Как построить эскиз многоугольника кратко
Обновлено: 18.05.2024
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Изображение пирамиды, призмы, цилиндра или конуса обычно начинается с изображения их оснований – многоугольника или круга. Именно на этом этапе чаще всего учащимися допускаются ошибки, поэтому необходимо особое внимание уделить построению изображений многоугольников и круга в параллельной проекции. После этого достроить изображение тела обычно не составляет особого труда.
Рассмотрим ряд задач, которые могут быть использованы учителем, как для совместного решения с учащимися, так и для самостоятельного решения учащимися, например, в виде практической работы.
Треугольник
Задание: построить изображение треугольника АВС (включая прямоугольный, равнобедренный и равносторонний треугольники) в параллельной проекции .
Любой произвольный треугольник А′В′С′ будет являться искомым изображением треугольника АВС.
Параллелограмм
Задание: построить параллелограмм ABCD (включая прямоугольник, квадрат, ромб) в параллельной проекции.
Любой параллелограмм А′В′С′ D ′ будет являться искомым изображением параллелограмма АВС D .
Задание: построить трапецию ABCD (включая равнобокую и прямоугольную трапеции) в параллельной проекции.
Любая трапеция А′В′С′ D ′ будет являться искомым изображением трапеции АВС D .
Правильный пятиугольник
Задание: построить сторону правильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки (рис. 1).
Проведем ω(О 1 ; О A 5 ), (АВ) ( A 5 D ), О 1 = (АВ) ( A 5 D ), О A 5 = R .
Находим середину [ O 1 A ]: E 1 O 1 = AE 1 .
Проводим E 1 A 5 .
ω ( Е 1 ; Е 1 A 5 ), засекаем G 1 : E 1 G 1 = E 1 A 5 : G 1 [O 1 B].
G 1 A 5 = a 5 (сторона правильного пятиугольника).
От точки A 5 откладываем хорды, равные A 5 G 1 последовательно: A 1 A 4 , A 4 A 3 , A 3 A 2 , A 2 A 1 , A 1 A 5 .
Задание: построить изображение правильного пятиугольника в параллельной проекции (рис. 2).
Пусть две прямые пересекаются в точке N ′ 1 .
A′ 4 N′ 1 : N′ 1 A′ 1 ;
A′ 5 N′ 1 : N′ 1 A′ 3 ;
Строим параллелограмм A ′ 1 A ′ 2 A ′ 3 N ′ 1 ;
А 1 ′А 2 ′А 3 ′А 4 ′А 5 ′ является искомым правильным пятиугольником.
Правильный шестиугольник
Задание: построить правильный шестиугольник (рис. 3).
1. Проведем ω(О; ОА 1 ).
2. ω 1 (А 1 ; ОА 1 ), засекаем А 2 : А 1 О = А 1 А 2 : А 2 ω .
3. ω 2 (А 2 ; ОА 1 ), засекаем А 3 : А 2 О = А 2 А 3 : А 3 ω.
4. Построение проводится аналогично для А 4 , А 5 , А 6 .
5. Проводим А 1 А 2 , А 2 А 3 , А 3 А 4 , А 4 А 5 , А 5 А 6 , А 6 А 1 .
6. Многоугольник А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6 является искомым правильным шестиугольником.
Задание: построить изображение правильного шестиугольника в параллельной проекции (рис. 4).
Произвольно строим треугольник А 1 ′ОА 2 ′ .
Строим А′ 4 и А′ 5 симметрично точкам А 1 ′ и А 2 ′ относительно точки О.
А 1 ′А 2 ′ А 3 ′А 6 ′, О А 3 ′А 6 ′,
О А 6 ′= ОА 3 ′ = А 1 ′А 2 ′.
А 1 ′А 2 ′А 3 ′А 4 ′А 5 ′А 6 ′ является искомым правильным шестиугольником.
Правильный восьмиугольник
Задание: построить правильный восьмиугольник (рис. 5).
Строим квадрат А 1 А 3 А 5 А 7 .
Поворачиваем квадрат А 1 А 3 А 5 А 7 относительно центра О на угол 45 о , получаем квадрат А 2 А 4 А 6 А 8 .
Последовательно соединяем вершины квадратов, получаем искомый правильный восьмиугольник А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6 А 7 А 8 .
Задание: построить изображение правильного восьмиугольника в параллельной проекции (рис. 6).
Произвольно строим параллелограмм A 2 ′А 4 ′А 6 ′А 8 ′.
Находим О′ - центр этого параллелограмма.
Проводим через О′ отрезки L ′ K ′ A 4 ′ A 6 ′, M ′ N ′ A 4 ′ A 6 ′.
Находим точку А 7 ′ : строим: О′К′ = К′Х (К′Х О′К′), тогда О′А 7 ′ = О′Х .
Аналогично находим точки А 1 ′, А 3 ′, А 6 ′.
А′ 1 А′ 2 А′ 3 А′ 4 А′ 5 А′ 6 А′ 7 А′ 8 – искомый восьмиугольник.
Доброго здравия всем читателям и хорошего настроения.
В текущем документе, в любое время работы с ним, включение/выключение режима параметризации и изменение его настроек производится в диалоге Управление параметризацией ( путь к диалоговому окну: Настройка — Параметры. — Текущий чертеж/фрагмент — Параметризация).
Для новых документов (настройки будут применяться ко всем документам, созданных после изменения настроек) путь к диалоговому окну: Настройка — Параметры…— Новые документы — Графический документ — Параметризация,
Однако, этот многоугольник нельзя передвинуть как единое целое – если потянуть его за любую вершину, то переместится только эта вершина. Нельзя изменить размер многоугольника, задавая размер только одной стороны – размер будет задан только на эту сторону.
Как создать параметрический правильный многоугольник?
В разное время я опробовал несколько решений этой проблемы, и два из них считаю удобными для применения на практике.
В этом видеофрагменте мы рассмотрим способы построения некоторых правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. А также изобразим правильный многоугольник графически.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Построение правильных многоугольников"
На этом уроке мы рассмотрим способы построения некоторых правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. А также изобразим правильный многоугольник графически.
Для начала давайте вспомним определение правильного многоугольника. Итак, правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Для выполнения построений мы используем циркуль и линейку.
Циркуль позволяет:
– построить дугу окружности,
– отложить на прямой отрезок, равный данному.
Линейка позволяет:
– построить прямую линию,
– построить отрезок, соединяющий две точки,
– найти точку пересечения двух прямых.
Ранее мы с вами уже рассматривали построения правильного треугольника и четырехугольника, т.е. квадрата.
Давайте рассмотрим, каким образом можно с помощью циркуля и линейки построить правильный треугольник и правильный четырехугольник, вписанные в окружность.
Задача 1. Вписать в заданную окружность правильный треугольник
Построение. Пусть задана окружность с центром О. Проведем произвольный диаметр BD окружности. Построим прямую l, являющуюся серединным перпендикуляром к радиусу OD. Середину радиуса ОD обозначим точкой К. Отметим точки А и C – пересечения прямой l с окружностью. И построим отрезки BA и BC. Треугольник ABC – правильный.
Доказательство.
Значит, – равносторонний – правильный.
Второй способ построения.
Пусть задана окружность с центром О. Раствором циркуля, равным радиусу, последовательно от одной точки окружности делаем на ней засечки, пока последняя засечка не совпадет с взятой первоначально точкой. Соединив полученные точки через одну, получим правильный треугольник.
Задача 2. Вписать в заданную окружность правильный четырехугольник.
Построение. Пусть задана окружность с центром О. Построим диаметр AC. Затем построим диаметр BD перпендикулярный диаметру AC. Точки А, C и B, D – точки пересечения диаметров с окружностью. И построим отрезки АB, BC, CD и АD. Четырехугольник ABCD – правильный.
Доказательство.
Т.к. , , то – параллелограмм.
Т.к. ,то – прямоугольник.
Значит, – правильный четырехугольник.
Теперь давайте рассмотрим построения правильных n-угольников при n>4. Обычно для построения таких n-угольников используется окружность, описанная около многоугольника.
Задача 3. Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.
Построение. Так как в правильном шестиугольнике сторона а равна радиусу, то достаточно последовательно отложить от одной точки окружности 6 радиусов-хорд. Пусть МN – заданный отрезок. Построим окружность с произвольным центром О и радиуса MN. Отметим на этой окружности произвольную точку А. Затем, не меняя раствора циркуля, последовательно от этой точки А будем делать на окружности засечки, пока последняя засечка не совпадет с взятой первоначально точкой А. Отметим точки B, C, D, Е и F. Теперь соединим последовательно построенные точки отрезками. Получим искомый правильный шестиугольник ABCD.
Доказательство.
Равные хорды стягивают равные дуги.
Все углы шестиугольника будут равны, так как опираются на дуги, состоящие из четырех равных меньших дуг.
Для построения правильных многоугольников часто используется следующая задача: дан правильный n-угольник. Построить правильный 2n-угольник.
Задача 4. Дан правильный шестиугольник. Построить правильный двенадцатиугольник.
Пусть ABCDEF – данный правильный шестиугольник. Опишем около него окружность.
1. – точка пересечения биссектрис и .
5. – правильный двенадцатиугольник.
Применяя указанный способ, можно с помощью циркуля и линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них. Например, построив правильный четырехугольник, т.е. квадрат, и пользуясь задачей 4, можно построить правильный восьмиугольник, затем правильный шестнадцати-угольник и вообще правильный 2 k угольник, где k – любое целое число, большее 2.
Замечание. Рассмотренные примеры показывают, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Но важно заметить, что не все правильные многоугольники могут быть построены таким образом.
Подведем итоги урока.
Сегодня мы рассмотрели способы построения некоторых правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Научились строить правильные треугольник и четырехугольник, вписанные в окружность. А также выполнили задачу на построение правильного многоугольника по заданному отрезку, и задачу на построение правильного 2n-угольника по заданному n-угольнику.
Альбрехт Дюрер (1471-1527гг) – немецкий живописец и график, признан крупнейшим европейским мастером ксилографии и одним из величайших мастеров западноевропейского искусства Ренессанса. Первый теоретик искусства среди североевропейских художников.
Построение правильного пятиугольника по Дюреру
Приближенное построение правильного пятиугольника А.Дюрером проводится при условии неизменности раствора циркуля, что повышает точность построения. Способ построения описан Дюрером так: "Однако пятиугольник, построенный неизменным раствором циркуля, делай так. Проведи две окружности так, чтобы каждая из них проходила через центр другой. Два центра А и В соедини прямой линией. Это и будет стороной пятиугольника. Точки пересечения окружностей обозначь сверху С, снизу D и проведи прямую линию CD. После этого возьми циркуль с неизменным раствором и, установив одну его ножку в точку D, другой проведи через оба центра А и В дугу до пересечения её с обеими окружностями. Точки пересечения обозначь через E и F, а точку пересечения с прямой CD обозначь буквой G. Теперь проведи прямую линию через Е и G до пересечения с линией окружности. Эту точку обозначь Н. Затем проведи другую линию через F и G до пересечения с линией окружности и поставь здесь J. Соединив J, A и H, B прямыми, получим три стороны пятиугольника. Дав возможность двум сторонам такой длины достигнуть совпадения в точке K из точек J и H, получим некоторый пятиугольник."
Читайте также: