Какие одночлены называются подобными кратко

Обновлено: 08.07.2024

Сложить одночлены или вычесть один одночлен из другого можно только в том случае, если одночлены являются подобными. Если одночлены не подобные, в этом случае сложение одночленов можно записать в виде суммы, а вычитание в виде разности.

Подобные одночлены

Подобные одночлены — одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, но могут иметь разные или одинаковые коэффициенты (числовые множители). Одинаковые буквы в подобных одночленах должны иметь одинаковые показатели степени. Если у одной и той же буквы в разных одночленах степени не совпадают, то такие одночлены нельзя назвать подобными:

5ab 2 и -7ab 2 — подобные одночлены ;

5a 2 b и 5ab — не подобные одночлены .

Обратите внимание, что последовательность букв в подобных одночленах может не совпадать. Также одночлены могут быть представлены в виде выражения, которое можно упростить. Поэтому, прежде чем приступать к определению, подобны ли данные одночлены, или нет, стоит привести одночлены к стандартному виду. Например, возьмём два одночлена:

5abb и -7b 2 a.

Оба одночлена находятся в нестандартном виде, поэтому будет нелегко определить, являются ли они подобными. Чтобы это узнать, приведём одночлены к стандартному виду:

5ab 2 и -7ab 2 .

Теперь сразу видно, что данные одночлены являются подобными.

Два подобных одночлена, отличающиеся только знаком, называются противоположными. Например:

5a 2 bc и -5a 2 bc — противоположные одночлены.

Приведение подобных одночленов — это упрощение выражения, содержащего подобные одночлены, путём их сложения. Сложение подобных одночленов производится по правилам приведения подобных слагаемых.

Сложение одночленов

Чтобы сложить одночлены, надо:

Составить сумму, записав все слагаемые одно за другим.
Привести все одночлены к стандартному виду.
Раскрыть скобки, если они есть в выражении.
Привести подобные слагаемые. Для этого нужно:
1. сложить их численные множители;
2. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.
Пример 1. Сложить одночлены 12ab, -4a 2 b и -5ab.

Решение: Составим сумму одночленов:

12ab + (-4a 2 b) + (-5ab).

Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит, можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.

12ab - 4a 2 b - 5ab.

Теперь надо определить, есть ли среди слагаемых подобные одночлены и, если они есть, сделать приведение:

12ab - 4a 2 b - 5ab = (12 + (-5))ab - 4a 2 b = 7ab - 4a 2 b.

Пример 2. Сложить одночлены 5a 2 bc и -5a 2 bc.

Решение: Составим сумму одночленов:

5a 2 bc + (-5a 2 bc).

5a 2 bc - 5a 2 bc.

Эти два одночлена являются противоположными, то есть, отличаются только знаком. Значит, если мы сложим их численные множители, то получим нуль:

5a 2 bc - 5a 2 bc = (5 - 5)a 2 bc = 0a 2 bc = 0.

Следовательно, при сложении противоположных одночленов в результате получается нуль.

Общее правило сложения одночленов:

Чтобы сложить несколько одночленов, следует записать все слагаемые одно за другим с сохранением их знаков, отрицательные одночлены надо заключить в скобки и сделать приведение подобных слагаемых (подобных одночленов).

Вычитание одночленов

Чтобы произвести вычитание одночленов, надо:
1. Составить разность, записав все одночлены один за другим, разделяя их знаком - (минус).
2. Привести все одночлены к стандартному виду.
3. Раскрыть скобки, если они есть в выражении.
4. Сделать приведение подобных одночленов, то есть:
  1. сложить их численные множители,
  2. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.
  Пример. Найти разность одночленов 8ab 2 , -5a 2 b и -ab 2 .
  
  Решение: Составим разность одночленов:
  
  8ab 2 - (-5a 2 b) - (-ab 2 ).
  
  Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит, можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.
  
  8ab 2 + 5a 2 b + ab 2 .
  
  Теперь надо определить, есть ли среди одночленов подобные и, если они есть, сделать приведение:
  
  8ab 2 + 5a 2 b + ab 2 = (8 + 1)ab 2 + 5a 2 b = 9ab 2 + 5a 2 b.
  
  Общее правило вычитания одночленов:
  
  Для вычитания одного одночлена из другого следует к уменьшаемому одночлену приписать вычитаемый одночлен с противоположным знаком и сделать приведение подобных одночленов.
  
  Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных (букв).
  
  Подобные одночлены – это одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).
  
  Стандартный вид нулевого одночлена – это число 0.
  
  Правило приведения одночлена к стандартному виду:
  - перемножить все числовые множители;
  - поставить полученный коэффициент на первое место;
  - получить буквенную часть.
  Правило сложения (вычитания) подобных одночленов:
  - составить сумму (разность), записав все одночлены один за другим
  - привести все одночлены к стандартному виду
  - сложить (вычесть) их численные множители
  - после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений
  Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена.
  
  Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называют сумму показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.
  
  Основная литература:
  1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
  Дополнительная литература:
  
  Теоретический материал для самостоятельного изучения.
  
  Начнём с того, что введём новое понятие – стандартный вид одночлена.
  
  Стандартный вид одночлена – это такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных букв. При этом каждая буква участвует в записи один раз, а все буквы записаны в алфавитном порядке.
  
  Все представленные одночлены имеют стандартный вид, т. к. в начале одночлена стоит числовой множитель, а затем буквенные множители в алфавитном порядке.
  
  Стоит отметить, что числовой множитель в одночленах, записанных в стандартном виде, имеет своё название – коэффициент одночлена. (Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена).
  
  В наших примерах коэффициенты – это числа 12 и -1,2
  
  А одночлены 14ac 5 ax и 3k4k 2 записаны не в стандартном виде, так как числовые множители стоят не только в начале, а буквенные множители повторяются.
  
  Стоит отметить, что стандартный вид нулевого одночлена есть число ноль.
  
  Введём ещё одно понятие, характерное для одночленов – степень одночлена.
  
  Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называется сумма показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.
  
  12a 2 bc 3 – одночлен 6-й степени.
  
  xy 4 – одночлен 5-й степени
  
  1,2cp 8 – одночлен 9-й степени
  
  Если ни одной буквы в одночлене нет, а сам одночлен отличен от ноля, то его степень будет нулевой.
  
  Это одночлены 0 степени.
  
  У самого же числа 0 степень не определена, это единственный такой одночлен.
  
  Рассмотрим правило приведения одночлена к стандартному виду.
  
  Для этого нужно:
  
  • перемножить все числовые множители;
  
  • поставить полученный коэффициент на первое место;
  
  • получить буквенную часть, используя свойства степеней, так, чтобы буквы не повторялись, и были записаны в алфавитном порядке.
  
  Привести одночлен 4ac(-3)a 2 ck к стандартному виду.
  
  Здесь есть два числа и буквы повторяются. Найдём произведение чисел, оно равно минус двенадцати, по свойству степеней найдём степень буквы а, как сумму степеней один и два, и степень буквы c – она равна двум.
  
  Поставим полученное числовое значение в начало, буквенные множители запишем в алфавитном порядке.
  
  4ac(-3)a 2 ck = (4 · (-3))a 3 c 2 k = -12a 3 c 2 k
  
  Введём ещё одно понятие – подобные одночлены.
  
  Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).
  
  Например, 4a 2 c 2 x и -41a 2 c 2 x – подобные одночлены, так как отличаются лишь коэффициентами.
  
  4a 2 c 2 x и -41a 2 c 2 – не подобные одночлены, т.к. есть отличие в буквенных множителях.
  
  Для подобных одночленов можно найти сумму и разность.
  
  Рассмотрим правило сложения (вычитания) подобных одночленов.
  
  Чтобы сложить (вычесть) одночлены, надо:
  
  1. составить сумму (разность), записав все одночлены один за другим;
  
  2. привести все одночлены к стандартному виду;
  
  3. сложить (вычесть) их коэффициенты;
  
  4. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.
  
  Если сумма (разность) коэффициентов рана нулю, то сумма (разность) одночленов равна нулю.
  
  Например, найдём сумму (разность) подобных одночленов, используя правило.
  
  Т. к. одночлены приведены к стандартному виду, то остаётся только найти сумму или разность их коэффициентов, а затем приписать буквенные множители.
  
  Сумма подобных одночленов:
  
  4a 2 c 2 x + (-41a 2 c 2 x) = (4 + (-41))a 2 c 2 x = -37a 2 c 2 x
  
  Разность подобных одночленов:
  
  4a 2 c 2 x - (-41a 2 c 2 x) = (4 - (-41))a 2 c 2 x = 45a 2 c 2 x
  
  Итак, сегодня мы получили представление о стандартном виде одночлена и научились находить сумму и разность подобных одночленов.
  
  Действия над одночленами.
  
  Усложним задачу. Приведём подобные одночлены:
  
  -(-7)aaa · (bc 2 ) 3 · (2ak) 5 + 2a 8 b 3 c 6 k 5 – 2a 7 b 3 7c 6 k 5 a
  
  Для этого мы должны воспользоваться свойствами степеней и свойствами одночленов, рассмотренными ранее. Кроме того, нужно привести одночлены к стандартному виду, т.е. в каждом одночлене сначала записать числовой множитель, а затем буквенные в алфавитном порядке.
  
  Возьмём первый одночлен и приведём его к стандартному виду. Произведение чисел будет равно 448. Буква а имеет 3 и 5 степень, найдём сумму этих степеней, она равна 8. Далее рассмотрим букву b, её степень находится как произведение степени 1 и 3, т.е. степень буквы b равна 3. Далее рассмотрим букву с, её степень находится как произведение степени 2 и 3, т. е. степень буквы с равна 6.
  
  Далее рассмотрим букву k, её степень находится как произведение степени 1 и 5, т.е. степень буквы k равна 5. Итак, первый одночлен в стандартном виде выглядит так: 448a 8 b 3 c 6 k 5
  
  Второй одночлен записан в стандартном виде.
  
  Третий одночлен приведём, аналогично первому, к стандартному виду. Итак, третий одночлен в стандартном виде выглядит так: 14a 8 b 3 c 6 k 5 .
  
  А теперь найдём сумму и разность данных подобных одночленов.
  
  -(-7)aaa · 2(bc 2 ) 3 · (2ak) 5 + 2a 8 b 3 c 6 k 5 – 2a 7 b 3 7c 6 k 5 a = 448a 8 b 3 c 6 k 5 + 2a 8 b 3 c 6 k 5 – 14a 8 b 3 c 6 k 5 = (448 + 2 – 14)a 8 b 3 c 6 k 5 = 436a 8 b 3 c 6 k 5
  
  Таким образом, мы привели подобные одночлены.
  
  Разбор заданий тренировочного модуля.
  
  №1. Найдите одночлен, равный сумме одночленов 5ах + 2ах
  
  Для выполнения задания нужно воспользоваться правилом сложения подобных одночленов. Для этого найдём сумму коэффициентов, а множители из букв перепишем. Получается 5ах + 2ах = (5 + 2)ах = 7ах. Это и есть правильный ответ.
  
  Для выполнения задания, нужно вспомнить свойства степеней (при возведении в степень показатели степеней перемножаются) и правило приведения одночлена к стандартному виду (коэффициент стоит в начале одночлена, а буквы записаны в алфавитном порядке). Поэтому возведём в степень число и буквы и выстроим буквы в алфавитном порядке.
  
  Два ненулевых одночлена называются подобными, если после приведения их к стандартному виду они совпадают или отличаются только числовыми коэффициентами.
  
  Используя определение, нам нужно выбрать из предложенных одночленов те, которые подобны одночлену \(\displaystyle y\cdot \fracy^\cdot y\)
  
  Поскольку одночлен \(\displaystyle y\cdot \fracy^\cdot y\) записан не в стандартном виде, то мы должны сначала привести его к стандартному виду:
  
  Далее мы должны привести к стандартному виду каждый из предложенных для сравнения одночленов, а затем проверить, отличаются ли они от одночлена \(\displaystyle \fracy^\) только коэффициентом.
  
  1. Одночлен \(\displaystyle 13y^\cdot y \cdot 2 \cdot y\)
  
  Приведем его к стандартному виду:
  
  Если бы одночлены \(\displaystyle 26y^\) и \(\displaystyle \fracy^\) отличались только числовыми коэффициентами, то они были бы равны после отбрасывания этих коэффицентов:
  
  В обоих случаях мы получили \(\displaystyle y^\) и, значит, одночлены \(\displaystyle \fracy^\) и \(\displaystyle 13y^\cdot y \cdot 2 \cdot y\) подобны.
  
  Этот одночлен уже записан в стандартном виде, значит, нужно только сравнить его с одночленом \(\displaystyle \fracy^\)
  
  Если бы одночлены \(\displaystyle 03y^\) и \(\displaystyle \fracy^\) отличались только числовыми коэффициентами, то они были бы равны после отбрасывания этих коэффицентов:
  
  Однако \(\displaystyle y^> =\not y^>, \) так как у одночленов отличаются показатели степеней.
  
  Таким образом, одночлены \(\displaystyle \fracy^\) и \(\displaystyle 03y^\) не подобны.
  
  Данное выражение не является одночленом, поскольку содержит дробь, в знаменателе которой стоит переменная. Значит, это выражение не может быть подобно ни одному одночлену. И, следовательно, не подобно одночлену \(\displaystyle \fracy^\)
  
  4. Одночлен \(\displaystyle y\cdot \fracy^\cdot y^\)
  
  Приведем его к стандартному виду:
  
  Если бы одночлены \(\displaystyle \fracy^\) и \(\displaystyle \fracy^\) отличались только числовыми коэффициентами, то они были бы равны после отбрасывания этих коэффицентов:
  
  Однако \(\displaystyle y^> =\not y^>, \) так как одночлены отличаются показателями степеней.
  
  Таким образом, одночлены \(\displaystyle \fracy^\) и \(\displaystyle y\cdot \fracy^\cdot y^\) не подобны.
  
  5. Одночлен \(\displaystyle y\cdot 03y^\cdot 100 \cdot y^\)
  
  Приведем его к стандартному виду:
  
  Если бы одночлены \(\displaystyle 30y^\) и \(\displaystyle \fracy^\) отличались только числовыми коэффициентами, то они были бы равны после отбрасывания этих коэффицентов:
  
  В обоих случаях мы получили \(\displaystyle y^\) и, значит, одночлены \(\displaystyle \fracy^\) и \(\displaystyle y\cdot 03y^\cdot 100 \cdot y^\) подобны.
  
  Одночлены с одинаковыми буквенными частями называют подобными.
  
  Если одночлены состоят из одинаковых переменных в одинаковых степенях, то они являются подобными.
  
  buzz
  05.10.2019 оставил(а) комментарий:
  
  Если одночлены состоят из одинаковых переменных в одинаковых степенях, то они являются подобными. Коэффициенты одночленов при этом могут различаться. Примеры подобных одночленов:
  
  Читайте также:

Какие одночлены называются подобными кратко

Подобные одночлены

Сложение одночленов

Вычитание одночленов