Как определяется ускорение системы тел с помощью прибора атвуда кратко

Обновлено: 05.07.2024

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Экспериментальная проверка основных уравнений и законов поступательного движения тела в поле сил земного тяготения, определение ускорения свободного падения лабораторной установке – машине Атвуда.

Машина Атвуда (рис.1) состоит из легкого блока 2, через который переброшена нить с двумя наборными грузами на концах (массы обоих грузов одинаковы и равны m ). Грузы могут двигаться вдоль вертикальной рейки со шкалой 1. Если на правый груз положить небольшой перегрузок D m , грузы начнут двигаться с некоторым ускорением. Для приема падающего груза служит полочка 3.

Время движения грузов измеряется с помощью ручного или стационарного секундомера.

Силы трения в машине Атвуда сведены к минимуму, но не равны нулю. Для возможно полной их компенсации масса одного из грузов (в нашей установке – правого) делается немного больше массы другого. Эта операция производится при помощи кусочков пластилина и выполняется с таким расчетом, чтобы а) грузы могли находиться в статическом положении сколь угодно долго, но б) от легкого толчка вниз правого груза вся система приходила в равномерное движение. Масса используемого пластилина столь мала, что в последующих расчетах в массу грузов не включается. Перегрузки D m , с помощью которых системе задается движение, укладывают также на правый груз системы.

Для выполнения работы машина Атвуда должна быть установлена строго вертикально, что легко проверить по параллельности шкалы и нити.

Второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось для каждого из тел системы (рис.2) в предположении невесомости блока, отсутствия силы трения и нерастяжимости нити дает:

Где g - ускорение свободного падения,

a - ускорение грузов,

T ₁ и T ₂ - сила натяжения нити.

Выразим из данной системы ускорение a .

Проверим равноускоренный характер движения грузов, экспериментально получая значения пути данных грузов S (для обоих грузов он одинаков) и время движения t .

Так как начальная скорость в опытах на машине Атвуда обычно равна нулю и движение условно начинается из начала координат, то

Подставляя a _i в (2) получаем следующую формулу:

Для получения более точного значения g , необходимо учесть момент инерции блока - J _б, ( T ₁ T ₂). Рассмотрим получения вышеописанных формул с учётом новой величины. Вычислим g из закона динамики для вращательного движения тела (в данном случае блока).

- сумма проекций на ось Z всех сил, действующих на вращающиеся тело; α- угловое ускорение блока; J – его момент инерции

Где r - радиус блока, J _б - момент инерции блока.

Выразим из уравнения (1) разность сил натяжения ( T ₁– T ₂ ) и подставив ее в уравнение (6) получим:

Выразим ускорение грузов a :

Учитывая, что значение момента инерции блока

k- коэффициент распределения массы блока относительно оси вращения (k

Задание 1. Проверка второго закона Ньютона.

Поскольку ускорение движения является функцией двух переменных – силы и массы, то изучение второго закона Ньютона выполняется путем раздельного исследования двух зависимостей: 1) зависимости ускорения от действующей силы при постоянной массе системы и 2) зависимости ускорения от массы системы при постоянной действующей силе.

Исследование зависимости ускорения от силы при постоянной массе

Измерения и обработка результатов

1. Тщательно балансируют грузы, выбрав их массы в пределах 150 - 200 г каждый.

2. Затем на правый груз последовательно накладывают перегрузки. В результате в системе появляется движущая сила равная  mg, где  m - суммарная масса перегрузков. При этом, конечно, общая масса системы незначительно увеличивается, но этим изменением массы по сравнению с массой грузов можно пренебречь, считая массу системы постоянной.

3. Измеряют время равноускоренного движения системы на пути, например, 1 метр. Все данные заносят в таблицу 1.3 отчета.

4. Пользуясь законом путей (1.6), вычисляют ускорение а.

5. Поводят еще 5-6 опытов, последовательно увеличивая массу перегрузков.

6. Строят график зависимости ускорения движения от действующей силы. Точку ( F =0, a =0) на графике не откладывают. Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом и прямая проходит через начало координат, то можно сделать вывод о том, что ускорение действительно прямо пропорционально силе.

