Как определить проекцию вектора скорости на ось кратко

Обновлено: 04.07.2024

Геометрически - опустить перпендикуляр из конца вектора и его начала на ось, полученный вектор - будет его проекцией на заданную ось. Тригонометрически - разложить вектор на составляющие, зная, к примеру угол наклона вектора к оси.

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Положение точки А (рис. 2.8) задается радиус-вектором . Спроецируем вектор на оси x, y, z.

Рис. 2.8

Понятно, что х, y, z зависят от времени t, т.е. x(t), y(t), z(t). Зная зависимость этих координат от времени (закон движения точки), можно найти в каждый момент времени скорость точки.

Иллюстрация зависимости дальности полета от угла бросания.

Модуль вектора скорости

Так как скорость величина векторная, то её можно представить с помощью единичных векторов i, j, k:

Проекция скорости точки на ось – это алгебраическая величина, равная произведению модуля скорости на косинус угла между положительным направлением оси и вектором скорости этой точки.

Другими словами, проекция скорости на ось это отрезок, откладываемый скоростью на соответствующие оси.

Из теоремы о скоростях точек плоской фигуры следует, что проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны.

Это легко показывается в рассуждениях:

так как V_BA ⊥ AB, то и проекция V_BA на ось АХ равна нулю.

Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.

Если стоимость устроит вы сможете оформить заказ.

НАБОР СТУДЕНТА ДЛЯ УЧЁБЫ

- Рамки A4 для учебных работ
- Миллиметровки разного цвета
- Шрифты чертежные ГОСТ
- Листы в клетку и в линейку

$\overline<<\Pi \textГеометрической проекцией вектора на ось есть вектор >_ \bar>$
, началом и концом которого являются соответственно проекции начала и конца заданного вектора (рис. 1).

Под осью понимается прямая, для которой указано направление.

$\bar=\overline<AB> Чтобы построить проекцию вектора$
на ось , нужно из точек и (начало и конец вектора соответственно) опустить перпендикуляры на направленную прямую , основания этих перпендикуляров будут началом и концом искомой проекции (рис. 1).

$<\Pi \textЧисловой характеристикой проекции вектора на ось является числовая проекция >_ \bar$
этого вектора на данную ось – число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между этим вектором и вектором, определяющим направление оси.

Если направление оси определяется вектором " width="8" height="16" />
, то числовая проекция вектора на эту ось обозначается как >_> \bar" width="42" height="18" />
, причем

$<\Pi \text>_> \bar=\left|\bar\right|\cdot \cos \left(\mathop>\limits^ \right)\ \ \ (1)$

Примеры нахождения проекции вектора на ось

Задание	Вычислить числовую проекцию вектора на ось, направление которой определяется вектором $\bar$ , если модуль вектора равен 3, а угол между векторами и $\bar$ равен .
Решение	Итак, имеем, что $\left\|\bar\right\|=3,\; \left(\mathop<\bar,\; \bar>\limits^ \right)=30^$ , тогда искомая числовая проекция

$<\Pi \text>_> \bar=3\cdot \cos 30^ =3\cdot \frac > =\frac >$

$\bar Из определения скалярного произведения двух векторов и$
:

$\left(\bar,\; \bar \right)=\left|\bar\right|\cdot \left|\bar\right|\cdot \cos \left(\mathop<\bar,\; \bar>\limits^ \right),$

$\cos \left(\mathop<\bar,\; \bar >\limits^ \right)=\frac<\left(\bar,\; \bar\right)><\left|\bar\right|\cdot \left|\bar\right|>$

В результате формула (1) принимает вид:

То есть числовой проекцией вектора на ось, направление которой совпадает с направлением вектора " width="8" height="16" />
, есть отношение скалярного произведения векторов и " width="8" height="16" />
к модулю вектора " width="8" height="16" />
:

$<\Pi \text>_> \bar=\frac<\left(\bar,\; \bar\right)><\left|\bar\right|>$

Задание	Вектор $\bar=\left(-1;\; 0\right)$ задает направление оси . Найдите числовую проекцию вектора на эту ось.
Решение	Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат, то есть для данных векторов имеем:

$\left(\bar,\; \bar \right)=-3\cdot \left(-1\right)+4\cdot 0=3+0=3$

$\bar Модуль вектора$
равен корню квадратному из суммы квадратов координат:

$\left|\bar \right|=\sqrt <\left(-1\right)^+0^ > =\sqrt =\sqrt =1$

$<\Pi \text>_ \bar=<\Pi \text>_> \bar=\frac =3$

Вектор скорости характеризует движение тела, показывая направление и быстроту перемещения в пространстве. Скорость как функция является первой производной от уравнения координаты. Производная от скорости даст ускорение.

Как найти проекцию скорости
Как найти модуль скорости
Как найти модуль вектора перемещения

Сам по себе заданный вектор ничего не дает в плане математического описания движения, поэтому его рассматривают в проекциях на координатные оси. Это может быть одна координатная ось (луч), две (плоскость) или три (пространство). Чтобы найти проекции, нужно опустить перпендикуляры из концов вектора на оси.

Пусть движение точки задано координатными уравнениями: x=x(t), y=y(t), z=z(t). Тогда функции скорости, спроецированной на три оси, будут иметь вид, соответственно, V(x)=dx/dt=x'(t), V(y)=dy/dt=y'(t), V(z)=dz/dt=z'(t), то есть для нахождения скорости нужно взять производные. Сам вектор скорости будет выражаться уравнением V=V(x)•i+V(y)•j+V(z)•k, где i, j, k – единичные векторы координатных осей x, y, z. Модуль скорости можно вычислить по формуле V=√(V(x)^2+V(y)^2+V(z)^2).

Через направляющие косинусы вектора скорости и единичные отрезки координатных осей можно задать направление вектору, отбросив его модуль. Для точки, которая движется в плоскости, достаточно двух координат, x и y. Если тело совершает движение по окружности, направление вектора скорости непрерывно изменяется, а модуль может как сохраняться постоянным, так и меняться во времени.

Читайте также: