Какие обыкновенные дроби выражаются только приближенными десятичными кратко

Обновлено: 25.06.2024

Учебное пособие по теме "Развитие понятия о числе" разработано в соответствии с Рабочей программой общеобразовательной учебной дисциплины ОДП.10 Математика.

Учебное пособие содержит:

ü теоретический материал;

ü практический материал для освоения основных, предусмотренных стандартом, умений и накопления опыта в использовании приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни;

ü контрольные вопросы и задания.

Вложение	Размер
Учебное пособие по теме "Развитие понятия о числе"	48.55 КБ

Предварительный просмотр:

Создатели курса: Ирина Валентиновна Маслова

Профессия 19.01.17 Повар, кондитер

Специальность 19.02.10 Технология продукции общественного питания

Тема 1. Развитие понятия о числе

Аннотация : Учебное пособие разработано в соответствии с Рабочей программой общеобразовательной учебной дисциплины ОДП.10 Математика.

Учебное пособие содержит:

теоретический материал;
практический материал для освоения основных, предусмотренных стандартом, умений и накопления опыта в использовании приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни;
контрольные вопросы и задания.

Тема 1. Развитие понятия о числе

N – множество натуральных чисел

R – множество всех

Z – множество целых чисел

Q – множество рациональных чисел

I – множество иррациональных чисел

Обыкновенная дробь – это число вида , где m и n – натуральные числа. Число m называется числителем дроби, n – знаменателем.

Всякое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Дробь называется правильной , если её числитель меньше знаменателя, и неправильной , если её числитель больше знаменателя или равен ему.

Основное свойство дроби : если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

Десятичная дробь – это любая числовая дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и вообще 10 n .

В виде десятичной дроби можно представить любую обыкновенную дробь, знаменатель которой является делителем некоторой степени числа 10.

Десятичная запись — это форма записи десятичных дробей, где целая часть отделяется от дробной с помощью обычной точки или запятой. При этом сам разделитель (точка или запятая) называется десятичной точкой .

Бесконечная десятичная дробь – после запятой содержится бесконечно много десятичных знаков.

Теорема. Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

Последовательно повторяющаяся группа цифр (минимальная) после запятой в десятичной записи числа называется периодом , а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической . Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки:

0,2121…= 0, (21) – чистая периодическая дробь , так как период начинается сразу после запятой;

2,3454545…= 2,3(45); 2, 73 = 2,73000…= 2,73(0) – смешанные периодические дроби , так как между запятой и периодом есть другие десятичные знаки.

Стандартный вид положительного действительного числа.

Любое положительное число a можно представить в виде ∙ 10 n , где , а n – целое число.

Показатель n называют порядком числа .

а = 395 = 3,95∙10 2 ;

а = 4,13 = 4,13∙10 0 ;

а = 0,0023 = 2,3∙10 -3 .

Приближённые значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности.

При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают.

Если первая следующая за этим разрядом цифра больше или равна пяти , то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1 .

Если же первая следующая за этим разрядом цифра меньше 5 , то последнюю оставшуюся цифру не изменяют .

Приближённые значения появляются не только при округлении чисел. Чаще они возникают при различных измерениях (длин, масс, температур и т.д.). При этом важно знать, с какой точностью выполнено измерение.

Пусть а – приближённое значение числа .

Абсолютной погрешностью приближенного значения числа называется модуль разности чисел и а , то есть .

Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения. Относительную погрешность обычно выражают в процентах, то есть

Пример. Взвесив кондитерское изделие, масса которого равна 54,12705 г, на весах с ценой деления шкалы 0,1 г, получили приближённое значение массы 54,1 г. Найти абсолютную и относительную погрешности этого приближённого значения.

Если абсолютная погрешность приближённого значения а , найденного для интересующего числа , не превосходит некоторого числа h , то пишут ; говорят, что а – приближённое значение числа с точностью до h .

Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку.

Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, причём периодической , если число рациональное , и непериодической , если число иррациональное .

– десятичное приближение числа с точностью до 0,001 по недостатку;

– десятичное приближение числа с точностью до 0,001 по избытку;

2. Задачи на проценты, растворы и концентрацию

Процент – это сотая часть от числа.

Чтобы перевести проценты в дробь , нужно убрать знак % и разделить число на 100.
Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %. (0,14 = 0,14·100% = 14%)
Чтобы перевести обыкновенную дробь в проценты , нужно сначала превратить её в десятичную дробь. (

Перевод дробей в проценты.

Проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов.

На этом видеоуроке мы выясним, что называют десятичным приближением обыкновенной дроби. Узнаем, как можно найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного разряда.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Десятичное приближение обыкновенной дроби"

Представим себе такую историю…

– Саша, чем ты занимаешься? – поинтересовался у друга Паша.

– Да я сегодня катался на велосипеде, – начал Саша. – Представляешь, я проехал 43 километра за 3 часа.

– Ну ты и гоняешь! – удивился Паша.

– Вот решил посчитать, с какой скоростью я проехал свой путь, – задумался Саша.

– Ну, тут же нет ничего сложного, – сказал Паша. – Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время.

– Да, я уже поделил всё, – сказал Саша, – но число какое-то уж слишком большое получилось.

– И какая же скорость у тебя вышла? – спросил Паша.

– Вот, смотри, – ответил Саша, – получилось, что я ехал со скоростью 14,333…

– Да уж! И вправду странная скорость вышла, – задумался Паша. – Помнишь, мы научились округлять натуральные числа и десятичные дроби? Может, и бесконечные периодические дроби можно тоже как-нибудь округлить? Давай спросим у Мудряша.

– Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Выполняя вычисления с бесконечными периодическими дробями, удобно пользоваться их приближениями, которые получают при округлении бесконечных десятичных дробей до определённого разряда. В результате округления получается конечная десятичная дробь, которую называют десятичным приближением обыкновенной дроби. Число, которое образуется после округления, тем точнее, чем больше десятичных знаков в приближении.

– А ты научишь нас округлять бесконечные периодические дроби? – спросили мальчишки.

– Конечно! – согласился Мудряш. – Но для начала давайте вспомним, как мы округляли десятичные дроби. И давайте для примера округлим следующие десятичные дроби: – до десятых; – до сотых.

– Первая дробь — 152,268, – начал Саша. – Нужно округлить её до десятых. Мы помним, что для того, чтобы десятичную дробь округлить до единиц, десятых, сотых и так далее, надо все следующие за этим разрядом цифры отбросить. Если первая из отбрасываемых цифр равна 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя из оставшихся цифр увеличивается на 1. Чтобы округлить до десятых, нам нужно откинуть последние 2 цифры. Первая цифра, которую мы откинули, равна 6, значит, цифру в разряде десятых увеличим на 1. Получим 152,3.

– Вторая дробь — 42,35154, – продолжил Паша. – Эту дробь нам нужно округлить до сотых. Чтобы десятичную дробь округлить до нужного разряда, надо все следующие за этим разрядом цифры отбросить. Если при этом первая из цифр, которые мы отбрасываем, равна 0, 1, 2, 3 или 4, то последняя из оставшихся цифр не меняется. Итак, отбросим последние 3 цифры. Первая отбрасываемая цифра равна 1, значит, увеличивать цифру 5 не надо. Получим 42,35.

– А теперь перейдём к округлению, – сказал Саша. – Сначала нам нужно эту периодическую дробь округлить до единиц. Для этого нам нужно отбросить все цифры, которые стоят после целой части. Первая отбрасываемая цифра равна 5, значит, цифру в разряде единиц увеличим на 1. Получим 2.

– Затем округлим полученную периодическую дробь до десятых, – продолжил Паша. – Нам нужно откинуть все цифры, которые стоят после разряда десятых. Первая из отбрасываемых цифр равна 8. Значит, цифру в разряде десятых увеличим на 1. Получим десятичную дробь 1,6.

– Теперь округлим нашу периодическую дробь до сотых, – сказал Саша. – Отбрасываем все цифры, которые стоят после разряда сотых. Первая отбрасываемая цифра равна 3. Значит, цифру в разряде сотых не меняем. Получим десятичную дробь 1,58.

– И осталось округлить нашу периодическую дробь до тысячных, – продолжил Паша. – Для округления нам необходимо отбросить все цифры, которые стоят после разряда тысячных. Первая из отбрасываемых цифр равна 3. Следовательно, цифру в разряде тысячных увеличивать не надо. Получим десятичную дробь 1,583.

– Рассмотренный пример иллюстрируют следующее правило, – сказал Мудряш. – Запомните! Чтобы найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного разряда, надо:

во-первых, выполнить деление до следующего разряда;

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: найдите десятичное приближение до указанного разряда: а) – до десятых; б) – до десятых; в) – до сотых; г) – до тысячных.

Получим десятичную дробь 0,23. А теперь округлим эту дробь до десятых. Для этого отбросим сотые. При этом отбрасываемая цифра равна 3, значит, цифру, стоящую в десятых, увеличивать не нужно. Получим десятичную дробь нуль 0,2.

Получим десятичную дробь 3,14. В разряде сотых стоит 4. Значит, округляемый разряд увеличивать не нужно. Получим дробь 3,1.

Получим десятичную дробь 0,307. Отбросим разряд тысячных. Так как после округляемой цифры стоит 7, то округляемый разряд увеличиваем на 1. Получим 0,31.

Получим десятичную дробь 0,6666. Отбросим разряд десятитысячных. Там стоит 6, значит, округляемый разряд нужно увеличить на 1. Получим 1,667.

Следующее задание: найдите корень уравнения с точностью до сотых: а) ; б) .

И последнее задание: площадь прямоугольника равна 2730 м 2 , а длина одной из сторон этого прямоугольника равна 55 метрам. Найдите длину другой стороны прямоугольника. Ответ округлите до сотых метра.

Решение: мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон. Выразим из этой формулы неизвестную сторону. Получим, что вторая сторона равна частному 2730 и 55. Выполним деление уголком до разряда тысячных. Получим десятичную дробь 49,633. В разряде тысячных стоит 6. Значит, разряд сотых увеличим на 1. Тогда получим, что вторая сторона 49,64 метра.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Десятичное приближение обыкновенной дроби

Саша, чем ты занимаешься?
Я сегодня катался
на велосипеде.
Представляешь,
я проехал 43 км за 3 ч.

Вот решил посчитать,
с какой скоростью
я проехал свой путь.
Ну ты и гоняешь!

Да, я уже поделил всё.
Но число какое-то уж слишком большое получилось.
Ну, тут же нет
ничего сложного.
Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время.

Получилось,
что я ехал со скоростью 14,333… км/ч.
Да уж! И вправду странная скорость вышла.

Помнишь, мы научились округлять натуральные числа и десятичные дроби?
Может, и бесконечные периодические дроби можно тоже как-нибудь округлить?

Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте немного разомнёмся
и выполним устные задания.

Устный счёт
Сверимся?
0,(4)
0,433(12)
0,(42)
0,42(74)
Укажите период дроби:
0,444…
0,424242…
период
период
период
период
0,427474…
0,4331212…

Выполняя вычисления с бесконечными периодическими дробями, удобно пользоваться их приближениями, которые получают при округлении бесконечных десятичных дробей
до определённого разряда.
43 3
=14,333…
43,0000
3
14,333…
3
−
13
12
10
−
9
10
9
−
1…
−
10
9
−

43 3
=14,333…
43,0000
3
14,333…
3
−
13
12
10
−
9
10
9
−
1…
−
10
9
−
В результате округления получается конечная десятичная дробь, которую называют десятичным приближением обыкновенной дроби.
Число, которое образуется после округления, тем точнее, чем больше десятичных знаков в приближении.
А ты научишь нас округлять бесконечные периодические дроби?

Округлите следующие десятичные дроби: 152,268 – до десятых; 42,35154 – до сотых.
Округление десятичных дробей
152,268
42,35154
Если первая из отбрасываемых цифр равна 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя из оставшихся цифр увеличивается на единицу.
152,268
≈152,3
Если первая из отбрасываемых цифр равна 0, 1, 2, 3 или 4, то последняя из оставшихся цифр не меняется.
42,35154
≈42,35

Преобразуйте обыкновенную дробь 19 12 в периодическую.
А затем округлите полученную периодическую дробь до единиц, десятых, сотых и тысячных.
Округление периодических дробей
19 12
=1 7 12
Это неправильная дробь, так как числитель больше знаменателя.

Округление периодических дробей
19 12
=1 7 12
Теперь выполним деление уголком числителя на знаменатель.
7,0000
12
0,5833…
60
−
100
96
40
−
36
40
36
−
−
4…
=1,5833…
Преобразуйте обыкновенную дробь 19 12 в периодическую.
А затем округлите полученную периодическую дробь до единиц, десятых, сотых и тысячных.

,5833…
,5833…
Округление периодических дробей
19 12
=1 7 12
Первая отбрасываемая цифра равна 5, значит, цифру в разряде единиц увеличим на единицу.
=1,5833…
Преобразуйте обыкновенную дробь 19 12 в периодическую.
А затем округлите полученную периодическую дробь до единиц, десятых, сотых и тысячных.
1
≈2

833…
833…
Округление периодических дробей
19 12
=1 7 12
Первая из отбрасываемых цифр равна 8, значит, цифру в разряде десятых увеличим на единицу.
=1,5833…
Преобразуйте обыкновенную дробь 19 12 в периодическую.
А затем округлите полученную периодическую дробь до единиц, десятых, сотых и тысячных.
1
,5833…
≈2
1,
5
≈1,6

33…
33…
Округление периодических дробей
19 12
=1 7 12
Первая отбрасываемая цифра равна 3, значит, цифру в разряде сотых не меняем.
=1,5833…
Преобразуйте обыкновенную дробь 19 12 в периодическую.
А затем округлите полученную периодическую дробь до единиц, десятых, сотых и тысячных.
1
,5833…
≈2
1,
5
833…
≈1,6
1,5
8
≈1,58

3…
3…
Округление периодических дробей
19 12
=1 7 12
Первая из отбрасываемых цифр равна 3, значит, цифру в разряде тысячных увеличивать не надо.
=1,5833…
Преобразуйте обыкновенную дробь 19 12 в периодическую.
А затем округлите полученную периодическую дробь до единиц, десятых, сотых и тысячных.
1
,5833…
≈2
1,5
8
33…
≈1,58
1,58
3
≈1,583
1,
5
833…
≈1,6

Округление периодических дробей
19 12
=1 7 12
Первая из отбрасываемых цифр равна 3, значит, цифру в разряде тысячных увеличивать не надо.
=1,5833…
Полученные числа 2; 1,6; 1,58 и 1,583 называют десятичным приближением до единиц, десятых, сотых и тысячных соответственно дроби 19 12 .
1
,5833…
≈2
1,58
3
3…
≈1,583
19 12
19 12
19 12
19 12
1,
5
833…
≈1,6
1,5
8
33…
≈1,58

Чтобы найти десятичное приближение
обыкновенной дроби до нужного разряда, надо:
1) выполнить деление до следующего разряда;
2) полученную конечную десятичную дробь
или бесконечную периодическую десятичную дробь
округлить до нужного разряда по обычным правилам округления.
Если отбрасываемый разряд содержит цифры 0, 1, 2, 3, 4,
то разряд, до которого округляют, не изменяют.
Если отбрасываемый разряд содержит цифры 5, 6, 7, 8, 9,
то его отбрасывают, а разряд, до которого округляют,
увеличивают на единицу.
Запомните!

Задание № 1
Решение:
Если отбрасываемый разряд содержит цифры 0, 1, 2, 3, 4,
то разряд, до которого округляют, не изменяют.
Найдите десятичное приближение до указанного разряда:
а) 4 17 – до десятых; б) 3 4 27 – до десятых;
в) 4 13 – до сотых; г) 1 2 3 – до тысячных.
а) 4 17
≈0,23…
б) 3 4 27
в) 4 13
г) 1 2 3
≈0,2
≈3,14…
≈3,1
≈0,307…
≈0,31
Если отбрасываемый разряд содержит цифры 5, 6, 7, 8, 9,
то разряд, до которого округляют, увеличивают на единицу.
≈1,6666…
≈1,667

Если отбрасываемый разряд содержит цифры 0, 1, 2, 3, 4,
то разряд, до которого округляют, не изменяют.
Если отбрасываемый разряд содержит цифры 5, 6, 7, 8, 9,
то разряд, до которого округляют, увеличивают на единицу.
Задание № 2
Решение:
Найдите корень уравнения с точностью до сотых:
а) 19𝑥=25; б) 7 :𝑦=57.
а) 19𝑥=25
б) 7 :𝑦=57
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
𝑥=25 :19
𝑥≈1,315…
𝑥≈1,32
𝑦=7 :57
𝑦≈0,122…
𝑦≈0,12
Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.

Задание № 3
Решение:
Площадь прямоугольника равна 2730 м2,
а длина одной из сторон этого прямоугольника равна 55 м.
Найдите длину другой стороны прямоугольника.
Ответ округлите до сотых метра.
𝑏=𝑆 :𝑎
𝑆=𝑎𝑏
𝑏=2730 :55
≈49,636…
Если отбрасываемый разряд содержит цифры 5, 6, 7, 8, 9,
то разряд, до которого округляют, увеличивают на единицу.
≈49,64
Ответ: вторая сторона – 49,64 м.

Итоги урока
Чтобы найти десятичное приближение
обыкновенной дроби до нужного разряда, надо:
1) выполнить деление до следующего разряда;
2) полученную конечную десятичную дробь
или бесконечную периодическую десятичную дробь
округлить до нужного разряда по обычным правилам округления.
Если отбрасываемый разряд содержит цифры 0, 1, 2, 3, 4,
то разряд, до которого округляют, не изменяют.
Если отбрасываемый разряд содержит цифры 5, 6, 7, 8, 9,
то его отбрасывают, а разряд, до которого округляют,
увеличивают на единицу.

С избытком - округляемый разряд увеличивается на 1 (не смотря на первую отбрасываемую цифру), справа стоящие цифры обращаем в нули.

ЗАПОЛНИМ СООТВЕТСТВУЮЩУЮ ТАБЛИЦУ:

Округление до 0,1

КАК НАЙТИ ДЕСЯТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ?

Чтобы найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного разряда, надо:

НА ОДНОМ ИЗ ОБЪЕКТОВ ХИМИЧЕСКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ, ГДЕ В БОЛЬШОМ КОЛИЧЕСТВЕ ИМЕЮТСЯ ЯДОВИТЫЕ ВЕЩЕСТВА, ПРОИЗОШЛА АВАРИЯ. НЕОБХОДИМО ВЫВЕЗТИ ЗА ПРЕДЕЛЫ ОПАСНОЙ ЗОНЫ 365 РАБОТНИКОВ ЗАВОДА. СКОЛЬКО ПОНАДОБИТСЯ МИКРОАВТОБУСОВ, ЧТОБЫ ЭВАКУИРОВАТЬ ВСЕХ РАБОТНИКОВ, ЕСЛИ В ОДНОМ МИКРОАВТОБУСЕ ВСЕГО 15 ПОСАДОЧНЫХ МЕСТ?

НА ПОШИВ ЗАЩИТНОГО КОСТЮМА ДЛЯ СПАСАТЕЛЯ РАСХОДУЕТСЯ 2,4 М ТКАНИ. СКОЛЬКО ЗАЩИТНЫХ КОСТЮМОВ МОЖНО СШИТЬ ИЗ 64 М ТКАНИ?

Читайте также: