Как меняется первообразная при линейной замене аргумента кратко

Обновлено: 18.05.2024

В соответствии с определением символа (1) неопределенного интеграла, он обозначает функцию, производная которой равна подынтегральной функции. Исходя из этого определения, с учетом соотношения (2) и законов дифференцирования можно утверждать, что справедливы следующие соотношения:

с. Если на некотором промежутке

— гладкое непрерывно дифференцируемое) отображение промежутка в то

Равенства (5), (6), (7) проверяются прямым дифференцированием их левой и правой частей с использованием в (5) линейности дифференцирования, в (6) правила дифференцирования произведения и в (7) правила дифференцирования композиции функций.

Подобно правилам дифференцирования, позволяющим дифференцировать линейные комбинации, произведения и композиции уже известных функций, соотношения (5), (6), (7), как мы увидим, позволяют в ряде случаев сводить отыскание первообразной данной функции либо к построению первообразных более простых функций, либо вообще к уже известным первообразным. Набор таких известных первообразных может составить, например, следующая краткая таблица неопределенных интегралов, полученная переписыванием таблицы производных основных элементарных функций (см. § 2, п. 3):

Каждая из этих формул рассматривается на тех промежутках вещественной оси на которых определена соответствующая подынтегральная функция. Если таких промежутков несколько, то постоянная с в правой части может меняться от промежутка к промежутку.

Рассмотрим теперь некоторые примеры, показывающие соотношения (5), (6) и (7) в работе.

Сделаем предварительно следующее общее замечание.

Поскольку, найдя одну какую-нибудь первообразную заданной на промежутке функции, остальные можно получить добавлением постоянных, то условимся для сокращения записи всюду в дальнейшем произвольную постоянную добавлять только к окончательному результату, представляющему из себя конкретную первообразную данной функции.

а. Линейность неопределенного интеграла.

Этот заголовок должен означать, что в силу соотношения (5) первообразную от линейной комбинации функций можно искать как линейную комбинацию первообразных этих функций.

b. Интегрирование по частям.

Формулу (6) можно переписать в виде

или, что то же самое, в виде

Это означает, что при отыскании первообразной функции дело можно свести к отысканию первообразной функции перебросив дифференцирование на другой сомножитель и частично проинтегрировав функцию, как показано в выделив при этом член Формулу (6) называют формулой интегрирования по частям.

с. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Формула (7) показывает, что при отыскании первообразной функции можно поступать следующим образом:

т. e. сначала произвести замену под знаком интеграла и перейти к новой переменной затем, найдя первообразную как функцию от х, вернуться к старой переменной заменой

Мы рассмотрели несколько примеров, в которых использовались порознь свойства с неопределенного интеграла. На самом деле в большинстве случаев эти свойства используются совместно.

Из полученного равенства заключаем, что

К этому результату можно было бы прийти, воспользовавшись формулой Эйлера и тем обстоятельством, что первообразной функции является функция

Это полезно иметь в виду и в будущем. При вещественном х это легко проверить непосредственно, продифференцировав действительную и мнимую части функции

В частности, отсюда получаем также, что

Уже этот небольшой набор разобранных примеров показывает, что при отыскании первообразных даже элементарных функций часто приходится прибегать к дополнительным преобразованиям и ухищрениям, чего совсем

выделяемая условием при не является элементарной. Функция называется интегральным косинусом.

Первообразная функции также неэлементарна. Одна из первообразных этой функции обозначается символом И х и называется интегральным логарифмом. Она удовлетворяет условию при (Подробнее о специальных функциях Их будет сказано в гл. VI, § 5.)

Учитывая эти трудности отыскания первообразных, составлены довольно обширные таблицы неопределенных интегралов. Однако, чтобы успешно ими воспользоваться или чтобы не прибегать к ним, если вопрос совсем прост, необходимо иметь некоторые навыки обращения с неопределенными интегралами.

Дальнейшая часть этого параграфа посвящена интегрированию функций из некоторых специальных классов, первообразные которых выражаются в виде композиции элементарных функций.

Проводя линейную замену переменных с помощью невырожденных матриц преобразования, не зависящих от оператора дифференцирования р, получаем систему дифференциальных уравнений, эквивалентную исходной. Эквивалентность двух систем уравнений означает, что между их решениями существует взаимно однозначное соответствие, что и обусловливает возможность их взаимной подмены при исследовании. [2]

Линейной заменой независимой переменной уравнения гипергеометрического типа можно, как правило, привести к следующим каноническим видим. [3]

Теперь линейной заменой переменного т легко добиться того, чтобы нулевая точка принадлежала образу DT и, вместе с тем, чтобы этот образ не вышел из единичного круга с центром в нулевой точке. [4]

Сделав линейную замену параметра u ( l - V) MO I, предложенную в разд. И наоборот, и - О, 1 отвечают значения и и и и иг. [5]

При помощи линейной замены независимой переменной, не меняющей вида ур-ния ( 2), полиномы уп, ( х), ф-ции а ( х) и р ( х) можно привести к след, канонич. [6]

Пытаясь произвести линейную замену переменных, легко убедиться, что от матрицы здесь - одно название. [7]

В обоих случаях линейные замены переменных формально приводили к уравнениям систем регулирования с одной регулируемой величиной. [8]

Как действует группа линейных замен координат на множестве матриц линейных операторов из пространства в себя. [9]

Обобщенные функции допускают линейную замену аргумента . [10]

Как уже отмечалось, линейные замены масштабов с помощью множителей г-п, п е N, недостаточны для разделения разных медленных траекторий. [11]

Как меняется производная при линейной замене аргумента . [12]

Как меняется первообразная при линейной замене аргумента подынтегральной функции . [13]

Действительно, мы всегда можем путем линейной замены переменных привести соотношение, связывающее и У с хо Уо к следующему виду. [14]

Таким образом, при помощи линейной замены искомой функции уравнение Риккати всегда может быть приведено к виду ( 8) на каждом участке, в котором Р ( х) не обращается в нуль. Такой вид уравнения Риккати называется каноническим. [15]

Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула преобразования дифференциалов. Примеры интегрирования. Примеры линейных подстановок.

Метод замены переменной

С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.

Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x ( t ) , или t = t ( x ) . Например, x = ln t , x = sin t , t = 2 x + 1 , и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.

Основная формула замены переменной

Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f ( x ) и дифференциала dx : . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x ( t ) . Тогда мы должны выразить функцию f ( x ) и дифференциал dx через переменную t .

Чтобы выразить подынтегральную функцию f ( x ) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x ( t ) .

Преобразование дифференциала выполняется так:
.
То есть дифференциал dx равен произведению производной x по t на дифференциал dt .

На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t ( x ) . Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где t′ ( x ) – это производная t по x , то
.

Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1) ,
где x – это функция от t .
(2) ,
где t – это функция от x .

Важное замечание

В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое-либо выражение.

В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
.

Здесь x можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
;
;
.

В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x , дифференциал преобразуется следующим образом:
.
Тогда
.

В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
.
После чего интеграл сводится к табличному.
.

Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2). Положим t = x 2 + x . Тогда
;
;

.

Примеры интегрирования заменой переменной

1) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что (sin x )′ = cos x . Тогда

.
Здесь мы применили подстановку t = sin x .

2) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что . Тогда

.
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg x .

3) Проинтегрируем
.
Замечаем, что . Тогда

. Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x 2 + 1 .

Линейные подстановки

Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b ,
где a и b – постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
.

Примеры интегрирования линейными подстановками

A) Вычислить интеграл
.
Решение.
.

B) Найти интеграл
.
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции.
.
ln 2 – это постоянная. Вычисляем интеграл.

.

C) Вычислить интеграл
.
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
.
Вычисляем интеграл.

.

$\frac1<\sqrt<2> D) Найти интеграл . Решение. Преобразуем многочлен под корнем. . Интегрируем, применяя метод замены переменной . > \ln \left| \; x + \frac34 + \sqrt <\left( x + \frac34 \right)^2 - \left( \frac34 \right)^2 >\; \right| + C$
.
Ранее мы получили формулу
.
Отсюда
.
Подставив это выражение, получим окончательный ответ.

E) Вычислить интеграл
.
Решение.
Применим формулу произведения синуса и косинуса.
;
.
Интегрируем и делаем подстановки.

.

Изучая математику, мы не раз сталкивались со взаимно-обратными операциями.
Примерами взаимно-обратных операций являются:

Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием, а процессом, обратным нахождению производной, является процесс нахождения первообразной.

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке I ,если для любого х из промежутка I выполняется равенство:

Или Первообразной для функции F(x) называется функция, производная которой равна данной.

Зад ача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Важную роль в решении этой задачи играет признак постоянства функции:
Если

на некотором промежутке I, то функция F - постоянная на этом промежутке.

Все первообразные функции а можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f.

Основное свойство первообразных:
Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.

В этом утверждении сформулированы два свойства первообразной
1) какое бы число ни подставить вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C.

Основная задача интегрирования : записать все первообразные для данной функции. Решить её - значит представить первообразную в таком общем виде: F(x)+C

Геометрический смысл первообразной

Графики первообразных -это кривые, получаемые из одной из них путём параллельного переноса вдоль оси ОУ

Пример 1. Выяснить, является ли функция F (x) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1).

Решение: F'(x) = (х 3 – 3х + 1)′ = 3х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(x), т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x) является первообразной для функции f(x).

Пример 2. Найти все первообразные функции f(x): f(x) = х 4 + 3х 2 + 5

Решение: Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:

Задание № 1
Скачай задание из Приложений к странице. Распечатай, выполни предложенные задания, отсканируй и отошли учителю

Читайте также: