выполнять различные действия. Их можно возводить в корень с разным основанием, перемножать или делить между собой, возводить в степень. Это позволяет выполнять упрощения и приведения выражений к стандартной форме, что впоследствии облегчает вычисление многочленов.

Общие сведения

Алгебраическое выражение, в состав которого входит переменная и постоянная часть, объединённая произведением, принято называть одночленом. Фактически эта запись представляет умножение чисел и степеней неизвестных с натуральным показателем. Каждое неопределённое или известное число занимает одну позицию. Количество таких позиций неограниченно.

Если перед буквенным значением стоит цифра, то её называют коэффициентом одночлена. Он может быть как положительным, так и отрицательным. Когда коэффициент не указан, в зависимости от знака он принимается равным единице или минус единице. При этом понятие коэффициент зачастую применительно и к числу. Например, считают, что у числа девять он равен девяти.

Наиболее типичные записи рассматриваемого вида выражений имеют следующий вид:

23 — это обыкновенный одночлен, в составе которого нет переменных;
12 * f — выражение, состоящее из буквенного и цифрового числа;
-5 * d 2 — запись, содержащая степень;
12 * 3 5/6 * x 2 * y 4 — пример сложного порядка;
x * y — формула, в которой все коэффициенты равны единице.

Это всё стандартные виды одночлена, то есть выражения записаны в таком состоянии, что их упростить уже невозможно. Например, формула a 3 * 1*3 * b * 3 * а * b 3 хоть и является одночленом, но не считается записью стандартного вида. Всё дело в том, что её можно упростить. Кроме этого, её нужно переписать таким образом, чтобы числовой множитель стоял на первом месте, затем неизвестные и основания со степенными показателями. После преобразования получится выражение: 9 * a 4 * b 4 . Этот вид записи уже является стандартным. В нём одночленами считаются числа, переменные и степени.

Действия над выражениями

После умножения одночленов получается также одночлен, указываемый в стандартной записи. Для того чтобы выполнить операцию произведения, используют свойства умножения, а также правила действия со степенями. Умножить одно выражение на другое, значит, определить сумму слагаемых множителя, каждое из которых равно умножаемому.

Существует три закона умножения:

Сочетательный. Если нужно умножить два одночлена на третий, то можно сначала посчитать произведение первого на третий, а после результат умножить на второй член.
Переместительный. От перестановки множителей итог не изменится.
Распределительный. Для того чтобы умножить одночлен на сумму, нужно его отдельно перемножить с каждым суммирующимся членом, а после сложить результат. То есть одночлен превратится в многочлен. При этом этот закон справедлив и для разницы.

При умножении сложных выражений типовой операцией является упрощение записи. Но преобразовать возможно не все выражения. Например, пусть необходимо выполнить умножение одночленов: 2 * c * p 3 * s 5 (-7 * c 3 * p 2 ) = -14 * с 2 * p 5 * s 5 .

Деление происходит аналогичным образом. При этом действует правило, согласно которому частное одночленов можно упростить, но лишь в том случае, если делимое и делитель содержат одинаковые буквенные или числовые коэффициенты. В этом случае из показателя делителя отнимается значение степени делимого, коэффициент которого делят на количественный показатель делителя. Например, 12 * p 3 * d 4 * r 6 : 4 * p * d 2 * r 3 = 3 * p 2 * d 2 * r 3 .

Возведение в степень выполняют согласно правилам свойств степеней. Так как операция возведения это не что иное, как умножение члена самого на себя столько раз, сколько показывает число в показателе. Например, (3*с) 3 = (3*с) * (3*с) *(3*с). Используя правило умножения, выражение можно представить как (3 * 3 * 3) * (с * с * с). Последнюю запись же можно упростить до вида: (3 * 3 * 3) * (с * с * с) = 33 * c 3 = 9 * c * p 3 .

Таким образом, для того чтобы возвести выражение в степень, необходимо каждый множитель отдельно возвести в степень, а затем результаты перемножить. Это правило действует и для любых степеней, показатель которых натуральный. Закон применим и для дробного отношения, только после возведения числитель делят на знаменатель.

Принцип преобразования

Пусть имеется сложный одночлен, состоящий из ненулевых степеней, квадратов, дробных чисел и букв следующего вида: 5 * 7 * a * m * c7 * 3 *2/9 * 2 (1/7) * am * bn * c * x5 * 120. Тут следует обратить внимание, что дроби в выражении могут быть любого типа, кроме случая, когда в знаменателе будет стоять буква. Такая запись неудобна для восприятия и дальнейшего использования из-за хаотично расставленных подобных членов. Поэтому нужно преобразовать её к стандартному виду.

В основе способа упрощения одночлена лежат следующие принципы:

Если в записи встречается число, то оно обязательно пишется впереди и должно быть единственным в выражении.
Каждая буква, встречающаяся в формуле, должна повторяться только один раз, записанная в своей степени.
Буквы в одночлене записывают в алфавитном порядке.

При этом математиками было решено не писать знак умножения между числовым и буквенным множителем, а также между буквенными множителями, перемножающимися между собой.

Решения одночленов

Примеры для самостоятельной работы по преобразованию многочленов помогут понять, как правильно выполняются простые арифметические действия, что важно для решения последующих задач, связанных с многочленами.

Можно выделить следующие виды типовых заданий:

Пусть дан многочлен: 14 a 7 b 13 mt. Нужно определить степень одночлена, то есть сумму степеней входящих в выражение. Для рассматриваемого примера она будет равна: 7 + 13 + 1 + 6 = 20.
Необходимо записать результат перемножения двух выражений: 12a 7 c 5 d * 3b 9 c 6 d 7 k. Решение задания будет следующим: 12a 7 c 5 d * 3b 9 c 6 d 7 k = 36a 7 b 9 c 11 d 8 k.

Нужно найти ответ, получающийся после деления 16 a 7 b 5 k 14 m на 8 a 5 bk 3 . Итак, при делении получится следующее: 16 a 7 b 5 k 14 m / 8 a 5 bk 3 = 2a 2 b 4 k 11 m.

Сложение и вычитание одночленов допускается только в том случае, если буквенная часть у них одинаковая, включая степени. Например, 2 a 7 b 5 ck + 7a 7 b 5 ck = 9 a 7 b 5 ck или 9 p 5 — 3p 5 = 6p 5 . То есть действие выполняется только над коэффициентами.

Дан многочлен вида: 2a 7 b 5 kz 3 . Нужно возвести его в пятую степень. Согласно правилу, каждый член выражения возводится в степень отдельно. При этом следует помнить правило, что при возведении степени в степень показатели перемножаются. Ответ будет выглядеть следующим образом: (2a 7 b 5 kz 3 ) 5 = 32a 35 b 25 k 5 z 15 .

При выполнении различных действий с одночленом нужно знать всего лишь несколько правил и быть предельно аккуратным при вычислении. Особенно это важно для длинных выражений, состоящих из различного вида членов.

Упрощение на онлайн-калькуляторе

Привести одночлены к удобному виду, значит, упростить их до стандартной записи. Однако зачастую приходится иметь дело с выражениями большого порядка. При этом они могут включать в себя одновременно различные арифметические операции. Выполнять тождественные преобразования самостоятельно бывает довольно трудно, причём возникает вероятность допущения ошибки.

Поэтому использовать специализированные сайты, которые умеют быстро и безошибочно упрощать одночлены любого вида, не зазорно. Порталы предлагают свои услуги бесплатно и для решения примеров не требуют даже регистрации. Что интересно, кроме быстрого расчёта, пользователь, зашедший на такой ресурс, сможет увидеть всю цепочку упрощения, а при желании на страницах онлайн-калькулятора ознакомиться с теорией и основными определениями.

Из всего множества сайтов можно выделить следующие три:

Рекомендованные сайты имеют российский домен, а программы написаны русскими программистами. Поэтому проблем с пониманием, как пользоваться приложениями, возникнуть не должно. Интерфейс онлайн-калькуляторов не содержит нагромождения ненужной информации и интуитивно понятен. Ответ вычисляется буквально за несколько секунд, а используемые алгоритмы исключают возникновение ошибки.

Читайте также: