Дайте определение вектора объясните какой вектор называется нулевым кратко

Обновлено: 06.07.2024

Определение. Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. (рис.1)

рис. 1

Обозначение вектора

Вектор началом которого есть точка А, а концом - точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a .

Длина вектора

Определение. Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB .

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.

Нулевой вектор

Нулевой вектор обычно обозначается как 0 .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Коллинеарные вектора

Определение. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 2).

рис. 2

Сонаправленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a ↑↑ b (рис. 3).

рис. 3

Противоположно направленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a ↑↓ b (рис. 4).

рис. 4

Компланарные вектора

Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 5).

рис. 5

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Равные вектора

Определение. Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).

рис. 6

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b , если a ↑↑ b и | a | = | b |.

Единичный вектор

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.

Для начала дадим определение:

Вектор – это направленный отрезок прямой.

Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

В математике для обозначения вектора обычно используют строчные латинские буквы, однако над вектором всегда ставится небольшая стрелочка, например a → . Если известны граничные точки вектора – его начало и конец, к примеру A и B , то вектор обозначается так A B → .

Нулевой вектор

Под нулевым вектором 0 → будем понимать любую точку плоскости или пространства.

Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Длина вектора

Под длиной вектора A B → понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.

Длину вектора A B → принято обозначать так A B → .

Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин "длина вектора". Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.

Коллинеарность векторов

Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными.

Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.

Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.

Направление векторов

Сонаправленными векторами называют два коллинеарных вектора a → и b → , у которых направления совпадают, такие векторы обозначаются так a → ↑ ↑ b → .

Противоположно направленными векторами называются два коллинеарных вектора a → и b → , у которых направления не совпадают, т.е. являются противоположными, такие векторы обозначаются следующим образом a → ↑ ↓ b → .

Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.

Равные и противоположные векторы

Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.

Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.

Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Пусть заданы два произвольных вектора на плоскости или в пространстве a → и b → . Отложим от некоторой точки O плоскости или пространства векторы O A → = a → и O B → = b → . Лучи OA и OB образуют угол ∠ A O B = φ .

Углы между векторами

Угол φ = ∠ A O B называется углом между векторами a → = O A → и b → = O B → .

Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.

Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π 2 радиан).

Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины.

Обозначение вектора

Вектор началом которого есть точка \( A \) , а концом - точка \( B \) , обозначается \( \vec \) . Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например \( \vec \)

Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой.

Длина вектора

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа \( \left| \vec \right| \) .

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора \( \left| \vec \right| \) .

Нулевой вектор

Нулевой вектор обычно обозначается как \( \vec \) .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления.

Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.

Длина вектора на плоскости

Длина вектора в трехмерном пространстве

Длина вектора в n-мерном пространстве

Коллинеарные вектора

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами

Сонаправленные вектора

Противоположно направленные вектора

Компланарные вектора

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Равные вектора

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c, проведенный из начала a к концу b, если начало вектора b совпадает с концом вектора a. Разностью двух векторов a и b называется вектор c при условии: c = a − b, если c + b =a.

Произведением вектора u≠0 на число λ≠0 называется вектор w, модуль которого равен |λ||u|, направление которого совпадает с вектором u при λ>0 и противоположно ему при λ

Скалярным произведением векторов u и v называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Векторным произведением векторов u и v называется третий вектор w, модуль которого равен произведению модулей векторов u и v на синус угла θ между ними и перпендикулярен им.

Смешанным произведением трех векторов u, v и w называется скалярное произведение вектора u на векторное произведение векторов v и w

Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c, проведенный из начала a к концу b, если начало вектора b совпадает с концом вектора a. Разностью двух векторов a и b называется вектор c при условии: c = a − b, если c + b =a.

Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации.

О сайте

На нашем сайте вы найдете множество полезных калькуляторов, конвертеров, таблиц, а также справочных материалов по основным дисциплинам.

Самый простой способ сделать расчеты в сети — это использовать подходящие онлайн инструменты. Воспользуйтесь поиском, чтобы найти подходящий инструмент на нашем сайте.

На сайте используется технология LaTeX.
Поэтому для корректного отображения формул и выражений
пожалуйста дождитесь полной загрузки страницы.

Вектор — в самом элементарном случае это математический объект, который характеризуется величиной и направлением.

Вектор — в самом элементарном случае это математический объект, который характеризуется

величиной и направлением.

В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая

из его граничных точек является началом, а какая — концом.

У вектора есть длина и определенное направление. Графически вектора изображаются как

направленные отрезки прямой конкретной длины. Длина вектора – это и есть длина этого отрезка.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|.

Как видно на рисунке, начало отрезка – это точка А, концом отрезка является

точка В, а непосредственно вектор обозначен через . У направления

вектора существенное значение, если переместить стрелку на другую

сторону отрезка, то получим вектор, но абсолютно другой. Понятие вектора

удобно сравнивать с движением физического тела: подумайте, ехать на

рыбалку и с рыбалки – разница огромная.

разными. Сравнивают лишь длины векторов. Зато есть понятие равенства для векторов.

Виды векторов.

Единичным называется вектор, длина которого равна 1.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором.

У такого вектора конец и начало совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как . Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.

Коллинеарные вектора – вектора, которые параллельны одной прямой

или которые лежат на одной прямой.

Сонаправленные вектора. Два коллинеарных вектора a и b называются

сонаправленными векторами только тогда, когда их направления

соответствуют друг другу: a↑↑b

Противоположно направленные вектора – два коллинеарных вектора

a и b называются противоположно направленными векторами, только

когда они направлены в разные стороны: a↑↓b.

Компланарные вектора – это те вектора, которые параллельны одной

плоскости или те, которые лежат на общей плоскости.

В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельную

двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются

Равные вектора. Вектора a и b будут равными, если они будут лежать на

одной либо параллельных прямых и их направления и длины одинаковые.

То есть, такой вектор можно перенести параллельно ему в каждое место

Таким образом, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые

и имеют одинаковые длины:

Для координатного представления векторов огромное значение

оказывает понятие проекции вектора на ось (направленную

прямую).

Проекция вектора - это длина отрезка, который образуется

проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую,

при этом проекции добавляется знак “+”, но когда направление

проекции соответственно направлению оси, иначе — знак “–”.

Проекция – это длина заданного вектора, умноженная на cos угла исходного вектора и оси; проекция

вектора на ось, которая перпендикулярна ему = 0.

Когда работают с векторами, зачастую вводят так называемую

декартову систему координат и уже в этой системе находят

координаты вектора по базисным векторам.

Разложение по базису геометрически можно показать проекцией

вектора на координатные оси. Когда известны координаты начала и

конца вектора, то координаты данного вектора получают вычитая

из координат конца вектора координат начала вектора.

осям x, y, z. Исходя из этого, вектор можно записать в таком виде:

Каждое геометрическое свойство есть возможность записать в координатах, и далее исследование

из геометрического переходит в алгебраическое и на этом этапе в основном упрощается. Обратное,

кстати, неверно: не у любого соотношения в координатах есть геометрическое толкование, но только

те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные).

называется вектор, начало которого совпадает с его концом.

Длина нулевого вектора равна нулю:

считается сонаправленным любому вектору. Нулевой вектор одновременно коллинеарен и ортогонален любому вектору пространства.

Все координаты нулевого вектора в любой аффинной системе координат равны нулю. Например, в трехмерном пространстве

Задание	Доказать, что нулевой вектор ортогонален любому вектору.
Доказательство	Рассмотрим произвольный вектор . Найдем скалярное произведение этого вектора и нулевого вектора как сумму произведений соответствующих координат:

Поскольку скалярное произведение равно нулю, то векторы =\left(x_ ;\; x_ \right)" width="100" height="18" />
и =\left(0;\; 0\right)" width="80" height="19" />
ортогональны.

Что и требовалось доказать.

Свойства нулевого вектора

Нулевой вектор обладает следующими свойствами:

;

;

3) для любого вектора существует такой вектор , что

Читайте также:

  
• Как владимиру мономаху удалось приостановить распад древнерусского государства 6 класс ответ кратко
  
• Как можно более кратко представить следующую запись if x a y else a z
  
• Как ушить школьные брюки в талии в домашних условиях
  
• Школа 1371 педагогический состав
  
• Что подарить девочкам на 5 лет в детском саду