7. По угловому коэффициенту полученной прямой определяют массу системы и сравнивают ее реальной массой.

Исследование зависимости ускорения от массы при постоянной силе

Измерения и обработка результатов

1. Все опыты проводят с одним и тем же перегрузком, т.е. при постоянной действующей силе. Ускорение системы измеряется также как и в предыдущем задании.

2. Для изменения массы системы одновременно на правый и левый груз кладут дополнительные одинаковые грузы. Все данные записывают в таблицу отчета.

3. График обратно пропорциональной зависимости ускорения от массы представляет собой гиперболу, которую невозможно идентифицировать. Для проверки предположения об обратно пропорциональной зависимости между ускорением и массой необходимо построить график зависимости ускорения от обратного значения массы системы: a = f (М -1 ). Подтверждением предположения является прямолинейность этого графика.

4. По угловому коэффициенту полученной прямой определяют значение приложенной силы и сравнивают ее с реально действующей в системе

Задание 2. Определение ускорения движения грузов

В полученном уравнении прямой коэффициент k равен половине ускорения системы: k=a/2. Это позволяет вычислить ускорение грузов ( a =2 k ) в данном опыте и определить погрешность его измерения. Произведите необходимые вычисления и занесите результаты в отчет.

Задание 3. Определение ускорения свободного падения

(Выполняется по результатам измерений и вычислений, проведенных в первом и втором заданиях). Зная массы грузов и перегрузка, а также ускорение движения системы, из формулы (3) найдите ускорение свободного падения. Результаты занесите в отчет. В выводе сравните полученный результат с табличной величиной.

Для нахождения погрешности измерения величины ускорения свободного падения Δ g используем формулу:

– частные производные функции

Проанализируйте результаты своих наблюдений и сформулируйте вывод.

Какое движение называется поступательным?

Дайте определение инерциальной системы отсчета. Приведите примеры ИСО.

Сформулируйте первый закон Ньютона. Приведите примеры его проявления.

Дайте определение инертной массы тела. Гравитационной? От чего и как зависит масса тела?

Сформулируйте второй закон Ньютона. Приведите варианты его математической формы.

Покажите все силы, действующие на один из грузов в машине Атвуда, и составьте для него уравнение динамики.

Запишите систему уравнений динамики для машины Атвуда с учетом момента инерции блока. Силы трения в блоке?

Основной частью машины Атвуда (рис. 2.1) является система движущихся тел, состоящая из блока радиуса r с перекинутой через него нитью, к концам которой привязаны грузы одинаковой массы m. Система приводится в движение перегрузком массы m₀, который накладывается на один из грузов m. По вертикальной стойке могут перемещаться кольцевая платформа и платформа в виде диска. К машине Атвуда прилагается набор перегрузков различного размера. Небольшие перегрузки могут свободно проходить через внутреннее отверстие кольцевой платформы (верхней). Большой перегрузок (кольцо) массой m₀ снимается кольцевой платформой при движении груза массой m.

Экспериментально определить ускорение системы можно, проделав следующий эксперимент. Если на правый грузик положить небольшой перегрузок (кольцо) массы ₀, то система тел начнет двигаться с ускорением под действием силы тяжести и пройдет путь h. На кольце p дополнительный грузик отцепляется и дальше грузики m, пройдут теперь уже равномерно, путь L (действием силы трения пренебрегаем).

На пути h система тел движется равноускоренно и у кольца будет иметь скорость

Если измерить время равномерного движения и его путь, то скорость

Из уравнений (2.11) и (2.12) получим что

На пути h система тел движется равноускоренно и у кольца будет иметь скорость

Использование простых механизмов в физике позволяет изучать различные природные процессы и законы. Одним из этих механизмов является машина Атвуда. Рассмотрим в статье, что она собой представляет, для чего используется, и какие формулы описывают принцип ее работы.

Что такое машина Атвуда?

Названная машина представляет собой простой механизм, состоящий из двух грузов, которые соединены переброшенной через неподвижный блок нитью (веревкой). В данном определении следует пояснить несколько нюансов. Во-первых, массы грузов в общем случае являются разными, что обеспечивает наличие у них ускорения под действием силы тяжести. Во-вторых, нить, связывающая грузы, считается невесомой и нерастяжимой. Эти предположения значительно облегчают последующие расчеты уравнений движения. Наконец, в-третьих, неподвижный блок, через который переброшена нить, также считается невесомым. Кроме того, во время его вращения пренебрегают силой трения. Ниже на схематическом рисунке показана эта машина.

Вам будет интересно: Пространственная экономика: описание специальностей и структура

Вам будет интересно: Что такое подполье? Подпольная организация "Молодая гвардия". Антифашистское движение

Машина Атвуда была изобретена английским физиком Джорджем Атвудом в конце XVIII века. Служит она для изучения законов поступательного движения, точного определения ускорения свободного падения и экспериментальной проверки второго закона Ньютона.

Уравнения динамики

Каждый школьник знает, что ускорение у тел появляется только в том случае, если на них оказывают действие внешние силы. Данный факт был установлен Исааком Ньютоном в XVII веке. Ученый изложил его в следующем математическом виде:

Где m – инерционная масса тела, a – ускорение.

Изучение законов поступательного движения на машине Атвуда предполагает знание соответствующих уравнений динамики для нее. Предположим, что массы двух грузов равны m1 и m2, причем m1>m2. В таком случае первый груз будет перемещаться вниз под действием силы тяжести, а второй груз будет двигаться вверх под действием силы натяжения нити.

Рассмотрим, какие силы действуют на первый груз. Их две: сила тяжести F1 и сила натяжения нити T. Силы направлены в разных направлениях. Учитывая знак ускорения a, с которым перемещается груз, получаем следующее уравнение движения для него:

Что касается второго груза, то на него действуют силы той же природы, что и на первый. Поскольку второй груз движется с ускорением a, направленным вверх, то уравнение динамики для него принимает вид:

Таким образом, мы записали два уравнения, в которых содержатся две неизвестных величины (a и T). Это означает, что система имеет однозначное решение, которое будет получено далее в статье.

Расчет уравнений динамики для равноускоренного движения

Как мы видели из записанных выше уравнений, результирующая сила, действующая на каждый груз, остается неизменной в процессе всего движения. Масса каждого груза также не меняется. Это означает, что ускорение a будет постоянным. Такое движение называют равноускоренным.

Изучение равноускоренного движения на машине Атвуда заключается в определении этого ускорения. Запишем еще раз систему динамических уравнений:

Чтобы выразить значение ускорения a, сложим оба равенства, получаем:

F1 – F2 = a*(m1 + m2) =>

a = (F1 – F2)/(m1 + m2).

Подставляя явное значение сил тяжести для каждого груза, получаем конечную формулу для определения ускорения:

a = g*(m1 – m2)/(m1 + m2).

Отношение разницы масс к их сумме называют числом Атвуда. Обозначим его na, тогда получим:

Проверка решения уравнений динамики

Выше мы определили формулу для ускорения машины Атвуда. Она является справедливой только в том случае, если справедлив сам закон Ньютона. Проверить этот факт можно на практике, если провести лабораторную работу по измерению некоторых величин.

Лабораторная работа с машиной Атвуда является достаточно простой. Суть ее заключается в следующем: как только грузы, находящиеся на одном уровне от поверхности, отпустили, необходимо засечь время движения грузов секундомером, а затем, измерить расстояние, на которое переместился любой из грузов. Предположим, что соответствующие время и расстояние равны t и h. Тогда можно записать кинематическое уравнение равноускоренного движения:

Откуда ускорение определяется однозначно:

Отметим, что для увеличения точности определения величины a, следует проводить несколько экспериментов по измерению hi и ti, где i – номер измерения. После вычисления значений ai, следует рассчитать среднюю величину acp из выражения:

Где m – количество измерений.

Приравнивая это равенство и полученное ранее, приходим к следующему выражению:

Если данное выражение оказывается справедливым, то таковым также будет и второй закон Ньютона.

Расчет силы тяжести

Выше мы предположили, что значение ускорения свободного падения g нам известно. Однако при помощи машины Атвуда определение силы тяжести также оказывается возможным. Для этого вместо ускорения a из уравнений динамики следует выразить величину g, имеем:

Чтобы найти g, следует знать, чему равно ускорение поступательного перемещения. В пункте выше мы уже показали, как его находить экспериментальным путем из уравнения кинематики. Подставляя формулу для a в равенство для g, имеем:

Вычислив значение g, несложно определить силу тяжести. Например, для первого груза ее величина будет равна:

Определение силы натяжения нити

Сила T натяжения нити является одним из неизвестных параметров системы динамических уравнений. Выпишем еще раз эти уравнения:

Если в каждом равенстве выразить a, и приравнять оба выражения, тогда получим:

(F1 – T)/m1 = (T – F2)/m2 =>

T = (m2*F1 + m1*F2)/(m1 + m2).

Подставляя явные значения сил тяжести грузов, приходим к конечной формуле для силы натяжения нити T:

T = 2*m1*m2*g/(m1 + m2).

Машина Атвуда имеет не только теоретическую пользу. Так, подъемник (лифт) использует при своей работе контргруз с целью подъема на высоту полезного груза. Такая конструкция значительно облегчает работу двигателя.

На пути h система тел движется равноускоренно и у кольца будет иметь скорость

. (2.11)

Если измерить время равномерного движения и его путь, то скорость

. (2.12)

Из уравнений (2.11) и (2.12) получим что

. (2.13)

2.2. Проверка второго закона Ньютона

При проверке второго закона Ньютона необходимо, чтобы движущаяся масса была постоянной, а величина действующей силы изменялась. Это можно осуществить, перекладывая перегрузки ис одного груза на другой. Сила, приводящая систему в движение равна разности весов правого и левого тел. Если оба перегрузка находятся на правом теле, то

. (2.14)

Ускорение а₁, приобретаемое системой тел прямо пропорционально действующей силе, и обратно пропорционально массе системы тел

Если меньший перегрузок переложить на левое тело, то

. (2.15)

Ускорение а₂ , приобретаемое системой тел, в этом случае

Отсюда следует, что

. (2.16)

Ускорения имогут быть найдены из соотношения (2.8)

. (2.17)

3. Экспериментальная часть

3.1 Приборы и принадлежности

– прибор Атвуда

3.2. Конструкция прибора Атвуда

Общий вид прибора Атвуда показан на рис. 3.1 и 3.2.

На вертикальной колонке 1, закрепленной в основании 2, установлены верхняя втулка 6 и два подвижных кронштейна с фотоэлектрическими датчиками: нижний кронштейн 3, средний 4. Основание оснащено регулируемыми ножками 7, которые позволяют произвести выравнивание положения прибора. На верхней втулке 6 при помощи верхнего диска 8 закреплен узел подшипника ролика 9, ролик 10 и электромагнит 11, который после подключения к нему напряжения питания от электронного блока ФМ-1/1 16 удерживает систему грузиков в состоянии покоя. Через ролик проходит нить 12 с привязными на ее концах грузиками 13 и 14.

Кронштейны можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в любом положении, устанавливая, таким образом, длину пути равномерно-ускоренного h и равномерного движений L. Для облегчения определения этих путей на колонке 1 имеется миллиметровая шкала, все кронштейны имеют указатель положения, а верхний красный указатель 5 – дополнительную черту, облегчающую точное согласование нижней грани верхнего большого грузика с определенным началом пути движения.

На кронштейне 4 находится разъем для подключения электронного блока ФМ-1/1 15. На кронштейне 3 находится разъем для подключения электронного блока ФМ-1/1 16. Кронштейн 4 снимает с падающего вниз большого грузика 14 дополнительный грузик - кольцо. В основание 2 имеются резиновые амортизаторы 17, в которые ударяют завершающие свое движение грузики.

На лицевой панели миллисекундомера ФМ-1/1 расположены следующие элементы управления:

18 (сброс) – нажатие клавиши вызывает обнуление схем электросекундомера.

19 (пуск) – нажатие клавиши вызывает освобождение электромагнита и генерирование импульса, разрешающего измерение.

20 (стоп) – нажатием клавиши может быть остановлен электросекундомер.

в г. Северодвинске

Факультет: № 4

Кафедра: № 12

Лабораторная работа

Определение ускорения свободного падения при помощи машины Атвуда

г. Северодвинск

Лабораторная работа ФМ - 11

Определение ускорения свободного падения при помощи машины Атвуда

1. Цель и метод:

С помощью машины Атвуда исследовать законы кинематики и научиться экспериментально определять ускорение свободного падения.

2. Основные теоретические положения

Примером равноускоренного движения является свободное падение тел в безвоздушном пространстве. Законы свободного падения тел открыл итальянский физик Галилео Галилей (1564 ― 1642).

Все тела в одном и том же месте падают с одинаковым ускорением. Это ускорение

― по закону всемирного тяготения.

Под действием силы притяжения к Земле, все тела падают с одинаковым относительно поверхности Земли ускорением, которое обозначается буквой g и называется ускорением свободного падения. В соответствии со вторым законом Ньютона, в системе отсчёта, связанной с Землёй, на всякое тело массы m действует сила

F = mg,

(0)

называемая силой тяжести.

т.е. ускорение силы тяжести не зависит от массы тела и с увеличением высоты тела над поверхностью Земли убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от тела до центра Земли.

рис. 1

Если тело покоится на поверхности Земли, то оно испытывает действие силы Fпритяжения к Земле, направленной к центру Земли, центробежной силы инерции F_ц.б., направленной перпендикулярно к оси вращения Земли, и силы реакции N опоры (рис. 1).

Силой тяжести тела в этом случае называется сила F_т, Приложенная к телу и равная векторной сумме силы F притяжения к Земле и центробежной силы инерции F_ц.б.:

F_ц.б. = mω 2 R_φ =mω 2 R_З cos φ,

(0)

где R_φ — расстояние от тела до оси вращения Земли; R_φ = R_З cos φ. Из уравнения (0) следует, что F_ц.б. зависит от географической широты φ. На полюсах φ = 90˚, cos 90˚ = 0 и F_ц.б. = 0, а на экваторе φ = 0˚, cos 0˚ = 1 и F_ц.б. = mω 2 R_З, т.е. принимает максимально возможное значение. Поэтому, согласно уравнению (0), для полюсов

т.е. сила тяжести тела равна силе притяжения к Земле (рис. 2).

рис. 2

На Экваторе

т.е. сила тяжести тела меньше силы притяжения к Земле (рис. 2).

По третьему закону Ньютона

Ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли изменяется от значения 9,78 м/с 2 на экваторе до значения 9,83 м/с 2 на полюсах.

3. Вывод рабочей формулы

Проектируя первое из уравнений (0) на направление x₁, а второе ― на направление x₂, получаем систему

4. Описание опытной установки

рис. 4

Установка представлена на рис. 4 и включает в свой состав: основание 1, вертикальную стойку 2, верхний кронштейн 3, кронштейн 4 для установки фотодатчика, фотодатчик 5.

Основание 1 снабжено тремя регулируемыми опорами 6 и зажимом 7 для фиксации вертикальной стойки 2.

Вертикальная стойка 2 выполнена из металлической трубы, на которую нанесена миллиметровая шкала, и имеет визир 14.

На верхнем кронштейне 3 размещается узел подшипников 8 с малоинерционным шкивом 9, через который перекинута капроновая нить 10 с двумя основными грузами 11 и набором разновесов 12, электромагнитный тормоз 13, предназначенный для фиксации исходного положения грузов.

Кронштейн 4 имеет зажим для крепления на вертикальной стойке 2 и элементы фиксации фотодатчика. Общий фид лабораторной установки показан на рис.5

Читайте также: