Как решается задача оптимизации числа постов на сто с помощью теории вероятности кратко

Обновлено: 04.07.2024

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

. Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

.

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

В нашем случае .

. В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

э л е к т ро с н а б ж е ния : у ч е б ное по с о б ие . – Б л аг о в е щ е н ск : А м у р с к ий г ос . ун - т , 2007 .

1 . 6 . П ри ме ры р е ш е ния з а д ач , в о з ни к а ю щ их в с и с т ем ах э л е к т р о с н а б ж е ния ,

2 . 5 . П ри ме ры р е ш е ния пр а к т и ч ес к их з а д ач с и с т ем э л е к т ро с н а б ж е ния ,

Г л а ва 3 . С т а т и с т и ч ес к ие и сс л е д о в а ния на у ро в не с лу ч а йн ых в е л и ч ин . 119

3 . 1 . З а д а чи , р е ш аем ые с по м о щ ью ме т о д ов ма т ема т и ч ес к ой с т а т и с т и ки в

3 . 4 . О пр е д е л е ние оц е нок ч и с ло в ых х а р а к т е ри с т ик с л у ч а й н ой в е ли ч ины 132

4 . 3 . О ц е н ка н а д е жно с ти п е р е д а чи э л е к т р о э н е р г ии по т р е б и т е л ям . 167

4 . 4 . А н а лиз с оо тв е т с т в ия к а ч ес т ва э л е к т ро э н е р г ии т р е б о в а ни ям Г О СТ

Час ть 2 . М е т о ды оп т и м и з а ции в з а д а ч ах с и с т ем э л е к т ро с н а б ж е ния . 222

И н ж е н е рное тв о р ч ес т во н ем ы с ли мо б ез ма т ема т и ки , н е з а в и с и мо от т о го ,

к а к ой ч ас т ью т е х н и ки о но з а ни мае т ся . Но ма т ема т и ка о б ш ирна , в к л ю ч ает в

се бя и э л еме н т а р н ую , и в ы с ш ую , и в ы ч и с ли т е л ь н ую ма т ем а т и ку . Н ужно ли

з н а ть в сю ма т ема т и ку и нж е н е ру - э л е к т р и ку ? Н а в е рное , н ет . Н е о б х о д и мо

о с но в а т е л ь но з н а ть те ме т о ды и п р и емы ма т ема т и ки , к о т орые п ри ме н я ю т ся в

э л е к т ро э н е р г е т и ке . Д ля т о го , ч т о бы с т а ть к в а л и ф ицир о в а нным с п е ци а л и с т ом ,

с л е д у ет и з у ч и ть д и с цип л ины , по з в о л я ю щ ие о в л а д е ть про ф есс и ей . В н их

т е х ни ч ес к им з а д а ч ам . Ч т о бы пон я ть с о д е рж а ние с п е ци а л ь н ых д и с ц и плин ,

о с но вы ма т ема т и ч ес к о го м ы ш л е ния и нж е н е ра , и п ри к л а д ной ( инж е н е р н ой )

ма т ема т и к ой , с л у ж а щ ей а п п а р а т ом д ля р е ш е ния з а д ач , в о з ни к а ю щ их в

с д е л а на попы т ка с в я з а ть ма т ема т и ку , к ак о б щ е т е ор е т и ч ес к ую д и с ципли ну , с

пр а к т и ч ес к им ее при ме н е ни ем в р а б о те инж е н е ра и д а ть к он к р е т ный а пп а р ат

д ля инж е н е рн ых и сс л е д о в а н ий , б а з иру ю щ и х ся на т е ор ии в е ро я т но с т ей и

М а т ема т и ч ес к ая к у л ь т у ра – э то у ме н ие д а ть пр а в и л ь н ую оц е н ку т о го , ч то

ма т ема т и ка м ож ет и ч его она не м ож ет , к а к о вы г р а н ицы п р и ме н е ния р а з ли ч ных

ма т ема т и ч ес к их и сс л е д о в а ни ях . Н а у ч и т ь ся пр е д о с т е р е чь се бя от п е р е оц е н ок

э т ом п ол у ч а ть с оо т в е т с т в у ю щ им р а с ч е т ом ма т ема т и ки а б с ол ю т но с т ро г ие

р е з у л ь т а ты , не и м е ю щ ие н и к а к о го р е а л ь но го см ы с ла д ля инж е н е ра . С э т и ми

с оо б р а ж е ни ями с в я з а но о с но в н ое поло ж е ние , к о т орое н е о б хо д и мо у с в о и ть .

и з у ч ен ия р е а л ь н о го и б е с к о не ч но с л ож н о го я в л ен ия , не о б х о д и мо э то я в л ен ие

проа н а л и з и р о в а ть и в ыд е л и ть е го г л а в ную ч а с ть , к о т о рая пр е д с т а в л я ет

у с л о в и ям ц е л ей и сс л е д о в а ния , в с е г да о с т ае т ся ц е н т р а л ь н ой з а д а ч ей

ма т ема т и ки . О т с т у пл е ния от р еа л ь н ой м о д е ли м о г ут пр и в ес ти и нж е н е ра к

И т ак , при пр а в ил ь ной по с т а н о в ке и сс л е д о в а ний н е о б хо д и мо опр е д е л е н ие

П ри и з у ч е нии т е х н и ч ес к их з а д ач и ф и з и ч ес к их я в л е ний т о ч ные ( в см ы с ле

проц е д уры р е ш е ния ) р е з у л ь т а ты , п о лу ч е нные от к а к о го - л и бо р ас ч е т н о го

у с т рой с т ва , не га р а н т и р у ют с о в п а д е ния с д е й с тв и т е л ь н ы ми . И нж е н ер д о л ж ен

с опо с т а в и ть р е з у л ь т а ты а н а ли т и ч ес к их и сс л е д о в а ний с р е з у л ь т а т ами оп ы та .

ф а к т ор ов , т а к ое пр ям ое с опо с т а в л е н ие е д ини ч н ых р ас ч е т ов с опы т ом з а ч ас т ую

м ож ет д а ть с о в е р ш е нно н е х а р а к т е р ные р е з у л ь т а ты . Н е о б х о д и мо у ч ес ть , ч то в

т е х ни ч ес к ой с и с т еме , по д в е рж е н н ой в ли я нию м но г их ф а к т ор ов , и н т е н с и в но

в ли я ю щ их на х а р а к т ер ее п о в е д е ния , в з а в и с и м о с ти от с о ч е т а ний э т их ф а к т о р ов

и с л у ч а й н ых у с ло в ий м о г ут по л у ч а т ь ся с у щ ес тв е н но р а з ли ч ные р е з у л ь т а ты .

П о э т о му н ес о в п а д е ние р е з у л ь т а т ов и ли с о в п а д е ние е д и н и ч но го р ас ч е та и

опы та не м ож ет х а р а к т е ри з о в а ть н е пр а в ил ь но с ть и ли пр а в и л ь но с ть т е о рии и

прои з в о д и т ь ся с у ч е т ом в а р и а ций в п а р а ме т р ах , в к р и т е ри а л ь ной ф ор ме .

П он я т ие и нж е н е рн ой с т р о г о с ти по с т а н о в ки з а д а чи и т о ч но с ти р ас ч е та

р а з ли ч ны . П е р в ое в ы т е к ает из по с т а в л е нн ых при и сс л е д о в а н ии ц е л ей и

опр е д е л яе т ся по с т а н о в к ой з а д а чи и н е о б х о д и м о с т ью по л у ч е ния по с ле ее

р е ш е ния н у ж ных д ля пр а к т и ки р е з у л ь т а т ов . В т орое – т о ч но с т ью в ы б р а нно го

С т ро г о с ть в и н ж е н е рн ых з а д а ч ах не м о ж ет о п р е д е л я т ь ся в не оп ы та , в не

у р а в н е ний ; н е л ь зя т а к же с ч и т а ть , ч то с т ро г о с ть по л у ч е нн ых р е з у л ь т а т ов т ем

и с т инн ых т е ор ем . П ри э т ом и с п ол ь з у ют д е д у к т и в н ый с по с об ( от о б щ его к

ч ас т но му ) , т . е . из а к с иом и т е ор ем , пр а в и л ь но с ть к о т ор ых у же д о к а з а на ,

в ы в о д я т ся н о в ые т е ор емы и а к с ио мы ч и с то ло г и ч ес к им п у т ем . В к а ч ес т ве

ин д у к ция ( от ч а с т но го к о б щ ему ) . С л е д о в а т е л ь но , в ч и с т ой ма т ема т и ке ме т од

С ин т е т и ч ес к ий х а р а к т ер м а т ема т и ч ес к о го ме т о да п р о я в л яе т ся в в ы б о ре

ма т ема т и ч ес к их р ас с у ж д е ни ях р а з р е ш а е т ся и с пол ь з о в а ть пон я т ия л и шь в т ом

см ы с ле , к а к ой в лож ен в них о пр е д е л е ни ем . Б ол ее т о го , из сам о го о п р е д е л е ния

и с к л ю ч а е т ся в се то , ч то м ож ет д о п у с т и ть н е о д но з н а ч ное и с т ол к о в а ние .

ма т ема т и ч ес к их з а д ач , в о з н и к а ю щ их на пр а к т и ке , т . е . в не ма т ема т и ки .

П р и к л а д н ая ма т ема т и ка – э то ма т ема т и ка , опо с р е д о в а нн ая пр а к т и к ой .

полно го опи са ния о б ъ е к та ; р е ш е ния д олжны б ы ть не т о л ь ко пр а в и л ь ны ми , но и

с в о е в р еме нны ми , э к оно м и ч ны ми , д о с т у пны ми д ля с у щ ес т в у ю щ их с р е д с тв

и с пол ь з о в а ния ; т о ч н о с ть р е ш е ния д о л жна б ы ть с о и з ме ри ма со с т ро г о с т ью

к ак р е ш или ту или и н ую з а д а чу , г л а в ное – р е з у л ь т ат . З д есь и с пол ь з у ю т ся

л ю б ые с о ч е т а ния д е д у к т и в н ых и р а ци о н а л ь но ин д у к т и в н ых р асс уж д е ний . П ри

я в л яе т ся р еа л ь н ая пр а к т и ч ес к ая по м о щь в по л у ч е нии о т в е та на в опро сы ,

И т ак , ма т ема т и ки з н а ют к ак , но не з н а ют з а ч ем , а инж е н е ры з н а ют з а ч ем ,

но не з н а ют к ак . Д ля т о го , ч т о бы б ы ть в к у р се р а з в и т ия с в о ей о б л ас ти т е х н и ки ,

инж е н ер д олж ен с л е д и ть за с п е ци а л ь ной ли т е р а т у рой . О д н а ко э то т р е б у ет

с оо тв е т с тв у ю щ ий р а з д ел ма т ема т и ки , н е о б хо д и м ый д ля по н и ма ния т е к с та

с т а т ьи , то р е з ул ь т ат б у д ет и з в е с т ен з а р а н ее – она п ро ч и т а на не б у д ет . В от е ще

о д на из при ч ин ил л ю с т р а ц ии при ме н е ния н е к о т о рых р а з д е лов ма т ема т и ки в

Т а к им о б р а з ом , д а нное у ч е б ное по с о б ие пр е д н а з н а ч е но д ля по д г о т о в ки

с т у д е н т ов к в о с п р и я т ию с п е ци а л ь н ых д и с циплин , о с н о в а н ных в з н а ч и т е л ь н ой

н е к о т о рых , в п е р в ую о ч е р е дь , н е о б х о д и м ых инж е н е ру - э л е к т р и ку , р а з д е л ов

при к л а д ной ма т ема т и ки , т а к их к ак т е ор ия в е ро я т но с т ей и ме т о ды оп т и м и з а ц ии .

Специальную теорию относительности мало кто понимает в полной мере. Тем не менее, решать простейшие задачи по СТО может научиться каждый. Приведем в этой статье несколько примеров задач по специальной теории относительности с решением.

Подпишитесь на наш телеграм, там много полезной и интересной информации. А если хотите получить скидку на заказ, ищите ее на нашем втором канале для клиентов.

Доверь свою работу кандидату наук!

Узнать стоимость бесплатно

Задачи на специальную теорию относительности с решением

Если не знаете, с чего начать решение физических задач, повторите памятку по решению и держите под рукой полезные формулы.

Задача №1 на СТО Эйнштейна

Условие

Чему равна длина космического корабля, движущегося со скоростью 0,9с? Длина покоящегося корабля 100 м.

Решение

Для решения этой простейшей задачи нужно использовать преобразования Лоренца:

l = l 0 1 - v 2 c 2 l = 100 1 - 0 , 9 с 2 с 2 = 43 , 5 м

Ответ: 43,5 м

Задача №2 на СТО Эйнштейна

Условие

Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость 0,4с (0,4 от скорости света в вакууме). В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения β - частицу со скоростью 0,75с относительно ускорителя. Определите скорость частицы относительно ядра. Ответ дать в мегаметрах за секунду.

Решение

Для решения этой задачи нужно использовать релятивистский закон сложения скоростей:

v x = v x ' + v 1 + v x ' · v c 2

Здесь v x - скорость частицы в системе отсчета, связанной с ускорителем, v x ' - c скорость частицы в системе отсчета, связанной с ядром, v - скорость одной системы отсчета относительно другой.

Тогда скорость частицы относительно ядра будет равна:

v x ' = v x - v 1 - v x · v c 2 v x ' = 0 , 75 с - 0 , 4 с 1 - 0 , 75 с · 0 , 4 с с 2 = с 2 = 1 , 5 · 10 8 м с = 150 М м с

Ответ: 150 М м с .

Задача №3 на СТО Эйнштейна

Условие

На сколько процентов полная энергия протона, вылетающего из ускорителя со скоростью 0,8с, больше его энергии покоя?

Решение

Для решения этой задачи найдем энергию покоя протона W 0 , его полную релятивистскую энергию W , а затем вычислим их соотошение ∆ W W 0 , где ∆ W = W - W 0 .

∆ W W 0 = W - W 0 W 0 = W W 0 - 1

W = m c 2 1 - v 2 c 2

∆ W W 0 = m c 2 m c 2 1 - v 2 c 2 - 1 = 1 1 - v 2 c 2 - 1

∆ W W 0 = 1 1 - 0 , 8 с 2 с 2 - 1 = 1 1 - 0 , 64 - 1 = 0 , 67

Ответ: полная энергия больше энергии покоя на 67%.

Задача №4 на СТО Эйнштейна

Условие

Чему равна будет масса космонавта, движущегося в космическом корабле со скоростью 0,8с? Масса покоящегося космонавта 90 кг.

Решение

Для решения задачи используем преобразования Лоренца для массы:

m = m 0 1 - v 2 c 2

m = 90 1 - 0 , 8 с 2 с 2 = 90 0 , 6 = 150 к г

Ответ: 150 кг.

Задача №5 на СТО Эйнштейна

Условие

С космического корабля, удаляющегося от Земли со скоростью 0,7с, стартует ракета в направлении движения корабля. Скорость ракеты относительно Земли 0,96с. Чему равна скорость ракеты относительно Земли?

Решение

Обозначим v – скорость движения корабля относительно Земли, v 1 – скорость ракеты относительно космического корабля, v 2 – скорость ракеты относительно Земли. Тогда v = 0 , 7 с , v 2 = 0 , 96 с .

На основании релятивистского закона сложения скоростей имеем:

v 2 = v 1 + v 1 + v 1 v c 2 v 1 + v = v 2 1 + v 1 v c 2 v 1 c 2 + v c 2 = v 2 c 2 + v · v 1 v 1 = c 2 v - v 2 v v 1 - c 2 = c 2 0 , 7 с - 0 , 96 с 0 , 7 с · 0 , 96 с - с 2 = 0 , 8 с

Ответ: 0,8с

Вопросы по теме СТО

Вопрос 1. Что такое специальная теория относительности? Какие задачи она решает?

Вопрос 2. Сфомулируйте принцип относительности Эйнштейна

Ответ. Принцип относительности Эйнштейна гласит:

Не только механические, но и все физические законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Нужно больше вопросов по физике? Загляните в наш блог!

Вопрос 3. В основе специальной теорит относительности лежат два постулата, выдвинутых Эйнштейном. Сформулируйте их.

Ответ.

1. Первый постулат является естественным обобщением принципа относительности Галилея с механических на все в отсутствие исключения явления природы и может быть сформулирован как утверждение о невозможности наблюдателю, находящемуся в замкнутой системе отсчета, с помощью какого-либо физического (а значит и любого другого) опыта установить, покоится ли его система отсчета или находится в состоянии равномерного прямолинейного движения.
2. Вторым постулатом Эйнштейна является утверждение о постоянстве скорости света и ее инвариантности во всех системах отсчета. Этот факт неоднократно проверялся в точных экспериментах.

Вопрос 4. Какие выводы делаются из постулатов относительности?

Ответ. На основе сформулированных постулатов Эйнштейна пересматриваются все коренные положения классической механики (кинематики). Понятия одновременности событий, длительности временного промежутка и длины отрезка перестают носить абсолютный характер, становясь зависимыми от выбора системы отсчета, в которой ведется наблюдение.

В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением при низких скоростях.

Вопрос 5. В чем смысл преобразований Лоренца?

Ответ. При скоростях, близких к скорости света, преобразования Лоренца приходят на смену классическим преобразованиям Галилея.

Нужна помощь в решении задач по физике и выполнении других заданий? Обращайтесь за ней в профессиональный сервис для учащихся в любое время.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Есть три группы событий: достоверные, невозможные и случайные. Часть из них можно объяснить при помощи математики и других точных наук. В этом материале расскажем про теорию вероятностей, рассмотрим формулы и примеры решения задач.

О чем эта статья:

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Событие и виды событий

Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Например, камень упадет вниз.

Невозможным является событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх.

Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, из колоды карт вытащили туза.

Обычно события обозначают большими латинскими буквами. Например, А — событие, при котором из колоды вытащили туза, D — событие, при котором из колоды вытащили семерку.

Несовместными называются события, в которых появление одного из событий исключает появление другого (при условии одного и того же испытания). Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с черточкой вверху. Например:

A₀ — в результате броска монеты выпадет орел;

Ā₀ — в результате броска монеты выпадет решка.

Полная группа событий — это множество несовместных событий, среди которых в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.

Алгебра событий

Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий — логическую связку И.

Сложение событий

Суммой двух событий A и B называется событие A+B, которое состоит в том, что наступит или событие A, или событие B, или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие A, или событие B.

Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, а если события несовместны — то одно и только одно событие из этой суммы: или событие A₁, или событие A₂, или событие A₃, или событие A₄, или событие A₅.

Событие (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.

Событие B₁,2 = B₁ + B₂ (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка.

Событие B_Ч = B₂ + B₄ + B₆ (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 , или 4 , или 6 очков.

Умножение событий

Произведением двух событий A И B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий. Иными словами, умножение AB означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие A, и событие B. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий: например, произведение A₁A₂A₃ … A₁₀ подразумевает, что при определенных условиях произойдет и событие A₁, и событие A₂, и событие A₃. и событие A₁₀.

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты, и следующие события:

A₁ — на 1-й монете выпадет орел;

Ā₁ — на 1-й монете выпадет решка;

A₂ — на 2-й монете выпадет орел;

Ā₂ — на 2-й монете выпадет решка.

событие A₁A₁ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орел;

событие Ā₂Ā₂ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;

событие A₁Ā₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет орел и на 2-й монете решка;

событие Ā₁A₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орел.

Классическое определение и формула вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A.

Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность невозможного события равна нулю.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Как решать задачи по теории вероятности

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Вспоминаем основную формулу теории вероятности, которую мы привели выше. Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Читайте также:

  
• Как дети в школу фраза
  
• Укажите границы волосяного канала корня волоса что выводят протоки сальных желез кратко
  
• Расписание организованных видов деятельности в доу
  
• Почему германия проявляла наибольшую агрессивность в борьбе за передел мира кратко
  
• Полигимния богиня чего кратко